線性代數(shù)總復(fù)習(xí)有有講解資料學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1線性代數(shù)線性代數(shù)(xin xn di sh)總復(fù)習(xí)有有講總復(fù)習(xí)有有講解資料解資料第一頁(yè)，共62頁(yè)。上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)一、內(nèi)一、內(nèi) 容容 提提 要要 vLaplace 按行列展開(kāi)按行列展開(kāi)(zhn ki)定理定理 行列式等于某一行行列式等于某一行(yxng)(列列)的元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余的元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和子式乘積之和. 即即 1122|, (1,2, )iiiiininAa Aa Aa Ain1122|, (1,2, )jjjjnjnjAa AaAa Ajn 設(shè)設(shè) A = (aij)為為 n 階方陣階方陣(fn zhn), 則有則有111,11,111,1,11jjnn

2、n jn jnnnaaaaaaabba1212jjjnnAbAAbb第2頁(yè)/共62頁(yè)第二頁(yè)，共62頁(yè)。上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)一、內(nèi)一、內(nèi) 容容 提提 要要 v伴隨伴隨(bn su)陣陣 設(shè)設(shè) A 為為 n 階方陣階方陣(fn zhn), Aij 為為(i, j)元的代數(shù)余子式元的代數(shù)余子式, 記記112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA 稱稱 A 為方陣為方陣 A 的的轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置(zhun zh)伴隨陣伴隨陣.v伴隨陣的性質(zhì)伴隨陣的性質(zhì)(1)|;nAAA AA E1(2)|.nAA 設(shè)設(shè) A 為為 n 階方陣階方陣 A 的伴隨陣的伴隨陣, 則有則有第3頁(yè)/共62頁(yè)第三頁(yè)，共62頁(yè)。

3、上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè) 如果如果 | A | 0, 那么那么, 稱方陣稱方陣 A 為非奇異為非奇異(qy)矩陣矩陣.v逆陣計(jì)算公式逆陣計(jì)算公式 非奇異非奇異(qy)矩陣矩陣 A 的逆陣為的逆陣為11|AAA v逆矩陣逆矩陣(j zhn) 如果存在矩陣如果存在矩陣 B, 使使 AB BA E那么那么, 稱方陣稱方陣 A 為為可逆的可逆的, 并稱并稱 B 為為 A 的逆矩陣的逆矩陣.v定理定理 設(shè)設(shè) A, B 為為 n 階方陣階方陣, 若若 AB E, 則則 A, B 可逆可逆, 且有且有11,.ABBA一、內(nèi)一、內(nèi) 容容 提提 要要 第4頁(yè)/共62頁(yè)第四頁(yè)，共62頁(yè)。上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)v逆矩陣逆

4、矩陣(j zhn)的性質(zhì)的性質(zhì) 設(shè) A, B 為 n 階可逆矩陣(j zhn), 則有11(1)|;|AA 11(2)();AA 111(3)()(0);kAkAk111(4)();ABBA T11 T(5)()() ;AA 111(6)()().|AAAA 一、內(nèi)一、內(nèi) 容容 提提 要要 第5頁(yè)/共62頁(yè)第五頁(yè)，共62頁(yè)。上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)v分塊對(duì)角分塊對(duì)角(du jio)陣的性質(zhì)陣的性質(zhì)1diag(,).sAAA 1(1)|;sAAA (3) A 可逆的充分可逆的充分(chngfn)必要條件是必要條件是 Ai(i=1,s)都可逆都可逆, 且有且有1111diag(,)sAAA 一、內(nèi)一、

5、內(nèi) 容容 提提 要要 1(2)diag(,);nsAAA 設(shè)設(shè) Ai(i=1,s)都是方陣都是方陣(fn zhn), 設(shè)設(shè) A, B 都是方陣都是方陣, 則有則有| |AAOABOBB 第6頁(yè)/共62頁(yè)第六頁(yè)，共62頁(yè)。上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè) 矩陣矩陣(j zhn) A 與與 B 行等價(jià)的充要條件是行等價(jià)的充要條件是: 存在可逆矩陣存在可逆矩陣(j zhn) P, 使使 B = PA. 矩陣矩陣 A 與與 B 列等價(jià)列等價(jià)(dngji)的充要條件是的充要條件是: 存在可逆矩陣存在可逆矩陣 Q, 使使 B = AQ. 具體具體(jt)地有地有( ,)(,),rPEPAAcQQAAE一、內(nèi)一、內(nèi) 容

6、容 提提 要要 v等價(jià)矩陣等價(jià)矩陣 如果矩陣如果矩陣 A 經(jīng)過(guò)有限次初等經(jīng)過(guò)有限次初等(行行, 列列)變換變換, 化為矩陣化為矩陣 B, 就稱矩陣就稱矩陣 A 與與 B (行行, 列列)等價(jià)等價(jià), 記為記為 AB.第7頁(yè)/共62頁(yè)第七頁(yè)，共62頁(yè)。上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)v行最簡(jiǎn)形矩陣行最簡(jiǎn)形矩陣(j zhn) 1 2(0)ra aa v行階梯形矩陣行階梯形矩陣(j zhn) 一、內(nèi)一、內(nèi) 容容 提提 要要 12000000000000raaa000000000000012000000000000raaa00000000000001110000第8頁(yè)/共62頁(yè)第八頁(yè)，共62頁(yè)。上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)

7、v矩陣矩陣(j zhn)的秩的秩 一、內(nèi)一、內(nèi) 容容 提提 要要 如果矩陣如果矩陣(j zhn) A 的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形為的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形為 rEOFOO 那么稱那么稱 F 中單位中單位(dnwi)陣的階數(shù)陣的階數(shù) r 為矩陣為矩陣 A 的秩的秩, 記為記為 R(A). 性質(zhì)性質(zhì)1 等價(jià)矩陣有相等的秩等價(jià)矩陣有相等的秩.性質(zhì)性質(zhì)2 性質(zhì)性質(zhì)4 ()min, .m nR Am n 性質(zhì)性質(zhì)3 n 階方陣階方陣 A 可逆的充分必要條件是可逆的充分必要條件是 R(A) n. 行階梯形矩陣的秩為非零行的行數(shù)行階梯形矩陣的秩為非零行的行數(shù).性質(zhì)性質(zhì)5 T()( ).R AR A 第9頁(yè)/共62頁(yè)第九頁(yè)，共62頁(yè)。

8、上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)v矩陣矩陣(j zhn)的秩的秩 一、內(nèi)一、內(nèi) 容容 提提 要要 如果如果(rgu)矩陣矩陣 A 的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形為的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形為 rEOFOO 那么那么(n me)稱稱 F 中單位陣的階數(shù)中單位陣的階數(shù) r 為矩陣為矩陣 A 的秩的秩, 記為記為 R(A). 性質(zhì)性質(zhì)7 性質(zhì)性質(zhì)8 性質(zhì)性質(zhì)9 ()( )( ).R ABR AR B()min ( ),( ).R ABR A R B 若若 ,nnmlABO 則則 ( )( ).R AR Bn性質(zhì)性質(zhì)6 1234().iAAR ARAA 第10頁(yè)/共62頁(yè)第十頁(yè)，共62頁(yè)。上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè) 逆矩陣逆矩陣(j zhn)的初等變

9、換求法的初等變換求法1()()rA EE A v矩陣矩陣(j zhn)初等變換的應(yīng)用初等變換的應(yīng)用 線性方程組的最簡(jiǎn)形解法線性方程組的最簡(jiǎn)形解法(ji f) 將線性方程組的增廣矩陣化為行最簡(jiǎn)形將線性方程組的增廣矩陣化為行最簡(jiǎn)形, 寫(xiě)出同解寫(xiě)出同解方程組方程組, 解便一目了然解便一目了然. 矩陣方程矩陣方程 AX B, XA B 的初等變換解法的初等變換解法1()()rA BA BE 1cEABBA 一、內(nèi)一、內(nèi) 容容 提提 要要 第11頁(yè)/共62頁(yè)第十一頁(yè)，共62頁(yè)。上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)(1) 當(dāng)當(dāng) R(A, b) R(A) 時(shí)時(shí), 方程組無(wú)解方程組無(wú)解;(2) 當(dāng)當(dāng) R(A, b) R(A)

10、 n 時(shí)時(shí), 方程組有唯一方程組有唯一(wi y)解解; (3) 當(dāng)當(dāng) R(A, b) R(A) n 時(shí)時(shí), 方程組有無(wú)窮方程組有無(wú)窮(wqing)多解多解. 設(shè)設(shè) n 元線性方程組元線性方程組 Ax b. n 元方程組元方程組 Ax 0 有非零解的充要條件是有非零解的充要條件是 R(A) r, 則向量組則向量組 b1, bs 線性相關(guān)線性相關(guān). 設(shè)向量設(shè)向量 b1, , bs 可由向量組可由向量組 a1, ar 線性表示線性表示, 定理定理 設(shè)向量組設(shè)向量組 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān), 1,raa若若 線性相關(guān)線性相關(guān),1,raa b則向量則向量 b 可由可由 線性表示線性表示.1,raa而而 1,

11、 1, , nr , nr 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)(wgu(wgun),n),所以所以(su(suy y) h, h1, ) h, h1, , hnr , hnr 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān). . 因因 1 1, , , , n r 的線性組合也是的線性組合也是 Ax 0 的解的解, h h 不可不可(bk(bk) )由由 1, 1, , nr , nr 線性表示線性表示, , 證證2 由定理知由定理知h h, 1, n r 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān),從而從而1( ,)1n rRnrh h 易知易知 h h, h h 1, , h h n r 與與 h h, 1, n r 等價(jià)等價(jià), 因此因此1( ,)1n rRnr

12、h h 1( ,)n rRh hhh hh 所以所以例例11 設(shè)設(shè) 1, , n r 是是 Ax 0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系的一個(gè)基礎(chǔ)解系, 而而h h不不是是 Ax 0 的解的解, 證明證明 h h, h h 1, , h h n r 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān). 知識(shí)點(diǎn)第44頁(yè)/共62頁(yè)第四十四頁(yè)，共62頁(yè)。上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)()( )R ABR B 證證1 例例12 設(shè)設(shè) mn 矩陣矩陣(j zhn) A 的秩的秩 R(A) = n, 證明證明 于是于是(ysh)存在存在 m 階可逆矩陣階可逆矩陣 P, 使使 A = PF.因此因此(ync)()()R ABR PFB 因因 R(A) n,可知可知 A

13、的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形為的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形為BRO ( )R B nEFO ()R FB (也是行最簡(jiǎn)形也是行最簡(jiǎn)形)知識(shí)點(diǎn)第45頁(yè)/共62頁(yè)第四十五頁(yè)，共62頁(yè)。上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)()( )R ABR B 證證2 若若 x 滿足滿足(mnz) Bx = 0,則有則有 A(Bx) 0,即即 (AB)x 0;若若 x 滿足滿足(mnz) (AB)x = 0,則有則有 A(Bx) 0,因?yàn)橐驗(yàn)?yn wi) R(A) = n, 綜上可知綜上可知 (AB)x 0 與與 Bx 0 同解同解, 所以所以 Bx 0.()( )dim( )R ABR BnS設(shè)解空間為設(shè)解空間為 S, 則有則有 n 元方程組元方程組 Ax

14、 0 有非零解的充要條件是有非零解的充要條件是 R(A) n. n 元齊次線性方程組元齊次線性方程組 Ax 0 的基礎(chǔ)解系為解空間的基礎(chǔ)解系為解空間S 的一個(gè)基的一個(gè)基, dim S n R(A).例例12 設(shè)設(shè) m n 矩陣矩陣 A 的秩的秩 R(A) n, 證明證明 第46頁(yè)/共62頁(yè)第四十六頁(yè)，共62頁(yè)。上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)解解 1234(,)a a a a1013 01220000 例例13 設(shè)設(shè)12341237(,)12372108a aaa (1) 求求(2) 說(shuō)明說(shuō)明 a1, a2 和和 a3, a4 為為V 的兩個(gè)基的兩個(gè)基, 并求從基并求從基 a1, a2 到基到基 a3,

15、a4 的過(guò)渡的過(guò)渡(gud)矩陣矩陣.1234dim,:(,);V VL a aaa dim(,)VR12342a a a a(,)(,),RR12342a aa a易知易知故故a1,a2 和和a3,a4都是都是V 的基的基.從基從基 a1, a2 到基到基 a3, a4 的過(guò)渡的過(guò)渡(gud)矩陣為矩陣為13.22 P1237 00000366 知識(shí)點(diǎn)第47頁(yè)/共62頁(yè)第四十七頁(yè)，共62頁(yè)。上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)2222|2(| )ababab證明證明(zhngmng) 例例14 設(shè)設(shè) a, b 為為 n 維維(列列)向量向量(xingling), 證明證明 并說(shuō)明并說(shuō)明(shumng)其幾何

16、意義其幾何意義. 2T|() ()abababTT()()ababTTTTa aa bb ab b22|2 , |aa bb以以 b 代換代換 b, 得得 2|ab22|2 , |aa bb因此因此 2222|2(| )ababab其幾何意義是其幾何意義是: 平行四邊形兩對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和平行四邊形兩對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和.baBACOOCab BAab第48頁(yè)/共62頁(yè)第四十八頁(yè)，共62頁(yè)。上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)0111101111011110A 解解方陣方陣(fn zhn) A 的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為111111|111111EAl ll ll ll ll l例例1

17、5 求方陣求方陣(fn zhn)的特征值和特征向量的特征值和特征向量.2011101010011111 lllllllllllllll l3111(1) 101011 l ll l3111(1) 012003 l llllll l3(1) (3)llll方陣方陣(fn zhn) A 的特征值為的特征值為12343,1. llllllll第49頁(yè)/共62頁(yè)第四十九頁(yè)，共62頁(yè)。上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)解解0111101111011110A 例例15 求方陣求方陣(fn zhn)的特征值和特征向量的特征值和特征向量.當(dāng)當(dāng) l l1 3 時(shí)時(shí), 解方程組解方程組 ( 3).0EA x由由 3111131

18、1311311113EA1113131111313111111304040044044810120101004400441001010100110000 得基礎(chǔ)得基礎(chǔ)(jch)解系解系T1(1, 1, 1,1) ,p 方陣方陣(fn zhn) A 對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于 l1 = -3 的全部特征向量為的全部特征向量為111(0).k pk 第50頁(yè)/共62頁(yè)第五十頁(yè)，共62頁(yè)。上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)解解0111101111011110A 例例15 求方陣求方陣(fn zhn)的特征值和特征向量的特征值和特征向量.當(dāng)當(dāng) l l2 l l3 3 l l4 4 1 時(shí)時(shí), 解方程組解方程組 ()0.EA x由

19、由 1111111111111111EA1111000000000000得基礎(chǔ)得基礎(chǔ)(jch)解系解系211,00p 310,10p 410,01p 方陣方陣 A 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)(duyng)于于 l2 = l3 = l4 = 1 的全部特征向量為的全部特征向量為223344k pk pk p( k2, k3, k4 不同時(shí)為零不同時(shí)為零)第51頁(yè)/共62頁(yè)第五十一頁(yè)，共62頁(yè)。上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)20002000Bb 111242 ,33Aa 解解例例16 設(shè)矩陣設(shè)矩陣(j zhn) A 與與 B 相似相似, 其中其中(1) 因因 A 與對(duì)角與對(duì)角(du jio)陣陣 B 相似相似,知知 A 的特

20、征值為的特征值為 2, 2, b.由特征值的性質(zhì)由特征值的性質(zhì)(xngzh)得得111|24233Aa 6(1)a4b tr( )5Aa4b求得求得5,a 6.b 知識(shí)點(diǎn)(1) 求常數(shù)求常數(shù) a, b; (2) 求可逆矩陣求可逆矩陣 P, 使使 P 1AP B. (3) 求求 An.第52頁(yè)/共62頁(yè)第五十二頁(yè)，共62頁(yè)。上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)111242 ,33Aa 20002000Bb 解解例例16 設(shè)矩陣設(shè)矩陣(j zhn) A 與與 B 相似相似, 其中其中(1) 求常數(shù)求常數(shù)(chngsh) a, b; (2) 求可逆矩陣求可逆矩陣 P, 使使 P -1AP = B. (3) 求求 A

21、n.T1( 1,1,0) ,p (2) 當(dāng)當(dāng) l = 2 時(shí)時(shí), 解方程組解方程組 (2E-A)x = 0, 得基礎(chǔ)得基礎(chǔ)(jch)解系解系當(dāng)當(dāng) l l 6 時(shí)時(shí), 解方程組解方程組 (6E A)x 0, 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系T2(1,0,1)p T3(1, 2,3)p 取可逆矩陣取可逆矩陣123111(,)102013Pppp 則有則有 P 1AP B.知識(shí)點(diǎn)第53頁(yè)/共62頁(yè)第五十三頁(yè)，共62頁(yè)。上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)111242 ,33Aa 20002000Bb 解解例例16 設(shè)矩陣設(shè)矩陣 A 與與 B 相似相似(xin s), 其中其中(1) 求常數(shù)求常數(shù)(chngsh) a, b; (

22、2) 求可逆矩陣求可逆矩陣 P, 使使 P -1AP = B. (3) 求求 An.222331111P (3) A PBP 1, An PBnP 1. |1 2( 1) ( 3)1 14P 122211331|4111PPP 第54頁(yè)/共62頁(yè)第五十四頁(yè)，共62頁(yè)。上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)111242 ,33Aa 20002000Bb 解解例例16 設(shè)矩陣設(shè)矩陣 A 與與 B 相似相似(xin s), 其中其中(1) 求常數(shù)求常數(shù)(chngsh) a, b; (2) 求可逆矩陣求可逆矩陣 P, 使使 P -1AP = B. (3) 求求 An.(3) A PBP 1, An PBnP 1. 20

23、011122211020203314013111006nnnnA 211135311322(13 )2(31)2(31)333331nnnnnnnnnn 第55頁(yè)/共62頁(yè)第五十五頁(yè)，共62頁(yè)。上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)證明證明(zhngmng)例例17 設(shè)設(shè) A, B為為n階矩陣階矩陣(j zhn), l 為為AB的非零特征值的非零特征值, 證明證明l l 也也為為 BA 的特征值的特征值.存在存在(cnzi)非零向量非零向量 p, 使使 ABp = l p. 于是于是()()()()BA BpB ABpBpBpllll由由 l l 0, , p 0,可知可知 Bp 0.(而而 Bp 為對(duì)應(yīng)的特征

24、向量為對(duì)應(yīng)的特征向量)因此因此 l l 為為 BA 的特征值的特征值.第56頁(yè)/共62頁(yè)第五十六頁(yè)，共62頁(yè)。上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)例例18 設(shè)矩陣設(shè)矩陣(j zhn)求求 a 的值的值, 并討論并討論 A 可否相似可否相似(xin s)對(duì)角化對(duì)角化.有一個(gè)二重特征值有一個(gè)二重特征值, 12314315Aa 解解方陣方陣(fn zhn) A 的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為|EAl l 22014315alllll ll l200133115al ll ll l 2(2)(8183 )allllll12314315al ll ll l第57頁(yè)/共62頁(yè)第五十七頁(yè)，共62頁(yè)。上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)12314315Aa 解解求求 a 的值的值, 并討論并討論 A 可否相似可否相似(xin s)對(duì)角化對(duì)角化.若若 l =