柯西中值定理和

1、2 柯西中值定理和 不定式極限一、柯西中值定理 柯西中值定理是比拉格朗日定理更一定式極限的問(wèn)題.般的中值定理，本節(jié)用它來(lái)解決求不二、不定式極限 設(shè)曲線參數(shù)的方程設(shè)曲線參數(shù)的方程, )(xgu . )(xfv 給定，給定， 由由拉格朗日定理拉格朗日定理恰好等于曲線端點(diǎn)弦恰好等于曲線端點(diǎn)弦 AB 的斜率的斜率(見(jiàn)下圖見(jiàn)下圖):ddxvu 的討論知的討論知, 存在一點(diǎn)存在一點(diǎn) ( 對(duì)應(yīng)于參數(shù)對(duì)應(yīng)于參數(shù) ) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) .)()()()(agbgafbfkAB )(, )( fgP)(, )(bfbgB( ( ) ,( )A g af aOuv 定理定理6.5(柯西中值定理柯西中值定理) 設(shè)函數(shù)設(shè)函

2、數(shù) , 在區(qū)間在區(qū)間 )(xf)(xg,ba上滿足上滿足:(i) f(x) , g(x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)上連續(xù);(iii);0)()(22 xgxf(iv). )()(bgag 則在開(kāi)區(qū)間則在開(kāi)區(qū)間 內(nèi)必定內(nèi)必定 (至少至少) 存在一點(diǎn)存在一點(diǎn) , 使得使得),(ba 一、柯西中值定理(ii) f(x) , g(x) 在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間 (a, b) 上可導(dǎo)上可導(dǎo);( )( )( ).( )( )( )ff bf agg bg a 證證 作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)).()()()()()()()()(agxgagbgafbfafxfxF 顯然顯然, 滿足羅爾定理的條件滿足羅爾定理的

3、條件, 所以存在點(diǎn)所以存在點(diǎn))(xF),(ba 使得使得 , 即即0)( F. 0)()()()()()( gagbgafbff( )0( )(iii),gf因因?yàn)闉榉穹駝t則也也為為零零, ,與與條條件件矛矛盾盾.)()()()()()(agbgafbfgf 從而從而例例1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f 在區(qū)間在區(qū)間 a, b(a 0) 上連續(xù)上連續(xù), 在在(a, b).ln)()()(abfafbf 證證 設(shè)設(shè) , 顯然顯然 f (x), g(x) 在在 a, b 上上滿足滿足xxgln)( 柯西中值定理的條件柯西中值定理的條件,于是存在于是存在, 使得使得),(ba ,1)(lnln)()( faba

4、fbf 變形后即得所需的等式變形后即得所需的等式.),(ba 上可導(dǎo)上可導(dǎo), 則存在則存在, 使得使得在極限的四則運(yùn)算中在極限的四則運(yùn)算中, 往往遇到分子往往遇到分子, 分母均為無(wú)分母均為無(wú)01.0型型不不定定式式極極限限二、不定式極限究這類極限究這類極限, 這種方法統(tǒng)稱為洛必達(dá)法則這種方法統(tǒng)稱為洛必達(dá)法則.稱為不定式極限稱為不定式極限. 現(xiàn)在我們將用柯西中值定理來(lái)研現(xiàn)在我們將用柯西中值定理來(lái)研比較復(fù)雜，各種結(jié)果均會(huì)發(fā)生比較復(fù)雜，各種結(jié)果均會(huì)發(fā)生. 我們將這類極限統(tǒng)我們將這類極限統(tǒng)窮小量窮小量 ( (無(wú)窮大量無(wú)窮大量) ) 的表達(dá)式的表達(dá)式. 這種表達(dá)式的極限這種表達(dá)式的極限定理定理6.6滿足

5、：滿足：和和若函數(shù)若函數(shù)gf000(i) lim( )lim( );xxxxf xg x00(ii)()xUx在在點(diǎn)點(diǎn)的的某某空空心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)兩兩者者均均可可導(dǎo)導(dǎo)，0( );g x 且且 0( )(iii) lim,.( )xxfxAAg x 可以為實(shí)數(shù)，可以為實(shí)數(shù)，則則00( )( )limlim.( )( )xxxxf xfxAg xg x 證證000()(),f xg xf g我們補(bǔ)充定義所以我們補(bǔ)充定義所以,),(.000 xxxUxx則在區(qū)間則在區(qū)間任取任取連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn) 有有上應(yīng)用柯西中值定理，上應(yīng)用柯西中值定理，),(0 xx000( )()( )( )(.( )( )()

6、( )f xf xf xfxxg xg xg xg 介于與之間)介于與之間)000( )( )( )limlimlim.( )( )( )xxxxxxf xffxAg xgg x 注注，改為改為中的中的將定理將定理 0001xxxxxx00,令令故故xxx 根據(jù)歸結(jié)原理根據(jù)歸結(jié)原理只只要要修修正正相相應(yīng)應(yīng)的的鄰鄰域域，的的情情形形, xx結(jié)論同樣結(jié)論同樣成立成立. .例例41tanlim.sin4求求xxx 解解00.容易驗(yàn)證：這是一個(gè)型不定式容易驗(yàn)證：這是一個(gè)型不定式2441tansec21limlim.sin44cos442xxxxxx 000( )lim,( )xxfxg x如如果果仍仍

7、是是型型不不定定式式極極限限 只只要要滿滿足足洛洛 例例2.)1ln()21(elim2210 xxxx 求求解解2201ln() ,xxx因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以11222200e(12 )e(12 )limlimln(1)xxxxxxxx132200e(12 )e(12 )limlim1.22xxxxxxx0( )lim( )xxfxg x考考察察必必達(dá)達(dá)法法則則的的條條件件, ,可可再再用用該該法法則則. .存在性存在性. .這里在用洛必達(dá)法則前，使用了等價(jià)無(wú)窮小量的這里在用洛必達(dá)法則前，使用了等價(jià)無(wú)窮小量的代換，其目的就是使得計(jì)算更簡(jiǎn)潔些代換，其目的就是使得計(jì)算更簡(jiǎn)潔些.例例301

8、lim.e求求 xxx解解可直接利用洛必達(dá)可直接利用洛必達(dá)型不定式極限型不定式極限這顯然是這顯然是,00法則法則. 但若作適當(dāng)變換但若作適當(dāng)變換, 在計(jì)算上會(huì)顯得更簡(jiǎn)潔些在計(jì)算上會(huì)顯得更簡(jiǎn)潔些. 于是于是時(shí)有時(shí)有當(dāng)當(dāng)令令,00, txxt0001111limlimlim.eeettxxttxt 例例410(1)elim.xxxx求求解解 1100(1)(1)elimlim1xxxxxxx120ln(1)1lim(1)xxxxxxx20(1)ln(1)elimxxxxx01ln(1)1eelim.22xxx 2.型型不不定定式式極極限限定理定理6.7滿足：滿足：和和若函數(shù)若函數(shù)gf00(i) l

9、im( )lim( )xxxxf xg x ；00(ii)()xUx 在在點(diǎn)點(diǎn)的的某某右右鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)二二者者均均可可導(dǎo)導(dǎo)，0( );gx 且且 0( )(iii) lim,.( )xxfxAAg x 可可以以為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)則則00( )( )limlim.( )( )xxxxf xfxAg xg x 證證100.(),AxUx 設(shè)設(shè)為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù) 對(duì)對(duì)于于任任意意的的，01,xxxx滿滿足足不不等等式式的的每每一一個(gè)個(gè)( ),( )fxAg x 使使由柯西中值定理，存在由柯西中值定理，存在,1xx 11()( )( ).()( )( )f xf xfg xg xg 從而有從而有11()( )(

10、),(1)()( )( )f xf xfAAg xg xg 另一方面，另一方面， 111111111()( )()( )()( )( ).()( )()( )()( )( )g xf xf xf xf xf xg xf xg xg xg xg xg xf x 上式的右邊的第一個(gè)因子有界上式的右邊的第一個(gè)因子有界; 第二個(gè)因子對(duì)固定第二個(gè)因子對(duì)固定100,xxx 的是當(dāng)時(shí)的無(wú)窮小量 所以的是當(dāng)時(shí)的無(wú)窮小量 所以, 0,)1(100時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)存在正數(shù)存在正數(shù)式式由由xxxx , 01 有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),100 xxx00112( )( ),xxx 綜合和對(duì)一切滿足不等式綜合和對(duì)一切滿足不等式( ),(

11、)f xAg x 這就證明了這就證明了0( )lim.( )xxf xAg x , 或或，若若請(qǐng)大家想一想請(qǐng)大家想一想A應(yīng)應(yīng)該該如如何何證證明明？的的 x 有有1122( )()( ),( )( )()( )f xf xf xg xg xg x 注注000 xxxxxx這里的可以用，這里的可以用，件要作相應(yīng)的改變件要作相應(yīng)的改變.例例5.lnlimxxx求求解解.型型不不定定式式這這是是一一個(gè)個(gè) 1lnlimlim0.1xxxxx.xx ，來(lái)替換 當(dāng)然定理的條，來(lái)替換 當(dāng)然定理的條,x 例例6.elim3xxx求求解解.6elim6elim3elimelim23 xxxxxxxxxxx例例7.

12、sin2sin2limxxxxx求極限求極限解解,.如如果果用用洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則型型不不定定式式這這是是一一個(gè)個(gè) 22322sincoslimlim.( )sincosxxxxxxxx 22coslim,cosxxx 而極限不存在 但是原極限而極限不存在 但是原極限. 1sin2sin2limsin2sin2limxxxxxxxxxx(3) 式不成立式不成立. 這就說(shuō)明這就說(shuō)明: limlim.xxfxf xgxg x不不存存在在時(shí)時(shí), ,不不能能推推出出不不存存在在我們?cè)倥e一例我們?cè)倥e一例:例例8.2arctanarctanlimxxAx 求極限求極限解解lim arctan, lim

13、arctan2,22xxxx因?yàn)橐驗(yàn)樗运?A = 1. 若錯(cuò)誤使用洛必達(dá)法則：若錯(cuò)誤使用洛必達(dá)法則：22arctan114limlim2,arctan212xxxxxx這就產(chǎn)生了錯(cuò)誤的結(jié)果這就產(chǎn)生了錯(cuò)誤的結(jié)果. 這說(shuō)明這說(shuō)明: 在使用洛必達(dá)法在使用洛必達(dá)法則前，必須首先要判別它究竟是否是則前，必須首先要判別它究竟是否是0.0或或型型3. 其他類型的不定式極限其他類型的不定式極限00010,不不定定式式極極限限還還有有， ， ，等等類類型型 它它0.0們們一一般般均均可可化化為為型型或或者者型型.下面我們舉例加以說(shuō)明下面我們舉例加以說(shuō)明解解1lnln,xxxx 注意到則注意到則0000211

14、1lnlimlnlimlimlim()0.xxxxxxxxxxx但若采用不同的轉(zhuǎn)化方式但若采用不同的轉(zhuǎn)化方式:2000021limlnlimlimlimln11lnlnxxxxxxxxxxxx 很明顯很明顯, 這樣下去將越來(lái)越復(fù)雜這樣下去將越來(lái)越復(fù)雜, 難以求出結(jié)果難以求出結(jié)果.例例90limln .xxx 求求0() 型型,解解221lncos20lncos0(cos )e,lim.0 xxxxxxx而而是是型型由于由于,21cos2sinlimcoslnlim020 xxxxxxx因此因此 21120lim(cos )e.xxx例例10210lim(cos ).xxx求求(1)型型解解ln

15、arctan2limkxxx 121limarctan12xkxkxx 111limarctan2xkkxx 例例11102limarctan() .kxxxk 求求00()型型 xxkkxarctan2lim11 , 0lim111lim122 kxkxxkkxxkk所以，原式所以，原式 = = e0 = = 1. .例例12201lim2cot.1cosxxx 求求() 型型解解 xxx20cot2cos11lim xxxxxx23220sincos1cos2cos2sinlim 43220cos2cos2sinlim2xxxxx 3204cossin6cossin6lim2xxxxxx

16、xxxx220sincos2cos11lim例例13( ),0( ).0 ,0g xxxf xx設(shè)設(shè)(0)(0)0,(0)3,(0).gggf已已知知求求解解000( )( )(0)lim( )limlim0 xxxg xg xgf xxx因因?yàn)闉?0)0,g( )0.f xx 所所以以在在處處連連續(xù)續(xù).23cos1lim320 xxx220coscoslim3xxxx 00( )1( )(0)limlim220 xxg xg xgxx2000( )(0)( )( )(0)limlimlim0 xxxf xff xg xfxxx例例14( ) ,)f xa 設(shè)在上連續(xù)可微，設(shè)在上連續(xù)可微，lim( )( ) ).lim( ).xxf xfxAf xA 求證求證證證 先設(shè)先設(shè) A 0. 因?yàn)橐驗(yàn)?3(0).22g根據(jù)洛必達(dá)法則，有根據(jù)洛必達(dá)法則，有e( )lim( )limlim ( )( ).exxxxxf