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1、整理課件4.7 函數(shù)的復(fù)合與反函數(shù)函數(shù)的復(fù)合與反函數(shù) 函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的復(fù)合 函數(shù)復(fù)合的定理函數(shù)復(fù)合的定理 函數(shù)復(fù)合的性質(zhì)函數(shù)復(fù)合的性質(zhì) 反函數(shù)反函數(shù) 反函數(shù)存在的條件反函數(shù)存在的條件 反函數(shù)的性質(zhì)反函數(shù)的性質(zhì)整理課件 由于函數(shù)是一種特殊的二元關(guān)系,兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合本質(zhì)上由于函數(shù)是一種特殊的二元關(guān)系,兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合本質(zhì)上就是兩個(gè)關(guān)系的合成,因此函數(shù)的合成方法與關(guān)系的合成就是兩個(gè)關(guān)系的合成,因此函數(shù)的合成方法與關(guān)系的合成方法是一致的。方法是一致的。由圖可知由圖可知 f 和和g合成后的函數(shù)稱(chēng)為復(fù)合函數(shù),合成后的函數(shù)稱(chēng)為復(fù)合函數(shù),記為記為g f。且且g f =, , 。 例如例如: : 已知已知 f 是
2、是A A到到B B的函數(shù),的函數(shù),g g 是是B B到到C C的函數(shù),它們所確的函數(shù),它們所確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖所示。定的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖所示。f=, , , g=, , , , 整理課件 由于函數(shù)是一種特殊的二元關(guān)系同,兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合由于函數(shù)是一種特殊的二元關(guān)系同,兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合本質(zhì)上就是兩個(gè)關(guān)系的合成。本質(zhì)上就是兩個(gè)關(guān)系的合成。例如設(shè)例如設(shè)f 是是A到到B的函數(shù),的函數(shù),g是是B到到C的函數(shù),它對(duì)所確定的函數(shù),它對(duì)所確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖所示:的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖所示:如果將函數(shù)如果將函數(shù)f 看作是看作是A到到B的二元關(guān)系,的二元關(guān)系,g看作是看作是B到到C的二元的二元關(guān)系,合成后的關(guān)系記為關(guān)系,合成后的
3、關(guān)系記為R,它是,它是A到到C的二元關(guān)系,的二元關(guān)系,記為記為R=f g,且,且R=(x,b),(y,b),(z,a).f=, , , g=, , , , 整理課件一、復(fù)合函數(shù)的定義設(shè)設(shè)f 是是A到到B的函數(shù),的函數(shù),g是是B到到C的函數(shù),的函數(shù),f 和和 g合成后的函數(shù)合成后的函數(shù)稱(chēng)為復(fù)合函數(shù),記為稱(chēng)為復(fù)合函數(shù),記為g f 。它是。它是A到到C的函數(shù)。的函數(shù)。當(dāng)當(dāng)a A, b B, c C,且,且f(a)=b,f(b)=c 時(shí)時(shí),g f(a)=c.注意:當(dāng)注意:當(dāng) f 和和g 看作是二元關(guān)系時(shí),合成后的關(guān)系記為看作是二元關(guān)系時(shí),合成后的關(guān)系記為f g,但當(dāng)?shù)?dāng)f 和和g 看作是函數(shù)時(shí)看作是函
4、數(shù)時(shí)f 和和 g合成后的函數(shù)稱(chēng)為復(fù)合函數(shù),合成后的函數(shù)稱(chēng)為復(fù)合函數(shù),記為記為g f 。整理課件定理定理 設(shè)設(shè)F, G是函數(shù)是函數(shù), 則則F G也是函數(shù)也是函數(shù), 且滿(mǎn)足且滿(mǎn)足 (1) dom(F G)= x | xdomF F(x)domG (2) xdom(F G) 有有 F G(x) = F(G(x) 整理課件例:設(shè)集合例:設(shè)集合A=x,y,z ,B=a,b,c,d, C=1,2,3 f 是是A到到B的函數(shù),的函數(shù),g 是是B到到C的函數(shù),其中的函數(shù),其中 f(x)=b, f(y)=c, f(z)=cg(a)=1, g(b)=2, g(c)=1, g(d)=3求復(fù)合函數(shù)求復(fù)合函數(shù)g f。解
5、:由定義可知復(fù)合函數(shù)解:由定義可知復(fù)合函數(shù)g f是是A到到C的函數(shù)。且的函數(shù)。且 g f(x)= g (f(x)= g (b)=2.g f(y)= g (f(y)= g (c)=1.g f(z)= g (f(z)= g (c)=1. 推論推論1 設(shè)設(shè) f:AB, g:BC, 則則 f g:AC, 且且 xA 都有都有 f g(x) = f(g(x). 整理課件推論推論2 設(shè)設(shè)F, G, H為函數(shù)為函數(shù), 則則 (F G) H 和和 F (G H) 都是函數(shù)都是函數(shù), 且且 (F G) H = F (G H)由于函數(shù)是一種特殊的二元關(guān)系,而二元關(guān)系的由于函數(shù)是一種特殊的二元關(guān)系,而二元關(guān)系的合成
6、可以看作是一種運(yùn)算,且這種運(yùn)算滿(mǎn)足結(jié)合合成可以看作是一種運(yùn)算,且這種運(yùn)算滿(mǎn)足結(jié)合律但不滿(mǎn)足交換律。于是有:律但不滿(mǎn)足交換律。于是有:推論推論3 設(shè)設(shè)F, G為函數(shù)為函數(shù), 則則 F G和和 G F 都是函數(shù)都是函數(shù), 且且 F GG F 整理課件函數(shù)復(fù)合運(yùn)算的性質(zhì)定理定理 設(shè)設(shè) f:AB, g:BC. (1) 如果如果 f 和和 g都是單射函數(shù)都是單射函數(shù), 則則 g f :AC也是單射的函數(shù)也是單射的函數(shù). (2) 如果如果 f 和和 g都是滿(mǎn)射函數(shù)都是滿(mǎn)射函數(shù), 則則 g f :AC也是滿(mǎn)射的函數(shù)也是滿(mǎn)射的函數(shù). (3) 如果如果 f 和和 g都是雙射函數(shù)都是雙射函數(shù), 則則 g f :A
7、C也是雙射的函數(shù)也是雙射的函數(shù). 證證 (1) c C, 由由 g:BC 的滿(mǎn)射性的滿(mǎn)射性, b B 使得使得 g(b)=c. 對(duì)這個(gè)對(duì)這個(gè)b, 由由 f:AB 的滿(mǎn)射性,的滿(mǎn)射性, a A 使得使得 f(a)=b. 由合成定理有由合成定理有 g f (a)=g(f(a)=g(b)=c 從而證明了從而證明了 f g:AC是滿(mǎn)射的是滿(mǎn)射的. 整理課件二、函數(shù)的逆(反函數(shù))二、函數(shù)的逆(反函數(shù))對(duì)于二元關(guān)系對(duì)于二元關(guān)系R,只要交換所有的有序?qū)Γ湍?,只要交換所有的有序?qū)Γ湍艿玫侥骊P(guān)系得到逆關(guān)系 ;Rf但對(duì)于函數(shù)但對(duì)于函數(shù) f ,交換所有的有序?qū)Φ玫降哪骊P(guān)系到交換所有的有序?qū)Φ玫降哪骊P(guān)系到 卻不一
8、定是函數(shù),只有當(dāng)卻不一定是函數(shù),只有當(dāng) f 為雙射函數(shù)時(shí)其逆關(guān)系為雙射函數(shù)時(shí)其逆關(guān)系才是函數(shù)。才是函數(shù)。f整理課件二、反函數(shù)(函數(shù)的逆)但對(duì)于函數(shù)但對(duì)于函數(shù) f , 交換交換f 的所有有序?qū)Φ玫降哪骊P(guān)系的所有有序?qū)Φ玫降哪骊P(guān)系f 1是二元關(guān)是二元關(guān)系卻不一定是函數(shù)。系卻不一定是函數(shù)。如:如:F=,, F 1=, 對(duì)于二元關(guān)系對(duì)于二元關(guān)系R,只要交換所有有序?qū)Φ捻樞颍湍艿?,只要交換所有有序?qū)Φ捻樞?,就能得其逆關(guān)系其逆關(guān)系 ;R整理課件反函數(shù)存在的條件f但對(duì)于函數(shù)但對(duì)于函數(shù) f ,交換所有的有序?qū)Φ玫降哪骊P(guān)系到交換所有的有序?qū)Φ玫降哪骊P(guān)系到 卻不一定是函數(shù),只有當(dāng)卻不一定是函數(shù),只有當(dāng) f 為雙
9、射函數(shù)時(shí)其逆關(guān)系為雙射函數(shù)時(shí)其逆關(guān)系才是函數(shù)。才是函數(shù)。f整理課件反函數(shù)的定義及性質(zhì)反函數(shù)的定義:反函數(shù)的定義:對(duì)于雙射函數(shù)對(duì)于雙射函數(shù)f:AB, 稱(chēng)稱(chēng) f 1:BA是是它的它的反函數(shù)反函數(shù). 定理定理 設(shè)設(shè) f:AB是雙射的是雙射的, 則則f 1:BA也是雙射的也是雙射的.反函數(shù)的性質(zhì):反函數(shù)的性質(zhì):定理定理: 設(shè)設(shè) f:AB是雙射的是雙射的, 則則f 1 f = IA, f f 1 = IB對(duì)于雙射函數(shù)對(duì)于雙射函數(shù) f:AA, 有有f 1 f = f f 1 = IA 整理課件函數(shù)復(fù)合與反函數(shù)的計(jì)算例:設(shè)例:設(shè)R是實(shí)數(shù)集,且是實(shí)數(shù)集,且f,g,h是是R到到R的函數(shù)其中的函數(shù)其中 f(x)=
10、1+x,g(x)=1+x2,h(x)=1+x3,求求 f g, g f, (f g) h 和和 f (g h).解:解: f g(x)=f(1+x2)=2+x2 g f(x)=g(1+x)=1+(1+x)2(f g) h(x)=(f g) (1+x3)=2+ (1+x3)2f (g h)(x)=f(1+(1+x3)2)=2+(1+x3)2整理課件思考:思考: 設(shè)設(shè) f :RR, g :RR 求求 f g, g f. 如果如果 f 和和 g 存在反函數(shù)存在反函數(shù), 求出它們的反函數(shù)求出它們的反函數(shù). 2)(323)(2xxgxxxxff:RR不是雙射的不是雙射的, 不存在反函數(shù)不存在反函數(shù). g
11、:RR是雙射的是雙射的, 它的反函數(shù)是它的反函數(shù)是 g 1:RR, g 1(x) = x 2 121)2()(3032)(:22xxxxgfxxxxfgRRfgRRgf解:解:整理課件思考:思考: 設(shè)設(shè)a1,a2,an是任意的是任意的n個(gè)正整數(shù),個(gè)正整數(shù),證明存在證明存在i和和k (i 0,k 1),使得,使得 ai+1+ ai+2+ ai+k 能被能被n整除。整除。整理課件三、鴿洞原理三、鴿洞原理 如果某人營(yíng)造了如果某人營(yíng)造了n個(gè)鴿洞,養(yǎng)了多于個(gè)鴿洞,養(yǎng)了多于n只鴿子,只鴿子,則必有一個(gè)鴿洞有則必有一個(gè)鴿洞有2只或只或 2 2只以上的鴿子,只以上的鴿子,這就是鴿洞原理。這就是鴿洞原理。 用數(shù)
12、學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述這個(gè)原理,即:用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述這個(gè)原理,即:A,B是有限集合,是有限集合,f 是是A到到B的函數(shù),的函數(shù),如果如果AB,則,則A中至少有兩個(gè)元素,中至少有兩個(gè)元素,其函數(shù)值相等。其函數(shù)值相等。整理課件一般的情況是:當(dāng)鴿洞為一般的情況是:當(dāng)鴿洞為n個(gè),鴿子數(shù)大于個(gè),鴿子數(shù)大于nm只時(shí),必有一個(gè)鴿洞住有只時(shí),必有一個(gè)鴿洞住有m+1只或多于只或多于m+1只鴿子。只鴿子。 例如,有例如,有3個(gè)鴿洞,個(gè)鴿洞,13只鴿子,則必有一個(gè)鴿洞,只鴿子,則必有一個(gè)鴿洞,住有住有5只或只或 5 5只以上的鴿子。只以上的鴿子。 更一般的情況是:更一般的情況是: A,B是有限集合,是有限集合,f 是是A到到
13、B的函數(shù),如果的函數(shù),如果A nm ,B B= n= n,則在,則在A A中至少有中至少有m+1m+1個(gè)元素,其函數(shù)值相等。個(gè)元素,其函數(shù)值相等。 整理課件例:證明任意例:證明任意n+1個(gè)正整數(shù),其中必有兩個(gè)數(shù)個(gè)正整數(shù),其中必有兩個(gè)數(shù)之差被之差被n整除。整除。證明證明 由于任意正整數(shù)被由于任意正整數(shù)被n除后,其余數(shù)只能除后,其余數(shù)只能是是0,1,2 n-1,所以,所以n+1個(gè)正整數(shù)中,個(gè)正整數(shù)中,必有兩個(gè)數(shù)被必有兩個(gè)數(shù)被n除后余數(shù)相同,除后余數(shù)相同, 因此這兩個(gè)數(shù)之差必能被因此這兩個(gè)數(shù)之差必能被n整除。整除。 整理課件例例: 某人步行駛某人步行駛10小時(shí),共走小時(shí),共走45公里,已知他第公里,
14、已知他第一小時(shí)走了一小時(shí)走了6公里,最后一小時(shí)只走了公里,最后一小時(shí)只走了2公里,公里,證明必有連續(xù)的兩小時(shí),在這兩小時(shí)內(nèi)至少證明必有連續(xù)的兩小時(shí),在這兩小時(shí)內(nèi)至少走了走了10公里。公里。證明證明: 設(shè)第設(shè)第i小時(shí)走了小時(shí)走了ai公里,連續(xù)的兩小時(shí)所走里公里,連續(xù)的兩小時(shí)所走里程為程為a1+a2, a2+a3, a9+a10,共有共有9種;種;因?yàn)椋ㄒ驗(yàn)椋?a1+a2 )+( a2+a3 )+ + (a9+a10)=2 45-6-2=82,所以必有連續(xù)的兩小時(shí)里所走里程大于等于所以必有連續(xù)的兩小時(shí)里所走里程大于等于10公里。公里。整理課件例例: 證明在證明在1100的正整數(shù)中,任取的正整數(shù)中,
15、任取51個(gè)正整數(shù),個(gè)正整數(shù),其中必存在兩個(gè)數(shù),一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)。其中必存在兩個(gè)數(shù),一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)。證明證明 對(duì)于任意的偶數(shù),使得:偶數(shù)對(duì)于任意的偶數(shù),使得:偶數(shù)=奇數(shù)奇數(shù) 2k. 構(gòu)造以下構(gòu)造以下50個(gè)集合:個(gè)集合: A1=1,1 2,1 22,1 23,1 24,1 25,1 26 A3=3,3 2,3 22 ,3 23 ,3 24 ,3 25 A5=5,5 2,5 22 ,5 23 ,5 24 A7=7,7 2,7 22 ,7 23 A9=9,9 2,9 22 ,9 23 A11=11,11 2,11 22 ,11 23 A13=13,13 2,13 22 . A49=49,
16、49 2 A51=51 A53=53 . A99=99整理課件這這50個(gè)集合中元素的總和共個(gè)集合中元素的總和共100個(gè),恰好是個(gè),恰好是1100的的所有正整數(shù),且在含有所有正整數(shù),且在含有2個(gè)或個(gè)或2 個(gè)以上元素的集合個(gè)以上元素的集合A1,A3,A5,, A49中,同一個(gè)集合中的任意中,同一個(gè)集合中的任意兩個(gè)正整數(shù)必是:一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)。兩個(gè)正整數(shù)必是:一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)。因此在因此在1100的正整數(shù)中任取的正整數(shù)中任取51個(gè)數(shù),其中至少個(gè)數(shù),其中至少有兩個(gè)數(shù)屬于同一個(gè)集合,有兩個(gè)數(shù)屬于同一個(gè)集合,所以這兩個(gè)數(shù)中有一個(gè)數(shù)是另一個(gè)的倍數(shù)。所以這兩個(gè)數(shù)中有一個(gè)數(shù)是另一個(gè)的倍數(shù)。整理課件
17、證明證明 A1(小王小王) A2 (小張小張) A3(小何小何) A4(小周小周) A5(小楊小楊) A6(小劉小劉)思考思考: 試證在任意六個(gè)人中必有三人他們相互認(rèn)識(shí)試證在任意六個(gè)人中必有三人他們相互認(rèn)識(shí) 或相互不認(rèn)識(shí)或相互不認(rèn)識(shí).整理課件例例: 在一個(gè)有在一個(gè)有6個(gè)點(diǎn)的完全圖中,給每一條邊涂色,個(gè)點(diǎn)的完全圖中,給每一條邊涂色,可隨意涂紅色或白色。證明在這個(gè)完全圖中,必存在可隨意涂紅色或白色。證明在這個(gè)完全圖中,必存在一個(gè)三角形,其三條邊的顏色相同。一個(gè)三角形,其三條邊的顏色相同。證明證明 A1 A1 A2 A3 A2 A3 A4 A5 A4 A5 A6 A6整理課件思考:思考: 設(shè)設(shè)a1,a2,an是任意的是任意的n個(gè)正整數(shù),證明存在個(gè)正整數(shù),證明存在i和和k (i 0,k 1),使得,使得 ai+1+ ai+2+ ai+k 能被能被n整除。整除。證明證明 令令 A1= a1 A2= a1+a2 A3= a1+a2+a3 An= a1+a2+an在這在這n個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)A1,A2, ,An中,如果有一個(gè)數(shù)中,如果有一個(gè)數(shù)能被能被n整除,問(wèn)題得證。整除,問(wèn)題得證。如果如
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