用極坐標(biāo)與參數(shù)方程解高考題型及解題策略

1、用極坐標(biāo)與參數(shù)方程解高考題型及解題策略高考題中極坐標(biāo)與參數(shù)方程主要考查簡單圖形的極坐標(biāo)方程，極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程，參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程等。高考熱點是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化、參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，推導(dǎo)簡單圖形的極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程。其中以考查基本概念，基本知識，基本運算為主，一般屬于中檔難度題。常以選考題的形式出現(xiàn)，此外在高考數(shù)學(xué)的選擇題和填空題中，用參數(shù)方程與極坐標(biāo)解決問題常能收到事半功倍的效果，必須引起教與學(xué)的足夠。因此，對常見題型及解題策略進(jìn)行探討。一、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化1.曲線的極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程：對于簡單的我們可以直接

2、代入公式cos x，sin y，2x2y2，但有時需要作適當(dāng)?shù)淖兓鐚⑹阶拥膬蛇呁瑫r平方，兩邊同時乘以等.2.直角坐標(biāo)(x，y)化為極坐標(biāo)(，)的步驟：(1)運用，tan (x0)；(2)在0，2)內(nèi)由tan (x0)求時，由直角坐標(biāo)的符號特征判斷點所在的象限(即的終邊位置).解題時必須注意：1 確定極坐標(biāo)方程，極點、極軸、長度單位、角度單位及其正方向，四者缺一不可.2 平面上點的直角坐標(biāo)的表示形式是唯一的，但點的極坐標(biāo)的表示形式不唯一.當(dāng)規(guī)定0，02，使得平面上的點與它的極坐標(biāo)之間是一一對應(yīng)的，但仍然不包括極點.3 進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化時，應(yīng)注意兩點：.注意，的取值范圍及其影響

3、.重視方程的變形及公式的正用、逆用、變形使用.例如、（2015年全國卷）在直角坐標(biāo)系中。直線:，圓：,以坐標(biāo)原點為極點， 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。（I） 求，的極坐標(biāo)方程；（II） 若直線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)與的交點為, ,求的面積解：（）因為，所以的極坐標(biāo)方程為，的極坐標(biāo)方程為 （）將代入，得，解得，故，即由于的半徑為1，所以的面積為二、簡單曲線的極坐標(biāo)方程及應(yīng)用1.求曲線的極坐標(biāo)方程,就是找出動點M的坐標(biāo)與之間的關(guān)系,然后列出方程f(,)=0,再化簡并檢驗特殊點.2.極坐標(biāo)方程涉及的是長度與角度,因此列方程的實質(zhì)是解三角形.3.極坐標(biāo)方程應(yīng)用時多化為直角坐標(biāo)方程求解,然后再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)

4、方程,注意方程的等價性. 例如、（2015全國卷）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：（t為參數(shù)，t 0），其中0 < ，在以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：，C3：。（1）求C2與C3交點的直角坐標(biāo)；（2）若C1與C2相交于點A，C1與C3相交于點B，求的最大值。解：（）曲線的直角坐標(biāo)方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為.聯(lián)立 解得 或所以與交點的直角坐標(biāo)為和（）曲線的極坐標(biāo)方程為，其中因此的極坐標(biāo)為，的極坐標(biāo)為所以當(dāng)時，取得最大值，最大值為4三、簡單參數(shù)方程及應(yīng)用 1.將參數(shù)方程化為普通方程的基本途徑就是消參,消參過程注意兩點: 準(zhǔn)確把握參數(shù)形式之間的關(guān)系; 注意參數(shù)取值范圍對

5、曲線形狀的影響. 2.已知曲線的普通方程求參數(shù)方程時,選取不同含義的參數(shù)時可能得到不同的參數(shù)方程. 3.一般地,如果題目中涉及圓、橢圓上的動點或求最值范圍問題時可考慮用參數(shù)方程,設(shè)曲線上點的坐標(biāo),將問題轉(zhuǎn)化為三角恒等變換問題解決,使解題過程簡單明了.例如、（2014年全國卷）坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線：，直線：（為參數(shù)）.（）寫出曲線的參數(shù)方程，直線的普通方程；（）過曲線上任一點作與夾角為的直線，交于點，求的最大值與最小值.解：（）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）直線的普通方程為（）曲線上任意一點到的距離為則，其中為銳角，且當(dāng)時，取得最小值，最小值為四、參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的綜合應(yīng)用第一步:消去參數(shù),

6、將曲線C1的參數(shù)方程化為普通方程;第二步:將曲線C1的普通方程化為極坐標(biāo)方程;第三步:將曲線C2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;第四步:將曲線C1與曲線C2的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立,求得交點的直角坐標(biāo);第五步:把交點的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo).例如、（2017年全國卷）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線l2的參數(shù)方程為.設(shè)l1與l2的交點為P，當(dāng)k變化時，P的軌跡為曲線C.（1）寫出C的普通方程；（2）以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3：(cos+sin)=0，M為l3與C的交點，求M的極徑.解：將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為一般方程 消可得：即的軌跡方程為；將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為

7、一般方程 聯(lián)立曲線和解得由解得即的極半徑是五、極坐標(biāo)方程解圓錐曲線問題如果圓錐曲線問題中涉及到焦半徑或焦點弦長時，設(shè)曲線方程為極坐標(biāo)方程往往能避開繁雜的計算。 例如、(2007重慶理改編)中心在原點的橢圓，點是其左焦點，在橢圓上任取三個不同點使證明：為定值，并求此定值解 ：以點為極點建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程為：，設(shè)點對應(yīng)的極角為，則點與對應(yīng)的極角分別為、，、與的極徑就分別是 、 與 ，因此，而在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們知道因此為定值 六、參數(shù)方程解圓錐曲線問題1.參數(shù)方程思想表示普通方程中的兩個變量，注意參數(shù)幾何意義和取值范圍。2.消去參數(shù)，用參數(shù)的幾何意義和取值范圍確定所求問題的解。例如、（2016年天津卷）設(shè)橢圓的右焦點為，右頂點為.已知，其中為原點，為橢圓的離心率. （）求橢圓的方程；（）設(shè)過點的直線與橢圓交于點（不在軸上），垂直于的直線與交于點，與軸交于點.若，且，求直線的斜率的取值范圍.解：（）設(shè)，由，即，可得，又，所以，因此，所以橢圓的方程為.（