信息經(jīng)濟學(xué)部分習(xí)題解答

1、.博弈論與信息經(jīng)濟學(xué)博弈論與信息經(jīng)濟學(xué)Game Theory and Economics of Information練習(xí)練習(xí)Exercise.1 完全信息靜態(tài)博弈.2.在下表所示的戰(zhàn)略式表述中，找出重復(fù)剔除的占優(yōu)均衡。LMRU4,35,16,2M2,18,43,6D3,09,62,8.4.一群賭徒圍成一圈賭博，每個人將自己的錢放在身邊的地上(每個人都知道自己有多少錢)，突然一陣風(fēng)吹來將所有的錢混在一起，使得他們無法分辨哪些錢屬于自己的，他們?yōu)榇硕l(fā)生爭執(zhí)，最后請來一位律師。律師宣布了這樣的規(guī)則：每一個人將自己的錢數(shù)寫在紙條上，然后將紙條交給律師；如果所有人要求的加總不大于錢的總數(shù)，每個人得到

2、自己要求的部分(如果有剩余的話，剩余的歸律師)；如果所有人要求的加總大于錢的總數(shù)，所有的錢都歸律師所有。寫出這個博弈中每個參與人的戰(zhàn)略空間和支付函數(shù)，并給出納什均衡。.解：設(shè)金錢總數(shù)為M。 對賭徒i，戰(zhàn)略空間Si=0,M，siSi，支付函數(shù)ui為所有滿足isiM的選擇都是納什均衡。納什均衡有無窮多個。MsifMsifsuiiiiii0.5.(庫諾特博弈)假定有n個庫諾特寡頭企業(yè)，每個企業(yè)具有相同的不變單位成本c，市場逆需求函數(shù)是p = a - Q，其中p是市場價格，Q = jqj是總供給量，a是大于零的常數(shù)。企業(yè)i的戰(zhàn)略是選擇產(chǎn)量qi最大化利潤 i=qi(a-Q-c)，給定其他企業(yè)的產(chǎn)量q-i

3、，求庫諾特-納什均衡。.解：根據(jù)問題的假設(shè)可知各企業(yè)的利潤函數(shù)為其中i=1,n。將利潤函數(shù)對qi求導(dǎo)并令其為0得：解得各企業(yè)對其他企業(yè)產(chǎn)量的反應(yīng)函數(shù)為：iinijjiiiicqqqqacqpq02inijjiiqcqaq2/cqaqnijji.根據(jù)n個企業(yè)之間的對稱性，可知必然成立。代入上述反應(yīng)函數(shù)可解得：因此該博弈的納什均衡是所有n個企業(yè)都生產(chǎn)產(chǎn)量 。*2*1nqqq1*2*1ncaqqqn1nca.6.(伯川德博弈)假定兩個寡頭企業(yè)之間進行價格競爭(而不是產(chǎn)量競爭)，兩個企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品是完全替代的，并且單位生產(chǎn)成本相同且不變，企業(yè)1的價格為p1，企業(yè)2的價格為p2。如果p1p2，企業(yè)1的需

4、求函數(shù)為0，企業(yè)2的需求函數(shù)為q2=a-p2；如果p1=p2=p，市場需求在兩個企業(yè)之間平分，即qi=(a-p)/2，什么是納什均衡價格？.解：假設(shè)單位成本為c。 企業(yè)i的需求函數(shù)為 從上述需求函數(shù)可以看出，企業(yè)i絕不會將其價格定的高于企業(yè)j。由于對稱性，可知博弈的均衡結(jié)果必然是兩企業(yè)的價格相同，即p1=p2。如果pic，企業(yè)i的利潤i=qi(pi-c)=(pi-c)(a-pi)/20。因此，只要企業(yè)i將其價格略微降低一點點(0)，則可獲得整個市場的需求，利潤為(pi-c)(a-pi)(pi-c)(a-pi)/2。另一企業(yè)也會采取相同的戰(zhàn)略，直到其利潤為0。此時均衡的結(jié)果為p1=p2=c。ji

5、jiijiiippifppifpappifpaq02.7.(產(chǎn)品有差異時的價格競爭)現(xiàn)在假定兩個企業(yè)的成本并不完全相同，企業(yè)1的需求函數(shù)為q1(p1,p2)=a-p1+p2，業(yè)2的需求函數(shù)是q2(p1,p2)=a-p2+p1。求兩個企業(yè)同時選擇價格時的納什均衡。.解：兩企業(yè)的利潤函數(shù)分別為求各自價格的一階偏導(dǎo)數(shù)，令其等于0，得：121211,pppapp 212212,pppapp021211ppap022122ppap.分別得到兩個企業(yè)的反應(yīng)函數(shù)：求解方程得：221pap212papapp21.9.(投票博弈)假定有三個參與人(1,2,3)要在三個項目(A,B,C)中投票選擇一個。三個參與人

6、同時投票，不允許棄權(quán)，因此，戰(zhàn)略空間為Si=A,B,C。得票最多的項目被選中，如果沒有任何其他項目得到多數(shù)票，項目A被選中。參與人的支付函數(shù)如下： u1(A)=u2(B)=u3(C)=2 u1(B)=u2(C)=u3(A)=1 u1(C)=u2(A)=u3(B)=0找出這個博弈的所有的納什均衡。.解：所有戰(zhàn)略組合的支付函數(shù)如下參與人3選擇A參與人2ABC參與人1A2,0,12,0,12,0,1B2,0,11,2,02,0,1C2,0,12,0,10,1,2.納什均衡為(A,A,A)、 (A,B,A)、 (B,B,B)、 (A,C,C)、 (C,C,C)參與人3選擇B參與人2ABC參與人1A2,

7、0,11,2,02,0,1B1,2,01,2,01,2,0C2,0,11,2,00,1,2參與人3選擇C參與人2ABC參與人1A2,0,12,0,10,1,2B2,0,11,2,00,1,2C0,1,20,1,20,1,2.10.模型化下述劃拳博弈：兩個老朋友在一起劃拳喝酒，每個人有四個純戰(zhàn)略：桿子、老虎、雞、蟲子。輸贏規(guī)則是：桿子降老虎、老虎降雞、雞降蟲子、蟲子降桿子。兩個人同時出令、如果一個打敗另一個，贏著的效用為1，輸者的效用為-1；否則，效用都為0。寫出這個博弈的支付矩陣。這個博弈有純戰(zhàn)略納什均衡嗎？計算出混合戰(zhàn)略納什均衡。.解：.補充1：求出下圖中的博弈的混合戰(zhàn)略納什均衡解：設(shè)參與人

8、1采用戰(zhàn)略T的概率為p；參與人2采用戰(zhàn)略L的概率為q。分別計算兩個參與人采用各自兩個純戰(zhàn)略的期望效用，并令它們相等得： 2q=q+3(1-q) p+2(1-p)=2p求解得：p=2/3，q=3/4參與人2LR參與人1T2,10,2B1,23,0p1-pq1-q.2 完全信息動態(tài)博弈.1.參與人1(丈夫)和參與人2(妻子)必須獨立地決定出門時是否帶傘。他們知道下雨和不下雨的可能性相同(即50:50)。支付函數(shù)如下：如果只有一人帶傘，下雨時帶傘者的效用為-2.5，不帶傘者(搭便車者)的效用為-3；不下雨時帶傘者的效用為-1，不帶傘者的效用為0；如果兩人都帶傘，下雨時每人的效用為-2，不下雨時每人的

9、效用為1；如果兩人都不帶傘，下雨時每人的效用為-5，不下雨時每人的效用為1。給出以下兩種情況下的擴展式表述(博弈樹)和戰(zhàn)略式表述：(1)兩人出門前都不知道是否會下雨，并且兩人同時決定是否帶傘(即每一方在決策時都不知道對方的決策)；(2)兩人出門前都不知道是否會下雨，但丈夫先決策，妻子在觀察到丈夫是否帶傘后才決定自己是否帶傘；(3)丈夫出門前知道是否會下雨，妻子不知道，但丈夫先決策，妻子后決策；(4)同(3)，但妻子先決策，丈夫后決策。.解：擴展式表述：假設(shè)用N代表自然，H代表丈夫，W代表妻子。NHHFFFF帶傘不帶傘不下雨帶傘不帶傘帶傘不帶傘帶傘不帶傘帶傘不帶傘（-2,-2） （-2.5,-3

10、）（-1,-1） （-1,0）（-3,-2.5） （-5,-5）（0,-1） （1,1）下雨帶傘不帶傘（1）（2）NHHFFFF帶傘不帶傘不下雨帶傘不帶傘帶傘不帶傘帶傘不帶傘帶傘不帶傘（-2,-2） （-2.5,-3）（-1,-1） （-1,0）（-3,-2.5） （-5,-5）（0,-1） （1,1）下雨帶傘不帶傘.NHHFFFF帶傘不帶傘不下雨帶傘不帶傘帶傘不帶傘帶傘不帶傘帶傘不帶傘（-2,-2） （-2.5,-3）（-1,-1） （-1,0）（-3,-2.5） （-5,-5）（0,-1） （1,1）下雨帶傘不帶傘（3）NHHFFFF帶傘不帶傘不下雨帶傘不帶傘帶傘不帶傘帶傘不帶傘帶傘不帶傘

11、（-2,-2） （-2.5,-3）（-1,-1） （-1,0）（-3,-2.5） （-5,-5）（0,-1） （1,1）下雨帶傘不帶傘（4）.戰(zhàn)略式表述：(麻煩，自己寫)下雨妻子帶傘不帶傘丈夫帶傘-2，-2-2.5，-3不帶傘-3，-2.5-5，-5不下雨妻子帶傘不帶傘丈夫帶傘-1，-1-1，0不帶傘0，-11，1.3.下面的兩人博弈可以解釋為兩個寡頭企業(yè)的價格競爭博弈，其中p是企業(yè)1的價格，q是企業(yè)2的價格。企業(yè)1的利潤函數(shù)是： 1=-(p-aq+c)2+q企業(yè)2的利潤函數(shù)是： 2=-(q-b)2+p求解： (1) 兩個企業(yè)同時決策時的(純戰(zhàn)略)納什均衡 (2) 企業(yè)1先決策時的子博弈精煉納

12、什均衡 (3) 企業(yè)2先決策時的子博弈精煉納什均衡 (4) 是否存在某些參數(shù)值(a,b,c)，使得每一個企業(yè)都希望自己先決策？.解: (1) 根據(jù)兩個企業(yè)的利潤函數(shù)，得各自的反應(yīng)函數(shù)為：求解得納什均衡：caqpcaqpp021bqbqq022bqcabp. (2) 企業(yè)1先決策 根據(jù)逆推歸納法，先求企業(yè)2的反應(yīng)函數(shù)代入企業(yè)1的利潤函數(shù)，得再求企業(yè)1的反應(yīng)函數(shù)，得bqbqq022bcabpqcaqp221cabpcabpp021. (3) 企業(yè)2先決策 根據(jù)逆推歸納法，先求企業(yè)1的反應(yīng)函數(shù)代入企業(yè)2的利潤函數(shù)，得再求企業(yè)2的反應(yīng)函數(shù)，得再代入企業(yè)1的反應(yīng)函數(shù)，得 baqabqq2022caqbq

13、pbq222caqpcaqpp021cabacaqp22. (4) 因為只有先決策的利潤大于后決策的利潤時企業(yè)才希望先決策，因此得兩個企業(yè)都希望先決策的條件為01,2abab希望先決策企業(yè)當(dāng)02,42acabcaba希望先決策企業(yè)當(dāng)0400202cabacabbab利潤非負abcaba20.4.考慮如下的雙寡頭市場的戰(zhàn)略性投資模型：企業(yè)1和企業(yè)2目前情況下的單位生產(chǎn)成本是c=2。企業(yè)1可以引進一項新技術(shù)使單位生產(chǎn)成本降低到c=1，該項技術(shù)需要的投資為f。企業(yè)2可以觀察到企業(yè)1的投資決策。在企業(yè)1做出是否投資的決策之后，兩個企業(yè)同時選擇產(chǎn)量(庫諾特博弈)。因此，這是個兩階段博弈。假定需求函數(shù)為p

14、(q)=14-q，其中p是市場價格，q是兩個企業(yè)的總產(chǎn)量。問題：當(dāng)f 取什么值時，企業(yè)1將投資引進新技術(shù)？.解：分企業(yè)1第一階段未引進和引進投資兩種情況，每種情況都用逆推歸納法進行分析。 假設(shè)企業(yè)1第一階段未投資引進新技術(shù)。此時兩個企業(yè)的邊際成本都為2，利潤函數(shù)為：一階最優(yōu)條件為求解可得 11211214qqqq22212214qqqq022142111qqq022142122qqq1644121qq. 假設(shè)企業(yè)1第一階段投資引進新技術(shù)。此時兩個企業(yè)的邊際成本下降到1，利潤函數(shù)為：一階最優(yōu)條件為求解可得故當(dāng) 時，引進新技術(shù) fqqqq112111422212214qqqq012142111qq

15、q022142122qqqfqq9196311314121952169196ff.8.下表所示博弈重復(fù)兩次，第二次開始之前第一次的行動能被雙方觀察到。假定參與人對未來收入不貼現(xiàn)。問題：支付向量(4,4)能否作為子博弈精煉均衡結(jié)果在第一階段出現(xiàn)(假定參與人只選擇純戰(zhàn)略)？如果能，請給出支持這一結(jié)果的戰(zhàn)略；如果不能，解釋為什么。LCRT3,10,05,0M2,11,23,1B1,20,14,4.解：上述靜態(tài)博弈有兩個純戰(zhàn)略納什均衡(T,L)和(M,C)。由于戰(zhàn)略組合(B,R)實現(xiàn)的收益(4,4)對參與人2來說已經(jīng)是最理想的，所以參與人2不會有偏離動機，只有參與人1有偏離動機，因此可以設(shè)計如下制約參

16、與人1行為的觸發(fā)戰(zhàn)略： 參與人1：第一階段選B；第二階段選T 參與人2：第一階段選R；第二階段，如果第一階段的結(jié)果是(B,R)，則選L，否則選C。.補充1：三寡頭壟斷市場有倒轉(zhuǎn)的需求函數(shù)為p(Q)=a-Q，其中Q=q1+q2+q3，qi是廠商i的產(chǎn)量。每一個廠商生產(chǎn)的邊際成本為常數(shù)c，沒有固定成本。如果廠商1先選擇q1，廠商2和3觀察到q1后同時選擇q2和q3，問它們各自的產(chǎn)量是多少？.解：用逆推歸納法先分析第二階段廠商2和廠商3的靜態(tài)博弈，再討論第一階段廠商1的選擇。 三個廠商的利潤函數(shù)為： 先分析第二階段廠商2和3的決策。最優(yōu)一階條件為：113211cqqqqqa223212cqqqqqa

17、333213cqqqqqa0223122cqqqaq0232122cqqqaq.聯(lián)立解得廠商2和3對廠商1產(chǎn)量的反應(yīng)函數(shù)為：再分析第一階段的決策。將反應(yīng)函數(shù)代入廠商1的利潤函數(shù)得：最優(yōu)一階條件312qcaq313qcaq111132113qcqacqqqqqa20321111caqcqaq6,632caqcaq.補充2：某人正在打一場官司，不請律師肯定會輸，請律師后的結(jié)果與律師的努力程度有關(guān)。假設(shè)當(dāng)律師努力工作努力工作(100小時)時有50%的概率能贏，律師不努力工作(10小時)則只有15%的概率能贏。如果訴訟獲勝可得到250萬元賠償，失敗則沒有賠償。因為委托方無法監(jiān)督律師的工作，因此雙方約定

18、根據(jù)結(jié)果付費，贏官司律師可獲賠償金額的10%，失敗則律師一分錢也得不到。律師的效用函數(shù)為m-0.05e，其中m是報酬，e是努力小時數(shù)，且律師有機會成本5萬元。求這個博弈的均衡。.解：1不委托委托2接受拒絕不努力努力2(0,5)(0,5)(0,-0.5)(225,24.5) (0,-5)(225,20)輸(0.85)贏(0.15)輸(0.5)贏(0.5).3 不完全信息靜態(tài)博弈.2.考慮如下貝葉斯博弈：(1)自然決定支付矩陣如表a或b，概率分別為和1-；(2)參與人1知道自然選擇了a還是b，但參與人2不知道；(3)參與人1和參與人2同時行動(參與人1選擇T或B，參與人2選擇L或R)。給出這個博弈

19、的擴展式表述(博弈樹)并求純戰(zhàn)略貝葉斯納什均衡。LRT1,10,0B0,00,0表aLRT0,00,0B0,02,2表b.解：在這個靜態(tài)貝葉斯博弈中，參與人1的戰(zhàn)略是私人信息類型的函數(shù)：當(dāng)自然選擇表a時選擇T，當(dāng)自然選擇表b時選擇B。 參與人2的戰(zhàn)略則根據(jù)期望利潤最大化決定。參與人2選擇L的期望收益為0.51+0.50=0.5，選擇R的期望收益為0.50+0.52=1，因此參與人選擇R。.3.在3.2節(jié)的第2部分中，假定參與人1的成本也有兩種可能，分別以相同的概率取c1=3/4和c1=5/4，求貝葉斯均衡產(chǎn)量。.4.兩個企業(yè)同時決定是否進入一個市場。企業(yè)i的進入成本i0, )是私人信息，來自獨

20、立的分布函數(shù)P(i)(密度函數(shù)p(.)嚴(yán)格大于0)。如果只有一個企業(yè)進入，進入企業(yè)i的利潤函數(shù)為m-i；如果兩個企業(yè)都進入，企業(yè)i的利潤函數(shù)為d-i；如果沒有企業(yè)進入，利潤為0。假定m和d是共同知識，且md0。問題：(1)指出這個博弈與3.2節(jié)第二部分的相同之處和不同之處；(2)計算貝葉斯均衡并證明均衡是唯一的。.解：根據(jù)問題的假設(shè)，該博弈的得益矩陣為： 假設(shè)企業(yè)1采用如下的臨界值戰(zhàn)略：當(dāng)1w時，采用“進入”戰(zhàn)略；當(dāng)1w時，采用“不進入”戰(zhàn)略。 假設(shè)企業(yè)2采用如下的臨界值戰(zhàn)略：當(dāng)2t時，采用“進入”戰(zhàn)略；當(dāng)2t 時，采用“不進入”戰(zhàn)略。廠商2進入不進入廠商1進入d-1, d-2m-1, 0不進

21、入0, m-20,0. 因此企業(yè)1采用進入戰(zhàn)略的概率是p(w)，不進入的概率是1-p(w)；因此企業(yè)2采用進入戰(zhàn)略的概率是p(t)，不進入的概率是1-p(t)； 從企業(yè)1的角度來看，選擇進入和不進入的期望收益分別為： p(t)(d-1)+1-p(t) (m-1)=p(t) (d-m)+m- 1 p(t)0+1-p(t)0=0 當(dāng)進入的期望收益大于不進入的期望收益時企業(yè)1會采用進入。所以企業(yè)1的進入條件是： p(t) (d-m)+m- 1 0或1 0或2 bj0的前提下，上述最大化問題與bibj的概率最大化是一致的。使bibj的概率最大化的唯一方法是盡可能取最大的bi。 由于當(dāng)vibj。由于bj

22、就是中標(biāo)價格，因此vi-bj=bi-bj0，博弈方有正的利益，取盡可能大的概率是正確的；此時如果博弈方i不能中標(biāo)，那么說明bi=vi bj，為了中標(biāo)再進一步提高標(biāo)價只會帶來虧損。因此標(biāo)價等于估價jibbbiPrmax.正是博弈方i的最佳策略。 由于兩博弈方的情況是相同的，因此所有博弈方都把自己的真實估價作為報價，就是這種最高報價者以次高價中標(biāo)的一級密封價格拍賣博弈的貝葉斯納什均衡。該貝葉斯納什均衡當(dāng)然也是線性策略均衡。投標(biāo)者的數(shù)量增加到超過兩人時結(jié)論也是相同的。.4 不完全信息動態(tài)博弈.補充1：兩寡頭庫諾特產(chǎn)量競爭模型中廠商i的利潤函數(shù)為i=qi(ti-qj-qi)，i=1,2。若t1=1是兩

23、個廠商的共同知識，而t2則是廠商2的私人信息，廠商1只知道t2=3/4或t2=5/4，且t2取這兩個值的概率相等。若廠商2先選擇產(chǎn)量，然后廠商1再選擇產(chǎn)量，請找出該博弈的純策略貝葉斯均衡。解：由于后選擇的廠商1的利潤只受先選擇的廠商2產(chǎn)量的影響，而不受其參數(shù)類型的影響，因此我們可以根據(jù)逆推歸納法直接分析第二階段.廠商1的選擇。 假設(shè)廠商2在第一階段選擇的產(chǎn)量是q2，那么廠商1選擇q1的利潤為 1=q1(1-q1-q2)，廠商1最符合自身利益的產(chǎn)量滿足 1-2q1-q2=0，即廠商1有反應(yīng)函數(shù) q1=(1-q2)/2 再回到第一階段廠商2的選擇。如果t2=3/4，那么此時廠商2的利潤函數(shù)是 2=

24、q2(3/4-q1-q2)，把廠商1的上述反應(yīng)函數(shù)代入該函數(shù)可得 2=q2(3/4-q1-q2)=q2(1/4-q2/2)因此廠商2最符合自己利益的產(chǎn)量滿足 -q2=0. 再把q2=1/4代入廠商1的反應(yīng)函數(shù)可得 q1=(1-q2)/2=3/8 如果t2=5/4，那么此時廠商2的利潤函數(shù)是 2=q2(5/4-q1-q2)，把廠商1的上述反應(yīng)函數(shù)代入該函數(shù)可得 2=q2(5/4-q1-q2)=q2(3/4-q2/2)因此廠商2最符合自己利益的產(chǎn)量滿足 3/4-q2=0 再把q2=3/4代入廠商1的反應(yīng)函數(shù)可得 q1=(1-q2)/2=1/8. 綜合上述分析我們可以得出結(jié)論，本博弈中當(dāng)t2=3/4

25、時均衡是廠商1生產(chǎn)3/8，廠商2生產(chǎn)1/4，當(dāng)t2=5/4時均衡則是廠商1生產(chǎn)1/8，廠商2生產(chǎn)3/4。上述均衡與類型的概率分布無關(guān)。.補充2：廠商A面臨著一個潛在競爭者廠商B，如果廠商B進入該市場則廠商A既可以打擊也可以容忍。設(shè)廠商B不進入市場廠商A的利潤是3/4，如果廠商B進入廠商A容忍則廠商B獨享1單位利潤，如果廠商B進入廠商A打擊則有兩種可能性：二者得益為(1/2,-1)的概率為x，得益為(-1,-1)的概率為1-x。請問該博弈的均衡是什么？.解：博弈的擴展形表示如下：為了簡單起見，先計算出廠商B進入而廠商A打擊時雙方的期望收益： 廠商A的期望收益為 x+(1-x)(-1)=3x/2-1 廠商B的期望收益為 -1BN進入不進入x1-x打擊容忍(-1,-1)(1,0)(-1,1/2)(0,3/4)A. 根據(jù)逆推歸納法先分析第二階段廠商A的選擇。由于廠商A在第二階段打擊的期望得益是3x/2-1，容忍的得益是0，因此當(dāng)3x/2-10，也就是x2/3時廠商A肯定會選擇打擊，而在3x/2-10，也就是x2/3的情況下，因為進入被打擊的得益小于不進的得益(-10)，應(yīng)該選擇不進；在x0)，應(yīng)該選擇進入。. 因此該博弈的均衡有幾種可能性：當(dāng)x2/3時是“廠商B不進，廠商A打擊”，雙方得益(0,3/4)；當(dāng)x0，也就是1/3時，應(yīng)該進入，1/3時進入，否則不進入