大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)

1、大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)第三屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷第三屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷（非數(shù)學(xué)類）（非數(shù)學(xué)類）2011年年10月月29日日9:0011:30一、（一、（30分，每小題分，每小題6分）分）1. 求極限求極限xxexxn)1ln(1()1(lim22 2. 設(shè)設(shè)nna2cos2cos2cos2 ，求，求.limnna 其中其中dxdyxyD)1sgn( .20 , 20| ),( yxyxD3. 求求 112212nnn4. 求冪級數(shù)求冪級數(shù)的和函數(shù)，并求級數(shù)的和函數(shù)，并求級數(shù)的和的和 221212 nnnxn 0nna ,a,limaann .lim21anaaann , p,)(l

2、im npnnaa.limpnann 二、記二、記為數(shù)列，為數(shù)列，為有限數(shù)，求證：為有限數(shù)，求證：則則(2) 如果存在正整數(shù)如果存在正整數(shù)使得使得則則(1) 如果如果)(xf1 , 1 , 1)1(, 0)1( ff, 0)0( f)1 , 1( 0 x. 3)(0 xf三、設(shè)函數(shù)三、設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間上具有連續(xù)的三階導(dǎo)數(shù)，上具有連續(xù)的三階導(dǎo)數(shù)，求證：在開區(qū)間求證：在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點，使得，使得且且)0 ,(a, ), 0(h0 hm四、在平面上有一條從點四、在平面上有一條從點向右的射線，其線密度為向右的射線，其線密度為在點在點處處(其中其中)有一質(zhì)量為有一質(zhì)量為求射線對

3、該質(zhì)點的引力求射線對該質(zhì)點的引力.的質(zhì)點，的質(zhì)點，),(yxzz 0)1,1( yzxzF022 yzyxzx. 0)(22322223 yzyyzyxxyxzx五、設(shè)五、設(shè)是由方程是由方程所確定的隱函數(shù)，且具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，求證：所確定的隱函數(shù)，且具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，求證：和和)(xf , 1222 zyxdSczbyaxfI)( .)(211222duucbafI 六、設(shè)函數(shù)六、設(shè)函數(shù)連續(xù)，連續(xù)，是單位球面是單位球面記第一型曲面積分記第一型曲面積分求證：求證：第三屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽決賽試卷第三屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽決賽試卷（非數(shù)學(xué)類）（非數(shù)學(xué)類）2012年年3月月17日日9:0012:0

4、0一、計算題一、計算題1. 求極限求極限2. 求極限求極限.sincossinlim22222xxxxxn .11tan2lim613 xexxxxx),(yxf, 0222 xxyxyyxyyxfffffff, 0 yf),(zxyy ),(yxfz .22xy 3. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足滿足是由方程是由方程所確定的函數(shù)，求所確定的函數(shù)，求.)11(1dxexxIxx azyx 22)0(222 ayxaz4. 求不定積分求不定積分5. 求曲面求曲面和和所圍立體的表面積所圍立體的表面積.dxxxxx 022sincos 二、討論二、討論的斂散性，其中的斂散

5、性，其中是一個實常數(shù)是一個實常數(shù).)(xf),( , 0 M,)()(Mxfk ,.),2 , 1(),( kx,.).2 , 1( , 0)21( nfn),( . 0)( xf三、設(shè)三、設(shè)在在上無窮次可微，并且滿足：上無窮次可微，并且滿足：使得使得且且求證：在求證：在上上存在存在),0( 12222 babyax l)0 ,( c 222bac l四、設(shè)四、設(shè)D為橢圓形為橢圓形面密度為面密度為的均質(zhì)的均質(zhì)為通過橢圓焦點為通過橢圓焦點(其中其中) 垂直于垂直于(2) 對于固定的轉(zhuǎn)動慣量，討論橢圓薄板的面積是否有對于固定的轉(zhuǎn)動慣量，討論橢圓薄板的面積是否有最值最值.薄板薄板.薄板的旋轉(zhuǎn)軸薄板的旋轉(zhuǎn)軸.旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量.(1) 求薄板繞求薄板繞l),(yxzz 0),( yzxyxzF),(vuFL.)2()2(22dxyzxzdyyzxzIL 五、設(shè)連續(xù)可微函數(shù)五、設(shè)連續(xù)可微函數(shù)由方程由方程（其中（其中有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）為正向單位圓周，試求：為正向單位圓周，試求：唯一確定，唯一確定， 1)0(2yxex