高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第六節(jié) 雙曲線課件 文

1、第六節(jié)雙曲線總綱目錄教材研讀1.雙曲線的定義考點突破2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)考點二雙曲線的幾何性質(zhì)考點二雙曲線的幾何性質(zhì)考點一雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程考點三直線與雙曲線的位置關(guān)系考點三直線與雙曲線的位置關(guān)系1.雙曲線的定義雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的差的絕對值距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|且不等于零)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做 雙曲線的焦點雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距雙曲線的焦距.集合P=M|MF1|-|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a、c為常數(shù)且a0,c0.(1)當(dāng)2a|F1F2|時,P點不存在.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何

2、性質(zhì)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)雙曲線的焦半徑公式雙曲線的焦半徑公式已知F1(-c,0),F2(c,0)分別是雙曲線-=1(a0,b0)的左、右焦點,點P(x0,y0)是該雙曲線上任意一點,則|PF1|=|a+ex0|,|PF2|=|a-ex0|(e為雙曲線的離心率).22xa22yb1.(2017北京西城一模)雙曲線y2-=1的焦點坐標(biāo)是()A.(0,),(0,-)B.(,0),(-,0)C.(0,2),(0,-2)D.(2,0),(-2,0)23x2222答案答案C由題意知該雙曲線的焦點在y軸上,c2=a2+b2=1+3=4.c=2,焦點坐標(biāo)為(0,2),(0,-2).C2.若雙曲線-=1(

3、m0)的離心率為,則m=()A.B.6C.30D.626x2ym63065答案答案C由雙曲線方程-=1(m0)知a2=6,b2=m,由c2=a2+b2知c2=6+m,所以e2=6,解得m=30,故選C.26x2ym22ca66mC3.若雙曲線E:-=1的左、右焦點分別為F1、F2,點P在雙曲線E上,且|PF1|=3,則|PF2|等于()A.11B.9C.5D.329x216y答案答案B|PF1|=30,b0)的一條漸近線的距離為,則雙曲線的離心率為()A.B.C.2D.222xa22yb22323答案答案A雙曲線的漸近線方程為bxay=0,點P(2,0)到漸近線的距離為=,所以a2=b2,所以

4、c2=2a2,所以雙曲線的離心率為,故選A.22|2 |bab22A5.(2016北京東城二模)已知雙曲線x2-=1(b0)的虛軸長是實軸長的2倍,則b=.22yb答案答案2解析解析雙曲線x2-=1(b0)的實軸長為2,虛軸長為2b.由題意可知2b=22,解得b=2.22yb26.(2018北京西城期末)已知雙曲線-=1的一個焦點是F(2,0),其漸近線方程為y=x,該雙曲線的方程是.22xa22yb3x2-=123y答案答案x2-=123y解析解析由題意知c=2,=,又c2=a2+b2,解得a=1,b=,雙曲線的方程為x2-=1.ba3323y典例典例1(1)已知F1、F2為雙曲線C:x2-

5、y2=2的左、右焦點,點P在C上,|PF1|=2|PF2|,則cosF1PF2=()A.B.C.D.(2)(2015北京朝陽一模)已知雙曲線的中心在原點,一個焦點為F1(-,0),點P在雙曲線上,且線段PF1的中點坐標(biāo)為(0,2),則此雙曲線的方程是()A.-y2=1B.x2-=1C.-=1D.-=114353445524x24y22x23y23x22y考點一雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程考點一雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程考點突破考點突破答案答案(1)C(2)B解析解析(1)雙曲線方程可化為-=1,所以a=b=,所以c=2.由得|PF1|=4,|PF2|=2,由余弦定理得cosF1PF2=.故選C.(2)由

6、雙曲線的焦點可知c=,設(shè)右焦點為F2,因為線段PF1的中點坐標(biāo)為(0,2),所以PF2x軸,且|PF2|=4,點P在雙曲線右支上.所以|PF1|=6,所以|PF1|-|PF2|=6-4=2=2a,所以a=1,b2=c2-a2=4,所以雙曲線的方程為x2-=1.22x22y21212| 2 2,| 2|PFPFPFPF22222121212|2| |PFPFFFPFPF34522(2 5)43624y方法技巧方法技巧(1)在雙曲線的定義中要注意雙曲線上的點(動點)具備的幾何條件,即“到兩定點(焦點)的距離之差的絕對值為一個常數(shù),且該常數(shù)必須小于兩定點間的距離”.若去掉定義中的“絕對值”,則點的軌

7、跡是雙曲線的一支.同時注意定義的轉(zhuǎn)化應(yīng)用.(2)求雙曲線方程時,一是注意標(biāo)準(zhǔn)形式的判斷;二是注意a、b、c的關(guān)系.1-1(2017北京東城二模)已知雙曲線G以原點O為中心,過點(,4),且以拋物線C:y2=4x的焦點為右頂點,那么雙曲線G的方程為.5答案答案x2-=124y解析解析由題意知拋物線C:y2=4x的焦點坐標(biāo)為(1,0),則雙曲線右頂點的坐標(biāo)為(1,0),a=1.設(shè)雙曲線G的方程為x2-=1(b0),將點(,4)代入可得b=2,雙曲線G的方程為x2-=1.22yb524yx2-=124y1-2(2015北京西城一模)已知雙曲線C:-=1(a0,b0)的一個焦點是拋物線y2=8x的焦點

8、,且雙曲線C的離心率為2,那么雙曲線C的方程為,其漸近線方程是.22xa22yb答案答案x2-=1;y=x23y3解析解析由拋物線y2=8x知其焦點坐標(biāo)為(2,0),由此可得雙曲線的半焦距c=2,又知雙曲線的離心率為2,即=2,所以a=1,則b=,故雙曲線C的方程為x2-=1;由雙曲線的方程可知其漸近線方程為y=x=x.ca323yba3典例典例2(2016北京朝陽二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y2=8x的準(zhǔn)線l的方程是;若雙曲線-=1(a0,b0)的兩條漸近線與直線l交于M,N兩點,且MON的面積為8,則此雙曲線的離心率為.22xa22yb考點二雙曲線的幾何性質(zhì)考點二雙曲線的幾何性質(zhì)

9、命題角度一雙曲線的離心率問題命題角度一雙曲線的離心率問題答案答案x=-2;解析解析如圖.由拋物線y2=8x,易得準(zhǔn)線l的方程為x=-2.雙曲線-=1(a0,b0)的漸近線方程為y=x.可求得M,N.|MN|=.SMON=8,|MN|2=8,|MN|=8.由得b=2a.e2=5.522xa22ybba22,ba22,ba4ba1222ca222aba2224aaae=. 5典例典例3(1)(2016北京西城一模)若圓(x-2)2+y2=1與雙曲線C:-y2=1(a0)的漸近線相切,則a=;雙曲線C的漸近線方程是.(2)(2016北京,12,5分)已知雙曲線-=1(a0,b0)的一條漸近線為2x+

10、y=0,一個焦點為(,0),則a=;b=.22xa22xa22yb5命題角度二雙曲線的漸近線問題命題角度二雙曲線的漸近線問題答案答案(1);y=x(2)1;2333解析解析(1)雙曲線C的一條漸近線為y=x,圓(x-2)2+y2=1與y=x相切,圓心(2,0)到y(tǒng)=x的距離等于半徑1.=1,解得a=(舍負(fù)).故雙曲線C的漸近線方程為y=x.(2)由題意可知雙曲線焦點在x軸上,故漸近線方程為y=x,又一條漸近線為2x+y=0,即y=-2x,=2,即b=2a.又該雙曲線的一個焦點為(,0),1a1a1a2|2|1a333baba5c=.由a2+b2=c2可得a2+(2a)2=5,解得a=1(舍負(fù))

11、,b=2.5命題角度三離心率與漸近線的綜合問題命題角度三離心率與漸近線的綜合問題典例典例4(1)中心在原點,焦點在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(4,-2),則它的離心率為()A.B.C.D.(2)(2016北京豐臺一模)已知雙曲線的一個焦點為F,點P在雙曲線的一條漸近線上,點O為雙曲線的對稱中心,若OFP為等腰直角三角形,則雙曲線的離心率為()A.B.C.2D.656252623解析解析(1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1(a0,b0),所以其漸近線方程為y=x,因為點(4,-2)在漸近線上,所以=,根據(jù)c2=a2+b2,可得=,e2=,即e=.(2)不妨設(shè)雙曲線的焦點在x軸上,一個焦點為F(

12、c,0),方程為-=1,動點P在漸近線y=x上.若OFP為等腰直角三角形,則滿足題意的P點有2個:P1和P2.若OFP1為等腰直角三角形,22xa22ybbaba12222caa14545222xa22ybba答案答案(1)D(2)B則作P1Hx軸于H,P1H=OH=,P1,代入漸近線方程得a=b.c2=2a2.e=.若FP2O為等腰直角三角形,則OF=P2F=c,P2(c,c),代入漸近線方程得a=b.此時,e=.綜上,雙曲線的離心率為.2c,2 2c cca2ca22規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)(1)求雙曲線離心率或離心率范圍的方法:一種是直接建立e的關(guān)系式求e或e的范圍;另一種是建立a,b,c的齊次

13、關(guān)系式,將b用a,c表示,令兩邊同時除以a或a2化為e的關(guān)系式,進而求解.(2)方程-=1與-=1,當(dāng)a1+b1=a2+b2時焦距相等,當(dāng)=時漸近線相同.(3)雙曲線-=1的漸近線方程為-=0.21xa21yb22xa22yb11ab22ab22xa22yb22xa22yb2-1(2017北京通州期末)已知雙曲線-=1(a0,b0)的一條漸近線過點(2,2),則雙曲線的離心率等于.22xa22yb答案答案2解析解析雙曲線-=1(a0,b0)的漸近線方程為=0,則=,即a=b,所以c=a,雙曲線的離心率為=.22xa22ybxayb2a2b2ca22典例典例5已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0),右頂點為(,0).(1)求該雙曲線C的方程;(2)若直線l:y=kx+與雙曲線C左支有兩個不同的交點A,B,求k的取值范圍.32考點三直線與雙曲線的位置關(guān)系考點三直線與雙曲線的位置關(guān)系解析解析(1)由題意設(shè)雙曲線方程為-=1(a0,b0).由已知得a=,c=2,再由a2+b2=c2,得b2=1.故雙曲線C的方程為-y2=1.(2)設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),將y=kx+代入-y2=1,22xa22yb323x223x得(1-3k2)x2-6kx-9=0.由題