數(shù)學建模試卷試題及參考答案

1、數(shù)學建模 試卷及參考答案一概念題（共3小題，每小題5分，本大題共15分）1、一般情況下，建立數(shù)學模型要經(jīng)過哪些步驟（5分）答：數(shù)學建模的一般步驟包括：模型準備、模型假設(shè)、模型構(gòu)成、模型求解、模型分析、模型檢驗、模型應(yīng)用。2、學習數(shù)學建模應(yīng)注意培養(yǎng)哪幾個能力(5分) 答：觀察力、聯(lián)想力、洞察力、計算機應(yīng)用能力。3、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法有什么特點？(5分) 答：（1）可處理非線性；（2）并行結(jié)構(gòu)；（3）具有學習和記憶能力；（4）對數(shù)據(jù)的可容性大；（5）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以用大規(guī)模集成電路來實現(xiàn)。二、模型求證題（共2小題，每小題10分，本大題共20分）1、 某人早8:00從山下旅店出發(fā),沿一條路徑上山,下午5:

2、00到達山頂并留宿.次日早8:00沿同一路徑下山,下午5:00回到旅店.證明:這人必在2天中同一時刻經(jīng)過路途中某一地點(15分)證明:記出發(fā)時刻為t=a,到達目的時刻為t=b,從旅店到山頂?shù)穆烦虨閟.設(shè)某人上山路徑的運動方程為f(t), 下山運動方程為g(t),t是一天內(nèi)時刻變量，則f(t),g(t)在a,b是連續(xù)函數(shù)。作輔助函數(shù)F(t)=f(t)-g(t),它也是連續(xù)的，則由f(a)=0,f(b)>0和g(a)>0,g(b)=0,可知F（a）<0, F(b)>0,由介值定理知存在t0屬于(a,b)使F(t0)=0, 即f(t0)=g(t0) 。 2、三名商人各帶一個隨

3、從乘船過河，一只小船只能容納二人，由他們自己劃行，隨從們秘約，在河的任一岸，一旦隨從的人數(shù)比商人多，就殺人越貨，但是如何乘船渡河的大權(quán)掌握在商人們手中，商人們怎樣才能安全渡河呢？(15分)解:模型構(gòu)成 記第k次渡河前此岸的商人數(shù)為，隨從數(shù)為，k=1，2,.，=0，1，2，3。將二維向量=（，）定義為狀態(tài)。安全渡河條件下的狀態(tài)集合稱為允許狀態(tài)集合，記做S。S= （3分）記第k次渡船上的商人數(shù)為隨從數(shù)為將二維向量=（，）定義為決策。允許決策集合記作D，由小船的容量可知D= （3分）狀態(tài)隨的變化規(guī)律是： = + （3分）模型求解 用圖解法解這個模型更為方便，如下：（6分）三、計算題（共5小題，每小題

4、9分，本大題共45分）1、試用和法求出A的最大特征值，并做一致性檢驗（n=3時， RI=0.58）。答： 中各列歸一化 各行求和 = 2分 而，（1分）所以最大特征根為 2分其一致性指標為： CI= 2分CR= 所以A不通過一致性檢驗。 2分2、 一塊土地，若從事農(nóng)業(yè)生產(chǎn)可收100元，若將土地租給某乙用于工業(yè)生產(chǎn)，可收200元。若租給某丙開發(fā)旅游業(yè)可收300元。當丙請乙參與經(jīng)營時，收入達400元，為促成最高收入的實現(xiàn)，試用shapley值方法分配各人的所得。(9分)答：甲、乙、丙所得應(yīng)為250元，50元，100元(步驟略)3、產(chǎn)品每天需求量為常數(shù)r, 每次生產(chǎn)準備費用為C1,每天每件產(chǎn)品貯存費

5、用為C2, 缺貨損失費為C3，試作一合理假設(shè)，建立允許缺貸的存貯模型，求生產(chǎn)周期及產(chǎn)量使總費用最小。（9分）解:模型假設(shè):1. 產(chǎn)品每天需求量為常數(shù)r 2. 每次生產(chǎn)準備費用為c1,每天每件產(chǎn)品貯存費用為c2 3. 生產(chǎn)能力無限大 ，缺貨損失費為C3 ，當t=T1時產(chǎn)品已用完 4. 生產(chǎn)周期為T，產(chǎn)量為Q (2分)模型建立 一周期總費用如下: (2分) 一周期平均費用為 (2分)模型求解: 用微分法解得周期 (1分)產(chǎn)量 (1分)4、人的狀態(tài)分為三種：1（健康），2（患?。?，3（死亡）。設(shè)對特定年齡段的人，今年健康，明年保持健康的概率為0.8，患病的概率為0.18，而今年患病的人明年健康的概率

6、為0.65，健康的概率為0.25，構(gòu)造馬氏鏈模型，說明它是吸收鏈，并求健康，患病出發(fā)變成死亡的平均轉(zhuǎn)移次數(shù)。解：狀態(tài)依歇易得轉(zhuǎn)移概率陣為 2分記， 則 （1分）易是： （2分） （3分）由健康、患病出發(fā)變成死亡的平均轉(zhuǎn)移次數(shù)分別為 。 （1分）5設(shè)漁場魚量滿足下列方程：（9分）(1)討論魚場魚量方程的平衡點穩(wěn)定狀況(2)如何獲得最大持續(xù)產(chǎn)量解:令，的最大值點為 （2分）當時,無平衡點 （1分）當時,有兩個平衡點和,經(jīng)過判斷x1不穩(wěn)定,x2穩(wěn)定 （2分）當時,平衡點,由不能判斷它穩(wěn)定性 （2分）(2)為了獲得最大持續(xù)產(chǎn)量,應(yīng)使且盡量接近,但操作困難 （2分）四、 建模題（共2小題，每小題10分，

7、本大題共20分）1考慮藥物在體內(nèi)的分布與排除之二室模型即：把整個機體分為中心室與周邊室兩室，兩室之間的血藥相互轉(zhuǎn)移，轉(zhuǎn)移速率與該室的血藥濃度成正比，且只有中心室與體外有藥物交換，藥物向體外排除的速率與該室的血藥濃度成正比，試建立兩室血藥濃度與時間的關(guān)系。（不必求解）解：假設(shè)、和分別表示第室的血藥濃度，藥量和容積，是兩室之間藥物轉(zhuǎn)移速率系數(shù)，是從中心室（第1室）向體外排除的速率系數(shù) 3分則（1） 6分（其中是給藥速率） 及于是： 4分2、某工廠擬安排生產(chǎn)計劃，已知一桶原料可加工10小時后生產(chǎn)A產(chǎn)品2公斤，A產(chǎn)品可獲利30元/公斤 ，或加工8小時可生產(chǎn)B產(chǎn)品3公斤，B產(chǎn)品可獲利18元/公斤，或加工6小時可生產(chǎn)C產(chǎn)品4公斤，C產(chǎn)品可獲利12元/公斤，現(xiàn)每天可供加工的原料為60桶，加工工時至多為460小時，且A產(chǎn)品至多只能生產(chǎn)