轉(zhuǎn)化與化歸思想專題復(fù)習(xí)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載轉(zhuǎn)化與化歸思想專題復(fù)習(xí)一知識(shí)探究：等價(jià)轉(zhuǎn)化是把未知解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到在已有知識(shí)范圍內(nèi)可解的問(wèn)題的一種重要的思想方法。通過(guò)不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式法、簡(jiǎn)單的問(wèn)題。1轉(zhuǎn)化有等價(jià)轉(zhuǎn)化與非等價(jià)轉(zhuǎn)化。等價(jià)轉(zhuǎn)化要求轉(zhuǎn)化過(guò)程中前因后果是充分必要的，才保證轉(zhuǎn)化后的結(jié)果仍為原問(wèn)題的結(jié)果。非等價(jià)轉(zhuǎn)化其過(guò)程是充分或必要的，要對(duì)結(jié)論進(jìn)行必要的修正（如無(wú)理方程化有理方程要求驗(yàn)根） ，它能帶來(lái)思維的閃光點(diǎn)，找到解決問(wèn)題的突破口。2常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化方法（ 1）直接轉(zhuǎn)化法：把原問(wèn)題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問(wèn)題；（ 2）換元法：運(yùn)用“換元”把非標(biāo)準(zhǔn)形式的方程、不等式、

2、函數(shù)轉(zhuǎn)化為容易解決的基本問(wèn)題；（ 3）參數(shù)法：引進(jìn)參數(shù)，使原問(wèn)題的變換具有靈活性，易于轉(zhuǎn)化；（ 4）構(gòu)造法：“構(gòu)造”一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型，把問(wèn)題變?yōu)橐子诮鉀Q的問(wèn)題；（ 5）坐標(biāo)法：以坐標(biāo)系為工具，用代數(shù)方法解決解析幾何問(wèn)題，是轉(zhuǎn)化方法的一種重要途徑；（ 6）類比法：運(yùn)用類比推理，猜測(cè)問(wèn)題的結(jié)論，易于確定轉(zhuǎn)化的途徑；（ 7）特殊化方法：把原問(wèn)題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的結(jié)論適合原問(wèn)題；（ 8）一般化方法：若原問(wèn)題是某個(gè)一般化形式問(wèn)題的特殊形式且有較難解決，可將問(wèn)題通過(guò)一般化的途徑進(jìn)行轉(zhuǎn)化；（ 9）等價(jià)問(wèn)題法：把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)易于解決的等價(jià)命題，達(dá)到轉(zhuǎn)化目的； （ 10）補(bǔ)集法：（正

3、難則反）若過(guò)正面問(wèn)題難以解決，可將問(wèn)題的結(jié)果看作集合 A，而把包含該問(wèn)題的整體問(wèn)題的結(jié)果類比為全集 U，通過(guò)解決全集U 及補(bǔ)集 CU A 獲得原問(wèn)題的解決。3化歸與轉(zhuǎn)化應(yīng)遵循的基本原則：（ 1）熟悉化原則：將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，以利于我們運(yùn)用熟知的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和問(wèn)題來(lái)解決；（ 2）簡(jiǎn)單化原則：將復(fù)雜的問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單問(wèn)題，通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單問(wèn)題的解決，達(dá)到解決復(fù)雜問(wèn)題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù)；（ 3）和諧化原則：化歸問(wèn)題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧的形式，或者轉(zhuǎn)化命題，使其推演有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或其方法符合人們的思維規(guī)律；（ 4）直觀化原則：將比較抽象的問(wèn)題

4、轉(zhuǎn)化為比較直觀的問(wèn)題來(lái)解決；（ 5）正難則反原則：當(dāng)問(wèn)題正面討論遇到困難時(shí)，可考慮問(wèn)題的反面，設(shè)法從問(wèn)題的反面去探求，使問(wèn)題獲解。二命題趨勢(shì)數(shù)學(xué)問(wèn)題解答題離不開(kāi)轉(zhuǎn)化與化歸，它即是一種數(shù)學(xué)思想又是一種數(shù)學(xué)能力，高考對(duì)這種思想方法的考查所占比重很大，是歷年高考考查的重點(diǎn)。預(yù)測(cè) 20XX年高考對(duì)本講的考查為：（ 1）常量與變量的轉(zhuǎn)化：如分離變量，求范圍等。（ 2）數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化：若解析幾何中斜率、函數(shù)中的單調(diào)性等。（ 3）數(shù)學(xué)各分支的轉(zhuǎn)化：函數(shù)與立體幾何、向量與解析幾何等的轉(zhuǎn)化。（ 4）出現(xiàn)更多的實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化問(wèn)題。三題型解讀題型 1：集合問(wèn)題例 1設(shè)集合 M ( x, y)| x 2y

5、21， xR， yR| ， N ( x, y)| x 2y0， xR， yR| ，則集合 MN 中元素的個(gè)數(shù)為（）A 1B 2C 3D 4（ 2）設(shè) A、 B、I 均為非空集合，且滿足 ABI ，則下列各式中錯(cuò)誤的是（）學(xué)習(xí)必備歡迎下載A. (CI A)BIB.(CI A)(CI B)IC. A(CI B)D. (CI A)(CI B)CI B解析：（ 1）將集合 MN 中元素個(gè)數(shù)的符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的文字語(yǔ)言：圓x 2y 21 與拋物線 x 2y0 交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。因此在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出圓x2y 21 和拋物線 yx2 的圖象，觀察可得選B；（ 2）將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言， 即構(gòu)造圖 1，

6、由圖形逐一驗(yàn)證， 得 B 項(xiàng)不正確，故應(yīng)選 B。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于許多集合問(wèn)題，通過(guò)轉(zhuǎn)化，將不熟悉和難解的集合問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟知的易解的問(wèn)題，將抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的直觀的問(wèn)題，便于將問(wèn)題解決。題型 2：函數(shù)問(wèn)題IBA圖 2例 2關(guān)于 x 的方程 sin 2xcos xa 0 在 0， 內(nèi)有解，求 a 的取值范圍。解析：此題就直接解三角方程再確定a的范圍，簡(jiǎn)直難以下手，并且繁瑣無(wú)比，但若轉(zhuǎn)化為求a cos2 xcos x 1 (cos x1 ) 25在 x0， 的取值范圍，問(wèn)題就簡(jiǎn)單易解，通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算，524很快得到了a 的取值范圍是，。14點(diǎn)評(píng)：構(gòu)造函數(shù)解題是數(shù)學(xué)中的常用方法，通過(guò)巧妙地構(gòu)造輔助函數(shù)，

7、把原來(lái)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究輔助函數(shù)的性質(zhì)，從而達(dá)到解題目的。題型 3：不等式問(wèn)題例 3（ 1）已知 a， b， mR ，且 ab ，求證： ama ；bmb（ 2）已知 a0， b0，且 a b1，求證： (a1)(b1)25 。ab4解析：（1）分析 1： a ， am 的形式可以聯(lián)想到兩點(diǎn)連線的斜率，所以可構(gòu)造斜率來(lái)解題。bbm0。因?yàn)?0a b ，則證法1：如圖2，設(shè) A（ b， a），B（ -m， -m），其中 m直線 OA的斜率： kOAtana11b直線 AB的斜率： k ABtanam21bm圖 2因?yàn)锽 在第三象限的角平分線上，所以AB 必與 x 軸正半軸相交，且有01，所以 ta

8、n 2ama2tan 1 ，即mb4b分析 2： a ， am 的形式與相似三角形中的對(duì)應(yīng)線段成比例類似，所以可聯(lián)想到構(gòu)造相似三角形來(lái)bbm解題。證法 2：如圖3，在 Rt ABC 和 Rt ADF ，作 CE/BD 交 DF 于 E。因?yàn)?ABC ADF ，所以（斜邊大于直角邊）ABa ， ACb ， BDm ，aamamambbCFbCEbm（ 2）令 f ( x)x1， x (01,) 。因?yàn)?f '( x) 11，當(dāng) x(0,1) 時(shí)，圖 3xx2f '( x)0 ，所以 f ( x) 在（ 0， 1）上是減函數(shù)。學(xué)習(xí)必備歡迎下載又 0 ab( ab ) 211，所以

9、f ( ab)f (1) ，即 ab11417 。244ab44所以 (a1 )(b1)ab1( ba )17( ba)172b a17225ababab4ab4a b44即原不等式成立。點(diǎn)評(píng)：聯(lián)想是由一事物聯(lián)想到另一事物的思維方式和過(guò)程， 這種聯(lián)想通常是事物的形式、 結(jié)構(gòu)、范圍、關(guān)系等因素作用的結(jié)果。由聯(lián)想而引發(fā)的構(gòu)造稱之為聯(lián)想構(gòu)造。題型 4：三角問(wèn)題例4若0， sincosa， sincosb ，則（）4A a bB a bC ab 1 D ab 2解析：若直接比較a 與 b 的大小比較困難，若將a 與 b 大小比較轉(zhuǎn)化為a 2 與 b2 的大小比較就容易多了。因?yàn)?a 21sin 2 ，

10、 b21sin 2，又因?yàn)?0 222所以 sin 2sin 2，所以 a 2b 2又因?yàn)?a， b0，所以 ab ，故選（ A）。點(diǎn)評(píng)：體現(xiàn)在三角函數(shù)中是切化弦、統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)名稱、換元等手段處理求值（域）、最值、比較大小等問(wèn)題。題型 5：數(shù)列問(wèn)題例 5等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)的和為 Sn ，且 S10100 ， S10010，求 S110 。解析：顯然公差d0 ，所以 Sn 是 n 的二次函數(shù)且無(wú)常數(shù)項(xiàng)。于是設(shè)Snan 2bn ， (a0) ，a102b10100a11則，解得100 。a1002b 10010b11110所以 Sn11 n2111n ，從而 S11011110211

11、1110110 。1001010010點(diǎn)評(píng)：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，動(dòng)態(tài)的函數(shù)觀點(diǎn)是解決數(shù)列問(wèn)題的有效方法。數(shù)列的項(xiàng)可看作定義在正整數(shù)集（或它的有限子集）上的函數(shù)。如等差數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 ana1(n1) ddn(a1 d) ，前 n 項(xiàng)的和公式 Snna1n(n1) dd n2(a1d )n 。當(dāng) d0 時(shí)，可以看作自變量n 的一次和二222次函數(shù)。因此利用函數(shù)的思想方法去研究數(shù)列問(wèn)題不僅能加深對(duì)數(shù)列的理解，也有助于學(xué)生解題思維能力的培養(yǎng)及增強(qiáng)應(yīng)用函數(shù)思想解題的意識(shí)。題型 6：立體幾何問(wèn)題例 6如果，三棱錐 P ABC中，已知 PABC， PA=BC=l， PA，BC的公垂線 ED=h求

12、證三棱錐P ABC的體積 V1 l 2h 。6學(xué)習(xí)必備歡迎下載分析：如視P 為頂點(diǎn)， ABC 為底面，則無(wú)論是SABC以及高 h 都不好求如果觀察圖形，換個(gè)角度看問(wèn)題，創(chuàng)造條件去應(yīng)用三棱錐體積公式，則可走出困境解析：如圖，連結(jié)EB， EC，由 PABC，PAED，EDBC=E，可得PA面 ECD這樣，截面 ECD將原三棱錐切割成兩個(gè)分別以ECD 為底面，以 PE、 AE 為高的小三棱錐，而它們的底面積相等，高相加等于PE+AE=PA=l，所以VPABC=VPECD+VAECD=111SECD?AE+ SECD?PE= SECD ?PA333= 1 ? 1 BC·ED·PA=

13、V1l 2h 。326點(diǎn)評(píng)：輔助截面 ECD的添設(shè)使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題迎刃而解。題型 7：解析幾何問(wèn)題例 7（ 1）設(shè) x、 y R 且 3x 2 2y 2 6x，求 x 2 y 2 的范圍。分析：設(shè) k x 2 y 2 ，再代入消去y，轉(zhuǎn)化為關(guān)于 x 的方程有實(shí)數(shù)解時(shí)求參數(shù)k 范圍的問(wèn)題。其中要注意隱含條件，即 x 的范圍。解析：由 6x 3x 2 2y 2 0 得 0 x2。設(shè) kx 2 y 2 ，則 y 2 k x 2 ，代入已知等式得：x 2 6x 2k 0 ，即 k1x 2 3x，其對(duì)稱軸為 x 3。22222由 0x 2 得 k 0,4。所以 x y的范圍是： 0xy4。由 3x2

14、 2y2 6x 得 (x 1)2y 2x2 y2的范 1，即表示如圖所示橢圓，其一個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)。32圍就是橢圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方。由圖可知最小值是 0, 距離最大的點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心的圓與橢圓相切的切點(diǎn)。設(shè)圓方程為x 2 y 2 k，代入橢圓中消 y 得 x 2 6x 2k0。由判別式36 8k 0 得k 4, 所以 x 2 y 2 的范圍是： 0x 2 y 2 4。再解：三角換元法，對(duì)已知式和待求式都可以進(jìn)行三角換元（轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題）：y 2x1cos由3x2 2y2 6x得 (x 1)2 1，設(shè)6，則3ysin22x 2 y 2 1 2cos cos 2 3sin 2 13 2

15、cos 1cos 2 222 1 cos 2 2cos 5 0,422所以 x 2 y 2 的范圍是： 0x 2 y 2 4。點(diǎn)評(píng)：題運(yùn)用多種方法進(jìn)行解答，實(shí)現(xiàn)了多種角度的轉(zhuǎn)化，聯(lián)系了多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，有助于提高發(fā)散思維能力。此題還可以利用均值換元法進(jìn)行解答。各種方法的運(yùn)用，分別將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了其它問(wèn)題，屬于問(wèn)題轉(zhuǎn)換題型。學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ 2） ABC的外接圓的圓心為O ，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H， OH m（ OA OB OC ），則實(shí)數(shù) m分析：如果用一般的三角形解決本題較難，不妨設(shè)ABC 是以A 為直角的直角三角形，則O 為斜邊BC上的中點(diǎn)， H 與 A 重合， OA OB OC OA OH

16、 ，于是得出m1。點(diǎn)評(píng)：這種通過(guò)特殊值確定一般性結(jié)果的思路還有很多，如歸納、猜想、證明的方法，過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，定值問(wèn)題也可以用這樣的思路。題型 8：具體、抽象問(wèn)題例 8（ 2004 浙江卷（理）第12 題）：若 f （ x）和 g（ x）都是定義在實(shí)數(shù)集R 上的函數(shù)，且方程x f g（ x） 0 有實(shí)數(shù)解，則g f （ x）不可能是（）（ A） x2 x 1（ B） x 2 x 1（ C） x2 1（ D） x2 15555分析：本題直接解不容易，不妨令f （ x） x，則 f g（ x） g（x），gf （x） g（ x），x f g（ x） 0 有實(shí)數(shù)解即 x g（ x） 0 有實(shí)數(shù)解。這樣很

17、明顯得出結(jié)論， B 使 x g（ x） 0 沒(méi)有實(shí)數(shù)解，選 B這種從抽象到具體再到抽象，使學(xué)生從心理上感到非常輕松，象這樣常見(jiàn)抽象函數(shù)式還有一次函數(shù)型f （ x y） f （ x） f （ y） m，對(duì)數(shù)函數(shù)型f （ xy） f （x） f （ y），冪函數(shù)型f （ xy） f （ x）f （ y）。點(diǎn)評(píng)：把抽象問(wèn)題具體化是在數(shù)學(xué)解題中常有的化歸途徑，它是對(duì)抽象問(wèn)題的理解和再認(rèn)識(shí)，在抽象語(yǔ)言與具體事物間建立聯(lián)系，從而實(shí)現(xiàn)抽象向具體的化歸。題型 9：正難則反轉(zhuǎn)化問(wèn)題例 9在由數(shù)字0， 1，2，3， 4，5 所組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，不能被5 整除的數(shù)共有個(gè)。分析：不能被5 整除的數(shù)要分類討

18、論，情況較多，這時(shí)我們不妨換一個(gè)角度，從反面入手考慮。注意到不能被5 整除實(shí)質(zhì)上是末位數(shù)字不是0，也不是5。用間接法。所有四位數(shù)有 A 15 A 35 300 個(gè)，末位為 0 時(shí)有 A 35 60 個(gè)，末位為 5 時(shí)有 A 14 A 24 48 個(gè)，滿足題意的數(shù)共有 300 60 48192 個(gè)。點(diǎn)評(píng)：一些數(shù)學(xué)問(wèn)題， 如果從條件出發(fā)， 正面考慮較難較繁， 不妨調(diào)整思考方向， 從問(wèn)題的結(jié)論入手，或從問(wèn)題的條件與結(jié)論的反面入手進(jìn)行思考，迂回地得到解題思路，這叫做“正難則反”。“正難則反”是一種重要的解題策略，靈活用之，能使許多難題、趣題和生活中的問(wèn)題獲得巧解。題型 10：實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題例 10把一塊

19、鋼板沖成上面是半圓形，下面是矩形的零件，其周長(zhǎng)是 P，怎樣設(shè)計(jì)才能使沖成的零件面積最大？并求出它的最大面積。分析：這個(gè)實(shí)際問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解決。解析：如圖，設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x, 則半圓的周長(zhǎng)為x ，矩形的另一邊長(zhǎng)為A· O1 ( P xx ) = 2P (2)x2AB224BxS，則 S= 1x2x2P (2)x =4 x2 P x設(shè)零件的面積為48242 a 0 當(dāng) xb2P時(shí)， S有最大值，這時(shí)AB=P。2a44當(dāng)矩形的兩鄰邊AB 與 BC之比為P21 2 時(shí)， Smax=。82點(diǎn)評(píng)：實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)結(jié)果解釋最終的實(shí)際問(wèn)題。四思維總結(jié)1熟練、扎實(shí)地

20、掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法是轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)；豐富的聯(lián)想、機(jī)敏細(xì)微的觀察、比較、類比是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的橋梁；培養(yǎng)訓(xùn)練自己自覺(jué)的化歸與轉(zhuǎn)化意識(shí)需要對(duì)定理、公式、法則有本質(zhì)上的深刻理解和對(duì)典型習(xí)題的總結(jié)和提煉，要積極主動(dòng)有意識(shí)地去發(fā)現(xiàn)事物之間的本質(zhì)聯(lián)系?！白セA(chǔ)，重轉(zhuǎn)化”是學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)的金鑰匙。2為了實(shí)施有效的化歸，既可以變更問(wèn)題的條件，也可以變更問(wèn)題的結(jié)論，既可以變換問(wèn)題的內(nèi)部DC學(xué)習(xí)必備歡迎下載結(jié)構(gòu)，又可以變換問(wèn)題的外部形式，既可以從代數(shù)的角度去認(rèn)識(shí)問(wèn)題，又可以從幾何的角度去解決問(wèn)題。3注意緊盯化歸目標(biāo)，保證化歸的有效性、規(guī)范性化歸作為一種思想方法，應(yīng)包括化歸的對(duì)象、化歸的目標(biāo)、以及化歸的方法、途徑三個(gè)要素。因此，化歸思想方法的實(shí)施應(yīng)有明確的對(duì)象、設(shè)計(jì)好目標(biāo)、選擇好方法，而設(shè)計(jì)目標(biāo)是