隨機(jī)事件的概率

1、一、概率的統(tǒng)計(jì)定義一、概率的統(tǒng)計(jì)定義二、概率的古典定義二、概率的古典定義1.3 1.3 隨機(jī)事件的概率隨機(jī)事件的概率三、概率的公理化定義三、概率的公理化定義定義定義 1.1.頻率的定義與性質(zhì)頻率的定義與性質(zhì) 一、概率的統(tǒng)計(jì)定義一、概率的統(tǒng)計(jì)定義,. , ,AnmAmAnn成成并記并記發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率稱為事件稱為事件比值比值生的頻數(shù)生的頻數(shù)發(fā)發(fā)稱為事件稱為事件發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù)事件事件次試驗(yàn)中次試驗(yàn)中在這在這次試驗(yàn)次試驗(yàn)進(jìn)行了進(jìn)行了在相同的條件下在相同的條件下)(Aw性質(zhì)性質(zhì) 設(shè)設(shè) A 是隨機(jī)試驗(yàn)是隨機(jī)試驗(yàn) E 的任一事件的任一事件, 則則; 1)(0)1(Aw0)(, 1)()2(ww實(shí)

2、例實(shí)例 將一枚硬幣拋擲將一枚硬幣拋擲 5 次、次、50 次、次、500 次次, 各做各做 7 遍遍, 觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率.試驗(yàn)試驗(yàn)序號(hào)序號(hào)5 nAn)(Anw1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4An)(Anw50 n22252125241827An500 n2512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.54)(Anw0.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502處處波波動(dòng)動(dòng)較較大大在在21處處波波動(dòng)動(dòng)較較小小在在21波動(dòng)最小波動(dòng)最小隨隨n的

3、增大的增大, 頻率呈現(xiàn)出穩(wěn)定性頻率呈現(xiàn)出穩(wěn)定性實(shí)驗(yàn)者實(shí)驗(yàn)者德德.摩根摩根蒲豐蒲豐K.皮爾遜皮爾遜K.皮爾遜皮爾遜nm頻率204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005頻率的增大的增大n.21這種試驗(yàn)歷史上曾有不少統(tǒng)計(jì)學(xué)家做過這種試驗(yàn)歷史上曾有不少統(tǒng)計(jì)學(xué)家做過從上述數(shù)據(jù)可以看出：從上述數(shù)據(jù)可以看出：(2) 拋硬幣次數(shù)拋硬幣次數(shù) n 較小時(shí)較小時(shí), 頻率的隨機(jī)波動(dòng)幅度頻率的隨機(jī)波動(dòng)幅度較大較大, 但但隨隨 n 的增大的增大 , 頻率頻率 f 呈現(xiàn)出穩(wěn)定性呈現(xiàn)出穩(wěn)定性.即當(dāng)即當(dāng) n 逐漸增大時(shí)頻率總是在逐漸增大時(shí)頻率總是在 0.

4、5 附近擺動(dòng)附近擺動(dòng), 且逐漸且逐漸穩(wěn)定于穩(wěn)定于 0.5.(1) 頻率有頻率有隨機(jī)波動(dòng)性隨機(jī)波動(dòng)性,即對(duì)于同樣的即對(duì)于同樣的 n, 所得的所得的 頻率不一定相同頻率不一定相同;重要結(jié)論重要結(jié)論頻率當(dāng)頻率當(dāng) n 較小時(shí)波動(dòng)幅度比較大較小時(shí)波動(dòng)幅度比較大,當(dāng)當(dāng) n 逐漸增逐漸增大時(shí)大時(shí) , 頻率趨于穩(wěn)定值頻率趨于穩(wěn)定值, 這個(gè)穩(wěn)定值從本質(zhì)上反映這個(gè)穩(wěn)定值從本質(zhì)上反映了事件在試驗(yàn)中出現(xiàn)可能性的大小了事件在試驗(yàn)中出現(xiàn)可能性的大小.它就是事件的它就是事件的概率概率.概率的統(tǒng)計(jì)定義概率的統(tǒng)計(jì)定義在隨機(jī)試驗(yàn)中在隨機(jī)試驗(yàn)中, ,若事件若事件A出現(xiàn)的頻率出現(xiàn)的頻率m/n隨隨210PP ( )( ),();定義定

5、義0()1;p A(1) 對(duì)任一事件對(duì)任一事件A ,有有概率統(tǒng)計(jì)定義的性質(zhì)概率統(tǒng)計(jì)定義的性質(zhì)01p則定義事件則定義事件A的概率為的概率為p, ,記作記作P( (A)=)=p .著試驗(yàn)次數(shù)著試驗(yàn)次數(shù)n的增加的增加, ,趨于某一常數(shù)趨于某一常數(shù)p,)A(P)A(P)A(P)AAA(P,A,A,A)(mmm 2121213個(gè)個(gè)事事件件對(duì)對(duì)于于兩兩兩兩互互斥斥的的有有限限多多 說明：概率的統(tǒng)計(jì)定義直觀地描述了事件發(fā)生的可能性大小，反映了概率的本質(zhì)內(nèi)容，但也有不足，即無法根據(jù)此定義計(jì)算某事件的概率。1.古典概型定古典概型定 義義二、概率的古典定義二、概率的古典定義如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)E具有以

6、下兩個(gè)特征：具有以下兩個(gè)特征： 1、樣本空間的元素、樣本空間的元素(基本事件基本事件)僅有有限個(gè)；僅有有限個(gè)； 2、每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相同。、每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相同。則稱該隨機(jī)試驗(yàn)為古典概型。則稱該隨機(jī)試驗(yàn)為古典概型。例如例如拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子 設(shè)試驗(yàn)設(shè)試驗(yàn) E 有有n 個(gè)等可能的基本事件個(gè)等可能的基本事件, A為為 E 的任意一個(gè)事件的任意一個(gè)事件,且包含且包含m 個(gè)不同的基本事件個(gè)不同的基本事件, 則事件則事件 A 出現(xiàn)的概率記為出現(xiàn)的概率記為: 2.概率的古典定義概率的古典定義.中樣本點(diǎn)總數(shù)中樣本點(diǎn)總數(shù)中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù) A An nm m

7、P(A)P(A) 稱此為稱此為概率的古典定義概率的古典定義. 3. 古典概型的基本模型古典概型的基本模型:摸球模摸球模型型(1) 無放回地摸球無放回地摸球問題問題1 設(shè)袋中有設(shè)袋中有M個(gè)白球和個(gè)白球和 N個(gè)黑球個(gè)黑球, 現(xiàn)從袋中無現(xiàn)從袋中無放回地依次摸出放回地依次摸出m+n個(gè)球個(gè)球,求所取球恰好含求所取球恰好含m個(gè)白個(gè)白球球, ,n個(gè)黑球的概率個(gè)黑球的概率?樣本點(diǎn)總數(shù)為樣本點(diǎn)總數(shù)為,MNmnA 所包含所包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )MNMNP Amnmn故故解解設(shè)設(shè)A=所取球恰好含所取球恰好含m個(gè)白球個(gè)白球, ,n個(gè)黑球個(gè)黑球,nNmM(2) 有放回地摸球有放回地摸球問題問題2 設(shè)袋中

8、有設(shè)袋中有4只紅球和只紅球和6只黑球只黑球,現(xiàn)從袋中有放現(xiàn)從袋中有放回地摸球回地摸球3次次,求前求前2 次摸到次摸到黑球黑球、第第3 次摸到紅球次摸到紅球的概率的概率.解解,2第三次摸到紅球第三次摸到紅球次摸到黑球次摸到黑球前前設(shè)設(shè) A第第1 1次摸球次摸球10種種第第2次摸球次摸球10種種第第3次摸球次摸球10種種6種種第第1 1次摸到黑球次摸到黑球 6種種第第2次摸到黑球次摸到黑球4種種第第3次摸到紅球次摸到紅球樣本點(diǎn)總數(shù)為樣本點(diǎn)總數(shù)為,101010103 A 所包含所包含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為, 466 310466)( AP故故.144. 0 課堂練習(xí)課堂練習(xí)1o 電話號(hào)碼問題電

9、話號(hào)碼問題 在在7位數(shù)的電話號(hào)碼中位數(shù)的電話號(hào)碼中,求各位求各位數(shù)字互不相同的概率數(shù)字互不相同的概率. 2o 骰子問題骰子問題 擲擲3顆均勻骰子顆均勻骰子,求點(diǎn)數(shù)之和為求點(diǎn)數(shù)之和為4的的概率概率.)10:(7710Pp 答案答案)63:(3 p答案答案4.古典概型的基本模型古典概型的基本模型:球放入杯子模型球放入杯子模型(1)杯子容量無限杯子容量無限問題問題1 把把 4 個(gè)球放到個(gè)球放到 3個(gè)杯子中去個(gè)杯子中去,求第求第1 1、2個(gè)個(gè)杯子中各有兩個(gè)球的概率杯子中各有兩個(gè)球的概率, 其中假設(shè)每個(gè)杯子可其中假設(shè)每個(gè)杯子可放任意多個(gè)球放任意多個(gè)球. 33334個(gè)球放到個(gè)球放到3個(gè)杯子的所有放法個(gè)杯子

10、的所有放法,333334種種 個(gè)個(gè)2種種 24個(gè)個(gè)2種種 22因此第因此第1、2個(gè)杯子中各有兩個(gè)球的概率為個(gè)杯子中各有兩個(gè)球的概率為432224 p.272 (2) 每個(gè)杯子只能放一個(gè)球每個(gè)杯子只能放一個(gè)球問題問題2 把把4個(gè)球放到個(gè)球放到10個(gè)杯子中去個(gè)杯子中去,每個(gè)杯子只能每個(gè)杯子只能放一個(gè)球放一個(gè)球, 求第求第1 至第至第4個(gè)杯子各放一個(gè)球的概率個(gè)杯子各放一個(gè)球的概率. .解解第第1至第至第4個(gè)杯子各放一個(gè)球的概率為個(gè)杯子各放一個(gè)球的概率為41044ppp 789101234 .2101 2o 生日問題生日問題 某班有某班有20個(gè)學(xué)生都個(gè)學(xué)生都是同一年出生的是同一年出生的,求有求有10個(gè)

11、學(xué)生生個(gè)學(xué)生生日是日是1 1月月1 1日日,另外另外10個(gè)學(xué)生生日是個(gè)學(xué)生生日是12月月31日的概率日的概率. )3! 3:(3答案答案)36510101020:(20 p答案答案課堂練習(xí)課堂練習(xí)1o 分房問題分房問題 將張三、李四、王五將張三、李四、王五3人等可能地人等可能地分配到分配到3 間房中去間房中去,試求每個(gè)房間恰有試求每個(gè)房間恰有1人的概率人的概率.5. 古典概型的概率的性質(zhì)古典概型的概率的性質(zhì)210PP( )(),();)()()()(,)3(212121mmmAPAPAPAAAPAAA 個(gè)事件個(gè)事件對(duì)于兩兩互斥的有限多對(duì)于兩兩互斥的有限多) 1 (1)對(duì)于任意事件A ,1P(A

12、)0解解.,TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHH 則.,1 TTHTHTHTTA 而而,83)(1 AP得得.,)2(2 TTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHA .87)(2 AP因此因此).(,)2().(,)1( .2211APAAPA求求次次出出現(xiàn)現(xiàn)正正面面至至少少有有一一為為設(shè)設(shè)事事件件求求次次出出現(xiàn)現(xiàn)正正面面恰恰有有一一為為設(shè)設(shè)事事件件將將一一枚枚硬硬幣幣拋拋擲擲三三次次., )1(為出現(xiàn)反面為出現(xiàn)反面為出現(xiàn)正面為出現(xiàn)正面設(shè)設(shè)TH6.6.典型例題典型例題1例例在在 N 件產(chǎn)品中抽取件產(chǎn)品中抽取n件件,其中恰有其中恰有k 件次品的取法件次品的取法共有共有,種種 knD

13、NkD于是所求的概率為于是所求的概率為. nNknDNkDp解解在在N件產(chǎn)品中抽取件產(chǎn)品中抽取n件的所有可能取法共有件的所有可能取法共有,種nN?)(,件次品的概率是多少件次品的概率是多少問其中恰有問其中恰有件件今從中任取今從中任取件次品件次品其中有其中有件產(chǎn)品件產(chǎn)品設(shè)有設(shè)有DkknDN 2例例例例 1.6（分房問題）（分房問題） 有有 n 個(gè)人，每個(gè)人都以同樣的個(gè)人，每個(gè)人都以同樣的概率概率 1/N 被分配在被分配在 間房中的每一間中，試間房中的每一間中，試求下列各事件的概率：求下列各事件的概率：)(NnNn(1)(1)某指定某指定 間房中各有一人間房中各有一人 ;n(2)(2)恰有恰有 間

14、房，其中各有一人；間房，其中各有一人； (3) (3) 某指定一間房中恰有某指定一間房中恰有 人。人。 )(nmmnN 解解 先求樣本空間中所含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)。先求樣本空間中所含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)。 首先，把首先，把 n 個(gè)人分到個(gè)人分到N間房中去共有間房中去共有 種分法，其種分法，其次，求每種情形下事件所含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)。次，求每種情形下事件所含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)。(b)(b)恰有恰有n n間房中各有一人，所有可能的分法為間房中各有一人，所有可能的分法為 ; !nCnN(a)(a)某指定某指定n n間房中各有一人，所含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)，間房中各有一人，所含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)， 即可能的的分法為即可能的的分法為 ; !

15、 n(c)(c)某指一間房中恰有某指一間房中恰有m m人，可能的分法為人，可能的分法為 .) 1(mnmnNC進(jìn)而我們可以得到三種情形下事件的概率，其分別為進(jìn)而我們可以得到三種情形下事件的概率，其分別為 :nNn!（1） （2） nnNNnC!（3） .) 1(nmnmnNNC上述分房問題中，若令上述分房問題中，若令 則可演化為則可演化為生日問題生日問題. .全班學(xué)生全班學(xué)生30人，人， 230,365,(1) (1) 某指定某指定30天，每位學(xué)生生日各占一天的概率；天，每位學(xué)生生日各占一天的概率； (2) (2) 全班學(xué)生生日各不相同的概率；全班學(xué)生生日各不相同的概率； (3) (3) 全年

16、某天，恰有二人在這一天同生日的概率。全年某天，恰有二人在這一天同生日的概率。 利用上述結(jié)論可得到概率分別為利用上述結(jié)論可得到概率分別為 :由（由（2）立刻得出，全班）立刻得出，全班30人至少有人至少有2人生日相同的概率人生日相同的概率等于等于1 10.294=0.706, 0.294=0.706, 這個(gè)值大于這個(gè)值大于70%。（1）;365!3030 （2）;294. 0365/ !303030365 C30230(365)28)364(C（3）例例1 在房間里有在房間里有10個(gè)人個(gè)人,分別佩戴從分別佩戴從1號(hào)到號(hào)到10號(hào)的號(hào)的紀(jì)念章紀(jì)念章,任選任選3個(gè)記錄其紀(jì)念章的號(hào)碼個(gè)記錄其紀(jì)念章的號(hào)碼.

17、(1)求最小號(hào)碼為求最小號(hào)碼為5的概率的概率;(2)求最大號(hào)碼為求最大號(hào)碼為5的概的概率率.解解(1)總的選法種數(shù)為總的選法種數(shù)為,310 n最小號(hào)碼為最小號(hào)碼為5的選法種數(shù)為的選法種數(shù)為,25 m7.備份題備份題(2)最大號(hào)碼為最大號(hào)碼為5的選法種數(shù)為的選法種數(shù)為,24 故最大號(hào)碼為故最大號(hào)碼為5的概率為的概率為 31024P故小號(hào)碼為故小號(hào)碼為5的概率為的概率為 31025P.121 .201 例例2 將將 4 只球隨機(jī)地放入只球隨機(jī)地放入 6 個(gè)盒子中去個(gè)盒子中去 ,試求每試求每個(gè)盒子至多有一只球的概率個(gè)盒子至多有一只球的概率.解解 將將4只球隨機(jī)地放入只球隨機(jī)地放入6個(gè)盒子中去個(gè)盒子中

18、去 , 共有共有64 種種 放法放法.每個(gè)盒子中至多放一只球共有每個(gè)盒子中至多放一只球共有 種不同放種不同放法法.3456 因而所求的概率為因而所求的概率為463456 p.2778.0 例例3 將將 15 名新生隨機(jī)地平均分配到三個(gè)班級(jí)中名新生隨機(jī)地平均分配到三個(gè)班級(jí)中去去,這這15名新生中有名新生中有3名是優(yōu)秀生名是優(yōu)秀生.問問 (1) 每一個(gè)班每一個(gè)班級(jí)各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少級(jí)各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少? (2) 3 名名優(yōu)優(yōu)秀生分配在同一個(gè)班級(jí)的概率是多少秀生分配在同一個(gè)班級(jí)的概率是多少? 解解 15名新生平均分配到三個(gè)班級(jí)中的分法總數(shù)名新生平均分配到三個(gè)班級(jí)中的分法總數(shù):

19、 55510515.! 5! 5! 5!15 (1) 每一個(gè)班級(jí)各分配到一名優(yōu)秀生的分法共有每一個(gè)班級(jí)各分配到一名優(yōu)秀生的分法共有.) !() !(種種4441231112134448412因此所求概率為因此所求概率為! 5! 5! 5!15! 4! 4! 4!12! 31 p.9125 (2)將將3名優(yōu)秀生分配在同一個(gè)班級(jí)的分法共有名優(yōu)秀生分配在同一個(gè)班級(jí)的分法共有3種種,對(duì)于每一種分法對(duì)于每一種分法,其余其余12名新生的分法有名新生的分法有.! 5! 5! 2!12種種因此因此3名優(yōu)秀生分配在同一個(gè)班級(jí)的分法共有名優(yōu)秀生分配在同一個(gè)班級(jí)的分法共有,) !() !(種種552123因此所求概

20、率為因此所求概率為! 5! 5! 5!15! 5! 5! 2!1232 p.916 例例4 某接待站在某一周曾接待過某接待站在某一周曾接待過 12次來訪次來訪,已知已知所有這所有這 12 次接待都是在周二和周四進(jìn)行的次接待都是在周二和周四進(jìn)行的,問是問是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的. 假設(shè)接待站的接待時(shí)間沒有假設(shè)接待站的接待時(shí)間沒有規(guī)定規(guī)定,且各來訪者在一周的任一天且各來訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的中去接待站是等可能的.解解周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日.712種種12341277777 故一周內(nèi)接待故一周內(nèi)接待 12 次來訪共有

21、次來訪共有.212種種121272 p0000003.0 小概率事件在實(shí)際中幾乎是不可能發(fā)生的小概率事件在實(shí)際中幾乎是不可能發(fā)生的 , 從從而可知接待時(shí)間是有規(guī)定的而可知接待時(shí)間是有規(guī)定的.周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日周二周二周四周四12341222222 12 次接待都是在周二和周四進(jìn)行的共有次接待都是在周二和周四進(jìn)行的共有故故12 次接待都是在周二和周四進(jìn)行的概率為次接待都是在周二和周四進(jìn)行的概率為例例5 假設(shè)每人的生日在一年假設(shè)每人的生日在一年 365 天中的任一天天中的任一天是等可能的是等可能的 , 即都等于即都等于 1/365 ,求求 64 個(gè)人中至少個(gè)人

22、中至少有有2人生日相同的概率人生日相同的概率. 64 個(gè)人生日各不相同的概率為個(gè)人生日各不相同的概率為641365)164365( 364365 p故故64 個(gè)人中至少有個(gè)人中至少有2人生日相同的概率為人生日相同的概率為64365)164365( 3643651 p.997. 0 解解說明說明率率為為概概他他們們的的生生日日各各不不相相同同的的個(gè)個(gè)人人隨隨機(jī)機(jī)選選取取,)365( nnnp365)1365(364365 日相同的概率為日相同的概率為個(gè)人中至少有兩個(gè)人生個(gè)人中至少有兩個(gè)人生而而nnnp365)1365(3643651 概率的古典定義具有可計(jì)算性的優(yōu)點(diǎn)概率的古典定義具有可計(jì)算性的優(yōu)

23、點(diǎn), ,但它也但它也有明顯的局限性有明顯的局限性. .要求樣本要求樣本點(diǎn)有限點(diǎn)有限,如果樣本空間中如果樣本空間中的樣本點(diǎn)有無限個(gè)的樣本點(diǎn)有無限個(gè), 概率的古典定義就不適用了概率的古典定義就不適用了. .而統(tǒng)計(jì)定義雖然簡(jiǎn)單直觀但從數(shù)學(xué)角度講卻不嚴(yán)密，而統(tǒng)計(jì)定義雖然簡(jiǎn)單直觀但從數(shù)學(xué)角度講卻不嚴(yán)密，因?yàn)樽隼碚撗芯繒r(shí)不可能去做大量試驗(yàn)去找那個(gè)頻因?yàn)樽隼碚撗芯繒r(shí)不可能去做大量試驗(yàn)去找那個(gè)頻率的穩(wěn)定值。為了克服上述缺點(diǎn)，率的穩(wěn)定值。為了克服上述缺點(diǎn)，1933年年 , 蘇聯(lián)數(shù)蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫提出了概率論的公理化結(jié)構(gòu)學(xué)家柯爾莫哥洛夫提出了概率論的公理化結(jié)構(gòu) ,給給出了概率的嚴(yán)格定義出了概率的嚴(yán)格定義 ,

24、使概率論有了迅速的發(fā)展使概率論有了迅速的發(fā)展.三三 概率的公理化定義概率的公理化定義; 1)(0,:(1) APA 有有對(duì)于每一個(gè)事件對(duì)于每一個(gè)事件有界有界性性;)(,:(2)1 P 有有對(duì)對(duì)于于必必然然事事件件規(guī)規(guī)范范性性則則有有即即對(duì)對(duì)于于事事件件是是兩兩兩兩互互不不相相容容的的設(shè)設(shè), 2, 1,: (3)21 jiAAjiAAji可可列列可可加加性性 )()()(2121APAPAAP概率的可列可加性概率的可列可加性1. 概率的公理化定義：概率的公理化定義：: :) )滿滿足足下下列列條條件件函函數(shù)數(shù)P P( (果果集集合合稱稱為為事事件件A A的的概概率率. .如如記記為為P P( (

25、A A) ), ,一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)數(shù)數(shù), ,賦賦予予) )對(duì)對(duì)于于E E的的每每一一事事件件A A( (上上給給出出一一個(gè)個(gè)集集合合函函數(shù)數(shù)P P的的子子集集是是它它得得樣樣本本空空間間. .在在設(shè)設(shè)E E是是隨隨機(jī)機(jī)試試驗(yàn)驗(yàn), ,概率的有限可加性概率的有限可加性證明證明,21 nnAA令令., 2 , 1, jijiAAji由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得)(21nAAAP)(1kkAP 1)(kkAP0)(1 nkkAP).()()(21nAPAPAP 則則有有是是兩兩兩兩互互不不相相容容的的事事件件 ,) 1 (21nAAA若).()()()(2121nnAPAPAPAAAP 2.

26、性質(zhì)性質(zhì)).(1)(,)2(APA PAA 則則的對(duì)立事件的對(duì)立事件是是設(shè)設(shè),)(,1 PAAAA因?yàn)橐驗(yàn)?.(1)(APAP 證明證明)()(AAPP 1所以所以)()(APAP ).()()(),()(,)3(APBPABPBPAPBABA 則則且且為兩個(gè)事件為兩個(gè)事件設(shè)設(shè)證明證明BA,BA 因?yàn)橐驗(yàn)?.(ABAB 所以所以,)( AAB又又)()()(ABPAPBP 得得, 0)( ABP又又因因).()(BPAP 故故).()()(APBPABP 于是于是).()()()(,)()4(ABPBPAPBAPBA有對(duì)于任意兩事件廣加法公式證明證明AB由圖可得由圖可得),(ABBABA ,)

27、( ABBA且且).()()(ABBPAPBAP 故故又由性質(zhì)又由性質(zhì) 3 得得因此得因此得ABBAB),()()(ABPBPABBP).()()()(ABPBPAPBAP 推廣推廣 3個(gè)事件和的情況個(gè)事件和的情況)(321AAAP).()()()()()()(321313221321AAAPAAPAAPAAPAPAPAP n 個(gè)事件和的情況個(gè)事件和的情況)(21nAAAP njijiniiAAPAP11)()().() 1()(2111nnnkjikjiAAAPAAAP P P( (B B) ). .P P( (A A) )B B) )有有P P( (A AB BA A, ,( (5 5) )對(duì)對(duì)于于任任意意兩兩事事件件解解),()()1(BPABP 由圖示得由圖示得.21)()( BPABP故故)()()()2(APBPABP 由圖示得由圖示得.613121 .81)()3(;)2(;)1(.)(,2131, ABPBABAABPBA互斥互斥與與的值的值三種情況下三種情況下求在下列求在下列和和的概率分別為的概率分別為設(shè)事件設(shè)事件BAAB1例例,)3(ABABA 由圖示得由圖示得),()()()(ABPBPAPBAP 又又),()()(ABPAPBAAP