第5節(jié)微分的概念及其應(yīng)用ppt課件

1、二、微分運(yùn)算法則二、微分運(yùn)算法則三、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用三、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用第五節(jié)一、微分的概念一、微分的概念 微分的概念及其應(yīng)用20 xA 0 x0 x,00 xxx 變到變到設(shè)邊長由設(shè)邊長由,20 xA 正方形面積正方形面積2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的的主主要要部部分分且且為為的的線線性性函函數(shù)數(shù)Ax .,很很小小時(shí)時(shí)可可忽忽略略當(dāng)當(dāng)?shù)牡母吒唠A階無無窮窮小小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0一、微分的定義一、微分的定義引例引例: 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少問

2、此薄片面積改變了多少? 0 x變到變到,0 xx邊長由邊長由其其再如再如,.,03yxxxy 求函數(shù)的改變量求函數(shù)的改變量時(shí)時(shí)為為處的改變量處的改變量在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x .320 xxy ),()2(xox 的高階無窮小的高階無窮小是是既容易計(jì)算又是較好的近似值既容易計(jì)算又是較好的近似值問題問題: :這個(gè)線性函數(shù)這個(gè)線性函數(shù)( (改變量的主要部分改變量的主要部分) )是否是否所有函數(shù)的改變量都有所有函數(shù)的改變量都有? ?它是什么它是什么? ?如何求如何求? ?定義定義如果如果在這區(qū)間內(nèi)在這區(qū)間內(nèi)及及

3、在某區(qū)間內(nèi)有定義在某區(qū)間內(nèi)有定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),)(00 xxxxfy , )()()(00 xoxAxfxxfy .d),(dd,)(,)(),(00000 xAyxfyxxxfyxAxxfyxAxxxx 即即或或記記作作的的微微分分相相應(yīng)應(yīng)于于自自變變量量增增量量在在點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)并并且且稱稱可可微微在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱函函數(shù)數(shù)無無關(guān)關(guān)的的常常數(shù)數(shù)是是與與其其中中成成立立由定義知由定義知: :;d)1(的的線線性性函函數(shù)數(shù)是是自自變變量量的的改改變變量量xy ;)(d)2(高高階階無無窮窮小小是是比比 xxoyy ;d,0)3(是是等等價(jià)價(jià)無無窮窮小小與與時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)yyA yyd xAxo )(

4、1).0(1x;)(,)4(0有關(guān)有關(guān)和和但與但與無關(guān)的常數(shù)無關(guān)的常數(shù)是與是與xxfxA ).(d,)5(線性主部線性主部很小時(shí)很小時(shí)當(dāng)當(dāng)yyx )()()(00 xoxAxfxxfy ).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)函函可可微微的的充充分分必必要要條條件件是是在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)定理定理證證(1) 必要性必要性,)(0可可微微在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)xxf),( xoxAy 即即,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00則則.A ).(,)(00 xfAxxf 且且可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)即函數(shù)即函數(shù) 0)(lim0 xxxfyx. . 于于是是 )()(xo

5、xxfy , , 即即 )( xoxAy , , (2) 充分性充分性,)(0可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)設(shè)設(shè)xxf)(lim00 xfxyx .)(0可可微微在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)xxf可微可微可導(dǎo)可導(dǎo) .)(d)(xxfyxfy 的的微微分分為為函函數(shù)數(shù))(0 xfA.d)(dxxfy 例例1 1解解.02. 0, 23時(shí)時(shí)的的微微分分當(dāng)當(dāng)求求函函數(shù)數(shù)xxxy xxy )(d3.32xx 02. 02202. 023dxxxxxxy .24. 0.d,d,xxxxx 即即記記作作稱稱為為自自變變量量的的微微分分的的增增量量通通常常把把自自變變量量).(ddxfxy 導(dǎo)數(shù)也稱為導(dǎo)數(shù)也稱為“微商微商”.

6、二、微分的幾何意義二、微分的幾何意義)(xfy 0 xMNTydy)( xo ）yxo x 幾何意義幾何意義:(如圖如圖).d,對(duì)應(yīng)的增量對(duì)應(yīng)的增量就是切線縱坐標(biāo)就是切線縱坐標(biāo)坐標(biāo)增量時(shí)坐標(biāo)增量時(shí)是曲線的縱是曲線的縱當(dāng)當(dāng)yy xx0 P .,MNMPMx可可近近似似代代替替曲曲線線段段切切線線段段的的附附近近在在點(diǎn)點(diǎn)很很小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 以直代曲以直代曲 三、基本初等函數(shù)的微分公式與微分運(yùn)算法則三、基本初等函數(shù)的微分公式與微分運(yùn)算法則xxfyd)(d 求法求法: : 計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), , 乘以自變量的微乘以自變量的微分分. .1.1.基本初等函數(shù)的微分公式基本初等函數(shù)的微分公式xxx

7、xxxxxxxCdtansec)(secddsec)(tanddcos)(sind0)(d2 xxxxxxxxxxxxxdcotcsc)(cscddcsc)(cotddsin)(cosdd)(d21 xxxxxxxaxxxaaaaxxd11)(arctandd11)(arcsinddln1)(logddln)(d22 2.2.函數(shù)和、差、積、商的微分法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則2dd)(ddd)(dd)(ddd)(dvvuuvvuvuuvuvuCCuvuvu xxxxxxxxxxxxd11)cotarc(dd11)(arccosdd1)(lndde)e (d22 結(jié)論：結(jié)論：的微分形式總是

8、的微分形式總是函數(shù)函數(shù)是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量無論無論)(,xfyx xxfyd)(d 3. 3. 復(fù)合函數(shù)的微分法則復(fù)合函數(shù)的微分法則設(shè)設(shè))(xfy 可可導(dǎo)導(dǎo)，則則xxfyd)(d 而而 ttgxd)(d , 因因此此又又有有 xxfyd)(d , , ttgxfyd)()(d 此性質(zhì)稱為一階微分的形式不變性此性質(zhì)稱為一階微分的形式不變性. . 若若又又有有)(tgx , ,g可可導(dǎo)導(dǎo)，則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù))(tgfy 的的微微分分為為 例例2 2解法解法1.d, )eln(2yxyx求求設(shè)設(shè) ,ee2122xxxxy .dee21d22xxxyxx 解法解法2)e(de1d

9、22xxxxy .dee2122xxxxx 分析分析xxfyd)(d 微分的計(jì)算微分的計(jì)算: : 計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), , 乘以自變量的微乘以自變量的微分分. .也可利用復(fù)合函數(shù)的微分法則也可利用復(fù)合函數(shù)的微分法則.例例3 3解解.d,cose31yxyx求求設(shè)設(shè))(cosde)e (dcosd3131xxyxxxxxxxxd)sin(ed)e3(cos3131.d)sincos3(e31xxxx解解例例4 4.darctanyyxy求求，設(shè)設(shè)兩邊微分，兩邊微分，21dddyyyxxy.d)1(1)1(d22xyxyyy?,05. 0,10問問面面積積增增大大了了多多少少厘厘米米半半

10、徑徑伸伸長長了了厘厘米米的的金金屬屬圓圓片片加加熱熱后后半半徑徑四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用1.1.函數(shù)的近似計(jì)算函數(shù)的近似計(jì)算有有很很小小時(shí)時(shí)且且處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)若若,|, 0)()( 00 xxfxxfy 例例5 5解解,2rA 設(shè)設(shè).05. 0,10厘厘米米厘厘米米rr rrdAA 205. 0102 ).(2厘米厘米 .)(0 xxf 00dxxxxyy )()()()(000 xxxfxfxf)(0 xx 例例6 6.0360coso的近似值的近似值計(jì)算計(jì)算 解解,cos)(xxf 設(shè)設(shè))( ,sin)(為為弧弧度度xxxf ,360 x，23)3(,21)3( ff)3603cos(0360coso 3603sin3cos 3602321 .4924. 0 49242356. 0精精確確值值常用近似公式常用近似公式)| (很很小小時(shí)時(shí)x;)(sin)4(為為弧弧度度xxx (1) 證證,e)(xxf設(shè)設(shè),e)(xxf.1)0(,1)0(ff. )(tan)5(為弧度為弧度xxx ；xx )1ln()3(;1)1()2(xx ;1e)1(xx .1exx)| ()0()0()(很很小小時(shí)時(shí)特特別別地地，xxffxf. )(211cos)6(2為為弧弧度度x