2001年高考數(shù)學(xué)(理科)真題及答案[全國卷I]

1、2001年全國普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類)一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 項(xiàng)是符合題目要求的.若sin cos 0,則e在 (A)第一、二象限 (B)第一、三象限 (C)第一、四象限 (D)第二、四象限(2)過點(diǎn)A(1 , -1), B(-1 , 1)且園心在直線x+y-2=0上的圓珠筆的方程是(A)(x-3) 2+(y+1) 2=4(B)(x+3) 2+(y-1) 2=4(C)(x-1) 2+(y-1)2=4(B)(x+1) 2+(y+1)2=4(3)設(shè)an是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為 12,前三項(xiàng)的積為48,則它的首項(xiàng)是

2、(A)1(B)2(C)4(D)6(4)若定義在區(qū)間(-1, 0)內(nèi)的函數(shù)f(x)= 10g2a(x+ 1)滿足f(x)> 0,則a的取值范圍是111(A)(0 , 2 )(B) (0 , 2 (C)(2,+°°)(D) (0,+8)2sin )(5)極坐標(biāo)方程4的圖形是(A)(田COCD)arccos(x 1)(0 x 2)(6)函數(shù)y c0sx 1( x 0)的反函數(shù)是(a)y arccos(x 1)(0 x 2) y(C) y arccos(x 1)(0 x 2)(D) y arccos(x 1)(0 x 2)(7)若橢圓經(jīng)過原點(diǎn)，且焦點(diǎn)為Fi(1, 0), F2

3、(3, 0),則其離心率為321(A) 4(B) 3(C) 21(D) 40(8)若,sin cos a,sin cos4(A) a<b(A)a>b (A)ab<1(D)ab>2(9)在正三棱柱ABC Ai B1C1中，若AB=J2BB1，則AB與CB所成的角的大小為(A)60°(B)90°(C)105° (D)75(10)設(shè)f(x)、g(x)都是單調(diào)函數(shù)，有如下四個(gè)命題:若f(x)單調(diào)速增， 若f(x)單調(diào)速增， 若f(x)單調(diào)速減， 若f(x)單調(diào)速減， 其中，正確的命題是g(x)單調(diào)速增，則 g(x)單調(diào)速減，則 g(x)單調(diào)速增，則

4、 g(x)單調(diào)速減，則f(x)-g(x)單調(diào)遞增;f(x)-g(x)單調(diào)遞增;f(x)-g(x)單調(diào)遞減;f(x)-g(x)單調(diào)遞減;(A)(B)(C)(D)(11)一間民房的屋頂有如圖三種不同的蓋法：?jiǎn)蜗騼A斜；雙向傾斜；四向傾斜.記三 種蓋法屋頂面積分別為 Pl、P2、P3. 若屋頂斜面與水平面所成的角都是a ,則(A)P3>P2>Pl(B) P3>P2 = Pl(C) P3=P2>Pl(D) P3=P2=Pl(12)如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線表承它們有網(wǎng)線相聯(lián).連線標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過的最大信息量.現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳遞信息，信息

5、可以分開沿不同的路線同時(shí)傳遞.則單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為(A)26(B)24(C)20(D)19二.填空題：本大題共 4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上.(13)若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為J3 ,則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是22LL 1(14)雙曲線916的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,點(diǎn)P在雙曲線上.若PFXPF2,則點(diǎn)P到x軸的距離為。(15)設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列，&是它白前n項(xiàng)和.若&是等差數(shù)列，則q=_.(16)園周上有幾個(gè)等分點(diǎn)(n> 1),以其中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形的個(gè)數(shù)為 .三.解答題：本大題共 6小題共74分.解答應(yīng)寫出文字說明

6、.證明過程或演算步驟.(17)(本小題滿分12分)如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，ZABC=90° ,1SAX面ABCD, SA= AB= BC= 1, AD= 2 .(I)求四棱錐S-ABCD的體積；(11)求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值.(18)(本小題滿分12分)已知復(fù)數(shù)Z1= i (1-i) 3(I)求arg Z1及1引(II)當(dāng)復(fù)數(shù)Z滿足|Z|= l ,求憶-Z1|的最大值.(19)(本小題滿分12分)設(shè)拋物線y2=2pc(p>0)的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于 A、B兩點(diǎn).點(diǎn) C在拋物 線的準(zhǔn)線上，且BC/x軸.證明直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.

7、(20)(本小題滿分12分)已知i, m, n是正整數(shù)，且1viwmvn(I)證明 nipim<mipin ；門)證明(1 + m)n>(1 + n)m.(21)(本小題滿分12分)從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè).根1據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少5 .本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加14(I)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元.寫出an，bn的表(II)至少經(jīng)過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？(22)(本小

8、題滿分14分)1設(shè)f(x)是定義在 R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x= 1對(duì)稱，又任意X1；, X2 C0, 2,都有f(x1 + x2)=f(x1)f(x2).(I)求 f(2)及 f(4);(II)證明f(x)是周期函數(shù)；1 lim(lnan)(III)記 an= f(2n+ 2n ),求 n數(shù)學(xué)13t題(理工農(nóng)醫(yī)類)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.每小題5分，滿分60分.(1)B(2)C(3)B(4)A(5)C(6)A(7)C(8)A(9)B(10)C(11)D (12)D.填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.每小題4分.滿分16分.16(13)2 兀 (14) 5(

9、15)1(16)2n(n-1)三.解答題.12(17)本小題考查線面關(guān)系和棱錐體積計(jì)算，以及空間想象能力和邏輯推理能力.滿分 分.解：(I)直角梯形ABCD的面積是1M 底面=2 ( BC+AD)AB=242 分 四棱推S-ABCD的體積是1 V SA M底面31 1 33414分6b4(II)延長BA、CD相交于點(diǎn)E,連結(jié)SE,則S弱所求二面角的棱. AD/BC, BC=2AD.EA=AB=SA, SEX SB.SA，面ABCD ,得面ASB，面ESC, EB是交線, 又 BCEB,，BC±W SEB,故SB是CS在面SEB上的射影，CSXSE,10分所以/ BSC是所求二面角的平

10、面角.SB SA2 AB22, BC 1, BC SBBC 2 tg BSC SB 22即所求二面角的正切值為2。12分(18)本小題考查復(fù)數(shù)的基本性質(zhì)和基本運(yùn)算，以及分析問題和解決問題的能力.滿分12分.解：(I)z1|z z1 |2 i(1 i)3 2 2i3分將z,化成三角形式，得z12.2(cos - i sin -),44arcz1- ,| z1 | 2.26分4(II )設(shè)z cos i sin ，則z z1 (cos 2) (sin 2)i 2_ 2_ 2| z z1 | (cos 2) (sin 2)9 4 2sin(-)9分4當(dāng)sin( -) 1時(shí),|z z1|2取最大值9

11、4血4從而得到|z z1|的最大值為2J2 112分(19)本小題考查拋物線的概念和性質(zhì)，直線的方程和性質(zhì)，運(yùn)算能力和邏輯推理能力.滿分12分.-,0因?yàn)閽佄锞€y2=2pc(p>0)的焦點(diǎn)為F( 2),所以經(jīng)過點(diǎn)F的直線AB的方程可設(shè)為£x=my+ 2代人拋物線方程得 22y -2pcmy-p =0若記A（xYi）, B（X2，Y2）,則Xi，丫2是該方程的兩個(gè)根，所以 2yiy2= -p£因?yàn)锽C/ X軸，且點(diǎn)C在準(zhǔn)線x=- 2上，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)2為（-2 , y2）,故直線C。的斜率為k 上 1P£ yi xi2即k也是直線OA的斜率，所以直線AC經(jīng)過原

12、點(diǎn)O.證明二：如圖，y記x軸與拋物線準(zhǔn)線I的交點(diǎn)為E, 過A作ADLI, D是垂足.則AD / FE / BC.連結(jié)AC,與EF相交手點(diǎn)N,則|EN | |CN | |BF | AD | | AC | | AB |'INF | | AF |IBC | | AB|根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，|AF|=|AD|, |BF|=|BC|EN |I AD| | BF |AB|I AF | | BC |I AB |INF |,12分即點(diǎn)N是EF的中點(diǎn)，與拋物線的頂點(diǎn) O重合，所以直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.12分.pmm (m i 1),ipmm m 1 m i 1-T 一，m m mm同理區(qū) n lJ n i

13、 1in n nn由于m n,對(duì)整數(shù)k 1,2, ,i士 n k1,有所以向 i npm i i i i，即 m Pnn Pmm4分m k, m6分(II )證明：由二項(xiàng)式定理有 n(1 m)nmicn,i 0 m mi i八八(1 n) n Cm,8分i 0由(I)知 mP：ni Prm (1 i m n),而cm Pm,cnPn-10分i! i!所以 mCnicm(1 i m n).mm因此 micn nicm. i 2i 2P 000011i i乂m Cn n Cm,mCn nCm mn,mCn 0(mmm7 ii c im Cn n Cm .i 0i 0即(1 m)n (1 n)m.1

14、2 分i n).(21)本小題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)；考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.滿分 12分.1解.(I)第1年投入為800萬元.第2年投入為800X(1- 5)萬元，第n年投入為1800 x (1- 5 )n-1 萬元.所以，n年的總收入為(20)本小題考查排列、組合、二項(xiàng)式定理、不等式的基本知識(shí)和邏輯推理能力.滿分(I)證明：對(duì)于1 i m,有an 800n800k 11800 (1)5(1 1廣51 n 1800 (1)54000 1 (-)n； 51第1年旅游業(yè)收入為 400萬元，第2年旅游業(yè)收入為400 X(1+ 4)萬元，第n年旅游1業(yè)收入

15、為400 X (1+ 401萬元.所以，n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為11 n 1bn 400 400 (1 -)400 (1 )44nI、k 1400 (1)k 141600 (4)n 1；6 分5(11)設(shè)至少經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由此bn an 0即1600 (4)n 1 4000 1 (4)n 055化簡(jiǎn)得 5 (4)n 2 (-)n 7 09分55設(shè)x (4)n,代入上式5_ 25x 7x 2 0解此不等式得2人,x -,x 1(舍去)5即(4)n 2,55由此得n 5答：至少經(jīng)過5年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入12分(22)本小題主要考查函數(shù)的概念、圖象，函數(shù)的奇偶性和周期性以及數(shù)列極限等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算能力和邏輯思維能力，滿分14分.1(I)斛：因?yàn)?x1,x2 0,-,都有 f(x1 x2)f(x1) f(x2)，所以2f(x)f(x) f(x)f(1)1 f(2)f(1)1 f(2)221 1f ( , )2 21 1f ( , )4 4a 021a2, f(-)40,x1f(2)101.1f(2)1f(4) f(4)1 2 f(-), 21 2 f(-),41a4.(II )證明：依題意y 故 f(x)f (x 1 x),即f(x)f(2 x), xf (x)關(guān)于直線x1對(duì)稱,R,又由f(x)是偶函數(shù)知f( x) f (x),