幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型

1、函數(shù)模型及其應(yīng)用函數(shù)模型及其應(yīng)用3.2.1幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型在教科書第三章的章頭圖中，有一大群喝水、嬉戲的在教科書第三章的章頭圖中，有一大群喝水、嬉戲的兔子，但是這群兔子曾使澳大利亞傷透了腦筋兔子，但是這群兔子曾使澳大利亞傷透了腦筋18591859年，有人從歐洲帶進(jìn)澳洲幾只兔子，由于澳洲有茂盛年，有人從歐洲帶進(jìn)澳洲幾只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且沒(méi)有兔子的天敵，兔子數(shù)量不斷增加，的牧草，而且沒(méi)有兔子的天敵，兔子數(shù)量不斷增加，不到不到100100年，兔子們占領(lǐng)了整個(gè)澳大利亞，數(shù)量達(dá)到年，兔子們占領(lǐng)了整個(gè)澳大利亞，數(shù)量達(dá)到7575億只可愛(ài)的兔子變得可惡起來(lái)，億只可愛(ài)的

2、兔子變得可惡起來(lái)，7575億只兔子吃掉億只兔子吃掉了相當(dāng)于了相當(dāng)于7575億只羊所吃的牧草，草原的載畜率大大降億只羊所吃的牧草，草原的載畜率大大降低，而牛羊是澳大利亞的主要牲口這使澳大利亞頭低，而牛羊是澳大利亞的主要牲口這使澳大利亞頭痛不已，他們采用各種方法消滅這些兔子，直至二十痛不已，他們采用各種方法消滅這些兔子，直至二十世紀(jì)五十年代，科學(xué)家采用載液瘤病毒殺死了百分之世紀(jì)五十年代，科學(xué)家采用載液瘤病毒殺死了百分之九十的野兔，澳大利亞人才算松了一口氣九十的野兔，澳大利亞人才算松了一口氣 材料：澳大利亞兔子數(shù)材料：澳大利亞兔子數(shù)“爆炸爆炸”例例1 、 假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)在有假設(shè)你有一筆

3、資金用于投資，現(xiàn)在有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：如下：方案一、每天回報(bào)方案一、每天回報(bào)40元；元；方案二、第一天回報(bào)方案二、第一天回報(bào)10元，以后每天比前一元，以后每天比前一天多回報(bào)天多回報(bào)10元；元；方案三、第一天回報(bào)方案三、第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番。比前一天翻一番。請(qǐng)問(wèn)，你會(huì)選擇哪種投資方案？請(qǐng)問(wèn)，你會(huì)選擇哪種投資方案？下面我們先來(lái)看兩個(gè)具體問(wèn)題。下面我們先來(lái)看兩個(gè)具體問(wèn)題。分析：分析：2、如何建立日回報(bào)效益與天數(shù)的函數(shù)模型？、如何建立日回報(bào)效益與天數(shù)的函數(shù)模型？1、依據(jù)什么標(biāo)準(zhǔn)來(lái)選取投資方案？

4、日回報(bào)效益，、依據(jù)什么標(biāo)準(zhǔn)來(lái)選取投資方案？日回報(bào)效益，還是累計(jì)回報(bào)效益？還是累計(jì)回報(bào)效益？解：設(shè)第解：設(shè)第x天所得回報(bào)是天所得回報(bào)是y元元方案一可以用函數(shù)方案一可以用函數(shù) 進(jìn)行描述；進(jìn)行描述；方案二可以用函數(shù)方案二可以用函數(shù) 進(jìn)行描述；進(jìn)行描述；方案三可以用函數(shù)方案三可以用函數(shù) 進(jìn)行描述進(jìn)行描述.40()yxN1*0.4 2()xyxN3、三個(gè)函數(shù)模型的增減性如何？、三個(gè)函數(shù)模型的增減性如何？4、要對(duì)三個(gè)方案作出選擇，就要對(duì)它們的增長(zhǎng)情、要對(duì)三個(gè)方案作出選擇，就要對(duì)它們的增長(zhǎng)情況進(jìn)行分析，如何分析？況進(jìn)行分析，如何分析？)(10*Nxxy表表1y(元)y(元) 增加量增加量(元元)y(元)y(

5、元) 增加量增加量(元元) y(元)y(元) 增加量增加量(元元)140100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.21040010010204.8102.4x(天)x(天)方案一方案一方案二方案二方案三方案三 30 40 0 300 10 214748364.8 107374182.4圖-1我們看到，底為我們看到，底為2的指數(shù)函數(shù)模的指數(shù)函數(shù)模型比線性函數(shù)模型比線性函數(shù)模型增長(zhǎng)速度要快型增長(zhǎng)

6、速度要快得多。從中你對(duì)得多。從中你對(duì)“指數(shù)爆炸指數(shù)爆炸”的的含義有什么新的含義有什么新的理解？理解？函數(shù)圖象是分析問(wèn)題函數(shù)圖象是分析問(wèn)題的好幫手。為了便于的好幫手。為了便于觀察，我們用虛線連觀察，我們用虛線連接離散的點(diǎn)。接離散的點(diǎn)。由表由表-1和圖和圖-1可知，方案一的函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，可知，方案一的函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，方案二、方案三的函數(shù)都是增函數(shù)，但是方案方案二、方案三的函數(shù)都是增函數(shù)，但是方案三的函數(shù)與方案二的函數(shù)的增長(zhǎng)情況很不同。三的函數(shù)與方案二的函數(shù)的增長(zhǎng)情況很不同?？梢钥吹剑M管方案一、方案二在第可以看到，盡管方案一、方案二在第1 1天所得回天所得回報(bào)分別是方案三的報(bào)分別是方案三的100

7、100倍和倍和2525倍，但它們的增長(zhǎng)倍，但它們的增長(zhǎng)量是成倍增加的，從第量是成倍增加的，從第7 7天開始，方案三比其他天開始，方案三比其他兩個(gè)方案增長(zhǎng)得快得多，這種增長(zhǎng)速度是方案一兩個(gè)方案增長(zhǎng)得快得多，這種增長(zhǎng)速度是方案一方案二所方案二所 無(wú)法企及的，從每天所得回報(bào)看，在無(wú)法企及的，從每天所得回報(bào)看，在第第1414天，方案一最多，在天，方案一最多，在5858天，方案二最多；天，方案二最多；第第9 9天開始天開始 ，方案三比其他兩個(gè)方案所得回報(bào)多，方案三比其他兩個(gè)方案所得回報(bào)多得多，到第得多，到第3030天，所得回報(bào)已超過(guò)天，所得回報(bào)已超過(guò)2 2億元。億元。根據(jù)以上的分析，你應(yīng)當(dāng)作出根據(jù)以上的

8、分析，你應(yīng)當(dāng)作出什么樣的選擇？什么樣的選擇？投資投資5天以下先方案一天以下先方案一投資投資58天先方案二天先方案二投資投資8天以上先方案三天以上先方案三0100200300400500600051015方案一 回報(bào)(元)方案二 回報(bào)(元)方案三 回報(bào)(元)線性 (方案一回報(bào)(元)多項(xiàng)式 (方案二 回報(bào)(元)指數(shù) (方案三回報(bào)(元) 因此，投資因此，投資8天以下天以下(不含不含8天天)，應(yīng)選擇第一種投資方，應(yīng)選擇第一種投資方案；投資案；投資810天，應(yīng)選擇第天，應(yīng)選擇第二種投資方案；投資二種投資方案；投資11天天(含含11 天天)以上，剛應(yīng)選擇第三以上，剛應(yīng)選擇第三種投資方案。種投資方案。表-2

9、表-2 累計(jì)回報(bào)效益累計(jì)回報(bào)效益回報(bào)(元)回報(bào)(元) 回報(bào)(元)回報(bào)(元) 回報(bào)(元)回報(bào)(元)1 1404010100.40.42 2808030301.21.23 312012060602.82.84 41601601001006 65 520020015015012.412.46 624024021021025.225.27 728028028028050.850.88 83203203603601021029 9360360450450204.4204.41010400400550550409.2409.21111440440660660818.8818.8x（天）x（天）方案二方案二

10、方案三方案三方案一方案一例例 2、某公司為了實(shí)現(xiàn)、某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬(wàn)元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一萬(wàn)元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售部門的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤(rùn)達(dá)到個(gè)激勵(lì)銷售部門的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤(rùn)達(dá)到10萬(wàn)元時(shí)，萬(wàn)元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y(單位：萬(wàn)元單位：萬(wàn)元)隨銷售利潤(rùn)隨銷售利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，但資金總數(shù)不超過(guò)（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，但資金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元，萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)利潤(rùn)的同時(shí)獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)利潤(rùn)的25%,現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？,002. 1 1log

11、 25. 07xyxyxy，分析：某個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型符合公司要求，就是依據(jù)這個(gè)模型進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，分析：某個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型符合公司要求，就是依據(jù)這個(gè)模型進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，x獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元，萬(wàn)元， 由于公司總由于公司總的利潤(rùn)目標(biāo)為的利潤(rùn)目標(biāo)為1000萬(wàn)元，所以部門銷售利潤(rùn)一般不會(huì)超過(guò)公司總的萬(wàn)元，所以部門銷售利潤(rùn)一般不會(huì)超過(guò)公司總的利潤(rùn)。利潤(rùn)。同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)利潤(rùn)的同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)利潤(rùn)的25%， 于是，只需在區(qū)間于是，只需在區(qū)間10,1000上，檢驗(yàn)三個(gè)模型是否符合公上，檢驗(yàn)三個(gè)模型是否符合公司要求即可。司要求即可。 注意：注意：X的取值范圍，即函數(shù)的定義域的取值范圍，即函數(shù)的定義域要滿足哪些條件？要

12、滿足哪些條件？通過(guò)圖象說(shuō)明選用哪個(gè)函數(shù)模型？通過(guò)圖象說(shuō)明選用哪個(gè)函數(shù)模型？為什么？為什么？不妨先作出函數(shù)圖象，通過(guò)觀察函不妨先作出函數(shù)圖象，通過(guò)觀察函數(shù)的圖象，得到初步的結(jié)論再通過(guò)數(shù)的圖象，得到初步的結(jié)論再通過(guò)具體計(jì)算，確認(rèn)結(jié)果。具體計(jì)算，確認(rèn)結(jié)果。解：解： 借助計(jì)算機(jī)作出函數(shù)借助計(jì)算機(jī)作出函數(shù)的圖象的圖象,25. 0, 5xyy xyxy002. 1, 1log7解：解： 借助計(jì)算機(jī)作出函數(shù)借助計(jì)算機(jī)作出函數(shù) 的圖象的圖象(圖圖3.2-2)。5, 0.25 , yyx1.002xy 7log1, yx 觀察圖象發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間觀察圖象發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間10 ,1000上，模型上，模型 的圖象都有一部分

13、在直線的圖象都有一部分在直線 的上方，只有的上方，只有模型模型 的圖象始終在的圖象始終在 的下方，這說(shuō)明只的下方，這說(shuō)明只有按模型有按模型 進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)才符合公司的要求，下進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)才符合公司的要求，下面通過(guò)計(jì)算確認(rèn)上述判斷。面通過(guò)計(jì)算確認(rèn)上述判斷。 ,25. 0 xy 5y1log7xy5y1log7xyxy002. 1 它在區(qū)間它在區(qū)間 10 ,1000 上上遞增，而且當(dāng)遞增，而且當(dāng) 時(shí)時(shí) ， ，所以它符合獎(jiǎng)金總數(shù)，所以它符合獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)不超過(guò)5萬(wàn)元的要求。萬(wàn)元的要求。 ，由函數(shù)圖象，并利用計(jì)算，由函數(shù)圖象，并利用計(jì)算器，可知在區(qū)間器，可知在區(qū)間 內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)內(nèi)有一個(gè)點(diǎn) 滿足滿足，由于它在區(qū)

14、間，由于它在區(qū)間 10 ,1000上遞增，因此當(dāng)上遞增，因此當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 因此該模型也不符合要求；因此該模型也不符合要求；對(duì)于模型對(duì)于模型 ， 它在區(qū)間它在區(qū)間10 ,1000上遞增，上遞增，當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 因此該模型不符合要求；因此該模型不符合要求；首先計(jì)算哪個(gè)模型的獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)首先計(jì)算哪個(gè)模型的獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)。萬(wàn)。對(duì)于模型對(duì)于模型 ，對(duì)于模型對(duì)于模型 ， xy25. 0 xy002.11log7xy)1000,20(x5 y)806,805(0 x5002. 10 x0 xx 5 y1000 x, 555. 41log10007xy令令 。 利用計(jì)利用計(jì)算機(jī)作出函數(shù)算機(jī)作出函數(shù) 的圖

15、象的圖象 （ 圖圖3.2.1例例2.gsp），由圖象可），由圖象可知它是遞減的，因此知它是遞減的，因此即即所以當(dāng)所以當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 。 說(shuō)說(shuō)明按模型明按模型 獎(jiǎng)金不會(huì)超過(guò)利潤(rùn)的獎(jiǎng)金不會(huì)超過(guò)利潤(rùn)的25%。再計(jì)算按模型再計(jì)算按模型 獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，獎(jiǎng)金是否獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，獎(jiǎng)金是否不超過(guò)利潤(rùn)的不超過(guò)利潤(rùn)的25%，即當(dāng)，即當(dāng) 時(shí)，是否時(shí)，是否有有 成立。成立。1log7xy1000,10 x25. 01log7xxxy1000,10,25. 01log)(7xxxf)(xf, 03167. 0)10()( fxfxx25.01log725. 01log7xx1000,10 x1log7xy綜上所述，模型 確實(shí)能很符合公

16、司要求。1log7xy小結(jié)與反思：小結(jié)與反思：通過(guò)實(shí)例和計(jì)算機(jī)作圖體會(huì)、認(rèn)識(shí)直通過(guò)實(shí)例和計(jì)算機(jī)作圖體會(huì)、認(rèn)識(shí)直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)模型的增長(zhǎng)的含義，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的函數(shù)模型的增長(zhǎng)的含義，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活、與其他價(jià)值，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活、與其他學(xué)科的密切聯(lián)系，從而體會(huì)數(shù)學(xué)的實(shí)學(xué)科的密切聯(lián)系，從而體會(huì)數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，享受數(shù)學(xué)的應(yīng)用美用價(jià)值，享受數(shù)學(xué)的應(yīng)用美 1、四個(gè)變量四個(gè)變量 隨變量隨變量 變化的數(shù)據(jù)如下表：變化的數(shù)據(jù)如下表：43,21,yyyyx1.0051.01511.04611.14071.42952.310751551301058055305337331758.294.478545053130200511305051305302520151050 x1y2y3y4y51037. 67102 . 181028. 2關(guān)于關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是 。2y 2、某種計(jì)算機(jī)病毒是通過(guò)電子郵件進(jìn)行傳播的，如、某種計(jì)算機(jī)病毒是通過(guò)電子郵件進(jìn)行傳播的，如果某臺(tái)計(jì)算機(jī)感染上這種病毒，那么每輪病毒發(fā)作時(shí)，這果某臺(tái)計(jì)算機(jī)感染上這種病毒，那么每輪病毒發(fā)作時(shí)，這臺(tái)計(jì)算機(jī)都可能感染沒(méi)被感染的臺(tái)