靜電場(chǎng)中的高斯定理

1、靜電場(chǎng)中的高斯定理：高斯定理是靜電學(xué)中的一個(gè)重要定理 , 它反映了靜電場(chǎng)的一個(gè)基本性質(zhì) , 即靜電場(chǎng)是有源場(chǎng) , 其源即是電荷?？杀硎鰹?: 在靜電場(chǎng)中 , 通過(guò)任意閉合曲面的電通量 , 等于該閉合曲面所包圍的電荷的代數(shù)和的 1/ 倍, 與閉合曲面外的電荷無(wú)關(guān)。表達(dá)式為r rnòE ? ds 1/ 0qi（ 1）(S )i 1r高斯定理是用來(lái)求場(chǎng)強(qiáng) E 分布 , 定理中 , S 是任意曲面 , 由于數(shù)學(xué)水平的限制 , 要由高斯定理計(jì)算出 E,則對(duì)由場(chǎng)的分布有一定的要求 , 即電荷分布具有嚴(yán)格的對(duì)稱性 ( 若電荷分布不對(duì)稱性即不是均勻的 , 引起電場(chǎng)分布不對(duì)稱 , 不能從高斯定理求空間

2、場(chǎng)強(qiáng)分布 ,高斯定理當(dāng)然仍是成立的 ) , 由于電荷分布的對(duì)稱性導(dǎo)致場(chǎng)強(qiáng)分布的對(duì)稱性 , 場(chǎng)強(qiáng)分布的對(duì)稱性應(yīng)包括大小和方向兩個(gè)方面。 典型情況有三種 :1) 球?qū)ΨQ性 , 如點(diǎn)電荷 , 均勻帶電球面或球體等 ;2) 軸對(duì)稱性 , 如無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線 , 無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電圓柱或圓柱面 , 無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電同軸圓柱面3) 面對(duì)稱性 , 如均勻帶電無(wú)限大平面或平板 ,或者若干均勻帶電無(wú)限大平行平面。根據(jù)高斯定理計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)時(shí) , 必須先根據(jù)電荷分布的對(duì)稱性 , 分析場(chǎng)強(qiáng)分布的對(duì)稱性 ; 再適當(dāng)選取無(wú)厚度的幾何面作為高斯面。選取的原則是 :1 待求場(chǎng)強(qiáng)的場(chǎng)點(diǎn)必須在高斯面上 ;2 使高斯面的各個(gè)部分或者與 E

3、 垂直 , 或者 E 平行 ;3 與 E 垂直的那部分高斯面上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)應(yīng)相等 ;4 高斯面的形狀應(yīng)是最簡(jiǎn)單的幾何面。最后由高斯定理求出場(chǎng)強(qiáng)。 高斯定理說(shuō)明的是通過(guò)閉合曲面的電通量與閉合r曲面所包圍的所有電荷的代數(shù)和之間的關(guān)系, 即閉合曲面的總場(chǎng)強(qiáng)E 的電通量只與曲面所包圍的電荷有關(guān), 但與曲面內(nèi)電荷的分布無(wú)關(guān)。但閉合曲面上的電場(chǎng)強(qiáng)度卻是與曲面內(nèi)外所有電荷相聯(lián)系的,是共同激發(fā)的結(jié)果。下面舉一些例子來(lái)說(shuō)靜電場(chǎng)中高定理的應(yīng)用：例1：一半徑為 R的帶電球體，其電荷體密度分布為Ar(rR) ，0(rR) ， A 為大于零的常量。 試求球體內(nèi)外的場(chǎng)強(qiáng)分布及其方向。解：在球內(nèi)取半徑為r 、厚為 dr 的薄

4、球殼，該殼內(nèi)所包含的電荷為dqdV Ar 4 r 2 d r 4 Ar 3 d r在徑為 r 的球面內(nèi)包含的總電荷為qr4 A r 3 d rAr 4( r R)dVV0以該球面為高斯面，按高斯定理有E1 4 r 2Ar 4 / 0得到E1Ar 2 / 40 ， (rR)方向沿徑向向外在球體外作一半徑為r 的同心高斯球面，按高斯定理有E24 r 2AR 4/0得到2AR40 r 2， (r方向沿徑向向外例題 2:有兩個(gè)同心的均勻帶電球面， 半徑分別為 R1 、R2 (R1 R2 ) ，若大球面的面電荷密度為 ，且大球面外的電場(chǎng)強(qiáng)度為零，求： （1）小球面上的面電荷密度；（2）大球面內(nèi)各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。解: （1）設(shè)小球面上的電荷密度為 ，在大球面外作同心的球面為高斯面，由高斯定理：qint4 R22'4 R1'E dSS00大球面外 E 04 R224 R120解得：( R2)2R1（ 2） 大球面內(nèi)各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)兩個(gè)均勻帶電球面場(chǎng)強(qiáng)的迭加 :內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)為零 ,外部相當(dāng)點(diǎn)電荷在 rR1 區(qū)域：EE1E2000R12' 02在 R1r R2 區(qū)域： EE1E24R240r 20r2 對(duì)高斯定理的幾點(diǎn)說(shuō)明高斯定理是電磁學(xué)中