第1次課第81向量及線性運算ppt課件

1、第八章第一節(jié)第八章第一節(jié)課堂練習：指導書課堂練習：指導書 P149-150 (三三) 3，7，10，18向量及其線性運算 數量關系數量關系 第八章第一部分第一部分 向量代數向量代數第二部分第二部分 空間解析幾何空間解析幾何 在三維空間中:空間形式空間形式 點點, , 線線, , 面面基本方法基本方法 坐標法坐標法; 向量法向量法坐標坐標, , 方程組）方程組）空間解析幾何與向量代數 四、利用坐標作向量的線性運算四、利用坐標作向量的線性運算 第一節(jié)一、向量的概念一、向量的概念二、向量的線性運算二、向量的線性運算 三、空間直角坐標系三、空間直角坐標系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、

2、投影 向量及其線性運算 第八章 教 學 目 的教 學 目 的：使學生理解向量的有關概念及空間直角坐標系的概念，使學生理解向量的有關概念及空間直角坐標系的概念，掌握掌握( (單位單位) )向量、向量的方向余弦的坐標表達式，向量、向量的方向余弦的坐標表達式，會用向量的坐標表達式進行線性運算會用向量的坐標表達式進行線性運算. .一、向量的概念一、向量的概念.a或或表示法表示法:向量的模向量的模 :即向量的大小即向量的大小,21MM記作1、向量、向量:(又稱矢量又稱矢量). 1M2M既有大小既有大小, 又有方向的量稱為向量又有方向的量稱為向量2、自由向量、自由向量: 與起點無關的向量與起點無關的向量.

3、單位向量單位向量:模為模為 1 的向量的向量.零向量零向量: 模為模為 0 的向量的向量,0.0記作， 或記作記作 M1 M2 ,或或 a ,a或.a或或數學上常用有向線段來表示向量，數學上常用有向線段來表示向量，12MM以為起點，為終點的向量，3 3、兩個特殊向量：、兩個特殊向量：設有兩非零向量設有兩非零向量 ,ba任取空間一點任取空間一點 O ,aOA作,bOBOAB稱稱 =AOB (0 ) 為向量為向量 ,a b的夾角.),(ab或記作記作),(ba4.4.兩向量夾角的定義：兩向量夾角的定義：注記：注記：假假設設,ab中有一個為零向量，中有一個為零向量，規(guī)定它們的夾角可在規(guī)定它們的夾角可

4、在0,中任意取值中任意取值.5.5.向量間的幾種特殊關系：向量間的幾種特殊關系：ab假設與大小相等且方向相同假設與大小相等且方向相同. .abab：（1 1相等相等（2 2平行平行：ba/假設與方向相同或相反假設與方向相同或相反. .ab（兩向量平行也稱兩向量共線）（兩向量平行也稱兩向量共線）（3垂直垂直(3)kk k當把個向量的起點放在同一點時，或或 k (3)個向量經平移可移到同一平面上個向量經平移可移到同一平面上.ab若與的夾角為的夾角為0.或或或ab：( , ).2a b若（4）個向量共面：個向量共面：k若個終點與起點在同一個平面上在同一個平面上.二、向量的線性運算二、向量的線性運算1

5、. 向量的加法向量的加法三角形法則三角形法則:平行四邊形法則平行四邊形法則:運算規(guī)律運算規(guī)律 : 交換律交換律結合律結合律三角形法則可推廣到多個向量相加三角形法則可推廣到多個向量相加 .babbacba)()(cbacbaacba cb )(cbacba)(aaba ba bbs3a4a5a2a1a54321aaaaas向量的減法向量的減法三角不等式三角不等式ab)( ab有時特別當,ab aa)( aababaab abab a0babaaa負向量向量 的記作：abbaa即與的模相等但方向相反的向量.2.2.向量與數的乘法向量與數的乘法(1)a是一個向量；(2) | |aa0000 (3)a

6、aaa 時時與與反反向向時時與與同同向向時時與與的的方方向向a向量aa2a21 , a與實數與實數 的乘積，的乘積， 記作記作規(guī)定如下：規(guī)定如下：1.1.定義：定義：0(2)0aa設為與 （）同方向的單位向量，0|aa a 運算律運算律 : 結合律)(a)(aa分配律a)(aa)(baba.aaea有些書用或表示與同方向的單位向量01|aaa從而則0/.ababa設，則存在唯一的實數 ，使定理定理1.（3 3兩個向量的平行關系兩個向量的平行關系( (書上書上P5)P5)證明：證明：(略略)定理定理1 1是建立數軸的理論依據。是建立數軸的理論依據。 給定一個點、一個方向及單位長度，一條數軸就確定

7、了；給定一個點、一個方向及單位長度，一條數軸就確定了；給定一個點及一個單位向量給定一個點及一個單位向量易見：易見： OP xi xP實數向量點iPxxO1 Px即軸上點與實數一一對應，ixOPxP 的的坐坐標標為為軸軸上上點點 （它既確定了一個方向，（它既確定了一個方向，又確定了長度單位），又確定了長度單位）， 就確定了一條數軸。就確定了一條數軸。注記：注記： xP據此定義 為軸上點的坐標.設設 M 為為MBACD解解:ABCD 對角線的交點對角線的交點,ba,aAB ,bDAACMC2MA2BDMD2MB2.,MDMCMBMAba表示與試用 ba ab1()2MAab 1()2MBba 1(

8、)2MCab 1()2MDba 例例1. 三、空間直角坐標系三、空間直角坐標系xyz由三條互相垂直的數軸按右手規(guī)則由三條互相垂直的數軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標系組成一個空間直角坐標系. 坐標原點坐標原點 坐標軸坐標軸x軸軸(橫軸橫軸)y軸軸(縱軸縱軸)z 軸軸(豎軸豎軸)過空間一定點過空間一定點 o ,o 坐標面坐標面 卦限卦限(八個八個)面xoy面yozzox面面1. 空間直角坐標系的基本概念空間直角坐標系的基本概念在直角坐標系下在直角坐標系下, ,xyzo向徑向徑 11坐標軸上的點坐標軸上的點 P, Q , R ;P, Q , R ;坐標面上的點坐標面上的點 A , B , CA ,

9、 B , C點點 M特殊點的坐標特殊點的坐標 : :有序數組有序數組),(zyx 11)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB( ,0, )C xz(稱為點稱為點 M 的坐標的坐標)原點原點 O(0,0,0) ;O(0,0,0) ;rrM向徑向徑 (矢徑矢徑): 起點為原點的向量起點為原點的向量.坐標面及坐標軸上的點的坐標有何特征？坐標面及坐標軸上的點的坐標有何特征？坐標軸坐標軸 : 軸x00zy00 xz軸y軸z00yx坐標面坐標面 :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzo2. 2. 向量的坐標表示向量的坐標表示在空間直角坐標

10、系下在空間直角坐標系下,設點設點 M , ),(zyxM那那么么沿三個坐標軸方向的分向量沿三個坐標軸方向的分向量.rxiy jz kxoyzMNBCijkA,軸上的單位向量分別表示以zyxkji的坐標為的坐標為此式稱為向量此式稱為向量 r 的坐標分解式的坐標分解式 ,rkzjyix稱為向量,r任意向量任意向量 r 可用向徑可用向徑 OM 表示表示.NMONOMOCOBOA, ixOA, jyOBkzOCM點, , rOxxyzy z向量在坐有序數標系中稱為的坐標, (, )rx y z記作，( ) rx,y,z有些教材記為向量的坐標表達式向量的坐標表達式據此定義： rOMxiyjzk ( ,

11、, )x y z四、利用坐標作向量的線性運算四、利用坐標作向量的線性運算設設),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 那那么么ab(,)xxyyzzabababa(,)xyzaaaab,0 時當aabxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量對應坐標成比例平行向量對應坐標成比例:，為實數已知兩點已知兩點例例3.在在AB直線上求一點直線上求一點 M , 使使設設 M 的坐標為的坐標為, ),(zyx如下圖如下圖ABMo11MAB, ),(111zyxA),(222zyxB及實數及實數,1得得),(zyx11),(212121zzyyxx即即.MBAMAMMBAMOAOM MB

12、OMOB AOOM )(OMOB OMOBOA(解解:說明說明:得定比分點公式得定比分點公式:,121xx,121yy121zz,1時當點點 M 為為 AB 的中點的中點 , 于是得于是得x,221xx y,221yy z221zz ABMoMAB),(zyx11),(212121zzyyxxxyz中點公式中點公式:由由五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影1. 向量的模與兩點間的距離公式向量的模與兩點間的距離公式222zyx),(zyxr 設則有OMr 222OROQOPxoyzMNQRP由勾股定理得, rOM作OMr OROQOP),(zyx QRKHNoMxyz r向量的模

13、的坐標表達式P),(111zyxA因因AB得兩點間的距離公式得兩點間的距離公式:),(121212zzyyxx222212121()()()xxyyzz對兩點對兩點與與, ),(222zyxBBABAOAOBBA已知向量的起點和已知向量的起點和終點坐標，寫出向終點坐標，寫出向量的坐標公式量的坐標公式222111(,)(,)xyzxyz空間任意一點空間任意一點 M(x,y,z)M(x,y,z)22:yydxz到軸的距離為OyxzM22:zzdyx到軸的距離為22:xxdyz到軸的距離為注記：注記：例例4. ,2,mijnjkm n 設求以向量為邊的平行四邊形的對角線的長度.解：311.故該平行四

14、邊形的對角線的長度各為，11mn3mn，(1,3,1)mn(1,1,1)mn，,mnmn由向量加法知，平行四邊形的對角線的長為，在 z 軸上求與兩點例例5.5.)7,1 ,4(A等距解解: 設該點為設該點為, ),0,0(zM,BMAM因為 2)4(212)7(z 23252)2(z解得14,9z 故所求點為及)2,5,3(B14(0,0,) .9M離的點 . 考慮考慮: (1) 如何求在 xoy 面上與A , B 等距離之點的軌跡方程?(2) 如何求在空間與A , B 等距離之點的軌跡方程 ?提示提示:(1) 設動點為, )0,(yxM利用,BMAM得,028814yx(2) 設動點為, )

15、,(zyxM利用,BMAM得014947zyx且0z已知兩點已知兩點例例6.6.)5,0,4(A和和, )3,1 ,7(B解解:141)2,1,3(142,141,143.BABABAAB 求與同方向的單位向量AB (74,1 0,35)(3,1,2),AB 22231( 2) 14因因那那么么于是于是1|AB 2 2、向量的方向角與方向余弦、向量的方向角與方向余弦oyzx,0),(zyxr給定與三坐標軸與三坐標軸rr稱的夾角的夾角 , , 為其方向為其方向角角.方向角的余弦稱為其方向余弦方向角的余弦稱為其方向余弦. cos,xrcos,yrcosrz222coscoscos1方向余弦的性質方

16、向余弦的性質:r與向量同方向的單位向量1rerr)cos,cos,(cos設點設點 A A 位于第一卦限位于第一卦限, ,例例7.7.解解: 知知角依次為角依次為,34求點求點 A 的坐標的坐標 . ,34那么那么222coscos1cos41因點因點 A 在第一卦限在第一卦限 ,故故1cos,2于是于是(61,22,21)2)3,23,3(故點故點 A 的坐標為的坐標為 . )3,23,3(向徑向徑 OA 與與 x 軸軸 y 軸的夾軸的夾 ,6AO且OAOAAO3.3.向量在軸上的投影向量在軸上的投影,uM軸垂直的平面作與過點 uM交軸于點， Oeu設點及單位向量決定軸，OMM u,OMe 設 OMru稱為在軸上的分向量. MMu 稱為點在點軸上的投影， Pr j ( )uurr記作或