轉化與化歸思想專題復習

1、學習必備歡迎下載轉化與化歸思想專題復習一知識探究：等價轉化是把未知解的問題轉化到在已有知識范圍內可解的問題的一種重要的思想方法。通過不斷的轉化，把不熟悉、不規(guī)范、復雜的問題轉化為熟悉、規(guī)范甚至模式法、簡單的問題。1轉化有等價轉化與非等價轉化。等價轉化要求轉化過程中前因后果是充分必要的，才保證轉化后的結果仍為原問題的結果。非等價轉化其過程是充分或必要的，要對結論進行必要的修正（如無理方程化有理方程要求驗根） ，它能帶來思維的閃光點，找到解決問題的突破口。2常見的轉化方法（ 1）直接轉化法：把原問題直接轉化為基本定理、基本公式或基本圖形問題；（ 2）換元法：運用“換元”把非標準形式的方程、不等式、

2、函數(shù)轉化為容易解決的基本問題；（ 3）參數(shù)法：引進參數(shù)，使原問題的變換具有靈活性，易于轉化；（ 4）構造法：“構造”一個合適的數(shù)學模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題；（ 5）坐標法：以坐標系為工具，用代數(shù)方法解決解析幾何問題，是轉化方法的一種重要途徑；（ 6）類比法：運用類比推理，猜測問題的結論，易于確定轉化的途徑；（ 7）特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉化，并證明特殊化后的結論適合原問題；（ 8）一般化方法：若原問題是某個一般化形式問題的特殊形式且有較難解決，可將問題通過一般化的途徑進行轉化；（ 9）等價問題法：把原問題轉化為一個易于解決的等價命題，達到轉化目的； （ 10）補集法：（正

3、難則反）若過正面問題難以解決，可將問題的結果看作集合 A，而把包含該問題的整體問題的結果類比為全集 U，通過解決全集U 及補集 CU A 獲得原問題的解決。3化歸與轉化應遵循的基本原則：（ 1）熟悉化原則：將陌生的問題轉化為熟悉的問題，以利于我們運用熟知的知識、經驗和問題來解決；（ 2）簡單化原則：將復雜的問題化歸為簡單問題，通過對簡單問題的解決，達到解決復雜問題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù)；（ 3）和諧化原則：化歸問題的條件或結論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內部所表示的和諧的形式，或者轉化命題，使其推演有利于運用某種數(shù)學方法或其方法符合人們的思維規(guī)律；（ 4）直觀化原則：將比較抽象的問題

4、轉化為比較直觀的問題來解決；（ 5）正難則反原則：當問題正面討論遇到困難時，可考慮問題的反面，設法從問題的反面去探求，使問題獲解。二命題趨勢數(shù)學問題解答題離不開轉化與化歸，它即是一種數(shù)學思想又是一種數(shù)學能力，高考對這種思想方法的考查所占比重很大，是歷年高考考查的重點。預測 20XX年高考對本講的考查為：（ 1）常量與變量的轉化：如分離變量，求范圍等。（ 2）數(shù)與形的互相轉化：若解析幾何中斜率、函數(shù)中的單調性等。（ 3）數(shù)學各分支的轉化：函數(shù)與立體幾何、向量與解析幾何等的轉化。（ 4）出現(xiàn)更多的實際問題向數(shù)學模型的轉化問題。三題型解讀題型 1：集合問題例 1設集合 M ( x, y)| x 2y

5、21， xR， yR| ， N ( x, y)| x 2y0， xR， yR| ，則集合 MN 中元素的個數(shù)為（）A 1B 2C 3D 4（ 2）設 A、 B、I 均為非空集合，且滿足 ABI ，則下列各式中錯誤的是（）學習必備歡迎下載A. (CI A)BIB.(CI A)(CI B)IC. A(CI B)D. (CI A)(CI B)CI B解析：（ 1）將集合 MN 中元素個數(shù)的符號語言轉化為與之等價的文字語言：圓x 2y 21 與拋物線 x 2y0 交點的個數(shù)。因此在同一坐標系內作出圓x2y 21 和拋物線 yx2 的圖象，觀察可得選B；（ 2）將題設條件轉化為圖形語言， 即構造圖 1，

6、由圖形逐一驗證， 得 B 項不正確，故應選 B。點評：對于許多集合問題，通過轉化，將不熟悉和難解的集合問題轉化為熟知的易解的問題，將抽象的問題轉化為具體的直觀的問題，便于將問題解決。題型 2：函數(shù)問題IBA圖 2例 2關于 x 的方程 sin 2xcos xa 0 在 0， 內有解，求 a 的取值范圍。解析：此題就直接解三角方程再確定a的范圍，簡直難以下手，并且繁瑣無比，但若轉化為求a cos2 xcos x 1 (cos x1 ) 25在 x0， 的取值范圍，問題就簡單易解，通過簡單的計算，524很快得到了a 的取值范圍是，。14點評：構造函數(shù)解題是數(shù)學中的常用方法，通過巧妙地構造輔助函數(shù)，

7、把原來的問題轉化為研究輔助函數(shù)的性質，從而達到解題目的。題型 3：不等式問題例 3（ 1）已知 a， b， mR ，且 ab ，求證： ama ；bmb（ 2）已知 a0， b0，且 a b1，求證： (a1)(b1)25 。ab4解析：（1）分析 1： a ， am 的形式可以聯(lián)想到兩點連線的斜率，所以可構造斜率來解題。bbm0。因為 0a b ，則證法1：如圖2，設 A（ b， a），B（ -m， -m），其中 m直線 OA的斜率： kOAtana11b直線 AB的斜率： k ABtanam21bm圖 2因為B 在第三象限的角平分線上，所以AB 必與 x 軸正半軸相交，且有01，所以 ta

8、n 2ama2tan 1 ，即mb4b分析 2： a ， am 的形式與相似三角形中的對應線段成比例類似，所以可聯(lián)想到構造相似三角形來bbm解題。證法 2：如圖3，在 Rt ABC 和 Rt ADF ，作 CE/BD 交 DF 于 E。因為 ABC ADF ，所以（斜邊大于直角邊）ABa ， ACb ， BDm ，aamamambbCFbCEbm（ 2）令 f ( x)x1， x (01,) 。因為 f '( x) 11，當 x(0,1) 時，圖 3xx2f '( x)0 ，所以 f ( x) 在（ 0， 1）上是減函數(shù)。學習必備歡迎下載又 0 ab( ab ) 211，所以

9、f ( ab)f (1) ，即 ab11417 。244ab44所以 (a1 )(b1)ab1( ba )17( ba)172b a17225ababab4ab4a b44即原不等式成立。點評：聯(lián)想是由一事物聯(lián)想到另一事物的思維方式和過程， 這種聯(lián)想通常是事物的形式、 結構、范圍、關系等因素作用的結果。由聯(lián)想而引發(fā)的構造稱之為聯(lián)想構造。題型 4：三角問題例4若0， sincosa， sincosb ，則（）4A a bB a bC ab 1 D ab 2解析：若直接比較a 與 b 的大小比較困難，若將a 與 b 大小比較轉化為a 2 與 b2 的大小比較就容易多了。因為 a 21sin 2 ，

10、 b21sin 2，又因為 0 222所以 sin 2sin 2，所以 a 2b 2又因為 a， b0，所以 ab ，故選（ A）。點評：體現(xiàn)在三角函數(shù)中是切化弦、統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)名稱、換元等手段處理求值（域）、最值、比較大小等問題。題型 5：數(shù)列問題例 5等差數(shù)列 an 的前 n 項的和為 Sn ，且 S10100 ， S10010，求 S110 。解析：顯然公差d0 ，所以 Sn 是 n 的二次函數(shù)且無常數(shù)項。于是設Snan 2bn ， (a0) ，a102b10100a11則，解得100 。a1002b 10010b11110所以 Sn11 n2111n ，從而 S11011110211

11、1110110 。1001010010點評：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，動態(tài)的函數(shù)觀點是解決數(shù)列問題的有效方法。數(shù)列的項可看作定義在正整數(shù)集（或它的有限子集）上的函數(shù)。如等差數(shù)列 an 的通項公式 ana1(n1) ddn(a1 d) ，前 n 項的和公式 Snna1n(n1) dd n2(a1d )n 。當 d0 時，可以看作自變量n 的一次和二222次函數(shù)。因此利用函數(shù)的思想方法去研究數(shù)列問題不僅能加深對數(shù)列的理解，也有助于學生解題思維能力的培養(yǎng)及增強應用函數(shù)思想解題的意識。題型 6：立體幾何問題例 6如果，三棱錐 P ABC中，已知 PABC， PA=BC=l， PA，BC的公垂線 ED=h求

12、證三棱錐P ABC的體積 V1 l 2h 。6學習必備歡迎下載分析：如視P 為頂點， ABC 為底面，則無論是SABC以及高 h 都不好求如果觀察圖形，換個角度看問題，創(chuàng)造條件去應用三棱錐體積公式，則可走出困境解析：如圖，連結EB， EC，由 PABC，PAED，EDBC=E，可得PA面 ECD這樣，截面 ECD將原三棱錐切割成兩個分別以ECD 為底面，以 PE、 AE 為高的小三棱錐，而它們的底面積相等，高相加等于PE+AE=PA=l，所以VPABC=VPECD+VAECD=111SECD?AE+ SECD?PE= SECD ?PA333= 1 ? 1 BC·ED·PA=

13、V1l 2h 。326點評：輔助截面 ECD的添設使問題轉化為已知問題迎刃而解。題型 7：解析幾何問題例 7（ 1）設 x、 y R 且 3x 2 2y 2 6x，求 x 2 y 2 的范圍。分析：設 k x 2 y 2 ，再代入消去y，轉化為關于 x 的方程有實數(shù)解時求參數(shù)k 范圍的問題。其中要注意隱含條件，即 x 的范圍。解析：由 6x 3x 2 2y 2 0 得 0 x2。設 kx 2 y 2 ，則 y 2 k x 2 ，代入已知等式得：x 2 6x 2k 0 ，即 k1x 2 3x，其對稱軸為 x 3。22222由 0x 2 得 k 0,4。所以 x y的范圍是： 0xy4。由 3x2

14、 2y2 6x 得 (x 1)2y 2x2 y2的范 1，即表示如圖所示橢圓，其一個頂點在坐標原點。32圍就是橢圓上的點到坐標原點的距離的平方。由圖可知最小值是 0, 距離最大的點是以原點為圓心的圓與橢圓相切的切點。設圓方程為x 2 y 2 k，代入橢圓中消 y 得 x 2 6x 2k0。由判別式36 8k 0 得k 4, 所以 x 2 y 2 的范圍是： 0x 2 y 2 4。再解：三角換元法，對已知式和待求式都可以進行三角換元（轉化為三角問題）：y 2x1cos由3x2 2y2 6x得 (x 1)2 1，設6，則3ysin22x 2 y 2 1 2cos cos 2 3sin 2 13 2

15、cos 1cos 2 222 1 cos 2 2cos 5 0,422所以 x 2 y 2 的范圍是： 0x 2 y 2 4。點評：題運用多種方法進行解答，實現(xiàn)了多種角度的轉化，聯(lián)系了多個知識點，有助于提高發(fā)散思維能力。此題還可以利用均值換元法進行解答。各種方法的運用，分別將代數(shù)問題轉化為了其它問題，屬于問題轉換題型。學習必備歡迎下載（ 2） ABC的外接圓的圓心為O ，兩條邊上的高的交點為H， OH m（ OA OB OC ），則實數(shù) m分析：如果用一般的三角形解決本題較難，不妨設ABC 是以A 為直角的直角三角形，則O 為斜邊BC上的中點， H 與 A 重合， OA OB OC OA OH

16、 ，于是得出m1。點評：這種通過特殊值確定一般性結果的思路還有很多，如歸納、猜想、證明的方法，過定點問題，定值問題也可以用這樣的思路。題型 8：具體、抽象問題例 8（ 2004 浙江卷（理）第12 題）：若 f （ x）和 g（ x）都是定義在實數(shù)集R 上的函數(shù)，且方程x f g（ x） 0 有實數(shù)解，則g f （ x）不可能是（）（ A） x2 x 1（ B） x 2 x 1（ C） x2 1（ D） x2 15555分析：本題直接解不容易，不妨令f （ x） x，則 f g（ x） g（x），gf （x） g（ x），x f g（ x） 0 有實數(shù)解即 x g（ x） 0 有實數(shù)解。這樣很

17、明顯得出結論， B 使 x g（ x） 0 沒有實數(shù)解，選 B這種從抽象到具體再到抽象，使學生從心理上感到非常輕松，象這樣常見抽象函數(shù)式還有一次函數(shù)型f （ x y） f （ x） f （ y） m，對數(shù)函數(shù)型f （ xy） f （x） f （ y），冪函數(shù)型f （ xy） f （ x）f （ y）。點評：把抽象問題具體化是在數(shù)學解題中常有的化歸途徑，它是對抽象問題的理解和再認識，在抽象語言與具體事物間建立聯(lián)系，從而實現(xiàn)抽象向具體的化歸。題型 9：正難則反轉化問題例 9在由數(shù)字0， 1，2，3， 4，5 所組成的沒有重復數(shù)字的四位數(shù)中，不能被5 整除的數(shù)共有個。分析：不能被5 整除的數(shù)要分類討

18、論，情況較多，這時我們不妨換一個角度，從反面入手考慮。注意到不能被5 整除實質上是末位數(shù)字不是0，也不是5。用間接法。所有四位數(shù)有 A 15 A 35 300 個，末位為 0 時有 A 35 60 個，末位為 5 時有 A 14 A 24 48 個，滿足題意的數(shù)共有 300 60 48192 個。點評：一些數(shù)學問題， 如果從條件出發(fā)， 正面考慮較難較繁， 不妨調整思考方向， 從問題的結論入手，或從問題的條件與結論的反面入手進行思考，迂回地得到解題思路，這叫做“正難則反”?！罢y則反”是一種重要的解題策略，靈活用之，能使許多難題、趣題和生活中的問題獲得巧解。題型 10：實際應用問題例 10把一塊

19、鋼板沖成上面是半圓形，下面是矩形的零件，其周長是 P，怎樣設計才能使沖成的零件面積最大？并求出它的最大面積。分析：這個實際問題可以轉化成一個函數(shù)的最值問題來解決。解析：如圖，設矩形的一邊長為x, 則半圓的周長為x ，矩形的另一邊長為A· O1 ( P xx ) = 2P (2)x2AB224BxS，則 S= 1x2x2P (2)x =4 x2 P x設零件的面積為48242 a 0 當 xb2P時， S有最大值，這時AB=P。2a44當矩形的兩鄰邊AB 與 BC之比為P21 2 時， Smax=。82點評：實際問題轉化為數(shù)學問題，用數(shù)學結果解釋最終的實際問題。四思維總結1熟練、扎實地

20、掌握基礎知識、基本技能和基本方法是轉化的基礎；豐富的聯(lián)想、機敏細微的觀察、比較、類比是實現(xiàn)轉化的橋梁；培養(yǎng)訓練自己自覺的化歸與轉化意識需要對定理、公式、法則有本質上的深刻理解和對典型習題的總結和提煉，要積極主動有意識地去發(fā)現(xiàn)事物之間的本質聯(lián)系。“抓基礎，重轉化”是學好中學數(shù)學的金鑰匙。2為了實施有效的化歸，既可以變更問題的條件，也可以變更問題的結論，既可以變換問題的內部DC學習必備歡迎下載結構，又可以變換問題的外部形式，既可以從代數(shù)的角度去認識問題，又可以從幾何的角度去解決問題。3注意緊盯化歸目標，保證化歸的有效性、規(guī)范性化歸作為一種思想方法，應包括化歸的對象、化歸的目標、以及化歸的方法、途徑三個要素。因此，化歸思想方法的實施應有明確的對象、設計好目標、選擇好方法，而設計目標是