2022高考數(shù)學解題方法攻略特殊證法理

1、2022高考數(shù)學解題方法攻略特殊證法理數(shù)學方法之特別證法【考情分析】近幾年的高考雖然減弱了在不等式證明方面的要求，但像立體幾何中位置關係的認定，數(shù)列關係式的認可以及解析幾何性質(zhì)的證明都是頻頻出現(xiàn)的考試形式。在高考中所佔的分值大約在30分左右。這類考題的特點是：（1）立體幾何證明多以線、面間垂直或平行關係的證明為主，解決此類問題的思路是應用好在該局部學習的判定定理和性質(zhì)定理即可；（2）數(shù)列題可能是與等差等比數(shù)列定義或性質(zhì)有關的結(jié)論的證明問題（譬如證明數(shù)列是否為等差或等比數(shù)列，這類題目要應用好定義和性質(zhì)公式，技巧性很強）、也可能是複合不等式知識的或單純等式形式的與自然數(shù)有關的結(jié)論的證明問題（解題思

2、路是可能應用數(shù)學歸納法或放縮法）；（3）解析幾何中的解答題經(jīng)常與平面幾何圖形相結(jié)合，經(jīng)常判斷一些位置關係，此類題目的證明多要結(jié)合幾何特徵，應用好代數(shù)關係式說明；2022年高考的趨勢為：題型、題量以及出題點還和往年一樣，根本保持不變；【知識交匯】1 定義法所謂定義法，就是直接用數(shù)學定決問題。數(shù)學中的定理、公式、性質(zhì)和法則等，都是由定義和公理推演出來。定義是提醒概念內(nèi)涵的邏輯方法，它通過指出概念所反映的事物的本質(zhì)屬性來明確概念。定義是千百次實踐后的必定結(jié)果，它科學地反映和提醒了客觀世界的事物的本質(zhì)特點。簡單地說，定義是根本概念對數(shù)學實體的高度抽象。用定義法解題，是最直接的方法。2 反證法反證法是屬

3、于“間接證明法”一類，是從反面的角度思索問題的證明方法，即：確定題設而否認結(jié)論，從而匯出沖突推理而得。反證法的實質(zhì)：“若確定定理的假設而否認其結(jié)論，就會導致沖突”。具體地講，反證法就是從否認命題的結(jié)論入手，并把對命題結(jié)論的否認作為推理的已知條件，進行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛，沖突的緣由是假設不成立，所以確定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明。反證法的證題模式可以簡要的概括我為“否認T推理T否認”。即從否認結(jié)論開始，經(jīng)過正確無誤的推理導致邏輯沖突，達到新的否認，可以認為反證法的根本思想就是“否認之否認”。應用反證法證明的主要三步是：否

4、認結(jié)論T推匯出沖突T結(jié)論成立。實施的具體步驟是：第一步，反設：作出與求證結(jié)論相反的假設；其次步，歸謬：將反設作為條件，并由此通過一系列的正確推理匯出沖突；第三步，結(jié)論：說明反設不成立，從而確定原命題成立。在應用反證法證題時，肯定要用到“反設”進行推理，否則就不是反證法。用反證法證題時，假如欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；假如結(jié)論的方面情況有多種，那么必須將全部的反面情況一一駁倒，才能推斷原結(jié)論成立，這種證法又叫“窮舉法”。一般來講，反證法常用來證明的題型有：命題的結(jié)論以“否認形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“無限”形式出現(xiàn)的命題；

5、或者否認結(jié)論更明顯。具體、簡單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結(jié)論入手進行反面思索，問題可能解決得非常乾脆。3 數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法是用來證明某些與自然數(shù)有關的數(shù)學命題的一種推理方法，在解數(shù)學題中有著廣泛的應用。它是一個遞推的數(shù)學論證方法，論證的第一步是證明命題在n=1（或n）時成立，這是遞推的基礎；其次步是假設在n=k時命題成立，再證明n=k+1時命題也成立，這是無限遞推下去的理論依據(jù)，它判斷命題的正確效能否由特別推廣到一般，實際上它使命題的正確性突破了有限，達到無限。這兩個步驟親密相關，缺一不行，完成了這兩步，就可以斷定“對任何自然數(shù)（或門門且門門）結(jié)論都正確”。由這

6、兩步可以看出，數(shù)學歸納法是由遞推實現(xiàn)歸納的，屬于完全歸納。運用數(shù)學歸納法證明問題時，關鍵是n=k+1時命題成立的推證，此步證明要具有目標意識，留意與最終要達到的解題目標進行分析比較，以此確定和調(diào)控解題的方向，使差異逐步減小，最終實現(xiàn)目標完成解題。運用數(shù)學歸納法，可以證明以下問題：與自然數(shù)n有關的恆等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問題、幾何問題、整除性問題等等。4 不等式的證明方法（1）比較法是證明不等式最根本、最常用、最重要的方法之一。它包括“作差法”與“作商法”，比差法的理論依據(jù)是：比商法的理論依據(jù)是a,br+,那么：判斷a,b的大小，當a,br時，可以通過判斷ab與0的大小來完成。當a,

7、br+時，可以通過判斷與1的大小來完成。比較法這種方法其本質(zhì)就在于單獨討論“a,b”不等式難以證明時，就“ab,”整體討論，使問題遷移“環(huán)境”，給問題帶來新的結(jié)構(gòu)。對ab,變形后與0,1的比較供應可能，這種變形后的式子結(jié)構(gòu)“ab,”能夠和“0,1”比較大小是比較法的精華。作差法中，對差“ab”的變形方法通常有通分、配方（非負數(shù)）、因式分解、二次函式的判別式等。作商法的一般步驟是,求商變形判斷與1的大小方法的選擇：若不等式兩邊含有一樣的項，或者作差以后能進行因式分解；能用配方法，能寫成分式判斷其符號，可使用作差法。若不等式兩邊是指數(shù)形式，能使分子、分母變形得到一樣結(jié)果的不等式，用作商法比較簡單，

8、也就是說，凡適合于求“商”運算，并能比較出商與1的大小的不等式，一般都適合于用作商法證明。（2）綜合法綜合法就是由已知出發(fā)，根據(jù)不等式性質(zhì)，根本不等式等，逐步推導得到所要證明的不等式的一種方法，也就是用因果關係書寫“從已知出發(fā)”藉助不等式性質(zhì)和有關定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達到待證不等式得證的全過程，其特點可描述為“執(zhí)因索果”，即從“已知”看“可知”逐步推向“未知”，綜合法證明題邏輯性很強，它要求每步推理都要有依據(jù)。（3）分析法證明不等式，可以從待證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化成為判定這些充分條件是否具備的問題，假如能斷定這些充分條件都已具備，那么就可以斷

9、定原不等式成立，這種證明方法叫做分析法。分析法是從結(jié)論入手，逆求使它成立的充分條件，直到和已知條件溝通為止，概括地說就是“從未知，看需知，逐步靠攏已知”。分析法證明“若a則b”的根本模式是欲證b為真只需證b1為真只需證b2為真只需證a為真，今已知a為真，故b必真其邏輯關係是（4）放縮法在證明不等式a>b時，可以構(gòu)造出數(shù)學式c,使a>c,且c>b,則a>b得證。其中數(shù)學式c經(jīng)常通過將a縮小或?qū)放大而構(gòu)成，它的依據(jù)是不等式的傳遞性,這種證明方法叫做放縮法,用放縮法證明不等式,在高中數(shù)學中佔有肯定的比重?！舅枷敕椒ā款}型1：定義法例1（11天津理,20）已知數(shù)列與滿足：,且

10、（i）求的值；（ii）設，證明：是等比數(shù)列；（iii）設證明：本小題主要考察等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎知識,考察運算力量、推理論證力量、綜合分析和解決問題的力量及分類討論的思想方法.滿分14分.（i）解：由可得又（ii）證明：對任意一，得將代入，可得即又因此是等比數(shù)列.（iii）證明：由（ii）可得，于是，對任意，有將以上各式相加，得即，此式當k=1時也成立.由式得從而所以，對任意，對于n=1,不等式顯然成立.所以，對任意題型2：反證法例3（2022江西理數(shù)理，22）證明以下命題：（1）對任一正整a,都存在整數(shù)b,c（b（2）存在無窮多個互不相像的三角形，其邊長為正整數(shù)且成等差數(shù)列?！窘馕?/p>

11、】作為壓軸題，考察數(shù)學綜合分析問題的力量以及創(chuàng)新力量。（1）考慮到結(jié)構(gòu)要證，；類似勾股數(shù)進行拼湊。證明：考慮到結(jié)構(gòu)特徵，取特值滿足等差數(shù)列，只需取b=5a，c=7a，對一切正整數(shù)a均能成立。結(jié)合第一問的特徵，將等差數(shù)列分解，通過一個可做多種結(jié)構(gòu)分解的因式說明構(gòu)成三角形，再證明互不相像，且無窮。證明：當成等差數(shù)列，則，分解得：選取關于n的一個多項式，做兩種途徑的分解對比目標式，構(gòu)造，由第一問結(jié)論得，等差數(shù)列成立，考察三角形邊長關係，可構(gòu)成三角形的三邊。下證互不相像。任取正整數(shù)m口，若厶m相像：則三邊對應成比例，由比例的性質(zhì)得：，與約定不同的值沖突，故互不相像。點評：本題證明推出的結(jié)果是與題設沖突

12、。例4（11陜西理，21）設函式定義在上，導函式，（1）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；（2）討論與的大小關係；（3）是否存在，使得對任意成立？若存在，求出的取值範圍；若不存在，請說明理由【分析】（1）先求出原函式，再求得，然后利用導數(shù)判斷函式的單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間），并求出最小值；（2）作差法比較，構(gòu)造一個新的函式，利用導數(shù)判斷函式的單調(diào)性，并由單調(diào)性判斷函式的正負；（3）存在性問題通常採用假設存在，然后進行求解；留意利用前兩問的結(jié)論【解】（1）V,A（為常數(shù)），又T,所以，即，令，即，解得，當時，是減函式，故區(qū)間在是函式的減區(qū)間；當時，是增函式，故區(qū)間在是函式的增區(qū)間；所以是的唯一極值點，且為極小值點，

13、從而是最小值點，所以的最小值是（2），設，則，當時，即，當時，因此函式在內(nèi)單調(diào)遞減，當時，=0,二；當時，=0,二.（3）滿足條件的不存在證明如下：證法一假設存在，使對任意成立，即對任意有但對上述的，取時，有，這與左邊的不等式?jīng)_突，因此不存在，使對任意成立證法二假設存在，使對任意成立，由（1）知，的最小值是，又，而時，的值域為，二當時，的值域為，從而可以取一個值，使，即,二，這與假設沖突.二不存在，使對任意成立.題型3：數(shù)學歸納法例5.(11湖南理，22)已知函式()=，g()=+。(i) 求函式h()=()-g()的零點個數(shù)，并說明理由；(ii) 設數(shù)列滿足，證明：存在常數(shù)m,使得對于任意的，都有W.解析：(i)由知，而，且，則為的一個零點，且在內(nèi)有零點，因此至少有兩個零點解法1：，記，則。當時，因此在上單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個零點。又因為，則在內(nèi)有零點，所以在內(nèi)有且只有一個零點。記此零點為，則當時，；當時，；2022高考數(shù)學解題方法攻略平面對量理平面對量的解題技巧命題趨向由2007年高考題分析可知1這局部