南京市20某屆高中高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題及答案

1、南京市2017屆高三年級(jí)第三次模擬考試 數(shù) 學(xué) 2017.05參考公式：方差s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中為x1，x2，xn的平均數(shù)柱體的體積公式：VSh，其中S為柱體的底面積，h為柱體的高錐體的體積公式：VSh，其中S為錐體的底面積，h為錐體的高一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上1已知全集U1，2，3，4，集合A1，4，B3，4，則(AB) （第4題圖）Read xIf x0 Then y2Else y 2x2End IfPrint y2甲盒子中有編號(hào)分別為1，2的2個(gè)乒乓球，乙盒子中有編號(hào)分別為3，4，5，6的4個(gè)乒乓球現(xiàn)分別從兩個(gè)盒

2、子中隨機(jī)地各取出1個(gè)乒乓球，則取出的乒乓球的編號(hào)之和大于6的概率為 3若復(fù)數(shù)z滿足z232i，其中i為虛數(shù)單位，為復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的模為 4執(zhí)行如圖所示的偽代碼，若輸出y的值為1，則輸入x的值為 7 7 9 0 8 94 8 1 0 3 5甲 乙（第5題圖）5如圖是甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員在五場(chǎng)比賽中所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖，則在這五場(chǎng)比賽中得分較為穩(wěn)定（方差較小）的那名運(yùn)動(dòng)員的得分的方差為 6在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)ysin(x) （x0，2）的圖象和直線y 的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 7在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線1的焦距為6，則所有滿足條件的實(shí)數(shù)m構(gòu)成的集合是 8已知函數(shù)f(x)是定義在R上且周期

3、為4的偶函數(shù)當(dāng)x2，4時(shí)，f(x)|log4(x)|，則f()的值為 9若等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a3a12，則a5的最小值為 ACBA1B1C1D（第10題圖）10如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，BC2，BB13，ABC90°，點(diǎn)D為側(cè)棱BB1上的動(dòng)點(diǎn)當(dāng)ADDC1最小時(shí)，三棱錐DABC1的體積為 11若函數(shù)f(x)ex(x22xa)在區(qū)間a，a1上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的最大值為 12在凸四邊形ABCD中， BD2，且·0，()()5，則四邊形ABCD的面積為 13. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O：x2y21，圓M：(xa3)2(y2a)21(a為實(shí)數(shù))

4、若圓O與圓M上分別存在點(diǎn)P，Q，使得OQP30°，則a的取值范圍為 14已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a2b8c，則的取值范圍為 二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分15（本小題滿分14分）ABCFED（第15題圖）如圖，在三棱錐ABCD中，E，F(xiàn)分別為棱BC，CD上的點(diǎn)，且BD平面AEF（1）求證：EF平面ABD；（2）若BDCD，AE平面BCD，求證：平面AEF平面ACD16（本小題滿分14分）已知向量a(2cos，sin2)，b(2sin，t)，(0，)（1）若ab(，0)，求t的值；（2）若t1，且a b1，求tan(2)的值17CBA水域看臺(tái)表演臺(tái)看臺(tái)DE（第17題圖）在一水

5、域上建一個(gè)演藝廣場(chǎng)演藝廣場(chǎng)由看臺(tái)，看臺(tái)，三角形水域ABC，及矩形表演臺(tái)BCDE四個(gè)部分構(gòu)成（如圖）看臺(tái)，看臺(tái)是分別以AB，AC為直徑的兩個(gè)半圓形區(qū)域，且看臺(tái)的面積是看臺(tái)的面積的3倍；矩形表演臺(tái)BCDE中，CD10米；三角形水域ABC的面積為400平方米設(shè)BAC（1）求BC的長(zhǎng)（用含的式子表示）；（2）若表演臺(tái)每平方米的造價(jià)為0.3萬(wàn)元，求表演臺(tái)的最低造價(jià)18如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓1(ab0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A，B，M為線段AB的中點(diǎn)，且b2（1）求橢圓的離心率；xyOCBDMA（第18題圖）（2）已知a2，四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓，ABDC記直線AD，BC的斜率分別為k1，

6、k2，求證：k1·k2為定值19已知常數(shù)p0，數(shù)列an滿足an1|pan|2 anp，nN*（1）若a11，p1， 求a4的值； 求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn（2）若數(shù)列an中存在三項(xiàng)ar，as，at (r，s，tN*，rst)依次成等差數(shù)列，求的取值范圍20已知R，函數(shù)f (x)exex(xlnxx1)的導(dǎo)函數(shù)為g(x)（1）求曲線yf (x)在x1處的切線方程；（2）若函數(shù)g (x)存在極值，求的取值范圍； （3）若x1時(shí)，f (x)0恒成立，求的最大值南京市2017屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，計(jì)70分.）12 2 3 41 5

7、6.8 627 8 98 10 11 123 13，0 1427，30二、解答題（本大題共6小題，計(jì)90分解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）15（本小題滿分14分）證明：（1）因?yàn)锽D平面AEF，BDÌ平面BCD，平面AEF平面BCDEF，所以 BDEF 3分因?yàn)锽DÌ平面ABD，EFË平面ABD，所以 EF平面ABD 6分（2）因?yàn)锳E平面BCD，CDÌ平面BCD，所以 AECD 8分因?yàn)?BDCD，BDEF，所以 CDEF， 10分又 AEEFE，AEÌ平面AEF，EFÌ平面AEF，所以 CD平面AEF 12分又 CD

8、Ì平面ACD，所以 平面AEF平面ACD 14分16（本小題滿分14分）解：（1）因?yàn)橄蛄縜(2cos，sin2)，b(2sin，t)，且ab(，0)，所以cossin，tsin2 2分由cossin 得 (cossin)2，即12sincos，從而2sincos 所以(cossin)212sincos 因?yàn)?0，)，所以cossin 5分 所以sin， 從而tsin2 7分（2）因?yàn)閠1，且a b1，所以4sincossin21，即4sincoscos2因?yàn)?0，)，所以cos0，從而tan 9分所以tan2 11分從而tan(2) 14分17（本小題滿分14分） 解：（1）因?yàn)榭?/p>

9、臺(tái)的面積是看臺(tái)的面積的3倍，所以ABAC在ABC中，SABCABACsin400，所以AC2 3分由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos，4AC22AC2 cos(42cos) ，即BC 40 所以 BC40 ，(0，) 7分（2）設(shè)表演臺(tái)的總造價(jià)為W萬(wàn)元因?yàn)镃D10m，表演臺(tái)每平方米的造價(jià)為0.3萬(wàn)元，所以W3BC120 ，(0，) 9分記f()，(0，)則f () 11分由f ()0，解得當(dāng)(0，)時(shí)，f ()0；當(dāng)(，)時(shí)，f ()0故f()在(0，)上單調(diào)遞減，在(，)上單調(diào)遞增，從而當(dāng) 時(shí)，f()取得最小值，最小值為f()1 所以Wmin120(萬(wàn)元) 答：表演臺(tái)的最低造價(jià)

10、為120萬(wàn)元 14分18（本小題滿分16分）解：（1）A(a，0)，B(0，b)，由M為線段AB的中點(diǎn)得M(，)所以(，)(a，b)因?yàn)?#183;b2，所以(，)·(a，b)b2，整理得a24b2，即a2b 3分因?yàn)閍2b2c2，所以3a24c2，即a2c所以橢圓的離心率e 5分（2）方法一：由a2得b1，故橢圓方程為y21 從而A(2，0)，B(0，1)，直線AB的斜率為 7分因?yàn)锳BDC，故可設(shè)DC的方程為yxm設(shè)D(x1，y1)，C(x2，y2)聯(lián)立消去y，得x22mx2m220，所以x1x22m，從而x12mx2 9分直線AD的斜率k1，直線BC的斜率k2， 11分所以k1

11、k2·，即k1·k2為定值 16分方法二：由a2得b1，故橢圓方程為y21 從而A(2，0)，B(0，1)，直線AB的斜率為 7分設(shè)C(x0，y0)，則y021因?yàn)锳BCD，故CD的方程為y(xx0)y0聯(lián)立消去y，得x2(x02y0)x2x0y00，解得xx0（舍去）或x2y0所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2y0，x0) 13分所以k1·k2·，即k1·k2為定值 16分19（本小題滿分16分）解：（1）因?yàn)閜1，所以an1|1an|2 an1 因?yàn)?a11，所以a2|1a1|2 a111， a3|1a2|2 a213， a4|1a3|2 a319 3分

12、 因?yàn)閍21，an1|1an|2 an1， 所以當(dāng)n2時(shí)，an1， 從而an1|1an|2 an1an12 an13an， 于是有 an3n2(n2) 5分 當(dāng)n1時(shí)，S11； 當(dāng)n2時(shí)，Sn1a2a3an1 所以 Sn即Sn，nN* 8分（2）因?yàn)閍n1an|pan|anppananp2 p0， 所以an1an，即an單調(diào)遞增 10分 （i）當(dāng)1時(shí)，有a1p，于是ana1p， 所以an1|pan|2 anpanp2 anp3an，所以an3n1a1 若an中存在三項(xiàng)ar，as，at (r，s，tN*，rst)依次成等差數(shù)列，則有2 asarat，即2×3s13r13t1 （*） 因

13、為st1，所以2×3s1×3s3t13r13t1， 即（*）不成立 故此時(shí)數(shù)列an中不存在三項(xiàng)依次成等差數(shù)列 12分 （ii）當(dāng)1 1時(shí)，有pa1p 此時(shí)a2|pa1|2 a1ppa12 a1pa12 pp， 于是當(dāng)n2時(shí)，ana2p， 從而an1|pan|2 anpanp2 anp3an 所以an3n2a23n2(a12p) (n2) 若an中存在三項(xiàng)ar，as，at (r，s，tN*，rst)依次成等差數(shù)列， 同（i）可知，r1， 于是有2×3s2(a12 p)a13t2(a12p) 因?yàn)?st1，所以2×3s23t2×3s×3t

14、10因?yàn)?×3s23t2是整數(shù)，所以1， 于是a1a12p，即a1p，與pa1p相矛盾 故此時(shí)數(shù)列an中不存在三項(xiàng)依次成等差數(shù)列 14分 （iii）當(dāng)1時(shí)，則有a1pp，a1p0， 于是a2| pa1|2a1ppa12 a1pa12p， a3|pa2|2a2p|pa1|2a15ppa12a15pa14p， 此時(shí)有a1，a2，a3成等差數(shù)列 綜上可知：1 16分20（本小題滿分16分）解：（1）因?yàn)閒(x)exelnx， 所以曲線yf (x)在x1處的切線的斜率為f(1)0， 又切點(diǎn)為(1，f (1)，即(1，0)， 所以切線方程為y0 2分 （2）g (x)exelnx，g(x)ex

15、 當(dāng)0時(shí)，g(x)0恒成立，從而g (x)在(0，)上單調(diào)遞增， 故此時(shí)g (x)無(wú)極值 4分 當(dāng)0時(shí)，設(shè)h(x)ex，則h(x)ex0恒成立， 所以h(x)在(0，)上單調(diào)遞增 6分 當(dāng)0e時(shí)，h(1)e0，h()ee0，且h(x)是(0，)上的連續(xù)函數(shù)，因此存在唯一的x0(，1)，使得h(x0)0 當(dāng)e時(shí)， h(1)e0，h()e10，且h(x)是(0，)上的連續(xù)函數(shù)，因此存在唯一的x01，)，使得h(x0)0 故當(dāng)0時(shí)，存在唯一的x00，使得h(x0)0 8分 且當(dāng)0xx0時(shí)，h(x)0，即g(x)0，當(dāng)xx0時(shí)，h(x)0，即g(x)0， 所以g (x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x

16、0，)上單調(diào)遞增， 因此g (x)在xx0處有極小值 所以當(dāng)函數(shù)g (x)存在極值時(shí)，的取值范圍是(0，) 10分（3）g (x)f(x)exelnx，g(x)ex若g(x)0恒成立，則有xex恒成立 設(shè)(x)xex(x1)，則(x)(x1) ex0恒成立， 所以(x)單調(diào)遞增，從而(x)(1)e，即e 于是當(dāng)e時(shí)，g (x)在1，)上單調(diào)遞增， 此時(shí)g (x)g (1)0，即f(x)0，從而f (x)在1，)上單調(diào)遞增 所以f (x)f (1)0恒成立 13分 當(dāng)e時(shí)，由（2）知，存在x0(1，)，使得g (x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，即f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減所以當(dāng)1xx0時(shí)，f

17、(x)f(1)0，于是f (x)在1，x0)上單調(diào)遞減，所以f (x0)f (1)0這與x1時(shí)，f (x)0恒成立矛盾因此e，即的最大值為e 16分南京市2017屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)附加參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)21【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分請(qǐng)?jiān)诖鹁砜ㄖ付▍^(qū)域內(nèi)作答解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟A選修41：幾何證明選講ABCDE（第21(A)圖）證明：連結(jié)BE因?yàn)锳D是邊BC上的高，AE是ABC的外接圓的直徑，所以ABE ADC90° 4分AEBACD， 6分所以ABEADC， 8分所以 即AB·ACAD·AE 1

18、0分B選修42：矩陣與變換解：（1）AX 2分因?yàn)锳X，所以解得x3，y0 4分（2）由（1）知A ，又B ，所以AB 6分設(shè)(AB)1 ，則 ，即 8分所以 解得a，b，c0，d，即 (AB)1 10分（說(shuō)明：逆矩陣也可以直接使用公式求解，但要求呈現(xiàn)公式的結(jié)構(gòu)）C選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程解：由于r2 x2y2，rcos x，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為 x2y28x150， 即 (x4)2+y21，所以曲線C是以 (4，0) 為圓心，1為半徑的圓 3分直線l的直角坐標(biāo)方程為 yx，即xy0 6分因?yàn)閳A心 (4，0) 到直線l的距離d21 8分所以直線l與圓相離，從而PQ的最小值為d121 1

19、0分D選修45：不等式選講證明：因?yàn)閤0，所以x32 x311 3 3x，當(dāng)且僅當(dāng)x31，即x1時(shí)取“” 4分因?yàn)閥212y(y1)20，所以y212y， 當(dāng)且僅當(dāng)y1時(shí)取“” 8分 所以 (x32)(y21)3x2y，即x3y233x2y，當(dāng)且僅當(dāng)xy1時(shí)，取“” 10分【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分請(qǐng)?jiān)诖鹁砜ㄖ付▍^(qū)域內(nèi)作答解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟22（本小題滿分10分）解：（1）設(shè)P(x，y)為曲線C上任意一點(diǎn) 因?yàn)镻Sl，垂足為S，又直線l：x1，所以S(1，y) 因?yàn)門(mén)(3，0)，所以(x，y)， (4，y)因?yàn)?#183;0，所以4xy20，即y24