人教版高三復(fù)習(xí)參數(shù)方程講義

1、教學(xué)目標(biāo)1 .在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x, y的取值范圍保持一致. 否則不等價.重難點(diǎn)2 直線的參數(shù)方程中，參數(shù) t的系數(shù)的平方和為1時，t才有幾何意義且其幾何意義 為：It是直線上任一點(diǎn) M(X , y)到M0(x0 , y0)的距離，即IMoMl = t.【知識回顧與能力提升】1.常見曲線的極坐標(biāo)方程(1) 圓心在極點(diǎn)，半徑為 r的圓的極坐標(biāo)方程：P= r(0 <2 )(2) 圓心為r,=,半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程：P= 2rsin_qo ).(3) 過極點(diǎn)，傾斜角為的直線的極坐標(biāo)方程：=%(PR)或= +( R) ； =和= + 過點(diǎn)(a,0),與極軸垂直的直線的極坐標(biāo)

2、方程：PCOS = a ?V <2 .(5)過點(diǎn)a, 2 ,與極軸平行的直線的極坐標(biāo)方程：Pin = a(0< <)(2015全國卷I )在直角坐標(biāo)系 Xoy中，直線 C仁x= 2,圓C2: (X- 1)2+ (y 2)2= 1,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求C1, C2的極坐標(biāo)方程；若直線C3的極坐標(biāo)方程為 = 4( P R),設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M , N,求AC2MN的面積.(2016洛陽統(tǒng)考)已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為 尸2, P2-22 PGOS : = 2.(1) 將圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2) 求經(jīng)過兩

3、圓交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程.【新知識梳理與重難點(diǎn)點(diǎn)睛】1 .參數(shù)方程的概念般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線C上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)X, y是某個變數(shù)t的函數(shù)：X=f ty= g tX= f且對于t的每一個允許值，由函數(shù)式y(tǒng)= gt ， 所確定的點(diǎn)P(x, y)都在曲線C上，那么方程 X=f tty= g t叫做這條曲線的參數(shù)方程，變數(shù) t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù).相對于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程.2.直線、圓、橢圓的參數(shù)方程(1)過點(diǎn)M(o, yo),傾斜角為的直線I的參數(shù)方程為X= X0+ tcos ,(t為參數(shù)).y= yo+ tsin (2)圓心在點(diǎn)Mo(xo, yo

4、),半徑為r的圓的參數(shù)方程為X= x0+ rcos ,(為參數(shù)).y= y0+ rsin x2 y2X= acos ,(3)橢圓x2 + y2= 1(a> b> 0)的參數(shù)方程為a by= bsin (為參數(shù)).考點(diǎn)一參數(shù)方程和普通方程的互化1將下列參數(shù)方程化為普通方程.3kX= 1 + k2,6k2(1)y= ；X= 1 Sin 2 , y= Sin + cos 解：兩式相除，得k=2x，將其代入X =黑得3y3 2xX=1 + y 2+ 2x化簡得所求的普通方程是4x2 + y2-6y= 0(y 6)(2)由(Sin + CoS )2= 1+ Sin 2 = 2 - (1 -

5、Sin 2 )得 y2 = 2- x.又 X= 1 Sin 2 0,2,得所求的普通方程為y2 = 2 x, x 0,2.X= CoS ,2 . (2016重慶巴蜀中學(xué)模擬)已知曲線 C的參數(shù)方程是(為參數(shù))，直線I的參數(shù)方程為y= m+ Sin (t為參數(shù)),y=4+ 5t(1)求曲線C與直線I的普通方程；解：由X= COS ,X= COS ,X= COS ,得y= m+ Sin y m= Sin ,若直線I與曲線C相交于P, Q兩點(diǎn)，且IPQI= 455,求實(shí)數(shù)m的值.-12 -X= 1 + 4cos 的平方加的平方得曲線C的普通方程為:X2+ (y m)2= 1.由 X= 1 + 55t

6、 得 55t = X 1,y = 4 + 2(x 1),所以直線I的普通方程為y= 2x+ 2.圓心(0, m)到直線l的距離為d= m+2 所以由勾股定理得驚刁2+ 255 2= 1, 解得m = 3或m= 1.考點(diǎn)二直線的參數(shù)方程(2015哈師大附中模擬)已知在直角坐標(biāo)系 XOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l經(jīng)過y= 2 + 4sin 定點(diǎn)P(3,5),傾斜角為-.3(1)寫出直線I的參數(shù)方程和曲線 C的標(biāo)準(zhǔn)方程；設(shè)直線I與曲線C相交于A, B兩點(diǎn)，求|PA| |PB|的值.解：(1)曲線 C: (x 1)2 + (y 2)2= 16,1X= 3 +,直線I:廠 (t為參數(shù)).(

7、2)將直線I的參數(shù)方程代入圓C的方程可得t2+ (2 + 3、3)t 3 = 0,設(shè)t1, t2是方程的兩個根，貝U tt2=- 3 ,所以 IPAIIPBI=It1t2= tt2= 3.由題悟法1 解決直線與圓的參數(shù)方程的應(yīng)用問題時一般是先化為普通方程再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系來解決問題.X= xo+ at,2 對于形如（t為參數(shù)）y= yo+ bt當(dāng)a2 + b2 1時，應(yīng)先化為標(biāo)準(zhǔn)形式后才能利用t的幾何意義解題.即時應(yīng)用已知直線I: x+ y 1= 0與拋物線y= X2相交于A, B兩點(diǎn)，求線段 AB的長度和點(diǎn) M（ 1,2）到A, B兩點(diǎn)的距離 之積.3 解：因?yàn)橹本€I過定點(diǎn)M ,且I的

8、傾斜角為3J-,3 -x= 1 + tcos ,所以它的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），3 -y= 2 + tsin 4把它代入拋物線的方程，得t2+ ,'2t 2 = 0,由根與系數(shù)的關(guān)系得t1 + t2= 2, t1 t2= 2, 由參數(shù)t的幾何意義可知 AB|= |t1 t2| = . 10,|MA| |MB|= |t1t2|= 2.考點(diǎn)三極坐標(biāo)、參數(shù)方程的綜合應(yīng)用X = tcos ,1. （2015全國卷 ）在直角坐標(biāo)系XOy中，曲線C1:（t為參數(shù)，t Q）其中0V -在以O(shè)為極點(diǎn),y= tsin X軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：尸2sin , C3： P= 疵CoS （1）

9、求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；（2）若C1與C2相交于點(diǎn) A, C1與C3相交于點(diǎn)B ,求|AB I的最大值.解：曲線C2的直角坐標(biāo)方程為 X2+ y2 2y= 0,曲線C3的直角坐標(biāo)方程為 X2 + y2 2、：3x= 0.X2+ y2 2y= 0,聯(lián)立22-X2+ y2 23X = 0,_V3=0, X 2， 解得或y= 03y = 2.所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（0,0）和23,號.（2）曲線Ci的極坐標(biāo)方程為 = P R, P 0,）其中0V .因此A的極坐標(biāo)為（2sin , , B的極坐標(biāo)為（23cos , 所以 IABI=I2sin - 2 3cos M= 4 Sin -3當(dāng)M=

10、 56寸，ABI取得最大值，最大值為4.由題悟法處理極坐標(biāo)、參數(shù)方程綜合問題的方法（1）涉及參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解當(dāng)然，還要結(jié)合題目本身特點(diǎn)，確定選擇何種方程.（2）數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，即充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，或者利用P和的幾何意義，直接求解，能達(dá)到化繁為簡的解題目的.即時應(yīng)用1 一 2. （2016大慶模擬）在平面直角坐標(biāo)系 XOy中，已知直線I經(jīng)過點(diǎn)P?, 1 ,傾斜角= 6在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系XOy取相同的長度單位，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以X軸正半軸為極軸）中，圓C的極坐標(biāo)方程為 P= 2 2cos A （1）寫出直線I的

11、參數(shù)方程，并把圓 C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；設(shè)I與圓C相交于A, B兩點(diǎn)，求PA+ |PB|的值.1 , X= 2+ tcos$,解：(1)直線I的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),y= 1 + tsi n§_1 , 3（t為參數(shù)）.X = 2 + 2 t, 即1 y= 1 + 2t由 P= 2 2cos 得： 2cos + 2sin , P= 2 PCOS + 2 PSin . X2+ y2= 2x+ 2y,故圓C的直角坐標(biāo)方程為(x 1)2+ (y 1)2= 2.1 , .,3X= 2+ft，3 7把(t為參數(shù))代入(X 1)2+ (yI)2= 2 得 t223t4= 0，y= 1

12、+1設(shè)點(diǎn)A, B對應(yīng)的參數(shù)分別為t ,t2,貝y tl+ t2= 2, tlt2=74,PA + IPBI=Itit2|=：t1 + t22 4t1t2=匣2 .3.已知曲線1 ,直線It ( t為參數(shù))2t(I)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線I的普通方程;()過曲線 C上任一點(diǎn)P作與I夾角為30o的直線,交I于點(diǎn)A ,求IPAl的最大值與最小值.解: (I) C: X 2cosy 3si nI : 2x() P到直線I的距離為| 4cos53sin6|,IPAI sino | 4cos3sin 6 | ,從而，| PA |的最大值為 5 ,最小值為 55554.【新方法、新技巧練習(xí)與鞏固】1.

13、(2016吉林實(shí)驗(yàn)中學(xué))已知橢圓C:=1，直線l:X= 3+ ' 3t, y= 2 .3+ t(t為參數(shù)).(1)寫出橢圓C的參數(shù)方程及直線I的普通方程；設(shè)A(1,0),若橢圓C上的點(diǎn)P滿足到點(diǎn)A的距離與其直線I的距離相等，求點(diǎn) P的坐標(biāo).X = 2cos ,解：橢圓C的參數(shù)方程為：(為參數(shù)),Y = P 3sin 直線I的普通方程為x 3y+ 9 = 0.設(shè) P(2cos , 3sin ),則AP=,： 2cos 1 2+3sin 2= 2 cos ,P到直線I的距離2cos 3sin + 9 = 2cos 3sin + 9 2 = 2由IAPl= d,得 3sin 4cos = 5

14、,又 sin2 + cos2 = 1,得 Sin = 3, cos = 455X= 3 + ?t.2. (2015陜西高考)在直角坐標(biāo)系Xoy中，直線I的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，OC的極坐標(biāo)方程為 P= 2 .： 3Sin(1) 寫出O C的直角坐標(biāo)方程；(2) P為直線I上一動點(diǎn)，當(dāng)P到圓心C的距離最小時，求 P的直角坐標(biāo). 解：由 P= 2 .,3Sin 得 P= 2寸3 Pin ,從而有 X2+ y2= 2 .l3y,所以 X2+ (y . 3)2= 3.設(shè) P 3+ 2t,23t ,又 C(0,3),則IPC=3 + 2t2+ -23t ,3

15、 2=.t2+ 12,故當(dāng)t = 0時，PC取得最小值，此時，點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(3,0).3. (2016 寧五校聯(lián)考)傾斜角為的直線I過點(diǎn)P(8,2),直線I和曲線C:X= 2cos ,(為參數(shù))交于不y= 2sin 同的兩點(diǎn)M1, M2.(1) 將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程，并寫出直線l的參數(shù)方程;(2) 求IPMIIlPM21的取值范圍.解：曲線C的普通方程為32+£ = 1,324直線I的參數(shù)方程為X= 8 + tC0S , y= 2 + tsin (t為參數(shù)).(2)將I的參數(shù)方程代入曲線C的方程得：(8 + tcos 2 + 8(2+ tsin 2= 32,整理得(8s

16、in2 + cos2 a)t2+ (16CoS + 32sin t+ 64= 0, 由 = (16cos + 32sin a)2 4×64(8sin2+ cos2 >0 ,得 cos a>sin a,故 a 0,PM1PM2= t1t264 廠 12821 + 7sin 2 a 94. (2016 西模擬)在極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為P= 4 2sin+ 4現(xiàn)以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，極軸為X軸(t為參數(shù))，即1X= 1÷ 2t,-（t為參數(shù)）. 3 y=- 5÷ 2t由題知C點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,4),圓C的半徑為4,1x = 2 ÷ t, 的非

17、負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線I的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).y=-3+零(1)寫出直線I的普通方程和曲線 C的直角坐標(biāo)方程；設(shè)直線I和曲線C交于A, B兩點(diǎn)，定點(diǎn)P( 2, - 3),求IFAl IPBl的值.解：(I) P= 4 2Sin ÷ 4 = 4sin ÷ 4cos ,所以 P= 4 Pin ÷ 4 PCOS ,所以 x2÷ y2- 4x 4y= 0,即(X- 2)2÷ (y- 2)2= 8;直線I的普通方程為，3x y÷ 2.3-3 = 0.把直線l的參數(shù)方程代入到圓C:x2÷ y2- 4x- 4y= 0 中，得

18、t2- (4÷ 5 3)t÷ 33 = 0,設(shè)A, B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1, t2,則 t1t2= 33.點(diǎn)P( - 2, - 3)顯然在直線I上，由直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程下 t的幾何意義知|PA| |PB|= |t1t2|= 33,所以 |PA| |PB|= 33.5. (2016長春模擬)以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸，已知點(diǎn) P的直角坐標(biāo)為(1 , - 5),點(diǎn) C的極坐標(biāo)為4, 2 ,若直線I過點(diǎn)P,且傾斜角為3,圓C的半徑為4.(1) 求直線I的參數(shù)方程和圓 C的極坐標(biāo)方程.(2) 試判斷直線I與圓C的位置關(guān)系. X= 1 ÷ tcoS3, 解

19、：（1）直線I的參數(shù)方程為 y=- 5÷ tsin3圓 C 的方程為 x2÷ （y- 4）2= 16,代入得,X= PCOS 將y= Pin 圓C的極坐標(biāo)方程為P= 8sin 由題意得，直線I的普通方程為-,3X- y-5J 3= 0,圓心 C至U I的距離為 d= |-4-；-問 =9÷23>4,直線I與圓C相離.6. （2016沈陽模擬）已知曲線Ci的極坐標(biāo)方程為PCoS 2= 8,曲線C2的極坐標(biāo)方程為= 曲線于A, B兩點(diǎn).C1, C2相交（1）求A, B兩點(diǎn)的極坐標(biāo);曲線Ci與直線（t為參數(shù)）分別相交于M，N兩點(diǎn)，求線段 MN的長度.2P cos

20、2 = 8,解：(1)由 = 得 Pcos= 8,所以 P= 16,即 = ±4.所以A, B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)為：A 4, , B 4, 6 67 或 B 4,.（2）由曲線C1的極坐標(biāo)方程得其直角坐標(biāo)方程為2 y2= 8,將直線代入 x2 y2= 8,整理得 t2+ 2 ,3t 14= 0,即 t1+ t2= 2 .,3, t1 t2= 14,所以 IMNI= 2 ,3 2 4× 14 = 2 17.7 .已知曲線C: x4+y9=1,直線l:X= 2+ t, y= 2 2t（t為參數(shù)）.（1）寫出曲線C的參數(shù)方程，直線I的普通方程;l于點(diǎn)A,求|PA|的最大值與最小值.過曲線C上任意一點(diǎn)P作與I夾角為30 °勺直線，交X= 2cos ,解：曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）