角平分線的性質(zhì)-一等獎(jiǎng)-一等獎(jiǎng)-優(yōu)質(zhì)公開課ppt課件

1、角平分線的定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的角OBAC平分線。平分線。OBACAOC =BOCAOB =2AOC =2BOCAOBC（對(duì)折）（對(duì)折）在在ADC和和 ABC中，中，AD= ABAC=ACDC=BCADC ABC（SSS） DAE=DAE= 如果前面活動(dòng)中的紙片換成木板、如果前面活動(dòng)中的紙片換成木板、鋼板等沒法折的角，又該怎么辦呢？鋼板等沒法折的角，又該怎么辦呢？ 根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作一個(gè)角的平分線？（不用角平分儀或一個(gè)角的平分線？（不用角平分儀或量角器）量角器）OABCENOMCENM. .分別以分別以, ,為

2、圓心為圓心. .大于大于 的長(zhǎng)為半徑作的長(zhǎng)為半徑作弧兩弧在弧兩弧在AOBAOB的內(nèi)部的內(nèi)部交于交于21作法：作法：以為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交于，交于.畫射線畫射線OC射線即為所求射線即為所求 已知:AOB,如圖.求作:射線OC,使AOC=BOC. 1 1平分平角平分平角AOBAOB2 2通過上面的步驟，得到射線通過上面的步驟，得到射線OCOC以后，以后，把它反向延長(zhǎng)得到直線把它反向延長(zhǎng)得到直線CDCD，直線，直線CDCD與直線與直線ABAB是什么關(guān)系？是什么關(guān)系？ 3 3結(jié)論：作平角的平分線即可平分平角，結(jié)論：作平角的平分線即可平分平角，由此也得到過直線上一點(diǎn)作這條直線的垂由此也得到過直線

3、上一點(diǎn)作這條直線的垂線的方法。線的方法。ABOCD (1)實(shí)驗(yàn)：將實(shí)驗(yàn)：將AOB對(duì)折，再折出一個(gè)直角對(duì)折，再折出一個(gè)直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開，觀三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？ (2) (2)猜想猜想: :角的平分線上的點(diǎn)到角的角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等兩邊的距離相等. .證明：證明：OC平分平分 AOB （已知）（已知） 1= 2（角平分線的定義）（角平分線的定義） PD OA，PE OB（已知）（已知） PDO= PEO（垂直的定義）（垂直的定義） 在在PDO和和P

4、EO中中 PDO= PEO（已證）（已證） 1= 2 （已證）（已證） OP=OP （公共邊）（公共邊） PDO PEO（AAS） PD=PE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）相等） P PA AOOB BC CE EDD12已知：如圖，已知：如圖，OCOC平分平分AOBAOB，點(diǎn)，點(diǎn)P P在在OCOC上，上，PDOAPDOA于點(diǎn)于點(diǎn)DD，PEOBPEOB于點(diǎn)于點(diǎn)E E求證求證: PD=PE: PD=PE(3)驗(yàn)證猜想驗(yàn)證猜想(4)得到角得到角平分線的平分線的性質(zhì)：性質(zhì)： 利用此性質(zhì)怎利用此性質(zhì)怎樣書寫推理過程樣書寫推理過程?(幾何符號(hào)語言）幾何符號(hào)語言） 1= 2, PD OA，

5、 PE OB（已知）（已知）PD=PE（全等三（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）角形的對(duì)應(yīng)邊相等）P PA AOOB BC CE EDD12定理：在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等定理：在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等用符號(hào)語言表示為：用符號(hào)語言表示為：AOBPED121= 2,PD OA ，PE OBPD=PE.題設(shè)：一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上題設(shè)：一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等主要是用于判斷和證明兩條線段相等，與以前的方主要是用于判斷和證明兩條線段相等，與以前的方 法相比，運(yùn)用此性質(zhì)不需要先證兩個(gè)三角形全等法相比，運(yùn)用此性質(zhì)不需要先證兩個(gè)三角形

6、全等問問: :角的平分線的性質(zhì)的作用是什么？角的平分線的性質(zhì)的作用是什么？ OABED思考：思考：1.如圖所示如圖所示OC是是AOB 的平分線的平分線,P 是是OC上任意上任意一點(diǎn)一點(diǎn),問問PE=PD?為什么為什么?CPPD,PE沒有垂直沒有垂直O(jiān)A,OB,它們不是角平它們不是角平分線上任一點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離分線上任一點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離,所所以不一定相等以不一定相等2 2 、 如 圖、 如 圖 , O C, O C 是是 A O BA O B 的 平 分 線的 平 分 線 , , 點(diǎn)點(diǎn) P P 在在 O CO C上上,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分別是垂足分別是DD、E,P

7、D=4cm,E,PD=4cm,則則PE=_cm.PE=_cm.ADOBEPC4練習(xí)練習(xí)3 3、如圖，、如圖，ABCABC中，中，C=90C=90，AC=CBAC=CB，ADAD為為BACBAC的平分線，的平分線，DEABDEAB于點(diǎn)于點(diǎn)E E。求證：求證：DBEDBE的周長(zhǎng)等于的周長(zhǎng)等于ABAB。ABCDE例例1:1:如圖，在如圖，在ABCABC中，中，CC900900，ADAD平分平分BACBAC交交BCBC于點(diǎn)于點(diǎn)DD，若，若BCBC8,BD8,BD5 5，則點(diǎn)，則點(diǎn)DD到到ABAB的距離為？的距離為？A AC CD DB BE EE例例3 3：在：在OABOAB中，中，OEOE是是 AO

8、B AOB的角平分線，的角平分線，且且EA=EBEA=EB，ECEC、EDED分別垂直分別垂直O(jiān)AOA，OBOB，垂足，垂足為為C C，DD，求證：，求證：AC=BDAC=BD。O OA AB BE EC CD DA A0 0B BM MN NP PC C1 1、如圖，、如圖，OCOC平分平分AOBAOB， PMOB PMOB于點(diǎn)于點(diǎn)MM，PNOAPNOA于點(diǎn)于點(diǎn)N N， POMPOM的面積為的面積為6 6，OM=6OM=6，則則PN=_PN=_。2思考：思考：要在區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到要在區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到公路，鐵路距離相等且離公路，鐵公路，鐵路距離相等且離公路，鐵路的交叉處米，應(yīng)建

9、在何處？路的交叉處米，應(yīng)建在何處？（比例尺（比例尺 1：20 000）s公路鐵路DCs公路鐵路 如 圖 ： 在 如 圖 ： 在 A B C 中 ，中 ，C=90 AD是是BAC的平分的平分線，線，DEAB于于E，F(xiàn)在在AC上，上，BD=DF； 求證：求證：CF=EBACDEBF 分析分析:要證要證CF=EB,首先我們首先我們 想到的是要證它們所在的兩個(gè)想到的是要證它們所在的兩個(gè) 三角形全等三角形全等, 即即RtCDF RtEDB. 現(xiàn)已有一個(gè)條件現(xiàn)已有一個(gè)條件BD=DF(斜邊相等斜邊相等),還需還需要我們找什么條件要我們找什么條件DC=DE (因?yàn)榻堑钠椒志€的性質(zhì)因?yàn)榻堑钠椒志€的性質(zhì)) 再用再

10、用HL證明證明.試試自己寫證試試自己寫證明。你一定行明。你一定行！證明證明: AD平分平分C, D是是AD上一點(diǎn)（已知）上一點(diǎn)（已知） 如圖：在如圖：在ABC中，中，C=90 AD是是BAC的平分線，的平分線，DEAB于于E，F(xiàn)在在AC上，上，BD=DF； 求證：求證：CF=EBDEAB,DCAC（已知）（已知）在在RTCDF和和RTBDE 中中 BD=DF （已知）（已知） DC=DE（已證）（已證）RT CDF RTFDB (HL)CFB（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）ACDEBFDCD(角平分線的性質(zhì)）角平分線的性質(zhì)）例例2 2：如圖，：如圖，ABCABC的角平分線的角平

11、分線BMBM、CNCN相交相交于點(diǎn)于點(diǎn)P P。求證：點(diǎn)。求證：點(diǎn)P P到三角形三邊的距離均相等。到三角形三邊的距離均相等。ABCPEFGMN如圖，為了促進(jìn)當(dāng)?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公如圖，為了促進(jìn)當(dāng)?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個(gè)度假村路圍成的一塊平地上修建一個(gè)度假村. .要使這個(gè)度要使這個(gè)度假村到三條公路的距離相等假村到三條公路的距離相等, ,應(yīng)在何處修建？應(yīng)在何處修建？練習(xí)練習(xí)1：如圖，的：如圖，的的外的外角的平分線與角的平分線與的外角的平的外角的平分線相交于點(diǎn)求證：點(diǎn)分線相交于點(diǎn)求證：點(diǎn)到三邊，所在直線到三邊，所在直線的距離相等的距離相等F FGH3.在在RtABC中，中，BD平分平分ABC， DEAB于于E，則：，則：圖中相等的線段有圖中相等的線段有 ;相等的角有：相等的角有： 。哪條線段與哪條線段與DE相等？為什么？相等？為什么？若若AB10，BC8，AC6，求求BE，AE的長(zhǎng)和的長(zhǎng)和AED的周長(zhǎng)。的周長(zhǎng)。EDCBABE=BC,DE=DCABD= CBDBED= AED= C6810知