第一講 數(shù)學(xué)建模前言

1、數(shù)學(xué)建模洛陽(yáng)理工學(xué)院數(shù)理部 運(yùn)士偉全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽簡(jiǎn)介n全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模比賽是由教育部高教司和中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)共同主辦，面向全國(guó)高等院校的規(guī)模最大、參與院校最多、涉及面最廣的一項(xiàng)科技競(jìng)賽活動(dòng)。自1992年舉辦第一屆以來，參賽隊(duì)平均每年以20%遞增。n我校自2003年參賽以來，通過師生的共同努力，取得了豐碩的成果。n全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模于每年9月的第三個(gè)星期五開始。數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽以通訊形式進(jìn)行，三名大學(xué)生組成一隊(duì)，可以自由地收集資料、調(diào)查研究，使用計(jì)算機(jī)和任何軟件，甚至上網(wǎng)查詢，但不得與隊(duì)外任何人討論。在三天時(shí)間內(nèi)，完成一篇包括模型的假設(shè)、建立和求解，計(jì)算方法的設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，結(jié)果的

2、分析和檢驗(yàn)，模型的改進(jìn)等方面的論文。競(jìng)賽評(píng)獎(jiǎng)以假設(shè)的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)果的正確性和文字表述的清晰程度為主要標(biāo)準(zhǔn)。 全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽簡(jiǎn)介課程介紹n本課程的目的n本課程主要是面對(duì)初次學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的學(xué)生，主要介紹一些基本的應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和建模范例來展示數(shù)學(xué)建模的基本思想和方法，使學(xué)生從中領(lǐng)悟到什么是數(shù)學(xué)建模，怎樣進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，如何利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行建模，以及如何通過數(shù)學(xué)模型去分析、解決實(shí)際問題，從而達(dá)到發(fā)展思維和發(fā)展想象力的作用。n同時(shí)也為有的同學(xué)參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽提供一定的理論知識(shí)。課程介紹n什么是數(shù)學(xué)建模？n數(shù)學(xué)建模是一種具有創(chuàng)新性的科學(xué)方法，它將現(xiàn)實(shí)問題簡(jiǎn)化、抽象為一個(gè)數(shù)學(xué)問題或數(shù)學(xué)模型，

3、然后采用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求解，進(jìn)而對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行定量分析和研究，最終達(dá)到解決實(shí)際問題的目的。n本課程的主要內(nèi)容n本課程主要介紹數(shù)學(xué)模型的基本概念、初等模型、優(yōu)化模型、微分方程與差分方程模型、模糊數(shù)學(xué)方法、圖與網(wǎng)絡(luò)模型、插值與擬合模型、對(duì)策與決策模型等學(xué)習(xí)本課程的參考書n1.數(shù)學(xué)模型（第三版） 姜啟源 謝金星 葉俊 編 高等教育出版社n2.數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用韓中庚 編著高等教育出版社n3.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 蕭樹鐵 主編 高等教育出版社作業(yè)與考試n平時(shí)作業(yè)要求以論文形式完成，以Word形式編輯，程序附在文檔后。如果是參考別人論文、或者是從網(wǎng)上下載部分內(nèi)容、或者從其它參考書中摘錄部分內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谖恼潞蟾缴蠀⒖?/p>

4、文獻(xiàn)。n嚴(yán)禁相互之間copy，嚴(yán)禁不加修改從網(wǎng)上下載；如果發(fā)現(xiàn)，將對(duì)所有相同的論文不計(jì)成績(jī)。n最后考試以一篇論文結(jié)束，平時(shí)作業(yè)將占總成績(jī)的60%，考試占40%。n作業(yè)上交到郵箱中數(shù)學(xué)建模概述n1、原型與模型n“原型”（Prototype）和“模型”是一對(duì)對(duì)偶體。n原型：是指人們?cè)诂F(xiàn)實(shí)世界里關(guān)心、研究或從事生產(chǎn)、管理的實(shí)際對(duì)象。在科技領(lǐng)域中通常使用系統(tǒng)、過程等詞匯來描述相應(yīng)的對(duì)象。n模型：指為了某個(gè)特定的目的將原型的一部分信息簡(jiǎn)縮、提煉而構(gòu)成的原型替代物。n尤其要說明的是：模型不是原型原封不動(dòng)的復(fù)制品。原型有各個(gè)方面和各個(gè)層次的特征，而模型只要求與某種目的有關(guān)的那些方面和層次。因此原型既簡(jiǎn)單于原

5、型，又高于原型。數(shù)學(xué)建模概述n2、一些常見的模型分類n形象模型：根據(jù)某種物體的實(shí)際大小，按一定比例制作的模型稱為形象模型。例如汽車模型、建筑模型都是形象模型。形象模型又稱為直觀模型。n物理模型：物理模型主要指科研工作者為一定的目的根據(jù)相似原理構(gòu)造的模型，它不僅可以可以顯示原型的外形或相似特征，而且可以用來進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，間接地研究模型的某些規(guī)律。n思維模型：思維模型是指人們對(duì)原型的反復(fù)認(rèn)識(shí)，將獲取的知識(shí)以經(jīng)驗(yàn)形式直接存儲(chǔ)于人腦中，從而可以根據(jù)思維或直覺作出相應(yīng)的決策。n符號(hào)模型：用一些比較生動(dòng)、鮮明的符號(hào)來刻畫某種事物的特征，這種模型稱為符號(hào)模型。例如地圖、電路圖、化學(xué)結(jié)構(gòu)表等。數(shù)學(xué)建模概述n3

6、、數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模n數(shù)學(xué)模型：對(duì)于現(xiàn)實(shí)中的原型，為了某個(gè)特定目的，作出一些必要的簡(jiǎn)化和假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。也可以說，數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言（符號(hào)、式子與圖象）模擬現(xiàn)實(shí)的模型。把現(xiàn)實(shí)模型抽象、簡(jiǎn)化為某種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)模型的基本特征。它或者能解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實(shí)狀態(tài)，或者能預(yù)測(cè)到對(duì)象的未來狀況，或者能提供處理對(duì)象的最優(yōu)決策或控制。n把現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問題加以提煉，抽象為數(shù)學(xué)模型，求出模型的解，驗(yàn)證模型的合理性，并用該數(shù)學(xué)模型所提供的解答來解釋現(xiàn)實(shí)問題，我們把數(shù)學(xué)知識(shí)的這一應(yīng)用過程稱為數(shù)學(xué)建模。 例例 甲乙兩地相距甲乙兩地相距740km，某船從甲地到乙地順?biāo)?，某船從甲地到乙?/p>

7、順?biāo)枰?0小時(shí)，從乙地到甲地逆水需要小時(shí)，從乙地到甲地逆水需要50小時(shí)，問船速、水小時(shí)，問船速、水速各為多少？速各為多少？ 分析：在該問題中，兩地之間的距離是已知的，并且分析：在該問題中，兩地之間的距離是已知的，并且假定在考察問題的時(shí)間段中水的流速不變，在這樣的假假定在考察問題的時(shí)間段中水的流速不變，在這樣的假設(shè)之下，我們可以得出問題的解。設(shè)之下，我們可以得出問題的解。 求解求解 設(shè)水的流速為設(shè)水的流速為 ，船的行駛速度為，船的行駛速度為 ，則當(dāng)順，則當(dāng)順?biāo)叫袝r(shí)有關(guān)系水航行時(shí)有關(guān)系xy數(shù)學(xué)建模概述4、身邊的數(shù)學(xué)模型、身邊的數(shù)學(xué)模型30750,xy當(dāng)船只逆水航行時(shí)，有當(dāng)船只逆水航行時(shí)，有5

8、0750,yx即有方程組即有方程組30750,50750.xyyx上式即為原問題的數(shù)學(xué)表達(dá)式，又稱為數(shù)學(xué)模型。上式即為原問題的數(shù)學(xué)表達(dá)式，又稱為數(shù)學(xué)模型。 容易求出該問題的解：容易求出該問題的解： 。即船速為。即船速為20km/h，水速為，水速為5km/h。20,5yx 在上面的例中我們看到數(shù)學(xué)模型的一般意義：在上面的例中我們看到數(shù)學(xué)模型的一般意義： 對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，為了一個(gè)特定的目對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，為了一個(gè)特定的目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，作出一些必要的假設(shè)，運(yùn)用的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，作出一些必要的假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到一個(gè)數(shù)學(xué)

9、結(jié)構(gòu)。 注意：本課程的重點(diǎn)并不是單單介紹現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)注意：本課程的重點(diǎn)并不是單單介紹現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型，而主要的是介紹建立數(shù)學(xué)模型的全部過程和求解模型，而主要的是介紹建立數(shù)學(xué)模型的全部過程和求解過程。過程。數(shù)學(xué)建模的意義n在一般的工程領(lǐng)域中，數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地。n在高新技術(shù)領(lǐng)域中，數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具。n數(shù)學(xué)迅速進(jìn)入一些新興領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開拓了許多新的處女地。n數(shù)學(xué)建模在國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)活動(dòng)中的具體表現(xiàn)：預(yù)測(cè)與決策；分析與設(shè)計(jì)；控制與優(yōu)化；規(guī)劃與管理 隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，在近幾個(gè)世紀(jì)來，世界人口也隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，在近幾個(gè)世紀(jì)來，世界人口也得到了快速的的增長(zhǎng)。下面的數(shù)據(jù)表反映

10、了近幾個(gè)世紀(jì)得到了快速的的增長(zhǎng)。下面的數(shù)據(jù)表反映了近幾個(gè)世紀(jì)的人口增長(zhǎng)情況。的人口增長(zhǎng)情況。年年1625183019301960人口（億）人口（億）5102030年年197419871999人口（億）人口（億）405060數(shù)學(xué)建模實(shí)例之一人口增長(zhǎng)的預(yù)報(bào)問題 從表中看出，人口每增加十億的時(shí)間，由一百多年縮從表中看出，人口每增加十億的時(shí)間，由一百多年縮短至十二、三年。常此以往，人口問題將嚴(yán)重困擾世界短至十二、三年。常此以往，人口問題將嚴(yán)重困擾世界經(jīng)濟(jì)的發(fā)展。經(jīng)濟(jì)的發(fā)展。 下表是我國(guó)在下表是我國(guó)在20世紀(jì)中人口發(fā)展的狀況：世紀(jì)中人口發(fā)展的狀況：年年1908193319531964人口（億）人口（億）

11、3.04.76.07.2年年198219902000人口（億）人口（億）10.311.312.95 認(rèn)識(shí)人口數(shù)量變化的規(guī)律，建立合適的人口模型，作認(rèn)識(shí)人口數(shù)量變化的規(guī)律，建立合適的人口模型，作出準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)，是有效控制人口增長(zhǎng)的前提。出準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)，是有效控制人口增長(zhǎng)的前提。 下面介紹兩個(gè)基本的人口模型，并利用表下面介紹兩個(gè)基本的人口模型，并利用表1給出的近給出的近兩個(gè)世紀(jì)的美國(guó)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（單位：百萬(wàn)）對(duì)模型作兩個(gè)世紀(jì)的美國(guó)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（單位：百萬(wàn)）對(duì)模型作出檢驗(yàn)，最后用它預(yù)報(bào)出檢驗(yàn)，最后用它預(yù)報(bào)2010年美國(guó)的人口。年美國(guó)的人口。年年179018001810182018301840人口人口3.

12、95.37.29.612.917.1年年185018601870188018901900人口人口23.231.438.650.262.976.0年年191019201930194019501960人口人口92.0106.5123.2131.7150.7179.3年年1970198019902000人口人口204.0226.5251.4281.4表表1 美國(guó)人口數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)美國(guó)人口數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì) 指數(shù)增長(zhǎng)模型指數(shù)增長(zhǎng)模型 一個(gè)簡(jiǎn)單的人口模型是指數(shù)模型：記今年人口為一個(gè)簡(jiǎn)單的人口模型是指數(shù)模型：記今年人口為 ，年增長(zhǎng)率為年增長(zhǎng)率為 ，則以后第，則以后第 年的人口為年的人口為0 xrk在上面的問題中，假定人口

13、的增長(zhǎng)率在上面的問題中，假定人口的增長(zhǎng)率 是一個(gè)不變的常是一個(gè)不變的常數(shù)。數(shù)。r 200多年前，馬爾薩斯基于增長(zhǎng)率不變的基礎(chǔ)，建立多年前，馬爾薩斯基于增長(zhǎng)率不變的基礎(chǔ)，建立了著名的人口指數(shù)模型。了著名的人口指數(shù)模型。01.kkxxrtt 建模建模 記時(shí)刻記時(shí)刻 時(shí)的人口為時(shí)的人口為 ，并視其為連續(xù)變量，并視其為連續(xù)變量，初始時(shí)初始時(shí) 的人口為的人口為 ，從，從 到到 時(shí)間內(nèi)人口的時(shí)間內(nèi)人口的增量為增量為 ，則有，則有 x t0t 0 xtt x .xx ttx tr x tt 令令 則得到則得到 應(yīng)滿足的微分方程：應(yīng)滿足的微分方程：0,t x t 0.0dxrxdtxxt由這個(gè)方程容易解得：由

14、這個(gè)方程容易解得：當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，式表明人口將按指數(shù)規(guī)律無限增長(zhǎng)。故式表明人口將按指數(shù)規(guī)律無限增長(zhǎng)。故稱為指數(shù)增長(zhǎng)模型。稱為指數(shù)增長(zhǎng)模型。0r 0.rtx tx e 參數(shù)估計(jì)：參數(shù)估計(jì)：式中的式中的 和和 可以用表可以用表1中的數(shù)據(jù)進(jìn)行中的數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)。為了利用簡(jiǎn)單的最小二乘法，將估計(jì)。為了利用簡(jiǎn)單的最小二乘法，將式取對(duì)數(shù)后得式取對(duì)數(shù)后得0 rx其中：其中： 。0ln .lnyxax,yrta 以以1790年到年到1900年的數(shù)據(jù)擬合年的數(shù)據(jù)擬合式，可得式，可得0,0.2743/104.1884.xr 年 以以1790年到年到2000年的全部數(shù)據(jù)擬合年的全部數(shù)據(jù)擬合式，可得式，可得0,0.202

15、2/106.0450.xr 年17901900實(shí)際人口與計(jì)算人口的比較實(shí)際人口與計(jì)算人口的比較24681012t20406080100 x計(jì)算人口曲線計(jì)算人口曲線實(shí)際人口實(shí)際人口17902000實(shí)際人口與計(jì)算人口比較實(shí)際人口與計(jì)算人口比較5101520t100200300400500 x計(jì)算人口曲線計(jì)算人口曲線實(shí)際人口實(shí)際人口年年179018001810182018301840人口人口3.95.37.29.612.917.1x14.25.57.29.512.516.5x26.07.49.111.113.616.6年年185018601870188018901900人口人口23.231.438.

16、650.262.976.0 x121.728.637.649.565.185.6x220.324.930.537.345.755.9表表2 指數(shù)增長(zhǎng)模型擬合美國(guó)人口數(shù)據(jù)的結(jié)果指數(shù)增長(zhǎng)模型擬合美國(guó)人口數(shù)據(jù)的結(jié)果年年191019201930194019501960人口人口92.0106.5123.2131.7150.7179.3x1x268.483.7102.5125.5153.6188.0年年1970198019902000人口人口204.0226.5251.4281.4x1x2230.1281.7344.8422.1表表2 指數(shù)增長(zhǎng)模型擬合美國(guó)人口數(shù)據(jù)的結(jié)果（續(xù)）指數(shù)增長(zhǎng)模型擬合美國(guó)人口數(shù)據(jù)的

17、結(jié)果（續(xù)） 結(jié)果分析結(jié)果分析 用上面得到的參數(shù)用上面得到的參數(shù) 代入代入式，將計(jì)式，將計(jì)算結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)作比較得下表，表中計(jì)算人口算結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)作比較得下表，表中計(jì)算人口 是用是用1790年的數(shù)據(jù)擬合的結(jié)果；計(jì)算人口年的數(shù)據(jù)擬合的結(jié)果；計(jì)算人口 是用全部數(shù)據(jù)擬是用全部數(shù)據(jù)擬合的結(jié)果，用這個(gè)模型基本上能夠描述合的結(jié)果，用這個(gè)模型基本上能夠描述19世紀(jì)以前美國(guó)世紀(jì)以前美國(guó)人口的增長(zhǎng)情況，但是進(jìn)入人口的增長(zhǎng)情況，但是進(jìn)入20世紀(jì)后，美國(guó)人口增長(zhǎng)明世紀(jì)后，美國(guó)人口增長(zhǎng)明顯放慢，此時(shí)模型不再適合了。顯放慢，此時(shí)模型不再適合了。0, r x1x2x 從歷史上看，指數(shù)增長(zhǎng)模型與十九世紀(jì)以前歐洲一些從歷史上

18、看，指數(shù)增長(zhǎng)模型與十九世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以很好地吻合，此外，以此模型作地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以很好地吻合，此外，以此模型作短時(shí)間里的人口預(yù)測(cè)可以得到較好地結(jié)果。原因是此時(shí)短時(shí)間里的人口預(yù)測(cè)可以得到較好地結(jié)果。原因是此時(shí)人口的增長(zhǎng)率幾乎是一個(gè)不變的常數(shù)。人口的增長(zhǎng)率幾乎是一個(gè)不變的常數(shù)。 但是，從長(zhǎng)期看，任何地區(qū)、任何國(guó)家的人口不可但是，從長(zhǎng)期看，任何地區(qū)、任何國(guó)家的人口不可能無限增長(zhǎng)，這是因?yàn)槿丝诘脑鲩L(zhǎng)率實(shí)際上是在不斷能無限增長(zhǎng)，這是因?yàn)槿丝诘脑鲩L(zhǎng)率實(shí)際上是在不斷地變化。一般情況下，當(dāng)人口較小時(shí)，增長(zhǎng)較快；當(dāng)?shù)刈兓?。一般情況下，當(dāng)人口較小時(shí)，增長(zhǎng)較快；當(dāng)人口達(dá)到一定數(shù)量時(shí)，增長(zhǎng)率明

19、顯下降。因而用平均人口達(dá)到一定數(shù)量時(shí)，增長(zhǎng)率明顯下降。因而用平均增長(zhǎng)率增長(zhǎng)率 來代替變化增長(zhǎng)率來代替變化增長(zhǎng)率 ，會(huì)與實(shí)際結(jié)果有較，會(huì)與實(shí)際結(jié)果有較r r t大的差距。大的差距。 阻滯增長(zhǎng)模型（阻滯增長(zhǎng)模型（Logistic模型）模型） 分析分析 當(dāng)人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，自然資源、環(huán)境條當(dāng)人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，自然資源、環(huán)境條件等因素對(duì)人口的增長(zhǎng)會(huì)起到一個(gè)阻滯作用，并且隨著件等因素對(duì)人口的增長(zhǎng)會(huì)起到一個(gè)阻滯作用，并且隨著人口的不斷增加，阻滯作用會(huì)越來越大。阻滯增長(zhǎng)模型人口的不斷增加，阻滯作用會(huì)越來越大。阻滯增長(zhǎng)模型就是基于這個(gè)事實(shí)，對(duì)指數(shù)增長(zhǎng)模型的基本假設(shè)進(jìn)行修就是基于這個(gè)事實(shí)，對(duì)指數(shù)增長(zhǎng)模型

20、的基本假設(shè)進(jìn)行修改后得到的。改后得到的。 建模建模 設(shè)增長(zhǎng)率設(shè)增長(zhǎng)率 隨人口數(shù)量隨人口數(shù)量 的增長(zhǎng)而下降，則關(guān)的增長(zhǎng)而下降，則關(guān)系式系式可改寫成可改寫成rx 0,0dxr x xdtxx其中其中 是是 的減函數(shù)。進(jìn)一步假定，設(shè)的減函數(shù)。進(jìn)一步假定，設(shè) 是是 的線的線性函數(shù)，即性函數(shù)，即 r xx r xx ( ,0)r xrsxr s這里這里 稱為固有增長(zhǎng)率。引入稱為固有增長(zhǎng)率。引入 ，稱為人口容量，即，稱為人口容量，即rx當(dāng)當(dāng) 時(shí)，人口不再增長(zhǎng)，即時(shí)，人口不再增長(zhǎng)，即 代入代入式式得得 于是于是式為式為xx0,r x,rsx 1.xr xrx把把代入方程代入方程，得，得 01,0,dxxrx

21、dtxxx方程方程右端的因子右端的因子 體現(xiàn)人口自身的增長(zhǎng)趨勢(shì)，因子體現(xiàn)人口自身的增長(zhǎng)趨勢(shì)，因子rx 則體現(xiàn)了資源和環(huán)境對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用。則體現(xiàn)了資源和環(huán)境對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用。1xx注意到：注意到： 越大，前一因子越大，而后一因子越小，人越大，前一因子越大，而后一因子越小，人口的增長(zhǎng)是兩個(gè)因子共同作用的結(jié)果。口的增長(zhǎng)是兩個(gè)因子共同作用的結(jié)果。x100200300400510152025 以以 為橫軸，為橫軸， 為縱軸作為縱軸作出方程出方程的圖形。從該圖形的圖形。從該圖形中可以大致描繪出中可以大致描繪出 的的圖形。圖形。xdxdt x t51015202530100200300Logist

22、ic模型模型 xt 曲線曲線 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì) 為了利用簡(jiǎn)單的線性最小二乘法估計(jì)這個(gè)模型的參數(shù)為了利用簡(jiǎn)單的線性最小二乘法估計(jì)這個(gè)模型的參數(shù) 和和 ，將方程，將方程表為表為rx/,dx dtrrsx sxx 用數(shù)值微分和曲線擬合，利用從用數(shù)值微分和曲線擬合，利用從1860到到1990年的數(shù)年的數(shù)據(jù)計(jì)算得到據(jù)計(jì)算得到 /10年，年，0.2557r 392.0886.x 結(jié)果分析：用上面的數(shù)據(jù)代入方程的解：結(jié)果分析：用上面的數(shù)據(jù)代入方程的解： .11rtxx txex將計(jì)算結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)加以對(duì)比：有下面的圖表將計(jì)算結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)加以對(duì)比：有下面的圖表年年1790180018101820183018

23、40人口人口3.95.37.29.612.917.1x13.95.06.58.310.713.7年年185018601870188018901900人口人口23.231.438.650.262.976.0 x117.522.328.335.845.056.2表表3 阻滯增長(zhǎng)模型擬合美國(guó)人口數(shù)據(jù)的結(jié)果阻滯增長(zhǎng)模型擬合美國(guó)人口數(shù)據(jù)的結(jié)果年年191019201930194019501960人口人口92.0106.5123.2131.7150.7179.3x169.785.5103.9124.5147.2171.3年年1970198019902000人口人口204.0226.5251.4281.4x1

24、196.2221.2245.35101520t50100150200250 x阻滯增長(zhǎng)型擬合圖形（阻滯增長(zhǎng)型擬合圖形（17901990）計(jì)算人口曲線計(jì)算人口曲線實(shí)際人口實(shí)際人口 從數(shù)據(jù)中可以看出，在阻滯增長(zhǎng)模型中雖然有一段時(shí)從數(shù)據(jù)中可以看出，在阻滯增長(zhǎng)模型中雖然有一段時(shí)間，數(shù)據(jù)擬合的情況不是很好，但在最后一段時(shí)間，吻間，數(shù)據(jù)擬合的情況不是很好，但在最后一段時(shí)間，吻合得相當(dāng)不錯(cuò)。合得相當(dāng)不錯(cuò)。 以該數(shù)據(jù)來預(yù)測(cè)以該數(shù)據(jù)來預(yù)測(cè)2000年的人口情況，我們有年的人口情況，我們有20001990274.5,xxx 與實(shí)際數(shù)據(jù)有約與實(shí)際數(shù)據(jù)有約 的誤差，可以認(rèn)為該模型是能夠的誤差，可以認(rèn)為該模型是能夠令人滿

25、意的。令人滿意的。2.5% 將將2000年的數(shù)據(jù)加入，可以預(yù)測(cè)到在年的數(shù)據(jù)加入，可以預(yù)測(cè)到在2010年美國(guó)人年美國(guó)人口將達(dá)到口將達(dá)到 百萬(wàn)。百萬(wàn)。306.0 問題問題 一個(gè)有四個(gè)腳的方凳能否在地上放穩(wěn)，如能一個(gè)有四個(gè)腳的方凳能否在地上放穩(wěn)，如能的話，給出具體的方法。的話，給出具體的方法。假設(shè)假設(shè)1 椅子的四個(gè)腳是等長(zhǎng)的并且四個(gè)腳正好位于一椅子的四個(gè)腳是等長(zhǎng)的并且四個(gè)腳正好位于一個(gè)四方形的頂點(diǎn)上；個(gè)四方形的頂點(diǎn)上；假設(shè)假設(shè)2 地面是一張連續(xù)變化的曲面；地面是一張連續(xù)變化的曲面；假設(shè)假設(shè)3 在任一時(shí)刻。椅子至少有三只腳落地。在任一時(shí)刻。椅子至少有三只腳落地。數(shù)學(xué)建模實(shí)例之二椅子放穩(wěn)問題椅子放穩(wěn)問題

26、xyABCD1A1B1C1Do 建模建模 設(shè)椅子的四只腳位于點(diǎn)設(shè)椅子的四只腳位于點(diǎn) 其連線構(gòu)其連線構(gòu)成一正方形，對(duì)角線的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)角線成一正方形，對(duì)角線的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)角線 為坐標(biāo)軸（坐標(biāo)系統(tǒng)如圖所示）。為坐標(biāo)軸（坐標(biāo)系統(tǒng)如圖所示）。, , ,A B C D,ACBD 設(shè)設(shè) 為為 兩點(diǎn)椅子的腳離開地面的距離只和；兩點(diǎn)椅子的腳離開地面的距離只和； 為為 兩點(diǎn)的椅子的腳離開兩點(diǎn)的椅子的腳離開地面的距離之和，則由條件得地面的距離之和，則由條件得 f,A C g,B D 00,.2fg 注意到：注意到： 并且并且 ,0,0,0.2f gCfg椅子的四腳落地意味著椅子的四腳落地意味著 故不妨

27、假設(shè)故不妨假設(shè) 0.fg 00,00.fg則問題歸結(jié)為是否存在則問題歸結(jié)為是否存在 使得使得00,2000.fg 解模解模 由條件對(duì)任意由條件對(duì)任意 ，有，有 且且 0,0.fg0,0.22fg令令 ,hfg則則 因因0,2hC 0000,hfg0,222hfg由閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理知，存在由閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理知，存在00,200.h使得使得注意到條件：椅子的四個(gè)腳中在同一時(shí)刻至少有三腳落注意到條件：椅子的四個(gè)腳中在同一時(shí)刻至少有三腳落地，即地，即0000.fg或所以由所以由 ，即有，即有00h000.fg 此說明在問題所設(shè)的條件下，椅子可以放穩(wěn)，并給出此說明在問題所設(shè)的條件下，椅子

28、可以放穩(wěn)，并給出了放穩(wěn)的具體方法。了放穩(wěn)的具體方法。 注注 若在原問題中，若將一個(gè)四方形的椅子改為長(zhǎng)方若在原問題中，若將一個(gè)四方形的椅子改為長(zhǎng)方形的桌子，則該如何求解？形的桌子，則該如何求解？數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的一般步驟1、模型準(zhǔn)備、模型準(zhǔn)備 2、模型假設(shè)模型假設(shè)3、模型建立、模型建立 4、模型構(gòu)成模型構(gòu)成5、模型求解、模型求解 6、模型分析模型分析7、模型檢驗(yàn)、模型檢驗(yàn) 8、模型應(yīng)用模型應(yīng)用 通過對(duì)前面實(shí)例的分析可知，建模的一般步驟為：通過對(duì)前面實(shí)例的分析可知，建模的一般步驟為：n模型準(zhǔn)備模型準(zhǔn)備：了解問題的實(shí)際背景，明確建模目：了解問題的實(shí)際背景，明確建模目的，搜集必要的信息（現(xiàn)象

29、的，搜集必要的信息（現(xiàn)象.數(shù)據(jù)），盡量弄數(shù)據(jù)），盡量弄清對(duì)象的主要特征。清對(duì)象的主要特征。n模型假設(shè)模型假設(shè)：據(jù)對(duì)象的特征和建模的目的，抓?。簱?jù)對(duì)象的特征和建模的目的，抓住問題的本質(zhì)，忽略次要因素，做出必要的、合問題的本質(zhì)，忽略次要因素，做出必要的、合理簡(jiǎn)化的假設(shè)。理簡(jiǎn)化的假設(shè)。n模型構(gòu)成模型構(gòu)成：據(jù)假設(shè)，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)描述對(duì)：據(jù)假設(shè)，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)描述對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律，建立包含常量、變量、已知量、象的內(nèi)在規(guī)律，建立包含常量、變量、已知量、未知量等各量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。未知量等各量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。n模型求解模型求解：主要用到數(shù)學(xué)軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)。：主要用到數(shù)學(xué)軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)。（解方程，畫圖形，優(yōu)化方法，數(shù)值計(jì)算，統(tǒng)（解方程，畫圖形，優(yōu)化方法，數(shù)值計(jì)算