高數(shù)下第十一章曲線積分與曲面積分

1、第十一章第十一章 曲線積分曲線積分一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念1. 定義函數(shù)定義函數(shù) f(x,y)在曲線弧上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分在曲線弧上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L01( , )lim(,).niiiLif x y dsfs 2.存在條件：存在條件：.),(,),(存在存在對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分上連續(xù)時(shí)上連續(xù)時(shí)在光滑曲線弧在光滑曲線弧當(dāng)當(dāng) LdsyxfLyxf3.推廣推廣曲線積分為曲線積分為上對(duì)弧長(zhǎng)的上對(duì)弧長(zhǎng)的在空間曲線弧在空間曲線弧函數(shù)函數(shù) ),(zyxf.),(lim),(10iniiiisfdszyxf 4.性質(zhì)性質(zhì)

2、 .),(),(),(),()1( LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(為常數(shù)為常數(shù)kdsyxfkdsyxkfLL .),(),(),()3(21 LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL 5、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算定理定理)()()()(),(),(,)(),()(),(),(,),(22 dtttttfdsyxfttttytxLLyxfL且且上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)在在其中其中的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為上有定義且連續(xù)上有定義且連續(xù)在曲線弧在曲線弧設(shè)設(shè)注意注意: :;. 1 一定要小于上限一定要小于上限定積分的下限定積分

3、的下限.,),(. 2而是相互有關(guān)的而是相互有關(guān)的不彼此獨(dú)立不彼此獨(dú)立中中yxyxf例例1).(,sin,cos:,象限象限第第橢圓橢圓求求 tbytaxLxydsIL解解dttbtatbtaI2220)cos()sin(sincos dttbtattab222220cossincossin abduubaab222)cossin(2222tbtau 令令.)(3)(22bababaab 例例2.)2, 1()2 , 1(,4:,2一段一段到到從從其中其中求求 xyLydsIL解解dyyyI222)2(1 . 0 例例3)20(.,sin,cos:, 的一段的一段其中其中求求kzayaxxyz

4、dsI解解.21222kaka xy42 dkaka222sincos 20I例例3 . 0,22222zyxazyxdsxI為圓周為圓周其中其中求求解解 由對(duì)稱性由對(duì)稱性, 知知.222 dszdsydsx dszyxI)(31222故故 dsa32.323a ),2(球面大圓周長(zhǎng)球面大圓周長(zhǎng) dsa練習(xí)題練習(xí)題練習(xí)題答案練習(xí)題答案二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念1. 定義定義: 函數(shù)函數(shù) P(x,y)在有向曲線弧在有向曲線弧L上對(duì)坐標(biāo)上對(duì)坐標(biāo) x 的曲線積分的曲線積分01( , )lim(,)niiiLiP x y dxPx 類似地定義類似地定義.),(lim),(10

5、iiniiLyQdyyxQ ,),(),(叫做被積函數(shù)叫做被積函數(shù)其中其中yxQyxP.叫積分弧段叫積分弧段L2.存在條件：存在條件：.,),(),(第二類曲線積分存在第二類曲線積分存在上連續(xù)時(shí)上連續(xù)時(shí)在光滑曲線弧在光滑曲線弧當(dāng)當(dāng)LyxQyxP3.組合形式組合形式 LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(.,jdyidxdsjQiPF 其其中中. LdsF4.4.推廣推廣 空間有向曲線弧空間有向曲線弧.),(lim),(10iiiniixPdxzyxP . RdzQdyPdx.),(lim),(10iiiniiyQdyzyxQ .),(lim),(10iiinii

6、zRdzzyxR 5.5.性質(zhì)性質(zhì).,)1(2121 LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL則則和和分成分成如果把如果把則則有向曲線弧有向曲線弧方向相反的方向相反的是與是與是有向曲線弧是有向曲線弧設(shè)設(shè),)2(LLL 即對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān)即對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān). LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(6、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算,),(),(, 0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),(22存在存在則曲線積分則曲線積分且且續(xù)導(dǎo)數(shù)續(xù)導(dǎo)數(shù)一階連一階連為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有及及在以

7、在以運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)沿沿的起點(diǎn)的起點(diǎn)從從點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)到到變變單調(diào)地由單調(diào)地由當(dāng)參數(shù)當(dāng)參數(shù)的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為續(xù)續(xù)上有定義且連上有定義且連在曲線弧在曲線弧設(shè)設(shè) LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP 定理定理dttttQtttPdyyxQdxyxPL)()(),()()(),(),(),( 且且.,)()()(:)3( 終點(diǎn)終點(diǎn)起點(diǎn)起點(diǎn)推廣推廣ttztytx dtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)()(),(),()()(),(),()()(),(),( 例例1.)1 , 1()1, 1(,2的一段弧的一段弧到到上從上從為拋物線為拋物線其中其中

8、計(jì)算計(jì)算BAxyLxydxL 解解的定積分，的定積分，化為對(duì)化為對(duì)x)1(.xy OBAOLxydxxydxxydx 1001)(dxxxdxxx 10232dxx.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B的定積分，的定積分，化為對(duì)化為對(duì)y)2(,2yx ABLxydxxydx 1122)(dyyyy. 11到到從從 y 1142dyy.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B.)0 ,()0 ,()2(;)1(,2的直線段的直線段軸到點(diǎn)軸到點(diǎn)沿沿從點(diǎn)從點(diǎn)的上半圓周的上半圓周針?lè)较蚶@行針?lè)较蚶@行、圓心為原點(diǎn)、按逆時(shí)、圓心為原點(diǎn)、按逆時(shí)半徑為半徑為為為其中其中計(jì)算計(jì)算aBxaAaLd

9、xyL 例例2解解,sincos:)1( ayaxL，變到變到從從 0)0 ,(aA)0 ,( aB 0原式原式 daa)sin(sin22 )0 ,(aA)0 ,( aB .343a , 0:)2( yL，變到變到從從aax aadx0原式原式. 0 問(wèn)題問(wèn)題：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同積分結(jié)果不同路徑不同積分結(jié)果不同. 03a)(cos)cos1(2 d 例例3).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依次是點(diǎn)依次是點(diǎn)，這里，這里有向折線有向折線

10、的一段弧的一段弧到到上從上從拋物線拋物線的一段弧的一段弧到到上從上從拋物線拋物線為為其中其中計(jì)算計(jì)算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL 2xy )0 , 1(A)1 , 1(B解解.)1(的積分的積分化為對(duì)化為對(duì) x, 10,:2變到變到從從xxyL 1022)22(dxxxxx原式原式 1034dxx. 1 ) 0 , 1 (A)1 ,1(B2yx .)2(的積分的積分化為對(duì)化為對(duì) y,10,:2變到變到從從yyxL 1042)22(dyyyyy原式原式 1045dxy. 1 )0 , 1(A)1 , 1(B)3( ABOAdyxxydxdyxxydx2222原式原式,上上在在

11、OA,10, 0變到變到從從xy 1022)002(2dxxxdyxxydxOA. 0 ,上上在在 AB,10, 1變變到到從從yx 102)102(2dyydyxxydxAB. 1 10 原原式式. 1 ) 0 , 1 (A)1 ,1(B問(wèn)題問(wèn)題：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同而積分結(jié)果相同路徑不同而積分結(jié)果相同.(4) 兩類曲線積分之間的聯(lián)系：兩類曲線積分之間的聯(lián)系：,)()( tytxL ：設(shè)有向平面曲線弧為設(shè)有向平面曲線弧為,),( 為為處的切線向量的方向角處的切線向量的方向角上點(diǎn)上點(diǎn)yxL LLdsQPQdyPdx)coscos(則則其

12、中其中,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt （可以推廣到空間曲線上（可以推廣到空間曲線上 ） 思考題思考題思考題解答思考題解答曲線方向由參數(shù)的變化方向而定曲線方向由參數(shù)的變化方向而定.例如例如L：taxcos ，taysin ，2 , 0 t中中當(dāng)當(dāng)t從從 0 變變到到 2時(shí)時(shí)，L取取逆逆時(shí)時(shí)針針?lè)椒较蛳?反反之之當(dāng)當(dāng)t從從 2變變到到 0 時(shí)時(shí)，L取取順順時(shí)時(shí)針針?lè)椒较蛳?練習(xí)題答案練習(xí)題答案1 1、區(qū)域連通性的分類、區(qū)域連通性的分類 設(shè)設(shè)D為平面區(qū)域?yàn)槠矫鎱^(qū)域, , 如果如果D內(nèi)任一閉曲線所內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于圍成的部分都屬于D, , 則稱則稱D為平面單

13、連通區(qū)為平面單連通區(qū)域域, , 否則稱為復(fù)連通區(qū)域否則稱為復(fù)連通區(qū)域. .復(fù)連通區(qū)域復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域單連通區(qū)域DD三三、格林公式、格林公式2.2.格林公式格林公式定理定理1 1連成連成與與由由21LLL組成組成與與由由21LLL邊界曲線邊界曲線L L的正向的正向: 當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí)當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí),區(qū)區(qū)域域D總在他的左邊總在他的左邊.2LD1L2L1LD格格林林公公式式的的實(shí)實(shí)質(zhì)質(zhì): : 溝溝通通了了沿沿閉閉曲曲線線的的積積分分與與二二重重積積分分之之間間的的聯(lián)聯(lián)系系.xyoLABDBOABOAL 應(yīng)應(yīng)用用格格林林公公式式, xQP , 0 有有 LDxdydxdy, BOABOA

14、xdyxdyxdy, 0, 0 BOOAxdyxdy由于由于.412rdxdyxdyDAB 則則當(dāng)當(dāng)022 yx時(shí)時(shí), , 有有yPyxxyxQ 22222)(.記記L所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域?yàn)闉镈,解解令令2222,yxxQyxyP ,L( (1 1) ) 當(dāng)當(dāng)D )0, 0(時(shí)時(shí), ,(2) 當(dāng)當(dāng)D )0 , 0(時(shí)時(shí),1DrlxyoLD由由格格林林公公式式知知 Lyxydxxdy022作作位位于于D內(nèi)內(nèi)圓圓周周 222:ryxl ,記記1D由由L和和l所所圍圍成成,應(yīng)應(yīng)用用格格林林公公式式,得得yxo lLyxydxxdyyxydxxdy2222xyor1DlL02222 lLyxy

15、dxxdyyxydxxdy(其其 中中l(wèi)的的 方方 向向取取逆逆時(shí)時(shí)針針?lè)椒较蛳?.2 (注意格林公式的條件注意格林公式的條件) drrr22222sincos 20 若區(qū)域若區(qū)域 如圖為如圖為復(fù)連通域，試描述格復(fù)連通域，試描述格林公式中曲線積分中林公式中曲線積分中L的方向。的方向。 LDQdyPdxdxdyyPxQoxyABCDEFG思考題思考題思考題解答思考題解答oxyABCDEFG由兩部分組成由兩部分組成L外外邊界：邊界：內(nèi)內(nèi)邊界：邊界：BCDABEGFEGyxo 1LQdyPdx則則稱稱曲曲線線積積分分 LQdyPdx在在G內(nèi)內(nèi)與與路路徑徑無(wú)無(wú)關(guān)關(guān), ,四、第二類曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條

16、件四、第二類曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件 2LQdyPdx1L2LBA1.1.定義：如果在區(qū)域定義：如果在區(qū)域G內(nèi)有內(nèi)有 否否則則與與路路徑徑有有關(guān)關(guān). .2.2.曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件 設(shè)開(kāi)區(qū)域設(shè)開(kāi)區(qū)域G是一個(gè)單連通域是一個(gè)單連通域, , 函數(shù)函數(shù)),(),(yxQyxP在在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ,則曲線積分則曲線積分 LQdyPdx在在G內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)（或沿（或沿G內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零）的充內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零）的充要條件是要條件是xQyP 在在G內(nèi)恒成立內(nèi)恒成立. .定理定理2 2(1) 開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)域域G是是一一個(gè)個(gè)單單連

17、連通通域域.(2) 函函數(shù)數(shù)),(),(yxQyxP在在G內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù).兩條件缺一不可兩條件缺一不可有關(guān)定理的說(shuō)明：有關(guān)定理的說(shuō)明：定理定理3 3xQyP 若若 ),(),(1100yxByxAQdyPdx則則dyyxQdxyxPyyxx),(),(101010 ),(01yxC ),(11yxB xyo),(00yxA dxyxPdyyxQxxyy),(),(101010 或或例例 1 1 計(jì)計(jì)算算 Ldyyxdxxyx)()2(422. 其其中中L為為由由點(diǎn)點(diǎn))0, 0(O到到點(diǎn)點(diǎn))1, 1(B的的曲曲線線弧弧2sinxy .xxyxyyP2)2(2 xyxxx

18、Q2)(42 解解 xQyP ，原積分與路徑無(wú)關(guān)原積分與路徑無(wú)關(guān) 故故原原式式 101042)1(dyydxx.1523 例例 2 2 設(shè)設(shè)曲曲線線積積分分 Ldyxydxxy)(2與與路路徑徑無(wú)無(wú)關(guān)關(guān), 其其中中 具具有有連連續(xù)續(xù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), 且且0)0( ,計(jì)計(jì)算算 )1 , 1()0,0(2)(dyxydxxy.積積分分與與路路徑徑無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)xQyP ，解解,2)(2xyxyyyP ),()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP ),(),(xyyxQ 由由0)0( ，知知0 c 2)(xx .故故 )1 , 1()0,0(2)(dyxydxxy由由xyxy2)( cxx 2)( 101

19、00ydydx.21 四、小結(jié)四、小結(jié)與路徑無(wú)關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題與路徑無(wú)關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題條條件件在在單單連連通通開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)域域D上上),(),(yxQyxP具具有有連連續(xù)續(xù)的的一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,則則以以下下四四個(gè)個(gè)命命題題成成立立. . LQdyPdxD與與路路徑徑無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)內(nèi)內(nèi)在在)1( CDCQdyPdx閉閉曲曲線線, 0)2(QdyPdxduyxUD 使使內(nèi)內(nèi)存存在在在在),()3(xQyPD ,)4(內(nèi)內(nèi)在在等等價(jià)價(jià)命命題題練習(xí)題答案練習(xí)題答案五、對(duì)面積的曲面積分五、對(duì)面積的曲面積分叫被積函數(shù)，叫被積函數(shù)，其中其中),(zyxf1.1.定義定義.叫積分曲面叫積分曲面 dSzyxf),

20、( 21),(),(dSzyxfdSzyxf.2.2.對(duì)面積的曲面積分的性質(zhì)對(duì)面積的曲面積分的性質(zhì)則則及及可分為分片光滑的曲面可分為分片光滑的曲面若若,21 3、計(jì)算法、計(jì)算法;1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyx dSzyxf),(1):( , )zz x y 若若曲曲面面則則;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(則則(2):( , )yy x z若若曲曲面面 計(jì)計(jì)算算 dszyx)(, 其其中中 為為平平面面5 zy被被柱柱面面2522 yx所所截截得得的的部部分分.例例1 1積積分分曲曲面面 ：yz 5 ,解解投影域投影域 ：25| ),(22

21、 yxyxDxy dszyx)(故故 xyDdxdyyyx)5(2 xyDdxdyx)5(2rdrrd 5020)cos5(2.2125 dxdyzzdSyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy 例例 2 2 計(jì)計(jì)算算dSxyz |,其其中中 為為拋拋物物面面 22yxz （10 z）.解解依對(duì)稱性知：依對(duì)稱性知：被被積積函函數(shù)數(shù)| xyz關(guān)關(guān)于于xoz、yoz 坐標(biāo)面對(duì)稱坐標(biāo)面對(duì)稱軸對(duì)稱，軸對(duì)稱，關(guān)于關(guān)于拋物面拋物面zyxz22 有有 14成立成立，(1 為為第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)xyzdxdyzzdSyx221 dxdyyx22)2()2(1 原式原式dSxyz |dSx

22、yz 14dxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4 其其中中1| ),(22 yxyxDxy, 0, 0 yx 利用極坐標(biāo)利用極坐標(biāo) trxcos , trysin ,rdrrrttrdt 102222041sincos4 drrrtdt21050412sin22 令令241ru duuu251)41(41 .42015125 練練 習(xí)習(xí) 題題練習(xí)題答案練習(xí)題答案六、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分六、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分1. 曲面的側(cè)曲面的側(cè) (假設(shè)曲面是光滑的假設(shè)曲面是光滑的)曲面分曲面分上上側(cè)和側(cè)和下下側(cè)側(cè)曲面分曲面分內(nèi)內(nèi)側(cè)和側(cè)和外外側(cè)側(cè)曲面法曲面法向量的指向向量的指向決定曲面的決定曲面的側(cè)側(cè)

23、. .決定了側(cè)的曲面稱為決定了側(cè)的曲面稱為有向曲面有向曲面. .曲面的投影問(wèn)題曲面的投影問(wèn)題: :面面在在xoyS ,在在有有向向曲曲面面上上取取一一小小塊塊.0cos00cos)(0cos)()( 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xyxyxyS.)(表示投影區(qū)域的面積表示投影區(qū)域的面積其中其中xy 為為上上的的投投影影xyS)( 曲曲面面 S 2 2、概念及性質(zhì)、概念及性質(zhì)類似可定義類似可定義 niyziiiiSPdydzzyxP10)(,(lim),( nizxiiiiSQdzdxzyxQ10)(,(lim),( 存在條件存在條件:當(dāng)當(dāng)),(),(),(zyxRzyxQzyxP在在有有向向光光滑

24、滑曲曲面面上上連連續(xù)續(xù)時(shí)時(shí), ,對(duì)對(duì)坐坐標(biāo)標(biāo)的的曲曲面面積積分分存存在在. .組合形式組合形式:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( 性質(zhì)性質(zhì): 2121. 1RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydz dxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdzdxzyxQdydzzyxPdydzzyxP),(),(),(),(),(),(. 23 3、計(jì)算法、計(jì)算法 設(shè)積分曲面是由設(shè)積分曲面是由方程方程),(yxzz 所給所給出的曲面上側(cè)出的曲面上側(cè), ,在在xoy面上的投影區(qū)域面上的投影區(qū)域?yàn)闉閤yD, ,函數(shù)函數(shù)),

25、(yxzz 在在xyD上具上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ,被積函數(shù)被積函數(shù)),(zyxR在在上連續(xù)上連續(xù). . ),(yxfz xyDxyzoxys)( nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),( ),(,)()(, 0cos,iiixyxyizS 又又取上側(cè)取上側(cè) nixyiiiiinixyiiiizRSR1010)(,(,(lim)(,(lim xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(即即,)()(, 0cos,xyxyiS 取取下下側(cè)側(cè)若若 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(則有則有給出給出由由如果如果,),(zyxx y

26、zDdydzzyzyxPdydzzyxP,),(),(則有則有給出給出由由如果如果,),(xzyy zxDdzdxzxzyxQdzdxzyxQ),(,),(注意注意: :對(duì)坐標(biāo)的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分, ,必須注意曲面所取的側(cè)必須注意曲面所取的側(cè). .例例 1 1 計(jì)計(jì)算算 xyzdxdy其其中中是是球球面面1222 zyx外外側(cè)側(cè)在在0, 0 yx的的部部分分. .解解兩部分兩部分和和分成分成把把21 ;1:2211yxz ,1:2222yxz xyz2 1 12xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy xyxyDDdxdyyxxydxdyyxxy)1(12222 xyDdxdyyxxy2212.1521cossin222 xyDrdrdrr 練練 習(xí)習(xí) 題題練習(xí)題答案練習(xí)題答案七、高七、高 斯斯 公公 式式dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()( 或或GaussGauss公式的實(shí)質(zhì)公式的實(shí)質(zhì) 表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系曲面上的曲面積分之間的關(guān)系.)coscoscos()( dSRQ