第六章連續(xù)系統(tǒng)的傅立葉分析

1、第六章連續(xù)系統(tǒng)的傅立葉分析 本章與拉氏變換的關(guān)系：本章與拉氏變換的關(guān)系： 是拉氏變換的一個特例,專門研究系統(tǒng)的頻域特性 Recall：對于穩(wěn)定(臨界)系統(tǒng),由如下關(guān)系:nknnjsKsFjF1)()()( 本章面向的系統(tǒng)是嚴格穩(wěn)定系統(tǒng):()( )sjHjH sCh4 傅立葉變換在系統(tǒng)分析中的應(yīng)用Application: 濾波、調(diào)制、抽樣濾波、調(diào)制、抽樣 系統(tǒng)的頻率響應(yīng)系統(tǒng)的頻率響應(yīng) H(jH(j )frequency response)frequency response 無失真?zhèn)鬏敓o失真?zhèn)鬏?理想低通濾波器理想低通濾波器 調(diào)制與解調(diào)調(diào)制與解調(diào) 零階保持抽樣零階保持抽樣 多路復(fù)用多路復(fù)用Con

2、tents：1 頻率響應(yīng) Frequency response H(jw)For LTI system : f(t), h(t), y(t) )(*)()(thtfty)()()(jHjFjY)()()()(thFTjFjYjHDef1:LT中的定義：正弦激勵下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng). . LCCDE:Def 2: 對穩(wěn)定系統(tǒng)對穩(wěn)定系統(tǒng)llmllkknkkdttfdbdttyda)()(00mlllknkkjFjbjYja00)()()()(knkkmllljajbjFjYjH)()()()()(00)()()()(11jHjFFTjYFTty解方程：解方程：2 無失真?zhèn)鬏?在實際應(yīng)用中對失真問題的研究有

3、兩類：在實際應(yīng)用中對失真問題的研究有兩類：(1)信號傳輸失真盡可能小信號傳輸失真盡可能小(2)有意識地產(chǎn)生失真（預(yù)失真波形的產(chǎn)生）有意識地產(chǎn)生失真（預(yù)失真波形的產(chǎn)生） 信號傳輸過程中引起失真的原因：信號傳輸過程中引起失真的原因： (1)非線性失真（產(chǎn)生新的頻率）非線性失真（產(chǎn)生新的頻率） (2)線性失真（不產(chǎn)生新的頻率成分）線性失真（不產(chǎn)生新的頻率成分） 幅度失真幅度失真 相位失真相位失真無失真?zhèn)鬏數(shù)亩x 1. 信號不失真?zhèn)鬏敽x：信號不失真?zhèn)鬏敽x： 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)與激勵的波形相比，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)與激勵的波形相比，只有幅度大小和出現(xiàn)時刻的不同。不存在只有幅度大小和出現(xiàn)時刻的不同。不存在形

4、式上的變化。形式上的變化。LTIH(j )r(t)r(t)r(t)t t0 00 0e(t)e(t)e(t)0 0)()(,0ttKetr時域上2. 不失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的頻響不失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的頻響H(jw)：)()(,0ttKetr時域上 兩邊取傅立葉變換兩邊取傅立葉變換e(t)-E(jw), r(t)- R(jw)0)()(tjejKEjR 又：若時域中系統(tǒng)沖激響應(yīng)為又：若時域中系統(tǒng)沖激響應(yīng)為h(t)(*)()(thtetr)()()(jHjEjR)(|)(|)(0jtjejHKejH不失真?zhèn)鬏敳皇д鎮(zhèn)鬏斚到y(tǒng)的頻響系統(tǒng)的頻響H(jw)：0)(|)(|tKjH特點：幅頻響應(yīng)為常數(shù)，特點：幅頻響應(yīng)為常

5、數(shù)， 相頻響應(yīng)為過原點的直線。相頻響應(yīng)為過原點的直線。3. 產(chǎn)生失真的原因：產(chǎn)生失真的原因：a.信號幅度不能等幅放大或衰減信號幅度不能等幅放大或衰減幅度失真幅度失真b.信號的相移不能按比例變化信號的相移不能按比例變化相位失真相位失真c.幅度失真和相位失真同時存在幅度失真和相位失真同時存在同時失真同時失真)(jH)(j0t 利用失真：波形形成 模擬濾波器analog filter理想低通的沖激響應(yīng)、階躍響應(yīng)理想低通的沖激響應(yīng)、階躍響應(yīng)物理可實現(xiàn)濾波器的條件物理可實現(xiàn)濾波器的條件 佩利維納準則佩利維納準則 希爾伯特變換希爾伯特變換理想低通濾波器理想低通濾波器: 巴特沃茲逼近濾波巴特沃茲逼近濾波 (

6、1) (1)概述概述從接收的信號中，消除或較弱噪聲從接收的信號中，消除或較弱噪聲獲得或保留有用的信號獲得或保留有用的信號 濾波的背景，目的 濾波的原理經(jīng)典濾波器經(jīng)典濾波器： 具有選頻特性的電路。具有選頻特性的電路。 （信號的頻帶和噪聲的頻帶是可分的。）（信號的頻帶和噪聲的頻帶是可分的。）統(tǒng)計濾波器：統(tǒng)計濾波器：從統(tǒng)計的角度出發(fā)，對所要提取的有用從統(tǒng)計的角度出發(fā)，對所要提取的有用信號從時域進行估計，使得在統(tǒng)計指標最優(yōu)的意義下信號從時域進行估計，使得在統(tǒng)計指標最優(yōu)的意義下: 估計值最逼進有用信號，估計值最逼進有用信號， 噪聲也在統(tǒng)計指標最優(yōu)的意義下得到消除。噪聲也在統(tǒng)計指標最優(yōu)的意義下得到消除。

7、（隨機信號處理（隨機信號處理: 維納濾波，卡爾曼濾波）維納濾波，卡爾曼濾波）按頻帶分：按頻帶分：按元件分：按元件分：按信號性質(zhì)分：按信號性質(zhì)分： 濾波的分類（經(jīng)典濾波器）低通低通LPF ，高通高通HPF ，帶通帶通BPF ，帶阻帶阻BSF ，全通全通APF無源濾波器，有源濾波器無源濾波器，有源濾波器模擬濾波器，數(shù)字濾波器模擬濾波器，數(shù)字濾波器Low Pass FilterHigh Pass FilterBand Pass FilterBand Stop FilterAll Pass Filter(2)理想低通濾波器及其沖激響應(yīng)低通c截至頻率,c高通c帶通1c2c帶阻1c2c理想低通濾波器oth

8、ereejHjHctjjj0)()(0)(1)(jHcccc0)(tj理想低通濾波器的沖激響應(yīng))()(tte)()(trth)(2121)()(0)(100ttSadedeejHFTthccttjtjtjcc理想濾波器是非因果的0)(,0thtotherejHctj0)(00t2c主瓣寬度c )(tht0理想低通濾波器的沖激響應(yīng)與帶寬的關(guān)系: cc)(th0tct0)(t0t)(0tt 不失真?zhèn)鬏敺幢?1cc)(th0t0t系統(tǒng)為全通網(wǎng)絡(luò)，可以無失真?zhèn)鬏敗?理想帶通濾波器的沖激響應(yīng)0c0c00c0c0)cos()(2)(00tttSathcc(4） 物理可實現(xiàn)系統(tǒng)系統(tǒng)物理可實現(xiàn)要求：系統(tǒng)物理可

9、實現(xiàn)要求：（1） 時域時域因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)（2）頻域）頻域 a. 佩利維納準則：佩利維納準則： 幅頻響應(yīng)不能在一個頻帶內(nèi)為零幅頻響應(yīng)不能在一個頻帶內(nèi)為零 b. 希爾伯特變換（希爾伯特變換（HilbertHilbert） 因果系統(tǒng)頻響的實部和虛部之間相互因果系統(tǒng)頻響的實部和虛部之間相互限制限制 0)(, 0tht佩利維納準則djH21)(lndjH2)(0)(jH限制了衰減速度若因果系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)平方可積若因果系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)平方可積 則存在則存在佩利維納準則表明：佩利維納準則表明：1. 幅頻響應(yīng)不能在一個頻帶內(nèi)為零幅頻響應(yīng)不能在一個頻帶內(nèi)為零2. 幅頻響應(yīng)是指數(shù)階的幅頻響應(yīng)是指數(shù)階的 希爾伯特變

10、換（希爾伯特變換（HilbertHilbert） 因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)物理可實現(xiàn)系統(tǒng)物理可實現(xiàn)系統(tǒng) 因果系統(tǒng)頻響的實部和虛部之間相因果系統(tǒng)頻響的實部和虛部之間相互限制互限制因果系統(tǒng)的頻譜實部和虛部關(guān)系)()()(0tuththt)()()(jjXjRjHdRXjdXjRjjjXjRjjHtuFTthFTthFT)(212)()(212)()1)(*)()(21)1)(*)(21)(*)(21)()(jR)(jXdRjXdXjR)(1)()(1)(Hilbert Transform因果系統(tǒng)的實部被已知的虛部唯一地確定因果系統(tǒng)的實部被已知的虛部唯一地確定（5） 可實現(xiàn)的典型濾波函數(shù)巴特沃茲逼近切比雪夫

11、逼近110110.( )( )( ).mmmmnnnna sasaA sH sB sb sbsb濾波器特性取決于系數(shù)濾波器特性取決于系數(shù) a , b取決于分母多項式的階次取決于分母多項式的階次 nn 與元器件的數(shù)目有關(guān)與元器件的數(shù)目有關(guān)濾波器設(shè)計的主要參數(shù) Low Pass Analogical Filter(LPF)(p)(sps通帶最大衰減阻帶最小衰減通帶截止頻率阻帶下限頻率222)(1lg10)()(lg10)(jHjYjX)(p)(sps0) 1 (ppor01、巴特沃茲逼近(Butterworth)(Butterworth)npjH211)(0)(707.021)(1max)0(0j

12、HjHjHpp 通帶內(nèi)最平坦濾波器通帶內(nèi)最平坦濾波器707. 00通帶通帶截至頻率截至頻率11p3222211)(211)(11)(jjjHjjHjjH62422211|)(|11|)(|11|)(|jHjHjH1()xt1()yt()xt1()yt122( )x t1( )y t43321205010015020025030000.10.20.30.40.50.60.70.80.91Butterworth filterFrequency (w)H(jw)n=1n=4n=8n=122、切比雪夫逼近切比雪夫逼近(Chebyshev)(Chebyshev)（簡要介紹）（簡要介紹）通帶等起伏（等紋波）特性濾波器通帶等起伏（等紋波）特性濾波器 02211)(nTjH紋波系數(shù)) 1()() 1()(coscos()(11xxnchchxxnxTnn=4n=511211010p707. 0011p)(jHL707. 0011p)(jHH707. 0)()(0)()(1)()(1100HLHLHLHLHLHLjHjHjHjHjHjH高通與低通的對應(yīng)關(guān)系高通與低通的對應(yīng)關(guān)系)(jF)(jY低通高通)(jHcHcL)(jF)(jY低通高通)(jHcHcLcHcL0)(jH)(acLcH0)(jH)(b帶通（帶通（BPF） 帶阻（帶阻（BSF）0200400