2011年江蘇四星級高中高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)資料07 第七章 不等式

1、第七章 不等式知識網(wǎng)絡(luò)二元一次不等式組一元二次不等式不等關(guān)系不等式從實(shí)際問題中建立一元二次不等式解一元二次不等式三個(gè)“二次”間的聯(lián)系二元二次不等式(組)表示的平面區(qū)域簡單的二元線性規(guī)劃問題基本不等式基本不等式的幾何背景基本不等式的證明基本不等式的應(yīng)用.第1講 不等關(guān)系與不等式 知 識 梳理 1.比較原理：兩實(shí)數(shù)之間有且只有以下三個(gè)大小關(guān)系之一：a>b;a<b;a=b；2不等式的性質(zhì)：（1）對稱性:， （2）傳遞性:， （3）可加性:. 移項(xiàng)法則: 推論：同向不等式可加. （4）可乘性:，推論1：同向(正)可乘: 推論2：可乘方(正): (5) 可開方(正): 重 難 點(diǎn) 突 破 1

2、.重點(diǎn)：用不等式（組）表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系，并用不等式（組）研究含有不等關(guān)系的問題，理解不等式（組）對于刻畫不等關(guān)系的意義和價(jià)值.熟悉不等式的性質(zhì)。2.難點(diǎn)：正確理解現(xiàn)實(shí)生活中存在的不等關(guān)系. 用不等式（組）正確表示出不等關(guān)系。3.重難點(diǎn)：掌握不等式的性質(zhì)和利用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式,利用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式.（1）用不等式表示不等關(guān)系問題1. 某種雜志原以每本2.5元的價(jià)格銷售，可以售出8萬本。據(jù)市場調(diào)查，若單價(jià)每提高0.1元，銷售量就可能相應(yīng)減少2000本。若把提價(jià)后雜志的定價(jià)設(shè)為x 元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元呢？點(diǎn)撥：設(shè)雜志社的定價(jià)為x 

3、元，則銷售的總收入為 萬元，那么不等關(guān)系“銷售的總收入仍不低于20萬元”可以表示為不等式（2）用不等式的性質(zhì)精確的估算變量或參數(shù)的取值范圍問題2. 已知1a+b3且2ab4，求2a+3b的取值范圍.點(diǎn)撥：a+b，ab的范圍已知，要求2a+3b的取值范圍，只需將2a+3b用已知量a+b，ab表示出來.可設(shè)2a+3b=x（a+b）+y（ab），用待定系數(shù)法求出x、y.解析：設(shè)2a+3b=x（a+b）+y（ab），解得（a+b），2（ab）1.（a+b）（ab），即2a+3b.錯(cuò)解：解此題常見錯(cuò)誤是：1a+b3，2ab4.+得12a7.由得4ba2.+得52b1，3b.+得2a+3b. 熱 點(diǎn) 考

4、點(diǎn) 題 型 探 析考點(diǎn)1 不等關(guān)系及不等式題型1.建立不等關(guān)系例1 某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種，按照生產(chǎn)的要求，600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍。怎樣寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式呢？【解題思路】設(shè)出變量,將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號.解析 假設(shè)截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根.根據(jù)題意，應(yīng)有如下的不等關(guān)系：（1）解得兩種鋼管的總長度不能超過4000mm；（2）截得600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管數(shù)量的3倍；（3）解得兩鐘鋼管的數(shù)量都不能為負(fù)。由以上不等關(guān)系，可得不等式組：【名師指引】建立不等關(guān)系關(guān)鍵在于文字語言

5、與數(shù)學(xué)符號間的轉(zhuǎn)換.它們之間的關(guān)系如下表.文字語言數(shù)學(xué)符號文字語言數(shù)學(xué)符號大于>至多小于<至少大于等于不少于小于等于不多于題型2用:比較法兩個(gè)數(shù)的大小例2. 比較與（其中，）的大小【解題思路】作差整理,定符號解析：，所以【名師指引】作差比較法的步驟是：1、作差；2、變形：配方、因式分解、通分、分母（分子）有理化等；3、判斷符號；4、作出結(jié)論【新題導(dǎo)練】.1.設(shè)a=2，b=2，c=52，則a、b、c之間的大小關(guān)系為_.解析：a=2=0，b0.c=52=0.bc=37=0.cba.答案：cba2. 如果一輛汽車每天行駛的路程比原來多19 km，那么在8天內(nèi)它的行程就超過2 200 km

6、，如果它每天行駛的路程比原來少12 km，那么它行駛同樣的路程得花9天多的時(shí)間，這輛汽車原來每天行駛的路程(km)范圍是_.解析：這輛汽車原來每天行駛的路程為x km，則解之,得 256x260.答案：256x260 考點(diǎn)2 不等式的性質(zhì) 題型：驗(yàn)證或推導(dǎo)簡單不等式的有關(guān)結(jié)論例1. 已知：mn，ab，求證：manb.【解題思路】以不等式的性質(zhì)為基礎(chǔ)，進(jìn)行推導(dǎo)證法一：由mn知mn0，由ab知ba0.（ma）（nb）（mn）（ba）0manb；證法二：ab ab又mn m（a）n（b）manb.【名師指引】不等式的性質(zhì)中,有“單向性”和“雙向性”的區(qū)別,切記隨心所欲、自創(chuàng)性質(zhì)例2.已知下列三個(gè)不等

7、式;,以其中兩個(gè)作為條件,余下一個(gè)作結(jié)論,則可組成幾個(gè)正確命題.【解題思路】以比較法為基礎(chǔ)進(jìn)行變形解析(1)對變形,由得成立,.(2)若,則,.(3)若,則,.綜上所述可組成3個(gè)正確命題.【名師指引】注意運(yùn)用性質(zhì)時(shí)須滿足的條件,如時(shí),判斷與的大小關(guān)系應(yīng)注意從三個(gè)方面討論.【新題導(dǎo)練】.3.若ab0，則下列不等式不能成立的是A.B.2a2bC.|a|b|D.（）a（）b解析：由ab0知ab0，因此a·b·，即成立；由ab0得ab0，因此|a|b|0成立.又（）x是減函數(shù)，所以（）a（）b成立.故不成立的是B.答案：B4. 已知四個(gè)條件，b0a 0ab a0b ab0能推出成立

8、的有( )A.1個(gè) B.2個(gè)C.3個(gè) D.4個(gè)解析：運(yùn)用倒數(shù)法則，ab，ab0，、正確.又正數(shù)大于負(fù)數(shù)，故選.考點(diǎn)3 不等式性質(zhì)綜合應(yīng)用題型1.用比較法證函數(shù)的單調(diào)性例1. （廣東省揭陽二中2009屆高三上學(xué)期期中考試）已知函數(shù)的定義域?yàn)閷Χx域內(nèi)的任意、，都有 （1）求證：是偶函數(shù)； （2）求證：在上是增函數(shù)； （3）解不等式【解題思路】證明抽象函數(shù)的單調(diào)性通常是用單調(diào)性的定義結(jié)合比較法.解析；（1）證明因?qū)Χx域內(nèi)的任意、都有，則有2分又令再令于是有 （2）設(shè) 由于從而，故上是增函數(shù) （3）由于于是待解不等式可化為，結(jié)合（1）（2）已證結(jié)論，可得上式等價(jià)于解得【名師指引】 作差法、作商法以

9、及函數(shù)的單調(diào)性是比較大小的常用方法.運(yùn)用不等式性質(zhì)時(shí)應(yīng)從結(jié)論出發(fā), 尋找解題的切入點(diǎn). 題型2.用比較法處理數(shù)列中的不等關(guān)系.例2. （廣東省揭陽市2008年高中畢業(yè)班高考調(diào)研測試改編）已知數(shù)列滿足，且。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列是否存在最大項(xiàng)？若存在最大項(xiàng)，求出該項(xiàng)和相應(yīng)的項(xiàng)數(shù)；若不存在，說明理由?！窘忸}思路】先由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式，再用比較法判斷數(shù)列的單調(diào)性解：（1）由得-由一元二次方程求根公式得 (2) 解： ,，即數(shù)列有最大項(xiàng)，最大項(xiàng)為第一項(xiàng)?！久麕熤敢拷柚诒容^法驗(yàn)證數(shù)列的單調(diào)性進(jìn)而數(shù)列的不等關(guān)系是近年高考的熱點(diǎn)之一.【新題導(dǎo)練】5. 已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若、，有；

10、（1）、判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（2）、若對所有的、恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：（1）、依題意，令，且、，則 ，則函數(shù)在上的單調(diào)增。 （2）、依題意，在上的最大值為1，則對恒成立，對恒成立， 或或。6. 已知等差數(shù)列an的公差大于0，且a3，a5是方程x214x450的兩根，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn1 bn.(1)求數(shù)列an、bn的通項(xiàng)公式；(2)記cnanbn，求證：cn1cn.解：(1)因?yàn)閍3，a5是方程x214x450的兩根，且數(shù)列an的公差d0，a35，a59，從而d2ana5(n5)d2n1 又當(dāng)n1時(shí)，有b1S11 b1，b1當(dāng)n2時(shí)，有bnSnSn1(b

11、n1bn)(n2)數(shù)列bn是等比數(shù)列，且b1，qbnb1qn1； (2)由(1)知：cnanbn，cn1 cn1cn0 cn1cn. 搶 分 頻 道 基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1. 如果滿足,且,那么下列選項(xiàng)中不一定成立的是( ) A. B. C. D. 解析:由題意知,則一定正確,B一定正確,D一定正確,故選C(當(dāng)b=0時(shí))2.(2008·吳川一中)對于實(shí)數(shù)，“”是“”成立的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件解析：由;反之不成立.選 C3. 若,則下列不等式:;中,正確的不等式有( )A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)解析:由得,則正確,錯(cuò)誤,故選B

12、.4.若,則的取值范圍是 解析:由,可得5. 設(shè)求證證法一:左邊-右邊= = = = 原不等式成立。證法二:左邊>0，右邊>0。 原不等式成立。綜合拔高訓(xùn)練6.某人乘坐出租車從A地到乙地，有兩種方案：第一種方案，乘起步價(jià)為10元，每km價(jià)1.2元的出租車；第二種方案，乘起步價(jià)為8元，每km價(jià)1.4元的出租車，按出租車管理?xiàng)l例，在起步價(jià)內(nèi)，不同型號的出租車行駛的里路是相等的，則此人從A地到B地選擇哪一種方案比較適合？解：設(shè)A地到B地距離為mkm，起步價(jià)內(nèi)行駛的路為akm顯然，當(dāng)ma時(shí)，選起步價(jià)為8元的出租車比較合適當(dāng)m>a時(shí)，設(shè)m=a+x（x>0），乘坐起步價(jià)為10元的出

13、租車費(fèi)用為P(x)元，乘坐起步價(jià)為8元的出租車費(fèi)用為Q(x)元，則P(x)=10+1.2x，Q(x)=8+1.4x P(x)-Q(x)=2-0.2x=0.2(10-x) 當(dāng)x>10時(shí)，P(x)<Q(x)，此時(shí)起步價(jià)為10元的出租車比較合適當(dāng)x<10時(shí)，P(x)>Q(x)，此時(shí)選起步價(jià)為8元的出租車比較合適當(dāng)x=10時(shí)，P(x)=Q(x)，此時(shí)兩種出租車任選7.已知函數(shù)f（x）=|log2（x+1）|，實(shí)數(shù)m、n在其定義域內(nèi)，且mn，f（m）=f（n）.求證：（1）m+n0；（2）f（m2）f（m+n）f（n2）.（1）證法一：由f（m）=f（n），得|log2（m+1）

14、|=|log2（n+1）|，即log2（m+1）=±log2（n+1），log2（m+1）=log2（n+1），或log2（m+1）=log2.由得m+1=n+1，與mn矛盾，舍去.由得m+1=，即（m+1）（n+1）=1.m+11n+1.m0n.mn0.由得mn+m+n=0，m+n=mn0.證法二：（同證法一得）（m+1）（n+1）=1.0m+1n+1，=1.m+n+22.m+n0.（2）證明：當(dāng)x0時(shí)，f（x）=|log2（x+1）|=log2（x+1）在（0，+）上為增函數(shù).由（1）知m2（m+n）=m2+mn=m（m+n），且m0，m+n0，m（m+n）0.m2（m+n）0，

15、0m2m+n.f（m2）f（m+n）.同理，（m+n）n2=mnn2=n（m+n）0，0m+nn2.f（m+n）f（n2）.f（m2）f（m+n）f（n2）.8. (廣東省惠州市2009屆高三第二次調(diào)研考試)設(shè)單調(diào)遞增函數(shù)的定義域?yàn)?，且對任意的正?shí)數(shù)x,y有：且、一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足:其中為數(shù)列的前n項(xiàng)和,求數(shù)列的通項(xiàng)公式；、在的條件下，是否存在正數(shù)M使下列不等式：對一切成立？若存在，求出M的取值范圍；若不存在，請說明理由解：、對任意的正數(shù)均有且又，又是定義在上的單增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，為等差數(shù)列，、假設(shè)存在滿足條件，即對一切恒成立分令，故，單調(diào)遞增，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

16、 第2講 一元二次不等式及其解法 知 識 梳理 一.解不等式的有關(guān)理論（1） 若兩個(gè)不等式的解集相同，則稱它們是同解不等式；（2） 一個(gè)不等式變形為另一個(gè)不等式時(shí)，若兩個(gè)不等式是同解不等式，這種變形稱為不等式的同解變形；（3） 解不等式時(shí)應(yīng)進(jìn)行同解變形；（4） 解不等式的結(jié)果，原則上要用集合表示。二.一元二次不等式的解集 二次函數(shù)（）的圖象一元二次方程有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根 無實(shí)根 R 三.解一元二次不等式的基本步驟：（1） 整理系數(shù)，使最高次項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù)；（2） 嘗試用“十字相乘法”分解因式；（3） 計(jì)算（4） 結(jié)合二次函數(shù)的圖象特征寫出解集。四.高次不等式解法：盡可能進(jìn)行因式分解，分解

17、成一次因式后，再利用數(shù)軸標(biāo)根法求解（注意每個(gè)因式的最高次項(xiàng)的系數(shù)要求為正數(shù)）五.分式不等式的解法：分子分母因式分解，轉(zhuǎn)化為相異一次因式的積和商的形式，再利用數(shù)軸標(biāo)根法求解； 重 難 點(diǎn) 突 破 1.重點(diǎn)：從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型；熟練掌握一元二次不等式的解法。2.難點(diǎn)：理解二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式解集的關(guān)系。求解簡單的分式不等式和高次不等式以及簡單的含參數(shù)的不等式3.重難點(diǎn)：掌握一元二次不等式的解法,利用不等式的性質(zhì)解簡單的簡單的分式不等式和高次不等式以及簡單的含參數(shù)的不等式, 會解簡單的指數(shù)不等式和對數(shù)不等式.(1)解簡單的指數(shù)不等式和對數(shù)不等式關(guān)鍵在于通過同解變形

18、轉(zhuǎn)化為一般的不等式(組)來求解問題1. 設(shè)，解關(guān)于x的不等式 點(diǎn)撥: 由得：或 討論：（1）當(dāng)時(shí)，得 （2）當(dāng)時(shí)，/ （3）當(dāng)時(shí)，或 綜上所述，所求的解為:當(dāng)時(shí)，解集為當(dāng)時(shí),解集為.當(dāng)時(shí),解集為12/(2)重視函數(shù)、方程與不等式三者之間的邏輯關(guān)系.問題2. 已知函數(shù)當(dāng)，求的解析式； 點(diǎn)撥:據(jù)題意：是方程的兩根由韋達(dá)定理知：故 熱 點(diǎn) 考 點(diǎn) 題 型 探 析考點(diǎn)1 一元二次不等式的解法題型1.解一元二次不等式例1 不等式的解集是( ) A B. C. D. 【解題思路】嚴(yán)格按解題步驟進(jìn)行解析由得,所以解集為,故選D;別解:抓住選擇題的特點(diǎn),顯然當(dāng)時(shí)滿足不等式,故選D.【名師指引】解一元二次不等式

19、的關(guān)鍵在于求出相應(yīng)的一元二次方程的根題型2.已知一元二次不等式的解集求系數(shù).例2已知關(guān)于的不等式的解集為,求的解集.【解題思路】由韋達(dá)定理求系數(shù)解析 由的解集為知,為方程的兩個(gè)根,由韋達(dá)定理得,解得,即,其解集為.【名師指引】已知一元二次不等式的解集求系數(shù)的基本思路是,由不等式的解集求出根,再由韋達(dá)定理求系數(shù) 【新題導(dǎo)練】1.不等式（2）2+2(2) -40,對一切R恒成立，則a的取值范圍是（    ）A.（-,2            B.（-2,2&#

20、160;              C.（-2,2）              D.（-,2) 解析：可推知-2a2,另a=2時(shí)，原式化為-40，恒成立，-2a2. 選B 2. 關(guān)于的不等式(-1)( -2)0，若此不等式的解集為|x2，則的取值范圍是A. 0       

21、60;      B.02              C.               D. 0 解析：由不等式的解集形式知m0. 答案：D 考點(diǎn)2 含參數(shù)不等式的解法題型1：解含參數(shù)有理不等式例1：解關(guān)于的一元二次不等式【解題思路】比較根的大小確定解集解析：，當(dāng)，不等式解集為；

22、 當(dāng)時(shí)，不等式為，解集為；當(dāng)，不等式解集為【名師指引】解含參數(shù)的有理不等式時(shí)分以下幾種情況討論:根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)(大于0,小于0,等于0);根據(jù)根的判別式討論().根據(jù)根的大小討論().題型2：解簡單的指數(shù)不等式和對數(shù)不等式例2. 解不等式loga(1)1 【解題思路】借助于單調(diào)性進(jìn)行分類討論解析(1)當(dāng)a1時(shí)，原不等式等價(jià)于不等式組由此得1a.因?yàn)?a0，所以x0，x0.(2)當(dāng)0a1時(shí)，原不等式等價(jià)于不等式組： 由 得x1或x0，由得0 x，1x.綜上，當(dāng)a1時(shí)，不等式的解集是x|x0，當(dāng)0a1時(shí)，不等式的解集為x|1x.【名師指引】解指數(shù)不等式與對數(shù)不等式通常是由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

23、轉(zhuǎn)化為一般的不等式(組)來求解，當(dāng)?shù)讛?shù)含參數(shù)時(shí)要進(jìn)行分類討論.【新題導(dǎo)練】3.關(guān)于的不等式的解集為( ) A. B. C. D.以上答案都不對解析:原不等式可化為,需對分三種情況討論,即不等式的解集與有關(guān).4.解關(guān)于的不等式：解析：當(dāng)；當(dāng)，當(dāng)5.考點(diǎn)3 分式不等式及高次不等式的解法例5 解不等式: 【解題思路】先分解因式,再標(biāo)根求解解析原不等式,各因式根依次為-1,1,2,4,在數(shù)軸上標(biāo)根如下:421-1x 所以不等式的解集為. 【名師指引】求解高次不等式或分式不等式一般用根軸法,要注意不等式的解集與不等式對應(yīng)的方程的根的關(guān)系.【新題導(dǎo)練】5.若關(guān)于的不等式的解集是,則的值為_解析:原不等式,

24、結(jié)合題意畫出圖可知.6. 解關(guān)于 解：若；若；若7.（ 廣東省深圳中學(xué)20082009學(xué)年度高三第一學(xué)段考試）解不等式解析：即得所以原不等式的解集為考點(diǎn)4 簡單的恒成立問題題型1:由二次函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)的取值范圍例1.若關(guān)于的不等式在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解題思路】結(jié)合二次函數(shù)的圖象求解解析當(dāng)時(shí),不等式解集不為,故不滿足題意;當(dāng)時(shí),要使原不等式解集為,只需,解得 綜上,所求實(shí)數(shù)的取值范圍為【名師指引】不等式對一切恒成立或不等式對任意恒成立或題型2.轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值求參數(shù)的取值范圍【解題思路】先分離系數(shù),再由二次函數(shù)最值確定取值范圍.解析 (1)設(shè).由得,故. 即,所以,解得 (2)

25、由(1)知在恒成立,即在恒成立.令,則在上單調(diào)遞減.所以在上的最大值為.所以的取值范圍是.【名師指引】對一切恒成立,則;對一切恒成立,則;【新題導(dǎo)練】8.不等式對一切R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：不等式對一切R恒成立, 即 對一切R恒成立 若=0,顯然不成立 若0，則 9.若不等式x2ax1³0對于一切xÎ（0，）成立，則a的取值范圍是（ ）A0 B 2 C- D-3解析：設(shè)f（x）x2ax1，則對稱軸為x,若³，即a£1時(shí)，則f（x）在0，上是減函數(shù)，應(yīng)有f（）³0Þ£x£1若£0，即a

26、9;0時(shí)，則f（x）在0，上是增函數(shù)，應(yīng)有f（0）1>0恒成立，故a³0若0££，即1£a£0，則應(yīng)有f（）恒成立，故1£a£0 綜上，有£a,故選C 搶 分 頻 道 基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1. 不等式的解集是_解析:將不等式轉(zhuǎn)化成，即.2. 若不等式的解集為,則不等式的解集為 _.解析:先由方程的兩根為2和3求得后再解不等式.得3. (廣東省五校2008年高三上期末聯(lián)考) 若關(guān)于的不等式的解集為空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 解析： 的解集為空集，就是1= max所以4(08梅州)設(shè)命題P：函數(shù)的定義域?yàn)镽；命題q：不等式

27、對一切正實(shí)數(shù)均成立。如果命題p或q為真命題，命題p且q為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：命題P為真命題函數(shù)定義域?yàn)镽對任意實(shí)數(shù)均成立解集為R，或 命題P為真命題5.解關(guān)于x的不等式(k0，k1).原不等式即， 1°若k=0，原不等式的解集為空集；2°若1k>0，即0<k<1時(shí)，原不等式等價(jià)于此時(shí)2=>0，若0<k<1，由原不等式的解集為x|2<x<；3°若1k<0，即k>1時(shí)，原不等式等價(jià)于此時(shí)恒有2>，所以原不等式的解集為x|x<，或x>2.綜合拔高訓(xùn)練6. 已知，且，解關(guān)于x的不等式：

28、 解：原不等式等價(jià)于原不等式同解于7分由得，由得從而1分當(dāng)1時(shí)，原不等式解為當(dāng)時(shí)，原不等式解為6.(廣東省深圳外國語學(xué)校2008屆第三次質(zhì)檢)據(jù)調(diào)查，某地區(qū)100萬從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民，人均收入3000元，為了增加農(nóng)民的收入，當(dāng)?shù)卣e極引進(jìn)資本，建立各種加工企業(yè)，對當(dāng)?shù)氐霓r(nóng)產(chǎn)品進(jìn)行深加工，同時(shí)吸收當(dāng)?shù)夭糠洲r(nóng)民進(jìn)入加工企業(yè)工作，據(jù)估計(jì)，如果有x(x0)萬人進(jìn)企業(yè)工作，那么剩下從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民的人均收入有望提高2x%，而進(jìn)入企業(yè)工作的農(nóng)民的人均收入為3000a元（a0）。（I）在建立加工企業(yè)后，要使從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民的年總收入不低于加工企業(yè)建立前的農(nóng)民的年總收入，試求x的取值范圍；（II）在（I

29、）的條件下，當(dāng)?shù)卣畱?yīng)該如何引導(dǎo)農(nóng)民（即x多大時(shí)），能使這100萬農(nóng)民的人均年收入達(dá)到最大。解：（I）由題意得（100-x）·3000·（1+2x%）100×3000，即x250x0，解得0x50， 又x0 0x50； （II）設(shè)這100萬農(nóng)民的人均年收入為y元，則y= =x25(a+1)2+3000+475(a+1)2 (0<x50) （i）當(dāng)0<25(a+1)50，即0a1，當(dāng)x=25(a+1)時(shí)，y最大； （ii）當(dāng)25(a+1)50，即a 1，函數(shù)y在（0,50單調(diào)遞增，當(dāng)x=50時(shí)，y取最大值 答：在0a1時(shí)，安排25(a +1)萬人進(jìn)入企業(yè)

30、工作，在a1時(shí)安排50萬人進(jìn)入企業(yè)工作，才能使這100萬人的人均年收入最大 7.已知二次函數(shù)滿足：對任意實(shí)數(shù)x，都有，且當(dāng)（1，3）時(shí)，有成立。（1）證明：;（2）若的表達(dá)式;（3）設(shè) ,，若圖上的點(diǎn)都位于直線的上方，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解析：（1）由條件知 恒成立又取x=2時(shí)，與恒成立,.（2） . 又 恒成立，即恒成立.，解出：,.（3）由分析條件知道，只要圖象（在y軸右側(cè)）總在直線 上方即可，也就是直線的斜率小于直線與拋物線相切時(shí)的斜率位置，于是： .解法2：必須恒成立,即 恒成立.<0，即 4(1m)28<0，解得： ; 解出：. 總之，.第3講 二元一次不等式（組）與簡單

31、線性規(guī)劃問題 知 識 梳理 (一)二元一次不等式表示的區(qū)域 對于直線(A>0) 當(dāng)B>0時(shí), 表示直線上方區(qū)域; 表示直線的下方區(qū)域.當(dāng)B<0時(shí), 表示直線下方區(qū)域; 表示直線的上方區(qū)域.（二）線性規(guī)劃(1)不等式組是一組對變量x、y的約束條件，由于這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，所以又可稱其為線性約束條件.z=Ax+By是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，我們把它稱為目標(biāo)函數(shù).由于z=Ax+By又是關(guān)于x、y的一次解析式，所以又可叫做線性目標(biāo)函數(shù). 另外注意：線性約束條件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束

32、條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題. (3)那么，滿足線性約束條件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域.在上述問題中，可行域就是陰影部分表示的三角形區(qū)域.其中可行解（）和（）分別使目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值，它們都叫做這個(gè)問題的最優(yōu)解. 線性目標(biāo)函數(shù)的最值常在可行域的頂點(diǎn)處取得;而求最優(yōu)整數(shù)解必須首先要看它們是否在可行(4)用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題的基本步驟：1.首先，要根據(jù)線性約束條件畫出可行域（即畫出不等式組所表示的公共區(qū)域）.2.設(shè)z=0，畫出直線l0.3.觀察、分析，平移直線l0，從而找到最優(yōu)解.4.最后求得目標(biāo)函數(shù)的最大值及最小值.(5) 利

33、用線性規(guī)劃研究實(shí)際問題的解題思路：首先，應(yīng)準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型，即根據(jù)題意找出約束條件，確定線性目標(biāo)函數(shù).然后，用圖解法求得數(shù)學(xué)模型的解，即畫出可行域，在可行域內(nèi)求得使目標(biāo)函數(shù)取得最值的解.最后，還要根據(jù)實(shí)際意義將數(shù)學(xué)模型的解轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解，即結(jié)合實(shí)際情況求得最優(yōu)解. 重 難 點(diǎn) 突 破 1.重點(diǎn)：靈活運(yùn)用二元一次不等式（組）來表示的平面區(qū)域，掌握線性規(guī)劃的圖解法2.難點(diǎn)：如何確定不等式表示的哪一側(cè)區(qū)域，如何尋求線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解.3.重難點(diǎn)：如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題并準(zhǔn)確求得線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解(1) 怎樣畫二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域？問題1. 畫出不等式組表示的平面區(qū)域

34、點(diǎn)撥：（2）求線性規(guī)劃的最優(yōu)解問題2. 某人上午7時(shí)，乘摩托艇以勻速海里/時(shí)(420)從港出發(fā)到距50海里的港去，然后乘汽車以千米/時(shí)(30100)自港向距300千米的市駛?cè)?，?yīng)該在同一天下午4至9點(diǎn)到達(dá)市.設(shè)汽車、摩托艇所需的時(shí)間分別是小時(shí).(1)寫出所滿足的條件，并在所給的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，作出表示范圍的圖形； (2)如果已知所需的經(jīng)費(fèi)(元)，那么分別是多少時(shí)走得最經(jīng)濟(jì)？此時(shí)需花費(fèi)多少元？點(diǎn)撥：(1) 由題意得：,420,30100,3x10,y.由于汽車、摩托艇所要的時(shí)間和x+y應(yīng)在9至14小時(shí)之間，即9x+y14,因此滿足的點(diǎn)(x,y)的存在范圍是圖中陰影部分(包括邊界).(2) 因?yàn)?/p>

35、p=100+3(5x)+2(8y),所以3x+2y=131p,設(shè)131p=k,那么當(dāng)k最大時(shí)，p最小，在圖中通過陰影部分區(qū)域且斜率為的直線3x+2y=k中，使k值最大的直線必通過點(diǎn)(10,4)，即當(dāng)y=4時(shí)，p最小，此時(shí)x=10,v=12.5,w=30,p的最小值為93元. 熱 點(diǎn) 考 點(diǎn) 題 型 探 析考點(diǎn)1 二元一次不等式(組)與平面區(qū)域題型1. 求約束條件及平面區(qū)域的面積例1 .雙曲線的兩條漸近線與直線x=3圍成一個(gè)三角形區(qū)域，表示該區(qū)域的不等式組是（ ）A. B. C. D. 【解題思路】依據(jù)平面區(qū)域的畫法求解.解析雙曲線的兩條漸近線方程為，兩者與直線圍成一個(gè)三角形區(qū)域時(shí)有，故選A?！?/p>

36、名師指引】本題考查了雙曲線的漸近線方程以及平面區(qū)域畫法。例2.不等式組表示的平面區(qū)域的面積為_ABC【解題思路】作出平面區(qū)域,再由平面幾何知識求面積.解析不等式表示直線上及右上方的平面區(qū)域,表示直線 上及右上方的平面區(qū)域,表示直線上及左邊的平面區(qū)域，所以原不等式表示的平面區(qū)域如圖8-3-1中的陰影部分,其中,故所求面積【名師指引】準(zhǔn)確無誤作出平面區(qū)域是解這類題的關(guān)鍵.題型2.求非線性目標(biāo)函數(shù)的最大（?。┲道?. 已知，求：（1）的最小值;（2）的范圍【解題思路】分別聯(lián)想距離公式和斜率公式求解【解析】作出可行域，并求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)、（1）表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方，過M作直線AC的垂線，

37、易知垂足N在線段AC上，故的最小值是（2）表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)到定點(diǎn)連線斜率的兩倍；因?yàn)椋实娜≈捣秶鸀椤久麕熤敢壳蠓蔷€性目標(biāo)函數(shù)的最大（?。┲祮栴}的關(guān)鍵是從目標(biāo)函數(shù)聯(lián)想到相對應(yīng)的幾何意義.最常見的是兩點(diǎn)間的距離和斜率公式.【新題導(dǎo)練】1. 圖中陰影部分是下列不等式中( )表示的平面區(qū)域.A. B.C. D.解析:用原點(diǎn)作檢驗(yàn).選C2.如果直線與圓相交于兩點(diǎn),且點(diǎn)關(guān)于直線對稱,則不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為_.解析:因?yàn)镸、N兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，所以直線的斜率，而圓的圓心在直線上，所以，則不等式組表示的平面區(qū)域就是一個(gè)斜邊長為1的等腰直角三角形，面積為3. 已知變量滿足約束條件，則的取值范圍

38、是_.解析：由得 ；由得 表示過可行域內(nèi)一點(diǎn)及原點(diǎn)的直線的斜率 由約束條件畫出可行域（如圖），則的取值范圍為，即；考點(diǎn)2 線性規(guī)劃中求目標(biāo)函數(shù)的最值問題題型: 求目標(biāo)函數(shù)的最值例1. 設(shè)，式中變量滿足條件，求的最大值和最小值.【解題思路】按解題步驟求解.l0解析作出可行域如圖8-3-6所示,作直線:上, 作一組平行于的直線：，可知:直線往右平移時(shí)，隨之增大。由圖象可知,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，對應(yīng)的最大，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，對應(yīng)的最小，所以，【名師指引】要注意到線性目標(biāo)函數(shù)的最大(小)值往往是在邊界處取到.例2. 已知滿足不等式組，求使取最大值的整數(shù)【解題思路】先作平面區(qū)域,再作一組平行線：平行于：進(jìn)一步

39、尋找整點(diǎn).解析不等式組的解集為三直線：，：，：所圍成的三角形內(nèi)部（不含邊界），設(shè)與，與，與交點(diǎn)分別為，則坐標(biāo)分別為，作一組平行線：平行于：，當(dāng)往右上方移動時(shí)，隨之增大，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)最大為，但不是整數(shù)解，又由知可取，當(dāng)時(shí)，代入原不等式組得， ；當(dāng)時(shí)，得或， 或；當(dāng)時(shí)， ，故的最大整數(shù)解為或【名師指引】在平行域內(nèi)找整點(diǎn)最優(yōu)解，一般采用平移找解法，即打網(wǎng)格，描整點(diǎn)，平移直線，找出最優(yōu)解【新題導(dǎo)練】4. (廣東省惠州市2009屆高三第二次調(diào)研考試)設(shè)變量滿足約束條件：，則的最小值（ ）A B C D解析：畫出可行域與目標(biāo)函數(shù)線如下圖可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)（2，2）取最小值8選D5. 已知滿足約束條件,則的最小

40、值是（ ）A B C D解析:表示的可行域上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離的平方值減1.選D6. 定義符合條件的有序數(shù)對為“和諧格點(diǎn)”，則當(dāng)時(shí)，和諧格點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 【解析】作出可行域，數(shù)出和諧格點(diǎn)個(gè)數(shù)為7考點(diǎn)3 線性規(guī)劃在實(shí)際問題中的應(yīng)用題型:在線性規(guī)劃模型下的最優(yōu)化問題.例1.(2008·揭陽一模) 為迎接2008年奧運(yùn)會召開，某工藝品加工廠準(zhǔn)備生產(chǎn)具有收藏價(jià)值的奧運(yùn)會標(biāo)志“中國印·舞動的北京”和奧運(yùn)會吉祥物“福娃”.該廠所用的主要原料為A、B兩種貴重金屬，已知生產(chǎn)一套奧運(yùn)會標(biāo)志需用原料A和原料B的量分別為4盒和3盒，生產(chǎn)一套奧運(yùn)會吉祥物需用原料A和原料B的量分別為5盒和10盒.若奧運(yùn)會標(biāo)

41、志每套可獲利700元，奧運(yùn)會吉祥物每套可獲利1200元，該廠月初一次性購進(jìn)原料A、B的量分別為200盒和300盒.問該廠生產(chǎn)奧運(yùn)會標(biāo)志和奧運(yùn)會吉祥物各多少套才能使該廠月利潤最大，最大利潤為多少？【解題思路】將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)式子建立線性規(guī)劃模型.解析:設(shè)該廠每月生產(chǎn)奧運(yùn)會標(biāo)志和奧運(yùn)會吉祥物分別為套，月利潤為元，由題意得 （）目標(biāo)函數(shù)為作出可行域如圖所示目標(biāo)函數(shù)可變形為，當(dāng)通過圖中的點(diǎn)A時(shí)，最大，這時(shí)Z最大。解得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（20,24），10分將點(diǎn)代入得元答:該廠生產(chǎn)奧運(yùn)會標(biāo)志和奧運(yùn)會吉祥物分別為20，24套時(shí)月利潤最大，最大利潤為42800元.【名師指引】要注意到生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量是整數(shù)這一隱

42、含條件. 搶 分 頻 道 基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1.已知點(diǎn)的坐標(biāo)滿足條件 則的最大值為.A. B. 8 C. 16 D. 10解析:畫出不等式組對應(yīng)的可行域如圖所示：易得A（1，1），OA, B（2，2），OB,C（1，3），OC,故|OP|的最大值為，即的最大值等于10.故選D.2.已知：點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y）滿足：及A（2，0），則|·cosAOP（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的最大值是 5 .【解析】|·cos AOP即為在上的投影長由|·cos AOP的最大值為5.3.(廣東省梅州、揭陽兩市四校2008屆高三第三次聯(lián)考)已知點(diǎn)的坐標(biāo)滿足條件，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么的最大值等于_,最小值

43、等于_. ABCO解析: 從圖中看出 ,，4(惠州市2008屆高三第三次調(diào)研考試)已知點(diǎn)P(x,y)滿足條件y的最大值為8，則 .解析：畫圖，聯(lián)立方程得，代入5.不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)（橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)）共有_個(gè).解析:（1，1），（1，2），（2，1），共3個(gè).6(汕頭市金山中學(xué)2009屆高三上學(xué)期11月月考)某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲、乙兩種產(chǎn)品所需煤、電力、勞動力、獲得利潤及每天資源限額（最大供應(yīng)量）如下表所示： 產(chǎn)品 消耗量資源甲產(chǎn)品（每噸）乙產(chǎn)品（每噸）資源限額（每天）煤（t）94360電力（kw·h）45200勞力（個(gè)）310300利潤（萬

44、元）612 問：每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少噸，獲得利潤總額最大？解：設(shè)此工廠應(yīng)分別生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品x噸y噸，獲得利潤z萬元1分依題意可得約束條件：5分 （圖2分） 利潤目標(biāo)函數(shù)8分如圖，作出可行域，作直線向右上方平移至l1位置，直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M，且與原點(diǎn)距離最大，此時(shí)取最大值。10分解方程組12分所以生產(chǎn)甲種產(chǎn)品20t，乙種產(chǎn)品24t，才能使此工廠獲得最大利潤。14分綜合拔高訓(xùn)練7. 由圍成的幾何圖形的面積是多少?解析：如下圖由圍成的幾何圖形就是其陰影部分，且. （2，2）（2，2）y=xy=x+1（1,2）（1，2）y=xy=x+18. 已知1xy2,且2x+y4,求4x2y的范圍

45、.錯(cuò)解：由于1xy2,2x+y4,+ 得32x6 ×(1)+ 得：02y3 .×2+×(1)得. 34x2y12錯(cuò)因：可行域范圍擴(kuò)大了. 正解：線性約束條件是：令z4x2y，畫出可行域如右圖所示，由得A點(diǎn)坐標(biāo)（1.5，0.5）此時(shí)z4×1.52×0.55.由得B點(diǎn)坐標(biāo)（3，1）此時(shí)z4×32×110.54x2y10 9.某鋼材廠要將兩種大小不同的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格，每張鋼板可同時(shí)截得三種規(guī)格小鋼板的塊數(shù)如下表：A規(guī)格B規(guī)格C規(guī)格第一種鋼板121第二種鋼板113需求121527每張鋼板的面積，第一種為1m2，第二種為2

46、 m2，今需要A、B、C三種規(guī)格的成品各12、15、27塊，請你們?yōu)樵搹S計(jì)劃一下，應(yīng)該分別截這兩種鋼板多少張，可以得到所需的三種規(guī)格成品，而且使所用鋼板的面積最??？只用第一種鋼板行嗎？ 解：設(shè)需要截第一種鋼板x張，第二種鋼板y張，所用鋼板面積為z m2，則 目標(biāo)函數(shù)z=x+2y作出可行域如圖作一組平行直線x+2y=t， 2x+y=15x+y=12 x+3y=27 x+2y=0由可得交點(diǎn)，但點(diǎn)不是可行域內(nèi)的整點(diǎn)，其附近的整點(diǎn)（4，8）或（6，7）可都使z有最小值，且zmin=4+2×8=20 或zmin=6+2×7=20若只截第一種鋼板，由上可知x27，所用鋼板面積最少為z=

47、27(m2);若只截第二種鋼板，則y15，最少需要鋼板面積z=2×15=30(m2).它們都比zmin大，因此都不行.第4講 基本不等式 知 識 梳理 1.基本形式:,則;,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.2求最值:當(dāng)為定值時(shí),有最小值;當(dāng)或?yàn)槎ㄖ禃r(shí),有最大值().3.拓展：若時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立. 重 難 點(diǎn) 突 破 1.重點(diǎn)：理解基本不等式等號成立條件，掌握用基本不等式證明不等式會用基本不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}.2.難點(diǎn)：利用基本不等式求最大值、最小值3.重難點(diǎn)：正確運(yùn)用基本不等式證明不等式，會用基本不等式求某些函數(shù)的最值(1) 靈活運(yùn)用基本不等式處理不等關(guān)系問題1. 已知正數(shù)

48、x、y滿足x+2y=1，求+的最小值.點(diǎn)撥：x、y為正數(shù)，且x+2y=1，+=（x+2y）（+）=3+3+2，當(dāng)且僅當(dāng)=，即當(dāng)x=1，y=1時(shí)等號成立.+的最小值為3+2.（2）注意取等號的條件問題2. 已知兩正數(shù)x,y 滿足x+y=1,則z=的最小值為 。點(diǎn)撥：錯(cuò)解1、因?yàn)閷>0,恒有,從而z=4,所以z的最小值是4。錯(cuò)解2、，所以z的最小值是。錯(cuò)因分析：解一等號成立的條件是相矛盾。解二等號成立的條件是，與相矛盾。解析：z=，令t=xy, 則，由在上單調(diào)遞減,故當(dāng)t=時(shí) 有最小值,所以當(dāng)時(shí)z有最小值。 熱 點(diǎn) 考 點(diǎn) 題 型 探 析考點(diǎn)1 利用基本不等式求最值(或取值范圍)題型1.

49、當(dāng)積為定值時(shí),求和最小值例1 . 已知且滿足,求的最小值.【解題思路】利用，構(gòu)造均值不等式解析：, ,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立,即,又, 當(dāng)時(shí),有最小值18.【名師指引】利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”即（1)要求各數(shù)均為正數(shù)；(2)要求“和”或“積”為定值；(3)要注意是否具備等號成立的條件題型2. 當(dāng)和為定值時(shí), 求積最大值例2. 已知x>0，y>0，且3x+4y=12，求lgx+lgy的最大值及此時(shí)x、y的值 【解題思路】這是條件最值問題，但目標(biāo)式與已知條件的聯(lián)系較隱蔽，不易發(fā)現(xiàn). 應(yīng)將lgx+lgy轉(zhuǎn)化成lgxy考慮解析x>0，y>0，3x+4y=12， ，lgx+lgy=lgxylg3 由 解得 當(dāng)x=2，y=時(shí)，lgx+lgy取得最大值lg3 【名師指引】利用基本不等式求最