空間解析幾何基本知識微積分-ppt課件

1、7-1 空間解析幾何基本知識空間解析幾何基本知識 第一節(jié)一、空間直角坐標(biāo)系一、空間直角坐標(biāo)系二、曲面及其方程的概念二、曲面及其方程的概念 三、幾種常見的曲面及其方程三、幾種常見的曲面及其方程空間解析幾何基本知識 第七章 xyozxoy面面yoz面面zox面面x軸軸(橫軸橫軸)y軸軸(縱軸縱軸)z 軸軸(豎軸豎軸)復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)1.空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系2.平面基本方程平面基本方程:一般式一般式0DCzByAx)0(222CBA復(fù)習(xí)復(fù)習(xí), 0)1( D0 DCzByAx222(0)ABC截距式截距式1xyzabc, 0)2( A , 0, 0DD, 0) 3( BA0,B , 0, 0DD0,A

2、 C , 0 CB, 0 C , 0, 0DD( , )0F x y ( , )0F x z ( , )0F y z 都是柱面方程都是柱面方程25xyz引例引例. 分析方程分析方程表示怎樣的曲面表示怎樣的曲面 .的坐標(biāo)也滿足方程的坐標(biāo)也滿足方程222xyR 解解:在在 xoy 面上，面上，表示圓表示圓C, 222xyR222xyR 沿曲線沿曲線C平行于平行于 z 軸的一切直線軸的一切直線故在空間故在空間222xyR 過此點(diǎn)作過此點(diǎn)作所形成的曲面稱為圓柱面所形成的曲面稱為圓柱面.對任意對任意 z ,平行平行 z 軸的直線軸的直線 l ,表示圓柱面表示圓柱面oC在圓在圓C上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn) 1(

3、 , ,0),Mx ylM1M( , , )M x y z點(diǎn)點(diǎn)其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,三、柱面三、柱面C一般的一般的C三、柱面三、柱面C三、柱面三、柱面C三、柱面三、柱面C三、柱面三、柱面C三、柱面三、柱面C三、柱面三、柱面C三、柱面三、柱面C三、柱面三、柱面C三、柱面三、柱面C三、柱面三、柱面( , )0.F x y MNxoy xzyoM(x,y,z)F(x,y)=0( , )0.F x yz 方方程程中中不不含含( , ) 0F x y xzy1lxyz2l1:l2:l( , )0F x y ( , )0F x z ( , )0F y z 都是柱面方程都

4、是柱面方程xozyxozyyx22 xy 22,2yzxyyx 2yz pxz2)3(2 1) 1 (2222 czby1)2(2222 byaxxyzo例例1 1 指出下列方程在平面解析幾何中和空間解析幾指出下列方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分別表示什么圖形？何中分別表示什么圖形？; 2)1( x; 4)2(22 yx. 1)3( xy解解平平行行于于y軸軸的的直直線線平平行行于于yoz面面的的平平面面圓圓心心在在)0 , 0(，半半徑徑為為2的的圓圓以以z軸為中心軸的圓軸為中心軸的圓柱面柱面 斜率為斜率為1的直線的直線平平行行于于z軸軸的的平平面面 平面解析幾何中平面解析幾何中空間解

5、析幾何中空間解析幾何中2 x422 yx1 xy方程方程例如例如 :(2) 建立建立yoz面上曲線面上曲線C 繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程程:給定給定 yoz 面上曲線面上曲線 C: ), 0(111zyM( , , )M x y z( , )0f y z ozyxC, ),(zyxM設(shè)所求曲面上的動點(diǎn)為設(shè)所求曲面上的動點(diǎn)為則點(diǎn)則點(diǎn)M一定是曲線上的某點(diǎn)轉(zhuǎn)過來的一定是曲線上的某點(diǎn)轉(zhuǎn)過來的.故旋轉(zhuǎn)曲面方程為：故旋轉(zhuǎn)曲面方程為：( , , ),M x y z當(dāng)繞當(dāng)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時軸旋轉(zhuǎn)時,11(,)0f y z 111(0,),My zC 設(shè)設(shè)2211,zzxyy則有則有則有則有

6、該點(diǎn)轉(zhuǎn)到該點(diǎn)轉(zhuǎn)到22(, )0fxyz考慮：當(dāng)曲線考慮：當(dāng)曲線 C 繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)時，方程如何？軸旋轉(zhuǎn)時，方程如何？:( , )0Cf y z oyxz22(,)0fyxz0),(22 zyxf. 0),(22 zxyfxy例例3. 求坐標(biāo)面求坐標(biāo)面 xoz 上的雙曲線上的雙曲線22221xzac分別繞分別繞 x軸和軸和 z 軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程. 解解:繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)222221xyzac 繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)222221xyzac 這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為所成曲面方程為所成曲面方程

7、為zpzyx222 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面oyzxxyzo22yozypzz 如如面面上上的的拋拋物物線線繞繞：軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周所所得得旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面的的方方程程為為：例例4. 試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn)試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn), 旋轉(zhuǎn)軸為旋轉(zhuǎn)軸為z 軸軸, 半頂角為半頂角為的圓錐面方程的圓錐面方程. 解解: 在在yoz面上直線面上直線L 的方程為的方程為cotzy 繞繞z 軸旋轉(zhuǎn)時軸旋轉(zhuǎn)時,圓錐面的方程為圓錐面的方程為22cotzxy 2222()zaxycota 令令xyz 兩邊平方兩邊平方L), 0(zyM)(2222yxaz 2221azxy 時時，222yxz 222zyx xyz L), 0(z

8、yM22zxy, ,x y z旋轉(zhuǎn)曲面方程的特點(diǎn)：三元二次方程中含中任兩個字母的平方和.222221xyzab 如如：.一一定定是是旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面22221.yzyozabz母母線線是是面面上上的的平平面面曲曲線線：繞繞 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的曲曲面面2221xyz2221xyz 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面. .旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面. .如如5、其它的二次曲面、其它的二次曲面三元二次方程三元二次方程 這類曲面通常都可以先經(jīng)過旋轉(zhuǎn)這類曲面通常都可以先經(jīng)過旋轉(zhuǎn),然后伸縮變形得到然后伸縮變形得到稱為旋轉(zhuǎn)稱為旋轉(zhuǎn)+伸縮型二次曲面伸縮型二次曲面 .其基本類型有其基本類型有: 橢球面、拋物面

9、、雙曲面、錐面橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面的圖形通常為二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次項(xiàng)系數(shù)不全為二次項(xiàng)系數(shù)不全為 0 )1.定義：三元二次方程定義：三元二次方程 適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅下面僅 就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹 .研究二次曲面特性的基本方法研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法,伸縮法伸縮法 .其基本類型有其基本類型有: 橢球面、拋物面、雙曲面、錐面橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面的圖形通常為二次曲面. 222AxB

10、yCzDxyEyxFzx 0GxHyIzJ (二次項(xiàng)系數(shù)不全為二次項(xiàng)系數(shù)不全為 0 )截痕法：截痕法：5、其它的二次曲面、其它的二次曲面xyz伸縮法：伸縮法：CC y 沿沿 軸軸伸伸縮縮 倍倍111( , , )(,)x y zxy z111,xx yy zz 1111,xxyy zz ( , , )0F x y z 如如：y 沿沿 軸軸伸伸縮縮 倍倍1111(,)0F xy z 得得：1( , )0CF xy z 即即：22222xyzab 1 1. .橢橢圓圓錐錐 面面 2222xyzyaab 把把圓圓錐錐面面沿沿 軸軸方方向向伸伸縮縮倍倍，22222()aybxzaa 變變?yōu)闉?2222

11、.xyzab ozyx將旋轉(zhuǎn)橢球面將旋轉(zhuǎn)橢球面 沿沿 軸方向伸縮軸方向伸縮 倍得：倍得：222221xyzac yba2. 橢球面橢球面222222(1, ,)xya b czabc 為為正正數(shù)數(shù)222221axyzbac 2222221xyzabc 橢球面的幾種特殊情況：橢球面的幾種特殊情況：(1),ab 時時2222221xyzaac 旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面(2),abc 時時球面球面2222xyza2222223.1xyzabc 單單葉葉雙雙曲曲面面 22221xzxOzzac 把把面面上上的的雙雙曲曲線線繞繞 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，222221.xyzac 得得旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)單單葉葉雙雙曲曲面面bya

12、把把此此旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面沿沿 軸軸方方向向伸伸縮縮倍倍，.即即得得到到單單葉葉雙雙曲曲面面22222()1axyzbac 2222221xyzabc （2雙葉雙曲面雙葉雙曲面ozyxxyoz1222222 czbyax旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)雙曲面 ,22222z1cxya 沿軸沿軸 方向伸縮方向伸縮 倍倍yba2222xyzab 5 5. .橢橢圓圓拋拋物物面面 22xxOzzza 把把面面上上的的拋拋物物線線繞繞 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，得得旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)拋拋物物面面，222,xybzyaa 把把此此旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面沿沿 軸軸方方向向伸伸縮縮倍倍，.即即得得到到橢橢圓圓拋拋物物面面222(),axybza 2222xy

13、zabxyzooyzx2222(5).xyzab 方程表表示示橢橢圓圓拋拋物物面面設(shè)設(shè)a,b均大于均大于0,以平行于以平行于xOy面面的平面的平面z=z0(z00)截橢圓拋物截橢圓拋物面面,所得截線方程為所得截線方程為22002a2bxyzzz 它表示平面它表示平面z=z0上一橢圓上一橢圓.以以z=0截曲面截曲面,截得一點(diǎn)為截得一點(diǎn)為原點(diǎn)原點(diǎn). 以平行于以平行于xOz面的平面面的平面y=y0截截曲面曲面,截線方程為截線方程為 22002a2byxzyy 這是平面這是平面y=y0上一條拋物線上一條拋物線.以平行于以平行于yOz面的平面面的平面x=x0截截曲面所得截線是平面曲面所得截線是平面x=x

14、0上的上的一條拋物線一條拋物線. 2222xyzab 6 6. .雙雙曲曲拋拋物物面面 xyzo1.空間曲面空間曲面三元方程三元方程( , )0F xy z 球面球面2222000()()()xxyyzzR 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面 柱面柱面-二元方程二元方程如如,曲面曲面( ,)0F xy 表示母線平行表示母線平行 z 軸的柱面軸的柱面.又如又如,橢圓柱面橢圓柱面, 雙曲柱面雙曲柱面, 拋物柱面等拋物柱面等 . 圓錐面的方程圓錐面的方程2222()zaxy 時時 叫標(biāo)準(zhǔn)圓錐面叫標(biāo)準(zhǔn)圓錐面.1a 222zxy yoz面上的曲線面上的曲線f(y,z)=0繞繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所成的軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)曲面

15、的方程：曲面的方程：22(, )0fxyz 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)2. 二次曲面二次曲面三元二次方程三元二次方程 橢球面橢球面2222221xyzabc 拋物面拋物面: 橢圓拋物面橢圓拋物面雙曲拋物面雙曲拋物面 雙曲面雙曲面: 單葉雙曲面單葉雙曲面雙葉雙曲面雙葉雙曲面 橢圓錐面橢圓錐面: 2222xyzab2222xyzab2222221xyzabc 2222221xyzabc 22222xyzab 2.( ).例例 以以下下曲曲面面方方程程是是旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面方方程程的的是是2222( ), ( ),A xyxB xyz 22222( ), ( )321.C xyzD xyz B2223.1( )

16、.4yxz 例例 方方程程表表示示.橢球面； 旋轉(zhuǎn)雙曲面； 雙曲柱面； 錐面ABCDB空間曲線可視為兩曲面的交線空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組其一般方程為方程組( , , )0( , , )0F x y zG x y z 2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如,方程組方程組221236xyxz 表示圓柱面與平面的交表示圓柱面與平面的交線線 C，是空間一個橢圓，是空間一個橢圓.xzy1oC2一、空間曲線的一般方程一、空間曲線的一般方程補(bǔ)補(bǔ)又如又如,方程組方程組表示上半球面與圓柱面的交線表示上半球面與圓柱面的交線C. 222220zaxyxyax yxzao222yxa

17、z 4)2(222ayax .曲線曲線ViVeni例如例如: 下列方程組各表示怎樣的曲線？下列方程組各表示怎樣的曲線？ 0. 1222zryx 2222222. 2ryxrzyx 00. 3zy 00. 4zyzy.,為為半半徑徑點(diǎn)點(diǎn)為為圓圓心心以以原原面面上上的的圓圓是是rxoy軸軸x所以，空間曲線的方所以，空間曲線的方程是不唯一的程是不唯一的.三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 CCC關(guān)于關(guān)于 的投影柱面的投影柱面 C在在 上的投影曲線上的投影曲線 Oxzy 0),(0),(:zyxGzyxFC設(shè)曲線設(shè)曲線 則則C關(guān)于關(guān)于xoy面的投影柱面面的投影柱面方程應(yīng)為消方程應(yīng)

18、為消z后的方程：后的方程：( , )0H x y 所以所以C在在xoy面上的投影曲線的方程為：面上的投影曲線的方程為： 00),(zyxH 1) 1() 1(1222222zyxzyx02222 yyx . 002222zyyx，,1 zyzyx1OC總之總之:設(shè)空間曲線設(shè)空間曲線C( , , )0( , , )0F x y zG x y z 消去消去 z得投影柱面得投影柱面( , )0H x y xoy 面上的投影曲線方程面上的投影曲線方程與與xoy 面方程聯(lián)立得面方程聯(lián)立得C 在在( , )0:0H x yCz 消去消去 x 得得C 在在yoz 面上的投影曲線方程面上的投影曲線方程消去消去y 得得C 在在zox 面上的投影曲線方程面上的投影曲線方程( , )00R y zx ( , )00T x zy CC zyxooyzx22zxy