高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 第六節(jié) 簡單的三角恒等變換課件 文

1、第六節(jié)簡單的三角恒等變換總綱目錄教材研讀1.公式的常見變形考點(diǎn)突破2.輔助角公式考點(diǎn)二三角函數(shù)式的求值考點(diǎn)一化簡三角函數(shù)式考點(diǎn)三三角恒等變換的應(yīng)用1.公式的常見變形公式的常見變形(1)1+cos =2cos2 ;1-cos =2sin2 .(2)1+sin =;222sincos221-sin =.(3)tan=.2sincos222sin1cos1 cossin教材研讀教材研讀2.輔助角公式輔助角公式asin x+bcos x=sin(x+)(為輔助角),其中sin = ,cos = . 22ab22bab22aab1.已知cos =,(,2),則cos等于()A. B.- C. D.- 1

2、3263633333答案答案 B由cos =,得2cos2-1=,即cos2=.又(,2),cos0,故cos=-.132132232,22263B2.的值為()A.1 B.-1 C. D.- 22sin 351cos103sin101212答案答案 D原式=-.22sin 351132cos10sin1022cos702sin2012D3.計(jì)算:=()A. B. C. D.- 21cos 10cos801cos2022123222A答案答案 A =.21cos 10cos801cos2022sin 10sin101 (12sin 10 )22sin 102sin 10224.sin 15+c

3、os 15= .32答案答案 2解析解析 sin 15+cos 15=2=2(sin 15cos 30+cos 15sin 30)=2sin(15+30)=.331sin15cos152225.已知24,且sin =-,cos 0,則tan的值等于 .352-3答案答案-3解析解析24,且sin =-,cos 0,3,cos =-,tan=-3.3572452sin2cos222sin22sincos221 cossin41535 6.化簡sin2+sin2-sin2的結(jié)果是 .6612答案答案 12解析解析原式=+-sin2=1-sin2=1-cos 2cos-sin2=1-=.1 cos

4、2321 cos 23212cos 2cos 2333cos22 1cos2212典例典例1(1)已知0,則= .(2)化簡:= .(1 sincos ) sincos2222cos42212cos2cos22tansin44xxxx考點(diǎn)一化簡三角函數(shù)式考點(diǎn)一化簡三角函數(shù)式考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破答案答案(1)-cos (2)cos 2x12解析解析 (1)原式=cos=.因?yàn)?,所以00,所以原式=-cos .(2)原式=222sincos2cossincos222224cos2222sincos22cos2coscos2cos222222212cos(cos1)22tancos44xxxx=cos

5、 2x.224cossin14sincos44xxxx21 sin 22sin22xx2cos 22cos2xx121.三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則 方法技巧方法技巧2.三角函數(shù)式化簡的方法弦切互化,異名化同名,異角化同角,降冪或升冪.在三角函數(shù)式的化簡中“次降角升”和“次升角降”是基本的規(guī)律,根號(hào)中含有三角函數(shù)式時(shí),一般需要升次.1-1 sin 50(1+tan 10)= .31答案答案1解析解析 sin 50(1+tan 10)=sin 50(1+tan 60tan 10)=sin 50=sin 50=1.3cos60 cos10sin60 sin10cos60 cos10cos(6

6、010 )cos60 cos102sin50 cos50cos10sin100cos10cos10cos10考點(diǎn)二三角函數(shù)式的求值考點(diǎn)二三角函數(shù)式的求值命題方向命題視角給值求值給出角所滿足的某個(gè)條件,求角的三角函數(shù)值給角求值主要考查非特殊角化為特殊角,然后求值的方法給值求角已知角的某一三角函數(shù)值求角典例典例2 (2018廣東惠州質(zhì)檢)已知cos=,x,求的值.4x35712742sin22sin1tanxxx命題方向一給值求值命題方向一給值求值解析解析 =sin 2x=sin 2xtan.因?yàn)閤,所以x+0,所以x+0.又,+,+=.(2)tan =tan(-)+=0,553 10102 55

7、101022,23,2274tan()tan1tan()tan11271112713且(0,),00,02,tan(2-)=1.tan =-0,(0,),-2-0,222tan1tan2123113342tan2tan1tan2 tan3147311471722-=-.34規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)三角函數(shù)求值的3類求法(1)“給值求值”:給出某些角的三角函數(shù)值,求另外一些角的三角函數(shù)值,解題關(guān)鍵在于“變角”,使相關(guān)角相同或具有某種關(guān)系.(2)“給角求值”:一般所給出的角都是非特殊角,從表面上看是很難求值的,但仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)非特殊角與特殊角總有一定的關(guān)系,解題時(shí),要利用觀察得到的關(guān)系,結(jié)合相關(guān)公式轉(zhuǎn)化為特

8、殊角并且消掉非特殊角的三角函數(shù)而得解.(3)“給值求角”:實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”,先求角的某一三角函數(shù)值,再求角的范圍,最后確定角.2-1已知,且2sin2-sin cos -3cos2=0,則= .0,2sin4sin2cos21268答案答案 268解析解析,且2sin2-sin cos -3cos2=0,則(2sin -3cos )(sin +cos )=0,2sin =3cos ,又sin2+cos2=1,cos =,sin =,=0,2213313sin4sin2cos212222(sincos )2(sincos )(cossin)=.222cos2682-2若sin 2=,si

9、n(-)=,且,則+的值是 .551010,43,274答案答案 74解析解析,2,又sin 2=,2,cos 2=-且,又sin(-)=,-,cos(-)=-,4,2255,22 55,4 2 10103,25,2 43 1010cos(+)=cos(-)+2=cos(-)cos 2-sin(-)sin 2=-=,又+,所以+=.3 10102 55101055225,2474典例典例5已知函數(shù)f(x)=sin2x-sin2,xR.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.6x,3 4 考點(diǎn)三三角恒等變換的應(yīng)用考點(diǎn)三三角恒等變換的應(yīng)用解析解析(1)由已知,有f(

10、x)=-=sin 2x-cos 2x=sin.所以, f(x)的最小正周期T=.(2)因?yàn)閒(x)在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù), f =-, f =-, f =.所以, f(x)在區(qū)間上的最大值為,最小值為-.1 cos22x1 cos 232x1213cos2sin222xx34141226x22,36,6 4 314612434,3 4 3412方法技巧方法技巧三角恒等變換的應(yīng)用策略(1)進(jìn)行三角恒等變換要抓住:變角、變函數(shù)名稱、變結(jié)構(gòu),注意公式的逆用和變形使用.(2)把形如y=asin x+bcos x化為y=sin(x+),可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期、單調(diào)性、最值與對(duì)稱性.22ab同

11、類練同類練已知函數(shù)f(x)=sin2x-cos2x-2sin xcos x(xR).(1)求f 的值;(2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.323解析解析(1)由sin=,cos=-,f=-2,得f=2.(2)由cos 2x=cos2x-sin2x與sin 2x=2sin xcos x得f(x)=-cos 2x-sin 2x=-2sin.所以f(x)的最小正周期是.由正弦函數(shù)的性質(zhì)得+2k2x+2k,kZ,解得+kx+k,kZ.所以, f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ).23322312232322123321223326x26326232,63kk變式練變式練設(shè)函數(shù)f(x)=sin2x+

12、2sin xcos x-cos2x+(xR)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱.其中,為常數(shù),且.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;(2)若y=f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn),求函數(shù)f(x)的值域.31,12,04解析解析(1)f(x)=sin2x-cos2x+2sin xcos x+=-cos 2x+sin 2x+=2sin+.由直線x=是y=f(x)圖象的一條對(duì)稱軸,可得sin=1,所以2-=k+(kZ),即=+(kZ).又,所以k=1,=.所以f(x)的最小正周期是.(2)由y=f(x)的圖象過點(diǎn),得f=0,3326x26622k131,125665,044即=-2sin=-2sin=-,即=-.故f(x)=2sin-,函數(shù)f(x)的值域?yàn)?2-,2-.5626422536x222深化練深化練已知函數(shù)f(x)=sin 2x+5cos2x+.(1)當(dāng)x時(shí),求函數(shù)f(x)的值域;(2)非鈍角ABC中角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,滿足f(A)=,且a=4.求ABC面積的最大值.5 3252,6 2 52解析解析(1)f(x)=sin 2x+5cos2x+=sin 2x+