第五章 大數(shù)定律

1、第第5 5章章 大數(shù)定律和中心極限定理大數(shù)定律和中心極限定理5.2 5.2 中心極限定理中心極限定理5.1 5.1 大數(shù)定律大數(shù)定律4.中心極限定理給出了正態(tài)分布大量存在于客觀中心極限定理給出了正態(tài)分布大量存在于客觀世界的理論依據(jù)，證明世界的理論依據(jù)，證明n個隨機變量的和個隨機變量的和在在n趨于趨于無窮大時的極限分布是正態(tài)分布。無窮大時的極限分布是正態(tài)分布。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的學(xué)科的學(xué)科. 隨機現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進隨機現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進行大量重復(fù)試驗時才會呈現(xiàn)行大量重復(fù)試驗時才會呈現(xiàn). 1.試驗次數(shù)無限增

2、大時，事件頻率具有穩(wěn)定性。試驗次數(shù)無限增大時，事件頻率具有穩(wěn)定性。2.在本節(jié)從理論上證明在本節(jié)從理論上證明:頻率依某種意義收斂于概頻率依某種意義收斂于概 率，這是最早的一個率，這是最早的一個大數(shù)定律大數(shù)定律。3.一般的大數(shù)定律討論一般的大數(shù)定律討論n個隨機變量的平均值個隨機變量的平均值的穩(wěn)的穩(wěn)定性。定性。第第5 5章章 大數(shù)定律和中心極限定理大數(shù)定律和中心極限定理5.1 5.1 大數(shù)定律大數(shù)定律注：注：1.切比雪夫不等式可以寫成另一種形式切比雪夫不等式可以寫成另一種形式221XP說明：大量觀測值的算術(shù)平均值具有穩(wěn)定性。說明：大量觀測值的算術(shù)平均值具有穩(wěn)定性。n很大很大時，可以用時，可以用 觀測

3、值作為期望的近似。觀測值作為期望的近似。niiXnX11221XP定理說明：事件的頻率具有穩(wěn)定性。當(dāng)實驗的次定理說明：事件的頻率具有穩(wěn)定性。當(dāng)實驗的次數(shù)很大時，可以用頻率近似代替概率。數(shù)很大時，可以用頻率近似代替概率。定理不要求定理不要求X方差的存在，稱之為弱大數(shù)定律。方差的存在，稱之為弱大數(shù)定律。第第5 5章章 大數(shù)定律和中心極限定理大數(shù)定律和中心極限定理5.2 5.2 中心極限定理中心極限定理復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：中心極限定理的客觀背景中心極限定理的客觀背景 一一. 中心極限定理中心極限定理1.1.中心極限定理給出了正態(tài)分布大量存在于客觀中心極限定理給出了正態(tài)分布大量存在于客觀世界的理論依據(jù)。世界的

4、理論依據(jù)。2.n2.n個隨機變量的個隨機變量的和和在在n n趨于無窮大時的趨于無窮大時的極限分布極限分布是正態(tài)分布是正態(tài)分布。211)(,)(nXDnXEnkknkk2.n2.n個隨機變量的個隨機變量的和和在在n n趨于無窮大趨于無窮大時的極限分布時的極限分布是正態(tài)分布。是正態(tài)分布。1(,)niiXN2nnC例例 根據(jù)以往經(jīng)驗根據(jù)以往經(jīng)驗, ,某種電器元件的壽命服從某種電器元件的壽命服從均值均值為為100100小時的指數(shù)分布小時的指數(shù)分布. .現(xiàn)隨機地取現(xiàn)隨機地取1616只，設(shè)它們的壽只，設(shè)它們的壽命是相互獨立的命是相互獨立的. .求這求這1616只元件的壽命的只元件的壽命的總和總和大于大于1

5、9201920小時的概率小時的概率. .由題給條件知，諸由題給條件知，諸Xi 獨立，獨立，16只元件的壽命的總和為只元件的壽命的總和為161kkXY解解: 設(shè)第設(shè)第i只元件的壽命為只元件的壽命為Xi , i=1,2, ,16E(Xi)=100, Var(Xi)=10000依題意，所求為依題意，所求為P(Y1920)由于由于E(Y)=1600,D(Y)=160000P(Y1920)=1-P(Y 1920) =1- (0.8)40016001920( 1-=1-0.7881=0.2119161kkXY近似近似)16,16(2N由中心極限定理由中心極限定理,標準化可得標準化可得,N(0,1)4001600Y近似近似例例. 某公司有某公司有200名員工參加一種資格證書考試，按名員工參加