高三總復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)——專(zhuān)題總結(jié)歸納

1、歷年高考題型總結(jié)及詳解歷年高考題型總結(jié)及詳解倒數(shù)倒數(shù)內(nèi)容簡(jiǎn)介 ：1.有關(guān)倒數(shù)考試方向及常考點(diǎn).2.?？键c(diǎn)方法總結(jié)及名師點(diǎn)撥.3.20142016 各地歷年高考題及解析.4.名校有關(guān)模擬題母題.【命題意圖】 導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的重要工具，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可以描繪出函數(shù)圖象大致的變化趨勢(shì)，是進(jìn)一步解決問(wèn)題的依據(jù).分類(lèi)討論思想具有明顯的邏輯特征，是整體思想一個(gè)重要補(bǔ)充，解決這類(lèi)問(wèn)題需要一定的分析能力和分類(lèi)技巧.因此高考對(duì)這類(lèi)題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、代數(shù)式化簡(jiǎn)與變形，考查運(yùn)算求解能力，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論的思想方法分析與解決問(wèn)題能力.【考試方向】 含有參數(shù)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)試題，主要有兩個(gè)方面：一是根據(jù)給

2、出的某些條件求出這些參數(shù)值，基本思想方法為方程的思想；二是在確定參數(shù)的范圍（或取值）使得函數(shù)具有某些性質(zhì)，基本解題思想是函數(shù)與方程的思想、分類(lèi)討論的思想.含有參數(shù)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)試題是高考考查函數(shù)方程思想、分類(lèi)討論思想的主要題型之一.這類(lèi)試題在考查題型上，通常以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等.【得分要點(diǎn)】1.研究函數(shù)單調(diào)區(qū)間， 實(shí)質(zhì)研究函數(shù)極值問(wèn)題.分類(lèi)討論思想常用于含有參數(shù)的函數(shù)的極值問(wèn)題，大體上可分為兩類(lèi)，一類(lèi)是定區(qū)間而極值點(diǎn)含參數(shù)，另一類(lèi)是不定區(qū)間（區(qū)間含參數(shù)）極值點(diǎn)固定， 這兩類(lèi)都是根據(jù)極值點(diǎn)是否在區(qū)間內(nèi)加以討論， 討論時(shí)以是否使得導(dǎo)函數(shù)變號(hào)為標(biāo)準(zhǔn)，做到不重不漏.2.求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)首先堅(jiān)持

3、定義域優(yōu)先原則，必須先確定函數(shù)的定義域，尤其注意定義區(qū)間不連續(xù)的情況，此時(shí)單調(diào)區(qū)間按斷點(diǎn)自然分類(lèi)；其次，先研究定義區(qū)間上導(dǎo)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)或零點(diǎn)落在定義區(qū)間端點(diǎn)上的情況，此時(shí)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)不變，單調(diào)性唯一；對(duì)于導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)在定義區(qū)間內(nèi)的情形，最好列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律，得出相應(yīng)單調(diào)區(qū)間.3.討論函數(shù)的單調(diào)性其實(shí)質(zhì)就是討論不等式的解集的情況.大多數(shù)情況下， 這類(lèi)問(wèn)題可以歸結(jié)為一個(gè)含有參數(shù)的一元二次不等式的解集的討論， 在能夠通過(guò)因式分解求出不等式對(duì)應(yīng)方程的根時(shí)依據(jù)根的大小進(jìn)行分類(lèi)討論， 在不能通過(guò)因式分解求出根的情況時(shí)根據(jù)不等式對(duì)應(yīng)方程的判別式進(jìn)行分類(lèi)討論.討論函數(shù)的單調(diào)性是在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行的，千

4、萬(wàn)不要忽視了定義域的限制.4.含參數(shù)的函數(shù)的極值(最值)問(wèn)題常在以下情況下需要分類(lèi)討論：(1)導(dǎo)數(shù)為零時(shí)自變量的大小不確定需要討論；(2)導(dǎo)數(shù)為零的自變量是否在給定的區(qū)間內(nèi)不確定需要討論；(3)端點(diǎn)處的函數(shù)值和極值大小不確定需要討論；(4)參數(shù)的取值范圍不同導(dǎo)致函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性的變化不確定需要討論.5.求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟(1)確定函數(shù))(xf的定義域(定義域優(yōu)先)；(2)求導(dǎo)函數(shù)( )fx；(3)在函數(shù))(xf的定義域內(nèi)求不等式( )0fx或( )0fx的解集(4)由( )0fx（( )0fx）的解集確定函數(shù))(xf的單調(diào)增(減)區(qū)間若遇不等式中帶有參數(shù)時(shí)，可分類(lèi)討論求得單調(diào)

5、區(qū)間6由函數(shù))(xf在( , )a b上的單調(diào)性，求參數(shù)范圍問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為( )0fx(或( )0fx)恒成立問(wèn)題，要注意“”是否可以取到7. 求函數(shù)最值時(shí)，不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，要通過(guò)認(rèn)真比較才能下結(jié)論；另外注意函數(shù)最值是個(gè)“整體”概念，而極值是個(gè)“局部”概念8. 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)解答題中貫穿始終的是數(shù)學(xué)思想方法，在含有參數(shù)的試題中，分類(lèi)與整合思想是必要的，由于是函數(shù)問(wèn)題，所以函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想也是必要的，把不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題、 把方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題等， 轉(zhuǎn)化與化歸思想也起著同樣的作用，解決函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的解答題要充分注意數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用.9. 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用通常圍繞

6、四個(gè)點(diǎn)進(jìn)行命題第一個(gè)點(diǎn)是圍繞導(dǎo)數(shù)的幾何意義展開(kāi)，設(shè)計(jì)求曲線的切線方程， 根據(jù)切線方程求參數(shù)值等問(wèn)題， 這類(lèi)試題在考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的同時(shí)也考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、函數(shù)等知識(shí)，試題的難度不大；第二個(gè)點(diǎn)是圍繞利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)展開(kāi)，設(shè)計(jì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值，已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)或者參數(shù)范圍等問(wèn)題， 在考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的同時(shí)考查分類(lèi)與整合思想、 化歸與轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法；第三個(gè)點(diǎn)是圍繞導(dǎo)數(shù)研究不等式、方程展開(kāi)，涉及不等式的證明、不等式的恒成立、 討論方程根等問(wèn)題， 主要考查通過(guò)轉(zhuǎn)化使用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)并把函數(shù)性質(zhì)用來(lái)分析不等式和方程等問(wèn)題的能力， 該點(diǎn)和第二個(gè)點(diǎn)一般是解答題

7、中的兩個(gè)設(shè)問(wèn)， 考查的核心是導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法和函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用； 第四個(gè)點(diǎn)是圍數(shù)性質(zhì)并把函數(shù)性質(zhì)用來(lái)分析不等式和方程等問(wèn)題的能力， 該點(diǎn)和第二個(gè)點(diǎn)一般是解答題中的兩個(gè)設(shè)問(wèn)， 考查的核心是導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法和函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用10. 函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系（1）函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：設(shè)函數(shù)( )yf x在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若( )0fx，則( )f x為增函數(shù)；若/( )0fx ，則( )f x為減函數(shù).（2）用導(dǎo)數(shù)函數(shù)求單調(diào)區(qū)間方法求單調(diào)區(qū)間問(wèn)題，先求函數(shù)的定義域，在求導(dǎo)函數(shù)，解導(dǎo)數(shù)大于 0 的不等式，得到區(qū)間為增區(qū)間，解導(dǎo)數(shù)小于 0 得到的區(qū)間為減區(qū)間，注意單調(diào)區(qū)間一定要寫(xiě)出區(qū)間

8、形式，不用描述法集合或不等式表示，且增（減）區(qū)間有多個(gè)，一定要分開(kāi)寫(xiě)，用逗號(hào)分開(kāi)，不能寫(xiě)成并集形式，要說(shuō)明增（減）區(qū)間是誰(shuí)，若題中含參數(shù)注意分類(lèi)討論；(3) 已知在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)問(wèn)題先求導(dǎo)函數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上大于（增函數(shù)） （小于（減函數(shù)） ）0 恒成立問(wèn)題，通過(guò)函數(shù)方法或參變分離求出參數(shù)范圍，注意要驗(yàn)證參數(shù)取等號(hào)時(shí)，函數(shù)是否滿足題中條件，若滿足把取等號(hào)的情況加上，否則不加.（4）注意區(qū)分函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是增（減）函數(shù)與函數(shù)的增（減）區(qū)間是某各區(qū)間的區(qū)別，函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是增（減）函數(shù)中的區(qū)間可以是該函數(shù)增(減)區(qū)間的子集.11.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)（1）函數(shù)極值的概念設(shè)函

9、數(shù)( )yf x在0 x附近有定義，若對(duì)0 x附近的所有點(diǎn)，都有0( )()f xf x，則稱(chēng)0()f x是函數(shù)( )f x的一個(gè)極大值，記作y極大值=0()f x；設(shè)函數(shù)( )yf x在0 x附近有定義，若對(duì)0 x附近的所有點(diǎn)，都有0( )()f xf x，則稱(chēng)0()f x是函數(shù)( )f x的一個(gè)極小值，記作y極小值=0()f x.注意：極值是研究函數(shù)在某一點(diǎn)附近的性質(zhì)，使局部性質(zhì);極值可有多個(gè)值，且極大值不定大于極小值;極值點(diǎn)不能在函數(shù)端點(diǎn)處取.（2）函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系當(dāng)函數(shù)( )yf x在0 x處連續(xù)時(shí)，若在0 x附近的左側(cè)/( )0fx ，右側(cè)/( )0fx ，那么0()f x是極大

10、值；若在0 x附近的左側(cè)/( )0fx ，右側(cè)/( )0fx ，那么0()f x是極小值.注意：在導(dǎo)數(shù)為 0 的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，如函數(shù)3yx，導(dǎo)數(shù)為/23yx，在0 x 處導(dǎo)數(shù)為 0，但不是極值點(diǎn)；極值點(diǎn)導(dǎo)數(shù)不定為 0，如函數(shù)|yx在0 x 的左側(cè)是減函數(shù)，右側(cè)是增函數(shù)，在0 x 處取極小值，但在0 x 處的左導(dǎo)數(shù)0(0)( 0)limxxx =-1，有導(dǎo)數(shù)0(0)(0)limxxx =1，在0 x 處的導(dǎo)數(shù)不存在.（3）函數(shù)的極值問(wèn)題求函數(shù)的極值，先求導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)為 0，求出導(dǎo)函數(shù)為 0 點(diǎn)，方程的根和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，再用導(dǎo)數(shù)判定這些點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)的單調(diào)性，若左增由減，則在這一點(diǎn)取值極大

11、值，若左減右增，則在這一點(diǎn)取極小值，要說(shuō)明在哪一點(diǎn)去極大（?。┲?；已知極值求參數(shù)， 先求導(dǎo)， 則利用可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為 0， 列出關(guān)于參數(shù)方程，求出參數(shù)，注意可導(dǎo)函數(shù)在某一點(diǎn)去極值是導(dǎo)函數(shù)在這一點(diǎn)為 0 的必要不充分條件，故需將參數(shù)代入檢驗(yàn)在給點(diǎn)的是否去極值；已知三次多項(xiàng)式函數(shù)有極值求參數(shù)范圍問(wèn)題， 求導(dǎo)數(shù)， 導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的一元二次方程有解，判別式大于 0，求出參數(shù)的范圍.12.最值問(wèn)題（1）最值的概念對(duì)函數(shù)( )yf x有函數(shù)值0()f x使對(duì)定義域內(nèi)任意x，都有( )f x 0()f x（( )f x 0()f x）則稱(chēng)0()f x是函數(shù)( )yf x的最大（?。┲?注意：若函數(shù)存在最

12、大（?。┲担瑒t值唯一；最大值可以在端點(diǎn)處取；若函數(shù)的最大值、最小值都存在，則最大值一定大于最小值.最大值不一定是極大值，若函數(shù)是單峰函數(shù)，則極大（?。┲稻褪亲畲螅ㄐ。┲?（2）函數(shù)最問(wèn)題對(duì)求函數(shù)在某一閉區(qū)間上， 先用導(dǎo)數(shù)求出極值點(diǎn)的值和區(qū)間端點(diǎn)的值， 最大者為最大值，最小者為最小值，對(duì)求函數(shù)定義域上最值問(wèn)題或值域，先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，從而弄清函數(shù)的圖像，結(jié)合函數(shù)圖像求出極值；對(duì)已知最值或不等式恒成立求參數(shù)范圍問(wèn)題，通過(guò)參變分離轉(zhuǎn)化為不等式( )f x（）( )g a（x是自變量，a是參數(shù)）恒成立問(wèn)題，( )g amax( )f x（min( )f x） ，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，

13、注意函數(shù)最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系.1.(2016 高考山東理數(shù))已知221( )ln,Rxf xa xxax.（）討論( )f x的單調(diào)性； （II）略考點(diǎn)：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【名師點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、分類(lèi)討論思想.解答本題，準(zhǔn)確求導(dǎo)數(shù)是基礎(chǔ)，恰當(dāng)分類(lèi)討論是關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是分類(lèi)討論不全面、不徹底、不恰當(dāng)，或因復(fù)雜式子變形能力差，而錯(cuò)漏百出.本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、基本計(jì)算能力、分類(lèi)討論思想等.2.(2016 高考天津理數(shù))設(shè)函數(shù)3( )(1)f xxaxb,Rx，其中Rba,（）求)(xf的單調(diào)區(qū)間；(II)略； （）略.【答案】（）當(dāng)0a時(shí)，

14、單調(diào)遞增區(qū)間為),(；當(dāng)0a時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為)331 ,331 (aa，單調(diào)遞增區(qū)間為)331 ,(a，),331 (a.【解析】 （）解：由baxxxf3) 1()(，可得axxf2) 1( 3)( .下面分兩種情況討論：【名師點(diǎn)睛】1.求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟(1)確定函數(shù))(xf的定義域(定義域優(yōu)先)；(2)求導(dǎo)函數(shù)( )fx；(3)在函數(shù))(xf的定義域內(nèi)求不等式( )0fx或( )0fx的解集(4)由( )0fx（( )0fx）的解集確定函數(shù))(xf的單調(diào)增(減)區(qū)間若遇不等式中帶有參數(shù)時(shí)，可分類(lèi)討論求得單調(diào)區(qū)間2 由函數(shù))(xf在( , )a b上的單調(diào)性， 求參數(shù)范圍問(wèn)題，

15、 可轉(zhuǎn)化為( )0fx(或( )0fx)恒成立問(wèn)題，要注意“”是否可以取到20162016 高考真題及名校模擬題高考真題及名校模擬題母題母題【母題1】 ()討論函數(shù)xx2f(x)x2e的單調(diào)性， 并證明當(dāng)0 x 時(shí)，(2)20 xxex；()證明：當(dāng)0,1)a時(shí)，函數(shù)2x =(0)xeaxagxx（ ）有最小值.設(shè)( )g x的最小值為( )h a，求函數(shù)( )h a的值域【答案】 （）詳見(jiàn)解析； （）21( ,.24e.考點(diǎn)： 函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值.【名師點(diǎn)睛】求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：(1)確定函數(shù) f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù) f(x)；(3)由 f(x)0(f(x)0)解出相應(yīng)的 x

16、 的范圍當(dāng) f(x)0 時(shí)，f(x)在相應(yīng)的區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng) f(x)0 時(shí)，f(x)在相應(yīng)的區(qū)間上是減函數(shù)，還可以列表，寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間注意：求函數(shù)最值時(shí)，不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，要通過(guò)認(rèn)真比較才能下結(jié)論；另外注意函數(shù)最值是個(gè)“整體”概念，而極值是個(gè)“局部”概念【母題 2】設(shè)函數(shù)( )a xf xxebx，曲線( )yf x在點(diǎn)(2,(2)f處的切線方程為(1)4yex，（1）求a，b的值；（2）求( )f x的單調(diào)區(qū)間.【答案】 （）2a ，be； （2）)(xf的單調(diào)遞增區(qū)間為(,) .【解析】 （1）因?yàn)閎xxexfxa)(，所以bexxfxa)1 ()(.依題設(shè)，, 1

17、)2(, 22)2(efef即, 1, 222222ebeebeaa解得eba , 2；（2）由（）知exxexfx2)(.由)1 ()(12xxexexf即02xe知，)(xf 與11xex同號(hào).令11)(xexxg，則11)(xexg.所以，當(dāng)) 1 ,(x時(shí)，0)( xg，)(xg在區(qū)間) 1 ,(上單調(diào)遞減；當(dāng)), 1 ( x時(shí)，0)( xg，)(xg在區(qū)間), 1 ( 上單調(diào)遞增.故1) 1 (g是)(xg在區(qū)間),(上的最小值，從而),(, 0)(xxg.綜上可知，0)( xf，),(x，故)(xf的單調(diào)遞增區(qū)間為),(.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.【名師點(diǎn)睛】用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，首先

18、應(yīng)確定函數(shù)的定義域，然后在函數(shù)的定義域內(nèi)，通過(guò)討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間在對(duì)函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時(shí)，除了必須確定使導(dǎo)數(shù)等于 0 的點(diǎn)外，還要注意定義區(qū)間內(nèi)的間斷點(diǎn)【母題 3】設(shè)函數(shù) f(x)=ax2-a-lnx，其中 a R.（）討論 f(x)的單調(diào)性；（）確定 a 的所有可能取值，使得11( )xf xex在區(qū)間（1，+）內(nèi)恒成立(e=2.718為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，最值、解決恒成立問(wèn)題.【名師點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，最值、解決恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力和計(jì)算能力求函數(shù)的單調(diào)性，基本方法是求( )fx，

19、解方程( )0fx ， 再通過(guò)( )fx的正負(fù)確定( )f x的單調(diào)性； 要證明函數(shù)不等式( )( )f xg x，一般證明( )( )f xg x的最小值大于 0，為此要研究函數(shù)( )( )( )h xf xg x的單調(diào)性本題中注意由于函數(shù)( )h x有極小值沒(méi)法確定，因此要利用已經(jīng)求得的結(jié)論縮小參數(shù)取值范圍比較新穎，學(xué)生不易想到有一定的難度【母題 4】已知函數(shù)),()(23Rbabaxxxf.（1）試討論)(xf的單調(diào)性；（2）若acb（實(shí)數(shù) c 是 a 與無(wú)關(guān)的常數(shù)） ，當(dāng)函數(shù))(xf有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，a 的取值范圍恰好是),23()23, 1 ()3,(，求 c 的值.【答案】 （1

20、）當(dāng)0a 時(shí)， f x在, 上單調(diào)遞增；當(dāng)0a 時(shí)， f x在2,3a ，0,上單調(diào)遞增，在2,03a上單調(diào)遞減；當(dāng)0a 時(shí)， f x在,0，2,3a上單調(diào)遞增，在20,3a上單調(diào)遞減（2）1.c 【考點(diǎn)定位】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、極值、函數(shù)零點(diǎn)【名師點(diǎn)晴】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟：確定函數(shù) yf(x)的定義域；求導(dǎo)數(shù) yf(x)，令 f(x)0，解此方程，求出在定義區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)根；把函數(shù) f(x)的間斷點(diǎn)(即 f(x)的無(wú)定義點(diǎn))的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)數(shù)根按由小到大的順序排列起來(lái)，然后用這些點(diǎn)把函數(shù) f(x)的定義區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間；確定 f(x)在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，根據(jù)符號(hào)判定函數(shù)在每個(gè)相

21、應(yīng)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題處理方法為：利用函數(shù)的單調(diào)性、極值畫(huà)出函數(shù)的大致圖像，數(shù)形結(jié)合求解已知不等式解集求參數(shù)方法： 利用不等式解集與對(duì)應(yīng)方程根的關(guān)系找等量關(guān)系或不等關(guān)系.【母題 5】設(shè)函數(shù)2( )f xxaxb.（）討論函數(shù)(sin )fx在(,)2 2 內(nèi)的單調(diào)性并判斷有無(wú)極值，有極值時(shí)求出極值；（）記2000( )fxxa xb，求函數(shù)0(sin )(sin )fxfx在2 2 ,上的最大值 D；（）在（）中，取000ab，求24azb滿足D1時(shí)的最大值.【答案】 （）極小值為24ab； （）00|Daabb； （）1.【解析】 （）2(sin )sinsinsin (si

22、n)fxxaxbxxab，22x. (sin )(2sin)cosfxxax，22x.因?yàn)?2x，所以cos0, 22sin2xx .當(dāng)2,abR 時(shí)，函數(shù)(sin )fx單調(diào)遞增，無(wú)極值.當(dāng)2,abR時(shí)，函數(shù)(sin )fx單調(diào)遞減，無(wú)極值.【考點(diǎn)定位】1.函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值；2.絕對(duì)值不等式的應(yīng)用.【名師點(diǎn)睛】函數(shù)、導(dǎo)數(shù)解答題中貫穿始終的是數(shù)學(xué)思想方法，在含有參數(shù)的試題中，分類(lèi)與整合思想是必要的，由于是函數(shù)問(wèn)題，所以函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想也是必要的，把不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題、 把方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題等， 轉(zhuǎn)化與化歸思想也起著同樣的作用，解決函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的解答題要充分注意數(shù)學(xué)

23、思想方法的應(yīng)用.【母題 6】已知函數(shù)( )n,nf xxxxR，其中*n,n2N.(I)討論( )f x的單調(diào)性；(II)設(shè)曲線( )yf x=與x軸正半軸的交點(diǎn)為 P，曲線在點(diǎn) P 處的切線方程為( )yg x=,求證：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)x，都有( )( )f xg x；(III)若關(guān)于x的方程( )=a(a)f x為實(shí)數(shù)有兩個(gè)正實(shí)根12xx，求證：21|-|21ax xn0.()設(shè) g(x)為 f(x)的導(dǎo)函數(shù)，討論 g(x)的單調(diào)性；()證明：存在 a(0，1)，使得 f(x)0 恒成立，且 f(x)0 在區(qū)間(1，)內(nèi)有唯一解.【解析】()由已知，函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?0，)g(x)

24、f (x)2(x1lnxa)所以 g(x)222(1)xxx當(dāng) x(0，1)時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞減當(dāng) x(1，)時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增()由 f (x)2(x1lnxa)0，解得 ax1lnx令(x)2xlnxx22x(x1lnx)(x1lnx)2(1lnx)22xlnx則(1)10，(e)2(2e)0于是存在 x0(1，e)，使得(x0)0令 a0 x01lnx0u(x0)，其中 u(x)x1lnx(x1)由 u(x)11x0 知，函數(shù) u(x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增故 0u(1)a0u(x0)u(e)e21即 a0(0，1)當(dāng) aa0時(shí)，有 f (x0)0，f(x0)

25、(x0)0再由()知，f (x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增當(dāng) x(1，x0)時(shí)，f (x)0，從而 f(x)f(x0)0當(dāng) x(x0，)時(shí)，f (x)0，從而 f(x)f(x0)0又當(dāng) x(0，1時(shí)，f(x)(xa0)22xlnx0故 x(0，)時(shí)，f(x)0綜上所述，存在 a(0，1)，使得 f(x)0 恒成立，且 f(x)0 在區(qū)間(1，)內(nèi)有唯一解.【考點(diǎn)定位】 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用、 函數(shù)的零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí)，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.【名師指點(diǎn)】本題第()問(wèn)隱藏二階導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)，由于連續(xù)兩次求導(dǎo)后，參

26、數(shù) a 消失，故函數(shù)的單調(diào)性是確定的，討論也相對(duì)簡(jiǎn)單.第()問(wèn)需要證明的是：對(duì)于某個(gè) a(0，1)，f(x)的最小值恰好是 0， 而且在(1， )上只有一個(gè)最小值.因此， 本題仍然要先討論 f(x)的單調(diào)性，進(jìn)一步說(shuō)明對(duì)于找到的 a，f(x)在(1，)上有且只有一個(gè)等于 0 的點(diǎn)，也就是在(1，)上有且只有一個(gè)最小值點(diǎn).屬于難題.7.【2015 高考新課標(biāo) 1，文 21】 （本小題滿分 12 分）設(shè)函數(shù) 2lnxf xeax.（I）討論 f x的導(dǎo)函數(shù) fx的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（II）證明：當(dāng)0a 時(shí) 22lnf xaaa.【答案】 （I）當(dāng)0a 時(shí)，( )fx沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)0a 時(shí)，( )fx存在唯

27、一零點(diǎn).（II）見(jiàn)解析【解析】試題分析： （I）先求出導(dǎo)函數(shù)，分0a與0a 考慮 fx的單調(diào)性及性質(zhì)，即可判斷出零點(diǎn)個(gè)數(shù)； （II）由（I）可設(shè)( )fx在()0 +，的唯一零點(diǎn)為0 x，根據(jù) fx的正負(fù)，即可判定函數(shù)的圖像與性質(zhì)，求出函數(shù)的最小值，即可證明其最小值不小于22lna aa+，即證明了所證不等式.試題解析： （I）( )f x的定義域?yàn)?)0 +，()2( )=20 xafxexx-.當(dāng)0a 時(shí),( )0fx，( )fx沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)0a 時(shí)，因?yàn)?xe單調(diào)遞增，ax-單調(diào)遞增，所以( )fx在()0 +，單調(diào)遞增.又( )0fa,當(dāng) b 滿足04ab且14b 時(shí)，(b)0f時(shí)，(

28、 )fx存在唯一零點(diǎn).（II）由（I） ，可設(shè)( )fx在()0 +，的唯一零點(diǎn)為0 x，當(dāng)()00 xx，時(shí)，( )0fx.故( )f x在()00 x，單調(diào)遞減，在()0+x，單調(diào)遞增，所以當(dāng)0 xx=時(shí)，( )f x取得最小值，最小值為0()f x.由于0202=0 xaex-，所以00022()=2ln2ln2af xaxaaaxaa+.故當(dāng)0a 時(shí)，2( )2lnf xaaa+.考點(diǎn)：常見(jiàn)函數(shù)導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則；函數(shù)的零點(diǎn)；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像與性質(zhì)；利用導(dǎo)數(shù)證明不等式；運(yùn)算求解能力.【名師指點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，解決此類(lèi)問(wèn)題，要熟練掌握常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

29、法則、 掌握通過(guò)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、 極值研究函數(shù)的圖像與性質(zhì).對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)，畫(huà)出函數(shù)圖像草圖，結(jié)合圖像處理；對(duì)恒成立或能處理成立問(wèn)題，常用參變分離或分類(lèi)討論來(lái)處理.8.【2015 高考重慶，文 19】已知函數(shù)32( )f xaxx（aR）在 x=43處取得極值.()確定a的值，()若( )( )xg xf x e，討論的單調(diào)性.【答案】 （）12a =， （）g( ) x在(, 4)( 1,0)-和內(nèi)為減函數(shù)，( 4, 1)(0,)-+和內(nèi)為增函數(shù).【解析】試題分析： （）先求出函數(shù)( )f x的導(dǎo)函數(shù)2( )32fxaxx=+，由已知有4()03f-

30、=可得關(guān)于a的一個(gè)一元方程，解之即得a的值，（）由（）的結(jié)果可得函數(shù)321g( )2xxxxe驏琪=+琪桫，利用積的求導(dǎo)法則可求出g ( ) x=1(1)(4)2xx xxe+，令g ( )0 x=，解得0,1=-4xxx= - 或.從而分別討論-4x ，41x- -，-10 x時(shí)g ( ) x的符號(hào)即可得到函數(shù)g( ) x的單調(diào)性試題解析： (1)對(duì)( )f x求導(dǎo)得2( )32fxaxx=+因?yàn)? )f x在43x = -處取得極值，所以4()03f-=，即16416832 ()09333aa+ -=-=,解得12a =.(2)由(1)得，321g( )2xxxxe驏琪=+琪桫,故2323

31、23115g ( )222222xxxxxx exxexxx e驏驏驏琪琪琪=+=+琪琪琪桫桫桫1(1)(4)2xx xxe=+令g ( )0 x=，解得0,1=-4xxx= - 或.當(dāng)-4x 時(shí)，g ( )0 x,故g( ) x為減函數(shù)，當(dāng)41x- ,故g( ) x為增函數(shù)，當(dāng)-10 x時(shí)，g ( )0 x時(shí)，g ( )0 x,故g( ) x為增函數(shù)，綜上知g( ) x在(, 4)( 1,0)-和內(nèi)為減函數(shù)，( 4, 1)(0,)-+和內(nèi)為增函數(shù).【考點(diǎn)定位】1. 導(dǎo)數(shù)與極值，2. 導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性.【名師指點(diǎn)】 本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念和運(yùn)算， 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值之間的關(guān)系

32、， 利用函數(shù)的極值點(diǎn)必是導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)， 使導(dǎo)函數(shù)大于零的 x 的區(qū)間函數(shù)必增，小于零的區(qū)間函數(shù)必減進(jìn)行求解， 本題屬于中檔題， 注意求導(dǎo)的準(zhǔn)確性及使導(dǎo)函數(shù)大于零或小于零的 x 的區(qū)間的確定.9.【2015 高考新課標(biāo) 2，理 12】設(shè)函數(shù)( )fx是奇函數(shù)( )()f x xR的導(dǎo)函數(shù)，( 1)0f ，當(dāng)0 x 時(shí)，( )( )0 xfxf x，則使得( )0f x 成立的x的取值范圍是（）A(, 1)(0,1) B( 1,0)(1,)C(, 1)( 1,0) D(0,1)(1,)【答案】A【考點(diǎn)定位】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)的圖象與性質(zhì)【名師指點(diǎn)】聯(lián)系已知條件和結(jié)論，構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用

33、的方法，解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類(lèi)問(wèn)題，設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問(wèn)題，?？墒箚?wèn)題變得明了，屬于難題10.【2015 高考新課標(biāo) 1，理 12】設(shè)函數(shù)( )f x=(21)xexaxa,其中 a1，若存在唯一的整數(shù)0 x，使得0()f x0，則a的取值范圍是（）(A)-32e，1）(B)-32e，34）(C)32e，34）(D)32e，1）【答案】D【解析】設(shè)( )g x=(21)xex，yaxa，由題知存在唯一的整數(shù)0 x，使得0()g x在直線yaxa的下方.因?yàn)? )(21)xg xex，所以當(dāng)12x 時(shí)，( )g x0，當(dāng)12x

34、時(shí)，( )g x0，所以當(dāng)12x 時(shí)，max ( )g x=12-2e，當(dāng)0 x 時(shí)，(0)g=-1，(1)30ge，直線yaxa恒過(guò)（1,0）斜率且a，故(0)1ag ，且1( 1)3geaa ，解得32ea1，故選 D.【考點(diǎn)定位】本題主要通過(guò)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決不等式成立問(wèn)題【名師指點(diǎn)】對(duì)存在性問(wèn)題有三種思路，思路 1：參變分離，轉(zhuǎn)化為參數(shù)小于某個(gè)函數(shù)（或參數(shù)大于某個(gè)函數(shù)） ，則參數(shù)該于該函數(shù)的最大值（大于該函數(shù)的最小值） ；思路 2：數(shù)形結(jié)合，利用導(dǎo)數(shù)先研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)，再畫(huà)出該函數(shù)的草圖，結(jié)合圖像確定參數(shù)范圍，若原函數(shù)圖像不易做，常化為一個(gè)函數(shù)存在一點(diǎn)在另一個(gè)函數(shù)上方

35、，用圖像解；思路 3：分類(lèi)討論，本題用的就是思路 2.11.【2015 高考新課標(biāo) 2，理 21】 （本題滿分 12 分）設(shè)函數(shù)2( )mxf xexmx()證明：( )f x在(,0)單調(diào)遞減，在(0,)單調(diào)遞增；（）若對(duì)于任意12, 1,1x x ，都有12()()1f xf xe，求m的取值范圍【答案】()詳見(jiàn)解析； （） 1,1【解析】()( )(1)2mxfxm ex若0m ，則當(dāng)(,0)x 時(shí)，10mxe ，( )0fx ；當(dāng)(0,)x時(shí)，10mxe ，( )0fx 若0m ，則當(dāng)(,0)x 時(shí)，10mxe ，( )0fx ；當(dāng)(0,)x時(shí)，10mxe ，( )0fx 所以，( )

36、f x在(,0)單調(diào)遞減，在(0,)單調(diào)遞增（） 由()知， 對(duì)任意的m，( )f x在 1,0單調(diào)遞減， 在0,1單調(diào)遞增， 故( )f x在0 x 處取得最小值所以對(duì)于任意12, 1,1x x ，12()()1f xf xe的充要條件是：(1)(0)1,( 1)(0)1,ffeffe即1,1,mmemeeme ， 設(shè) 函 數(shù)( )1tg tete ， 則( )1tg te當(dāng)0t 時(shí)，( )0g t ；當(dāng)0t 時(shí)，( )0g t 故( )g t在(,0)單調(diào)遞減，在(0,)單調(diào)遞增又(1)0g，1( 1)20gee，故當(dāng) 1,1t 時(shí)，( )0g t 當(dāng) 1,1m 時(shí)，( )0g m ，()

37、0gm，即式成立 當(dāng)1m 時(shí)，由( )g t的單調(diào)性，( )0g m ，即1meme；當(dāng)1m 時(shí)，()0gm，即1meme綜上，m的取值范圍是 1,1【考點(diǎn)定位】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【名師指點(diǎn)】()先求導(dǎo)函數(shù)( )(1)2mxfxm ex，根據(jù)m的范圍討論導(dǎo)函數(shù)在(,0)和(0,)的 符 號(hào) 即 可 ；（ ）12()()1f xf xe恒 成 立 ， 等 價(jià) 于12max()()1f xf xe由12,x x是兩個(gè)獨(dú)立的變量，故可求研究( )f x的值域，由()可得最小值為(0)1f，最大值可能是( 1)f 或(1)f，故只需(1)(0)1,( 1)(0)1,ffeffe，從而得關(guān)于m的不等式，因不

38、易解出，故利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和符號(hào)，從而得解12.【2015 高考江蘇，19】 （本小題滿分 16 分）已知函數(shù)),()(23Rbabaxxxf.（1）試討論)(xf的單調(diào)性；（2）若acb（實(shí)數(shù) c 是 a 與無(wú)關(guān)的常數(shù)） ，當(dāng)函數(shù))(xf有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍恰好是),23()23, 1 ()3,(，求 c 的值.【答案】 （1）當(dāng)0a 時(shí)， f x在, 上單調(diào)遞增；當(dāng)0a 時(shí)， f x在2,3a ，0,上單調(diào)遞增，在2,03a上單調(diào)遞減；當(dāng)0a 時(shí)， f x在,0，2,3a上單調(diào)遞增，在20,3a上單調(diào)遞減（2）1.c 當(dāng)0a 時(shí)，2,0,3ax 時(shí)， 0fx，20,3ax時(shí)

39、， 0fx，所以函數(shù) f x在,0，2,3a上單調(diào)遞增，在20,3a上單調(diào)遞減（2）由（1）知，函數(shù) f x的兩個(gè)極值為 0fb，324327afab，則函數(shù) f x有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于 32400327affbab，從而304027aab或304027aba 又bca，所以當(dāng)0a 時(shí)，34027aac或當(dāng)0a 時(shí)，34027aac設(shè) 3427g aaac，因?yàn)楹瘮?shù) f x有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍恰好是33, 31,22 ，則在, 3 上 0g a ，且在331,22上 0g a 均恒成立，從而310gc ，且3102gc ，因此1c 此時(shí)， 3221111f xxaxaxxaxa ，因函數(shù)有三

40、個(gè)零點(diǎn)，則2110 xaxa 有兩個(gè)異于1的不等實(shí)根，所以2214 1230aaaa ，且21110aa ，解得33, 31,22a 綜上1c 【考點(diǎn)定位】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、極值、函數(shù)零點(diǎn)【名師指點(diǎn)】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟：確定函數(shù) yf(x)的定義域；求導(dǎo)數(shù) yf(x)，令 f(x)0，解此方程，求出在定義區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)根；把函數(shù) f(x)的間斷點(diǎn)(即 f(x)的無(wú)定義點(diǎn))的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)數(shù)根按由小到大的順序排列起來(lái)，然后用這些點(diǎn)把函數(shù) f(x)的定義區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間；確定 f(x)在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，根據(jù)符號(hào)判定函數(shù)在每個(gè)相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題處理方法為：利用

41、函數(shù)的單調(diào)性、極值畫(huà)出函數(shù)的大致圖像，數(shù)形結(jié)合求解已知不等式解集求參數(shù)方法：利用不等式解集與對(duì)應(yīng)方程根的關(guān)系找等量關(guān)系或不等關(guān)系.13.【2015 高考山東，理 21】設(shè)函數(shù) 2ln1f xxa xx，其中aR.（）討論函數(shù) f x極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；（）若 0,0 xf x 成立，求a的取值范圍.【答案】 （I） ：當(dāng)0a 時(shí)，函數(shù) f x在1, 上有唯一極值點(diǎn)；當(dāng)809a時(shí)，函數(shù) f x在1, 上無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)89a 時(shí)，函數(shù) f x在1, 上有兩個(gè)極值點(diǎn)；（II）a的取值范圍是0,1.（2）當(dāng)0a 時(shí)，28198aaaaa 當(dāng)809a時(shí)，0 ， 0g x 所以， 0fx，函數(shù) f x

42、在1, 上單調(diào)遞增無(wú)極值；當(dāng)89a 時(shí)，0 設(shè)方程2210axaxa 的兩根為1212,(),x x xx因?yàn)?212xx 所以，1211,44xx 由110g 可得：111,4x 所以，當(dāng)11,xx 時(shí)， 0,0g xfx，函數(shù) f x單調(diào)遞增；當(dāng)12,xx x時(shí)， 0,0g xfx，函數(shù) f x單調(diào)遞減；當(dāng)2,xx時(shí)， 0,0g xfx，函數(shù) f x單調(diào)遞增；因此函數(shù) f x有兩個(gè)極值點(diǎn)（3）當(dāng)0a 時(shí)，0 由110g 可得：11,x 當(dāng)21,xx 時(shí)， 0,0g xfx，函數(shù) f x單調(diào)遞增；當(dāng)2,xx時(shí)， 0,0g xfx，函數(shù) f x單調(diào)遞減；因此函數(shù) f x有一個(gè)極值點(diǎn)綜上：當(dāng)0a

43、 時(shí)，函數(shù) f x在1, 上有唯一極值點(diǎn)；當(dāng)809a時(shí)，函數(shù) f x在1, 上無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)89a 時(shí)，函數(shù) f x在1, 上有兩個(gè)極值點(diǎn)；（II）由（I）知，（1）當(dāng)809a時(shí)，函數(shù) f x在0,上單調(diào)遞增，因?yàn)?00f所以，0,x時(shí)， 0f x ，符合題意；（2）當(dāng)819a時(shí)，由 00g，得20 x 所以，函數(shù) f x在0,上單調(diào)遞增，又 00f，所以，0,x時(shí)， 0f x ，符合題意；（3）當(dāng)1a 時(shí)，由 00g，可得20 x 所以20,xx時(shí)，函數(shù) f x單調(diào)遞減；又 00f所以，當(dāng)20,xx時(shí)， 0f x 不符合題意；（4）當(dāng)0a 時(shí)，設(shè) ln1h xxx因?yàn)?,x時(shí)， 11011xh

44、 xxx 當(dāng)11xa 時(shí)，210axa x此時(shí)， 0,f x 不合題意.綜上所述，a的取值范圍是0,1【考點(diǎn)定位】1、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用；2、分類(lèi)討論的思想.【名師指點(diǎn)】本題考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用，著重考查了分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的思想方法，意在考查學(xué)生結(jié)合所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，其中最后一問(wèn)所構(gòu)造的函數(shù)體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)不同函數(shù)增長(zhǎng)模型的深刻理解.14.【2015 高考重慶，理 20】 設(shè)函數(shù) 23xxaxf xaRe（1）若 f x在0 x 處取得極值，確定a的值，并求此時(shí)曲線 yf x在點(diǎn) 1,1f處的切線方程；（2）若 f x在3,上為減函數(shù)，求a的取值范圍?！?/p>

45、答案】 （1）0a ，切線方程為30 xey-=； （2）9,)2.當(dāng)1xx時(shí)，g( )0 x ,故( )f x為減函數(shù)；當(dāng)12xxx,故( )f x為增函數(shù)；當(dāng)2xx時(shí)，g( )0 x ,故( )f x為減函數(shù)；由( )f x在3,)上為減函數(shù)，知2263636aax，解得92a 故 a 的取值范圍為9,)2.【考點(diǎn)定位】復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的極值，切線，單調(diào)性考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問(wèn)題的能力【名師指點(diǎn)】 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用通常圍繞四個(gè)點(diǎn)進(jìn)行命題 第一個(gè)點(diǎn)是圍繞導(dǎo)數(shù)的幾何意義展開(kāi)，設(shè)計(jì)求曲線的切線方程， 根據(jù)切線方程求參數(shù)值等問(wèn)題， 這類(lèi)試題在考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的同時(shí)也考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、

46、函數(shù)等知識(shí)，試題的難度不大；第二個(gè)點(diǎn)是圍繞利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)展開(kāi)，設(shè)計(jì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值，已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)或者參數(shù)范圍等問(wèn)題， 在考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的同時(shí)考查分類(lèi)與整合思想、 化歸與轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法；第三個(gè)點(diǎn)是圍繞導(dǎo)數(shù)研究不等式、方程展開(kāi)，涉及不等式的證明、不等式的恒成立、 討論方程根等問(wèn)題， 主要考查通過(guò)轉(zhuǎn)化使用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)并把函數(shù)性質(zhì)用來(lái)分析不等式和方程等問(wèn)題的能力， 該點(diǎn)和第二個(gè)點(diǎn)一般是解答題中的兩個(gè)設(shè)問(wèn)， 考查的核心是導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法和函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用；第四個(gè)點(diǎn)是圍數(shù)性質(zhì)并把函數(shù)性質(zhì)用來(lái)分析不等式和方程等問(wèn)題的能力， 該點(diǎn)和第二個(gè)點(diǎn)一般是

47、解答題中的兩個(gè)設(shè)問(wèn)， 考查的核心是導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法和函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用； 本題涉及第一個(gè)點(diǎn)和第二個(gè)點(diǎn)， 主要注意問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的性質(zhì)15.【2015 高考四川，理 21】已知函數(shù)22( )2()ln22f xxaxxaxaa ，其中0a .（1）設(shè)( )g x是( )f x的導(dǎo)函數(shù)，評(píng)論( )g x的單調(diào)性；（2） 證明： 存在(0,1)a， 使得( )0f x 在區(qū)間(1,+ )內(nèi)恒成立， 且( )0f x 在(1,+ )內(nèi)有唯一解.【答案】 （1）當(dāng)104a時(shí)，( )g x在區(qū)間11 411 4(0,),(,)22aa上單調(diào)遞增，在區(qū)間11 411 4(,

48、)22aa上單調(diào)遞減；當(dāng)14a 時(shí)，( )g x在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞增.（2）詳見(jiàn)解析.【解析】 （1）由已知，函數(shù)( )f x的定義域?yàn)?0,)，( )( )222ln2(1)ag xfxxaxx，所以222112()2()2224( )2xaag xxxx.當(dāng)104a時(shí)，( )g x在區(qū)間11 411 4(0,),(,)22aa上單調(diào)遞增，在區(qū)間11 411 4(,)22aa上單調(diào)遞減；當(dāng)14a 時(shí)，( )g x在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞增.（2）由( )222ln2(1)0afxxaxx，解得11 ln1xxax .令2211111 ln1 ln1 ln1 ln( )2()ln2()2()

49、1111xxxxxxxxxxxxxxxxx .則211(2)2(1)10, ( )2()011e eeeee ，.故存在0(1, )xe，使得0()0 x.令000101 ln, ( )1 ln (1)1xxau xxx xx ，.由1( )10u xx 知，函數(shù)( )u x在區(qū)間(1,)上單調(diào)遞增.所以001110()(1)( )2011 1111u xuu eeaxee.即0(0,1)a .【考點(diǎn)定位】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用、函數(shù)的零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí)，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)與整合，化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.【考點(diǎn)定位】本題考查導(dǎo)

50、數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用、函數(shù)的零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí)，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)與整合，化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.【名師指點(diǎn)】本題作為壓軸題，難度系數(shù)應(yīng)在 0.3 以下.導(dǎo)數(shù)與微積分作為大學(xué)重要內(nèi)容，在中學(xué)要求學(xué)生掌握其基礎(chǔ)知識(shí)，在高考題中也必有體現(xiàn).一般地，只要掌握了課本知識(shí)，是完全可以解決第（1）題的，所以對(duì)難度最大的最后一個(gè)題，任何人都不能完全放棄，這里還有不少的分是志在必得的.解決函數(shù)題需要的一個(gè)重要數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合，聯(lián)系圖形大膽猜想. 在本題中，結(jié)合待證結(jié)論，可以想象出( )f x的大致圖象，要使得( )0f x 在區(qū)間(1,+ )內(nèi)恒成

51、立，且( )0f x 在(1,+ )內(nèi)有唯一解，則這個(gè)解0 x應(yīng)為極小值點(diǎn)，且極小值為 0，當(dāng)0(1,)xx時(shí)，( )f x的圖象遞減；當(dāng)0(,)xx時(shí)，( )f x的圖象單調(diào)遞增，順著這個(gè)思想，便可找到解決方法.16.【2015 高考新課標(biāo) 1，理 21】已知函數(shù) f（x）=31, ( )ln4xaxg xx .()當(dāng) a 為何值時(shí)，x 軸為曲線( )yf x的切線；17.【2015 高考北京，理 18】已知函數(shù) 1ln1xf xx（）求曲線 yf x在點(diǎn) 00f，處的切線方程；（）求證：當(dāng)0 1x，時(shí)， 323xf xx；（）設(shè)實(shí)數(shù)k使得 33xf xk x對(duì)0 1x，恒成立，求k的最大值

52、【答案】 （）20 xy， （）證明見(jiàn)解析， （）k的最大值為 2.【解析】試題分析：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)在0 x處的函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值，再用直線方程的點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程；第二步要證明不等式 323xf xx在0 1x，成立，可用作差法構(gòu)造函數(shù)1( )ln1xF xx32 ()3xx，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)F(x)在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性，由于( )0F x，( )F x在（0，1）上為增函數(shù)，則( )(0)0F xF， 問(wèn)題得證； 第三步與第二步方法類(lèi)似， 構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，但需要對(duì)參數(shù)k作討論，首先0,2k符合題意，其次當(dāng)2k時(shí)，不滿足題意舍去，得出k的最大值為 2.(0,1)x，3

53、( )2 ()3xf xx成立；（）使 33xf xk x成立，0 1x，等價(jià)于31( )ln()013xxF xk xx，0 1x，；422222( )(1)11kxkF xkxxx，當(dāng)0,2k時(shí)，( )0F x，函數(shù)在（0，1）上位增函數(shù)，( )(0)0F xF，符合題意；當(dāng)2k時(shí)，令402( )0,(0,1)kF xxk，x0(0,)x0 x0(,1)x( )F x-0+( )F x極小值( )(0)F xF，顯然不成立，綜上所述可知：k的最大值為 2.考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，證明不等式；3.含參問(wèn)題討論.【名師指點(diǎn)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)研究函

54、數(shù)性質(zhì)問(wèn)題，本題第一步為基礎(chǔ)，第二、三步屬于中等略偏難問(wèn)題，首先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，寫(xiě)出切線方程，其次用作差法構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，證明不等式，最后一步對(duì)參數(shù)k進(jìn)行分類(lèi)討論研究.16.【2015 高考廣東，理 19】設(shè)1a ，函數(shù)aexxfx)1 ()(2(1) 求)(xf的單調(diào)區(qū)間 ；(2) 證明：)(xf在, 上僅有一個(gè)零點(diǎn)；【答案】 （1）, ； （2）見(jiàn)解析； （3）見(jiàn)解析【解析】 （1）依題 2221110 xxxfxxexexe， f x在, 上是單調(diào)增函數(shù)；（2）1a ， 010fa 且 22110af aaeaaa ， f x在0,a上有零點(diǎn)

55、，又由（1）知 f x在, 上是單調(diào)增函數(shù)， f x在, 上僅有一個(gè)零點(diǎn)；20142014 高考真題及名校模擬題高考真題及名校模擬題母題母題1.2014安徽卷安徽卷 設(shè)函數(shù) f(x)1(1a)xx2x3，其中 a0.(1)討論 f(x)在其定義域上的單調(diào)性；(2)當(dāng) x0，1時(shí) ，求 f(x)取得最大值和最小值時(shí)的 x 的值解：(1)f(x)的定義域?yàn)?，)，f(x)1a2x3x2.令 f(x)0，得 x11 43a3，x21 43a3，x1x2，所以 f(x)3(xx1)(xx2)當(dāng) xx2時(shí)，f(x)0；當(dāng) x1x0.故 f(x)在，1 43a3和1 43a3，內(nèi)單調(diào)遞減，在1 43a3，

56、1 43a3內(nèi)單調(diào)遞增(2)因?yàn)?a0，所以 x10，當(dāng) a4 時(shí)，x21.由(1)知，f(x)在0，1上單調(diào)遞增，所以 f(x)在 x0 和 x1 處分別取得最小值和最大值當(dāng) 0a4 時(shí)，x21.由(1)知，f(x)在0，x2上單調(diào)遞增，在x2，1上單調(diào)遞減，所以 f(x)在 xx21 43a3處取得最大值又 f(0)1，f(1)a，所以當(dāng) 0a1 時(shí)，f(x)在 x1 處取得最小值；當(dāng) a1 時(shí)，f(x)在 x0 和 x1 處同時(shí)取得最小值；當(dāng) 1a1 時(shí)，對(duì) x(0，a1有(x)0，(x)在(0，a1上單調(diào)遞減，(a1)1 時(shí)，存在 x0，使(x)nln(n1)證明如下：方法一：上述不等

57、式等價(jià)于12131n1x1x，x0.令 x1n，nN，則1n1lnn1n.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng) n1 時(shí)，12ln 2，結(jié)論成立假設(shè)當(dāng) nk 時(shí)結(jié)論成立，即12131k1ln(k1)那么，當(dāng) nk1 時(shí)，12131k11k2ln(k1)1k2ln(k1)lnk2k1ln(k2)，即結(jié)論成立由可知，結(jié)論對(duì) nN成立方法二：上述不等式等價(jià)于12131n1x1x，x0.令 x1n，nN，則 lnn1n1n1.故有 ln 2ln 112，ln 3ln 213，ln(n1)ln n1n1，上述各式相加可得 ln(n1)12131n1.3. 2014四川卷四川卷 設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d，點(diǎn)(an，b

58、n)在函數(shù) f(x)2x的圖像上(nN*)(1)若 a12，點(diǎn)(a8，4b7)在函數(shù) f(x)的圖像上，求數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 Sn；(2)若 a11， 函數(shù) f(x)的圖像在點(diǎn)(a2， b2)處的切線在 x 軸上的截距為 21ln 2， 求數(shù)列anbn的前 n 項(xiàng)和 Tn.解：(1)由已知得，b72a7，b82a84b7，所以 2a842a72a72，解得 da8a72，所以 Snna1n（n1）2d2nn(n1)n23n.(2)函數(shù) f(x)2x在點(diǎn)(a2，b2)處的切線方程為 y2a2(2a2ln 2)(xa2)，其在 x 軸上的截距為 a21ln 2.由題意有 a21ln 221ln 2，解得 a22.所以 da2a11.從而 ann，bn2n，所以數(shù)列anbn的通項(xiàng)公式為anbnn2n，所以 Tn12222323n12n1n2n，2Tn1122322n2n1，因此，2TnTn11212212n1n