高數(shù)123 冪級數(shù)

1、1冪級數(shù)12.3 一、函數(shù)項級數(shù)的概念二、冪級數(shù)及其收斂性三、冪級數(shù)的運算2121( )(1,2,)( )( )( )( )nnnnuxnIuxu xuuIxx稱設(shè)為定義在區(qū)間 上的函數(shù)為定義在區(qū)間 上的函數(shù)項級，數(shù).列 函函數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù)00101()( ).nnnnxIuxxux對于，若常數(shù)項級數(shù)收斂， 稱 為函數(shù)項級數(shù)的收斂點 收收斂斂點點.一個函數(shù)項級數(shù)收斂點的全體稱為該級數(shù)的收斂域 收收斂斂域域一、函數(shù)項級數(shù)的概念3)()(1xuxsnn1( )( )nnns xuxn記為函數(shù)項級數(shù)的前 項的和，lim( )( ).nnIsxs x在收斂域 上， 和函數(shù)和函數(shù) Ix在收斂域 上，任

2、取一點 ，都有一個收斂的常數(shù)項級數(shù)).(有關(guān)與點因而有一確定的和xs( )Ixs x這樣，在收斂域 上，函數(shù)項級數(shù)的和是 的函數(shù)，與之對應(yīng)，( )s x我們稱為函數(shù)項和函級數(shù)的數(shù)，記作).()(1xuxsnkkn即，( )( )( )nnr xs xIsx在收斂域余上，記項，lim( )0.nnr x則4發(fā)散，若常數(shù)項級數(shù)對于100)(Innxux 發(fā)散點發(fā)散點 發(fā)散域發(fā)散域 .)(10的發(fā)散點為函數(shù)項級數(shù)稱nnxux.散域的全體稱為該級數(shù)的發(fā)一個函數(shù)項級數(shù)發(fā)散點5001000()()()(0,1,).nnnnnnaxxaaxxaxxan的函數(shù)形如 其中，常數(shù)稱為冪級數(shù)的系項級數(shù)稱為冪級數(shù)數(shù)，

3、 冪冪級級數(shù)數(shù)00 x 下面著重討論的情形，即，20120nnnnna xaa xa xa x001.!nnnnxxn如、等二、冪級數(shù)及其收斂性6( 1,1)收：斂域0(1( 1,1)1nns xxxx 當(dāng)數(shù)時，有和函(, 11) 及域,：發(fā)散201nnnxxxx 例如，冪級數(shù)0nnna x給定冪級數(shù)，它的收斂域、發(fā)散域及和函數(shù)是怎樣的？問問題題：7定理定理 1 1 ( Abel定理 )000nnna xxxxxx則對滿足不等式的若冪一切 ，冪級數(shù)級數(shù)在處收斂，都絕對收斂；00.xxxxx則對滿足反之，若不等式的一切 ，該在處冪級該冪級數(shù)發(fā)，數(shù)也發(fā)散散8證證:收斂，若00nnnxa. 0lim

4、0nnnxa則nnnnnnxxxaxa00nnnxxxa00nxxM0當(dāng)時,0 xx 收斂00nnxxM也收斂故，0nnnxa因此，原冪級數(shù)絕對收斂.).,2, 1(00nMxaMnn，使得常數(shù)于是，9.011，且使冪級數(shù)收斂滿足假設(shè)有一點xxx.0處收斂該冪級數(shù)在點x這與所設(shè)矛盾,滿足不等式0 xx (反證法)所以若當(dāng)時冪級數(shù)發(fā)散,則對一切0 xx 由前面的證明可知：故假設(shè)不真.的x,原冪級數(shù)也發(fā)散.處該冪級數(shù)發(fā)散，若在0 xx 10ox0 x收斂發(fā)散發(fā)散由Abel 定理可以看出 :0nnnxa收斂發(fā)散的收斂域是以原點為中心的區(qū)間 .用用R R 表示冪級數(shù)收斂與發(fā)散的分界點。表示冪級數(shù)收斂與

5、發(fā)散的分界點。110nnnxa冪級數(shù)在 收斂;),(RR在外發(fā)散;,RR在可能收斂也可能發(fā)散.Rx加上收斂的端點),(RR稱為收斂半徑收斂半徑 R由由Abel定理可知：稱為收斂域收斂域 R=0時，0nnnxa冪級數(shù)僅在x=0收斂;R=時，0nnnxa冪級數(shù)在 收斂;),(特殊情形特殊情形 ),(RR稱為收斂區(qū)間收斂區(qū)間 12定理 2 ，則的系數(shù)滿足若nnnnnnaaxa10lim;10) 1 (R時，當(dāng);0)2(R時，當(dāng).0)3(R時，當(dāng)13證證:對級數(shù),0nnnxaxaaxaxannnnnnnn111limlim1)若,0則根據(jù)比值審斂法可知當(dāng),1x即時,1x原級數(shù)收斂;當(dāng),1x即時,1x原

6、級數(shù)發(fā)散.因此級數(shù)的收斂半徑.1Rx142)若, 0則根據(jù)比值審斂法可知,;R數(shù)絕對收斂,3)若,則對除x=0以外的一切x 原級數(shù)都.0R發(fā)散,對任意 x原級因此因此0nnnxa1limnnnaaR的收斂半徑為說明說明: : 根據(jù)定理2可知1511001(1)( 1)(2)(3)1!nnnnnnnxxn xnn例求下列冪級數(shù)的收斂半徑及收斂域1111( 1)nnnx對，級數(shù)為，收斂111()nxn 對級數(shù)為，發(fā)散( 1,1故，收斂域為： 11(1)limlim1.11nnnnanRan解: 16nnxn0!1)2()!1(1n!1limlim1naaRnnnnlim(1)nn (,). 故，收

7、斂域為： !) 1(!limlim1nnaaRnnnn11limnn0故，級數(shù)僅在x =0處收斂.nnxn0!)3(1721111(1)( 1)1(1)(2)(3)()2221nnnnnnnnnxxnnx例求下列冪級數(shù)的收斂域111.2nnntxtn令，級數(shù)變?yōu)榻猓?1)11112(1)2limlimlim2122(1)nnnnnnnnnannRann112nnt級數(shù)，為當(dāng)時，發(fā)散11( 1)2nnnt級數(shù)為當(dāng)時，收斂22.t 故，收斂域為21213.xx ，即于是，原級數(shù)的收斂域為：，18缺少偶次冪的項缺少偶次冪的項1( )lim( )nnnuxux解：nnnnnxx22lim1211221

8、2x21122xx當(dāng)，即，時，收斂1122)2(nnnx（應(yīng)用比值判別法應(yīng)用比值判別法）21122xx當(dāng)，即，時，發(fā)散1122nx當(dāng)時，級數(shù)為，發(fā)散1122nx 當(dāng)時，級數(shù)為，發(fā)散(2,2).原級數(shù)的收斂域為：191( )11()( )1 11nnuxnnuxnxx 解：1(1)1021xxx 當(dāng)，即，或時，級數(shù)絕對收斂nnnxn)11() 1()3(1（應(yīng)用比值判別法應(yīng)用比值判別法）1(2)1201xx當(dāng)，即，時，級數(shù)發(fā)散1( 1)0nnxn當(dāng)時，級數(shù)收斂112nxn 當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散(, 2)0,). 故，級數(shù)的收斂域為(3)|1| 102xxx 當(dāng)，即，或20的收斂半徑求冪級數(shù)例nnxnn

9、202) !(! )2(32(1)21222(1)!( )(1)!limlim2 !( ) !nnnnnnnxuxnnuxxn解:222(21)(22)lim4(1)nnnxxn21412xx當(dāng)，即，時，收斂1.2R 故，收斂半徑為21412xx當(dāng)，即，時，發(fā)散( (應(yīng)用比值判別法應(yīng)用比值判別法) )21三、冪級數(shù)的運算三、冪級數(shù)的運算定理定理 3 3，和的收斂半徑為及若冪級數(shù)2100RRxbxannnnnnnnnnnnxaxa00) 1 (為常數(shù)）（1Rx ，則有令21,minRRR nnnnnnnnnnxbaxbxa000)()2(Rx nnnnnnnnnxcxbxa000)3(Rx .0

10、knnkknbac其中，22 冪級數(shù)和函數(shù)的重要性質(zhì)冪級數(shù)和函數(shù)的重要性質(zhì)0(2)nnna xs xI冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂域 上可積，且有逐項性質(zhì)積分公式0.1nnna xI冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂域性上連續(xù)質(zhì)Ixxnadxxadxxaxdxsnnnnxnnxnnnx ，10000001)(.收斂半徑級數(shù)和原級數(shù)有相同的逐項積分后所得到的冪230( )(,)3nnna xs xR R冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且有逐性質(zhì)項求導(dǎo)公式),()()(1100RRxxanxaxaxsnnnnnnnnn，.收斂半徑級數(shù)和原級數(shù)有相同的逐項求導(dǎo)后所得到的冪說明：說明：利用已知冪級數(shù)的和函數(shù)求未知冪級

11、數(shù)的和函數(shù)利用已知冪級數(shù)的和函數(shù)求未知冪級數(shù)的和函數(shù)24( 1,1)在收斂域內(nèi)xxnn110 xxnnn1110)(xxxnn11xxxnnn111)(20211xxnn 常見常見冪級數(shù)的和函數(shù)冪級數(shù)的和函數(shù) 25).(41xsxnnn的和函數(shù)求冪級數(shù)例時，當(dāng))1,1(x1)(nnxnxs1()nnxxxxx12)1 (xx11nnxnx1nnxx( 1,1)x 111x 解：易求出此冪級數(shù)的收斂半易驗證當(dāng)或 時，該冪徑為 ，級數(shù)發(fā)散，( 1,1).故，該冪級數(shù)的收斂域為2611( )( 1)nnnxs xn令，(0)0s顯然，0( )ln(1)xs t dtx兩邊積分得xxxsnnn11)

12、1()(0( 11)x ( 1,1.易知該冪級數(shù)收斂域為解：時，當(dāng)) 1 , 1(x( )ln(1),s xx)1ln()0()(xsxs即，115.( 1)nnnxn例求冪級數(shù)的和函數(shù)( 11)x 271111( 1).nnxn又時，收斂11( 1)ln(1).nnnxxn( 11)x 1( )( 1,1s x由性質(zhì) 知：在收斂域上連續(xù)，2806(,).!nnxn 例證明冪級數(shù)在收斂，并求其和0( )()!nnxs xxn 設(shè)，11( )(1)!nnxs xn則0!kkxk)(xs()x ( ).xs xCe故，(0)1( )xss xe由可得：，0.!nxnxen即，( )( )0s xs

13、 x(,+ ).易知該冪級數(shù)收斂域為解：292217.(1)2nnn例求級數(shù)的和22( )( 11)1nnxs xxn 解設(shè)，,：，則2112nnnxx112211122nnnnxxnnxx)0(x2111()()2222nnxxxxxnx12nnnxxnnxnnxs111121)(2321nnnxx301)(nnnxxh令11)(nnxxh則( )ln(1)h xx 212( )ln(1)(0)24xxs xxxx2211(1)22nnsn故，2111( )()()(0)2222nnxxxs xxxxnx2ln4385) 11(11xx31內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 求冪級數(shù)收斂區(qū)間的方法求冪級數(shù)收斂區(qū)間的方法1)對標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)先求收斂半徑,再