數(shù)學模型思想及其滲透教學學習教案

1、數(shù)學模型思想數(shù)學模型思想(sxing)及其滲透教學及其滲透教學第一頁，共59頁。 一條小河從哥尼斯堡的市中心穿過，河中有兩個小島，河上有七座橋連接這兩個小島和河的兩岸。能不能一次連續(xù)走完這七座橋，而不在任何一座橋上重復通過，并且最后(zuhu)還回到原來的起點？（現(xiàn)實背景（現(xiàn)實背景(bijng)中的生活問題）中的生活問題）這個問題吸引了無數(shù)游人去實地嘗試和研究。它最終是由十八世紀大數(shù)學家歐拉解決的，歐拉沒有親自(qnz)到實地去踏察，而是用A、B、C、D四個點分別代表小島和兩岸，并把七座橋抽象為七條線段，與四個點連接成為一個圖形。（生活問題的數(shù)學化）（生活問題的數(shù)學化） 這樣，就把能否一次走過

2、七座橋而無重復，轉化為能否一筆畫出這個圖形的問題。（數(shù)學問題模型化）（數(shù)學問題模型化） 歐拉仔細分析了“一筆畫問題”數(shù)學模型的結構特征，發(fā)現(xiàn)能夠一筆畫出的圖形只能有一個起點和一個終點，并且圖中要么沒有奇頂點，要么只有兩個奇頂點。他應用這個結論去考察上述問題，發(fā)現(xiàn)圖中四個點都是奇點，因此不能一筆畫出。于是，他斷定這七座橋不可能無重復地一次走完。 并運用“一筆畫問題”的原理闡明了其中的道理。（運用模型求解）（運用模型求解）贏得了世人的公認。（運用模型解釋）（運用模型解釋） （對解與相應模型的價（對解與相應模型的價值判斷）值判斷） 此后“一筆畫問題”的原理及其推論，普遍成為人們解決類似實際問題的數(shù)學

3、模型。（模型的價值判斷與變式、推廣應用）（模型的價值判斷與變式、推廣應用） 這是一個生活問題數(shù)學化，數(shù)學問題模型化的經典范例，它讓人們在驚嘆數(shù)學家理性智慧的同時，領略到數(shù)學建模對于實際問題解決的效用之美。第1頁/共59頁第二頁，共59頁。 數(shù)學建模就是針對或參照現(xiàn)實世界中某一特定對象或現(xiàn)象(xinxing), 從某種特定的目的出發(fā)，按照一定的價值取向，作出必要的簡化和假設，運用適當?shù)臄?shù)學工具、方法得到一定的數(shù)學結構,并用它來刻畫和解釋特定對象或現(xiàn)象(xinxing)的現(xiàn)實性態(tài),預測對象或現(xiàn)象(xinxing)的未來狀況,提供處理對象或現(xiàn)象(xinxing)的優(yōu)化決策和控制方略。第2頁/共59頁

4、第三頁，共59頁。 數(shù)學建模就是針對或參照現(xiàn)實世界中某一特定(tdng)對象或現(xiàn)象（如上例中游（如上例中游(zhngyu)人行走七橋的嘗試）人行走七橋的嘗試） ，從某種特定的目的(md)出發(fā)（作出能否一次無重復地走完的判斷）（作出能否一次無重復地走完的判斷） ，按照一定的價值取向（試圖數(shù)學地解決與闡明此類問題）（試圖數(shù)學地解決與闡明此類問題） ，作出必要簡化和假設（畫示意圖）（畫示意圖） ，運用適當?shù)臄?shù)學工具、方法 （奇、（奇、偶點的分析）偶點的分析）得到一定的數(shù)學結構 （“一筆畫問題一筆畫問題”特征特征數(shù)學化表達）數(shù)學化表達） ，并用它來刻畫和解釋特定對象或現(xiàn)象的現(xiàn)實性態(tài) （七橋能否一次無重

5、復地走完的判斷與解釋）（七橋能否一次無重復地走完的判斷與解釋） ，預測對象或現(xiàn)象的未來狀況（“一筆畫問題一筆畫問題”的推廣與變式）的推廣與變式） ，提供處理對象或現(xiàn)象的優(yōu)化決策和控制方略 （“一筆畫問題一筆畫問題”原理的原理的數(shù)學模型）數(shù)學模型）。第3頁/共59頁第四頁，共59頁。( (一一) ) 關于數(shù)學模型的內涵關于數(shù)學模型的內涵(nihn)(nihn)分析與界分析與界定定 二、探討的主要二、探討的主要(zhyo)質點質點( (二二) ) 關于關于(guny)(guny)數(shù)學建模的認知與數(shù)學建模的認知與解讀解讀 數(shù)學建模作為方法與過程的統(tǒng)一體，貫穿于數(shù)學教學活動的始終，是數(shù)學認知活動的重要

6、內容，更是數(shù)學探究活動的主要方式；是數(shù)學學習的核心要素，也是數(shù)學教學的中心環(huán)節(jié)；是揭示數(shù)學本質和演繹數(shù)學思想的平臺，又是感悟數(shù)學價值和實施數(shù)學應用的載體。 數(shù)學建模，即數(shù)學模型的建構。 第4頁/共59頁第五頁，共59頁。( (一一) ) 關于關于(guny)(guny)數(shù)學模型的內涵分數(shù)學模型的內涵分析與界定析與界定 二、探討的主要二、探討的主要(zhyo)質點質點( (二二) ) 關于數(shù)學建模的認知關于數(shù)學建模的認知(rn zh)(rn zh)與解讀與解讀( (三三) ) 關于數(shù)學模型思想的理解及其教學滲透關于數(shù)學模型思想的理解及其教學滲透 數(shù)學模型思想是對數(shù)學模型與數(shù)學模型建構的本質認識。

7、 所謂思想是指客觀存在反映在人的意識中，經過思維活動而產生的結果，屬于理性認識。 有實踐就會有真知，有思考就會有卓見，實踐加思考，真知變卓見，循環(huán)誠恒之，必然成思想！有實踐就會有真知，有思考就會有卓見，實踐加思考，真知變卓見，循環(huán)誠恒之，必然成思想！ 第5頁/共59頁第六頁，共59頁。( (一一) ) 關于數(shù)學模型的內涵關于數(shù)學模型的內涵(nihn)(nihn)分析與界分析與界定定 二、探討二、探討(tnto)的主要質的主要質點點( (二二) ) 關于關于(guny)(guny)數(shù)學建模的認知與數(shù)學建模的認知與解讀解讀( (三三) ) 關于數(shù)學模型思想的理解及其教學滲透關于數(shù)學模型思想的理解及

8、其教學滲透( (四四) ) 關于數(shù)學建模教學方略的探想關于數(shù)學建模教學方略的探想 生活問題的數(shù)學化 數(shù)學應用的生活化 事物之間的相互關系； 事件發(fā)生的內在規(guī)律； 事情所蘊含的事理。 由數(shù)學模型聯(lián)想實際應用、有實際問題聯(lián)想相應的數(shù)學模型、用數(shù)學模型解釋實際問題、事件、現(xiàn)象所蘊含的原理。第6頁/共59頁第七頁，共59頁。 數(shù)學建模教學除了從數(shù)學外部獲得最初的來源和發(fā)展的原動力之外，還應當從解決數(shù)學內部矛盾的需求那里獲得資源和策動力。對于運用既有數(shù)學知識解決新的數(shù)學問題時所形成的認知沖突，直接利用數(shù)學原理、方法(fngf)與數(shù)學思維，建構新的數(shù)學模型，以化解沖突，解決問題（如在整數(shù)范圍內23的商無法

9、表示的問題，通過建立分數(shù)與除法的關系的數(shù)學模型去解決），這也是數(shù)學建模教學常用的基本方略。這也將是我們下一階段就數(shù)學模型思想及其滲透教學的主要研究內容。第7頁/共59頁第八頁，共59頁。我們我們(w men)的認識：的認識： “數(shù)學(shxu)模型”與“模型思想”是義務教育數(shù)學(shxu)課程標準賦予數(shù)學(shxu)教育的新的內涵。 在廣義數(shù)學(shxu)模型觀下，數(shù)學(shxu)是關于模型的科學，數(shù)學(shxu)體系是由一個個數(shù)學(shxu)模型與模型系統(tǒng)構成的模型體系。 對數(shù)學(shxu)的認知，就是對數(shù)學(shxu)模型及其建構方略的理解與掌握，它只有深刻到“模型”的意義上，才真正到達了

10、數(shù)學(shxu)的本質和數(shù)學(shxu)思想的層面。 “生活問題的數(shù)學(shxu)化”與“數(shù)學(shxu)應用的生活化”是學生數(shù)學(shxu)模型思想養(yǎng)成教育的基本途徑和方略。 第8頁/共59頁第九頁，共59頁。敬請期待下一期敬請期待下一期(y q)的專題沙的專題沙龍！龍！謝謝謝謝(xi xie)領導領導同仁！同仁！第9頁/共59頁第十頁，共59頁。( (一一) )關于關于(guny)(guny)數(shù)學模型的內涵分析與界數(shù)學模型的內涵分析與界定定 二、探討的主要二、探討的主要(zhyo)質點質點 一個基本數(shù)學概念就是一個相對獨立的數(shù)學模型；而一個個彼此關聯(lián)(gunlin)的概念，縱橫貫通，在一定

11、的邏輯關系下形成多元結構的概念群，便成為相對完整的數(shù)學模型系統(tǒng)。 縱向觀察分析：隨著某一數(shù)學概念的推廣與拓展，在屬種關系下，由一個屬概念派生的一個個種概念，又是一個個新的數(shù)學模型。 橫向觀察分析：伴隨著一個概念的產生，往往會有一些與之并列的概念或概念系統(tǒng)相應地生成，它們也都是一個個數(shù)學模型與模型系統(tǒng)。 在廣義數(shù)學模型觀下，數(shù)學是關于模型的科學，數(shù)學體系是由一個個數(shù)學模型與模型系統(tǒng)構成的模型體系。 第10頁/共59頁第十一頁，共59頁。( (二二) ) 關于數(shù)學關于數(shù)學(shxu)(shxu)建模的認知與解讀建模的認知與解讀 數(shù)學模型建構即數(shù)學建模，它是通過建立數(shù)學模型來描述、刻畫(khu)客觀

12、現(xiàn)實和解決實際問題的方法，也是一個有序、完整的系統(tǒng)操作（行為或思維）過程。它包括：從現(xiàn)實背景中發(fā)現(xiàn)和提出實際問題、實際問題的數(shù)學化、數(shù)學問題的模型化、運用模型求解與解釋、對解與相應模型的價值判斷、模型的變式與推廣應用等。 第11頁/共59頁第十二頁，共59頁。( (二二) ) 關于關于(guny)(guny)數(shù)學建模的認知與數(shù)學建模的認知與解讀解讀數(shù)學建?？勺鳛?zuwi)陳述性知識表征，即視作解決問題的方法。 數(shù)學(shxu)建模可作為程序性知識表征，即視作解決問題的過程。 數(shù)學建模作為方法與過程的統(tǒng)一體，貫穿于數(shù)學教學活動的始終，是數(shù)學認知活動的重要內容，更是數(shù)學探究活動的主要方式；是數(shù)學

13、學習的核心要素，也是數(shù)學教學的中心環(huán)節(jié)；是揭示數(shù)學本質和演繹數(shù)學思想的平臺，又是感悟數(shù)學價值和實施數(shù)學應用的載體。第12頁/共59頁第十三頁，共59頁。( (二二) )關于數(shù)學建模的認知關于數(shù)學建模的認知(rn zh)(rn zh)與解讀與解讀 一個數(shù)學概念常常就是一個數(shù)學模型，隨著它的拓展與推廣(tugung)，在種屬關系下所層層派生的一個個屬概念又是一個個新的數(shù)學模型。 在數(shù)學(shxu)概念下往會有相應的數(shù)學(shxu)運算、規(guī)則、法則、定律、性質等等衍生。第13頁/共59頁第十四頁，共59頁。( (三三) )關于數(shù)學模型思想關于數(shù)學模型思想(sxing)(sxing)的理解及其教學滲透

14、的理解及其教學滲透 所謂思想是指客觀存在反映(fnyng)在人的意識中，經過思維活動而產生的結果，屬于理性認識。 數(shù)學模型思想是對數(shù)學模型與數(shù)學模型建構(jin u)的本質認識。 認識來源于實踐，認識的正確與否需要實踐的檢驗。學生的數(shù)學模型思想來源于他們的數(shù)學實踐活動，來源于活動中對數(shù)學模型、模型建構及其內在必然聯(lián)系的理解與思考，親身經歷數(shù)學建模實踐是學生感悟與形成模型思想的最直接的載體和最有效的途徑。 第14頁/共59頁第十五頁，共59頁。二、探討的主要二、探討的主要(zhyo)質點質點數(shù)學史話數(shù)學史話(sh hu): 歐拉的七橋問題歐拉的七橋問題第15頁/共59頁第十六頁，共59頁。( (

15、三三) )關于數(shù)學模型思想關于數(shù)學模型思想(sxing)(sxing)的理解及其教學滲透的理解及其教學滲透 無論是作為方法還是作為過程的建模教學都具有深刻的數(shù)學教育意義，這種意義主要體現(xiàn)(txin)為對數(shù)學模型思想的滲透：對學生領悟、理解模型思想的啟迪，對學生形成、確立模型思想的促進，以及對學生理性精神的培養(yǎng)。 第16頁/共59頁第十七頁，共59頁。( (四四) )關于數(shù)學建模教學關于數(shù)學建模教學(jio xu)(jio xu)方略的探想方略的探想 數(shù)學模型的建構，一頭聯(lián)結著現(xiàn)實世界，一頭聯(lián)結著數(shù)學世界，它要對客觀事物或現(xiàn)象的本質作數(shù)學化地描述與刻畫，要在現(xiàn)實與數(shù)學之間通過(tnggu)映射、

16、反演的相互穿越，實現(xiàn)意義和理性的通達。 它應當(yngdng)是關于數(shù)學建模的方法在解決實際問題中的情境化地演繹與臨場式地習得； 它也應當是對于數(shù)學建模的過程在解決具體問題場景下的應然性地預設與原生態(tài)地生成。 第17頁/共59頁第十八頁，共59頁。( (四四) )關于數(shù)學建模教學關于數(shù)學建模教學(jio xu)(jio xu)方略的探想方略的探想 不管(bgun)是作為方法，還是作為過程的教與學的活動； 也不管是作為教師一方的應然性預設和情境化演繹，還是作為學生(xu sheng)一方的臨場式習得與原生態(tài)生成。 它都需要依賴于現(xiàn)實而具體的操作平臺和真切而實在的臨場體驗、感悟，這種平臺的搭建與場

17、域氛圍的營造，需要有一個由現(xiàn)實的生活背景、鮮活的原始素材、典型的問題情境、翔實的探究過程等作為承載與支持的載體。 第18頁/共59頁第十九頁，共59頁。( (四四) )關于數(shù)學關于數(shù)學(shxu)(shxu)建模教學方略的探想建模教學方略的探想 從數(shù)學建模的角度去考察(koch)生活，容易發(fā)現(xiàn)許多生活問題其內核和精髓，本質上就近似或類似于數(shù)學模型的原型或雛形。 1.1.生活生活(shnghu)(shnghu)問題問題的數(shù)學化的數(shù)學化 某些事物之間的相互關系 某些事件發(fā)生的內在規(guī)律 某些事情所蘊含的事理 第19頁/共59頁第二十頁，共59頁。( (四四) )關于數(shù)學建模教學關于數(shù)學建模教學(ji

18、o xu)(jio xu)方略的探想方略的探想 生活問題的數(shù)學化，讓學生(xu sheng)經歷的是將實際問題抽象成數(shù)學模型的過程，而數(shù)學應用的生活化，則是讓學生(xu sheng)經歷應用數(shù)學模型解決實際問題的過程。 2.2.數(shù)學數(shù)學(shxu)(shxu)應用的生應用的生活化活化 新知形成時； 新知應用時； 知識綜合應用中。 第20頁/共59頁第二十一頁，共59頁。三、數(shù)學三、數(shù)學(shxu)建模教學的行與思建模教學的行與思( (一一) )激活經驗儲備激活經驗儲備(chbi) (chbi) 類化提煉建類化提煉建模模 第21頁/共59頁第二十二頁，共59頁。三、數(shù)學三、數(shù)學(shxu)建模教

19、學的行與思建模教學的行與思( (一一) )激活經驗儲備激活經驗儲備(chbi) (chbi) 類化提類化提煉建模煉建模 1.1.激活生活經驗儲備激活生活經驗儲備(chbi)(chbi)，在簡約事理中建模，在簡約事理中建模第22頁/共59頁第二十三頁，共59頁。案例：案例： 有一種新款童裝，上衣每件有一種新款童裝，上衣每件9090元，褲子每條元，褲子每條6060元，元，學校學校(xuxio)(xuxio)舞蹈興趣組買來舞蹈興趣組買來8 8套，一共花了多少套，一共花了多少錢？錢？1.1.說事理說事理(shl) (shl) 先求1套童裝（1件上衣和1條褲子）的錢，再求買8套童裝一共花的錢，或先求分別

20、求出8件上衣與8條褲子的錢，再求買8套童裝一共花的錢。 第23頁/共59頁第二十四頁，共59頁。案例：案例： 有一種新款童裝，上衣每件有一種新款童裝，上衣每件9090元，褲子每條元，褲子每條6060元，元，學校舞蹈學校舞蹈(wdo)(wdo)興趣組買來興趣組買來8 8套，一共花了多少錢？套，一共花了多少錢？2.2.事理的數(shù)學事理的數(shù)學(shxu)(shxu)概括概括 （1件上衣的錢+1條褲子的錢） 套數(shù)= 一共花的錢 1件上衣的錢件數(shù)+1條褲子的錢條數(shù)= 一共花的錢 即（1件上衣的錢+1條褲子的錢）套數(shù)=1件上衣的錢件數(shù)+1條褲子的錢條數(shù) 第24頁/共59頁第二十五頁，共59頁。案例：案例：

21、有一種有一種(y zhn(y zhn) )新款童裝，上衣每件新款童裝，上衣每件9090元，元，褲子每條褲子每條6060元，學校舞蹈興趣組買來元，學校舞蹈興趣組買來8 8套，一共花了套，一共花了多少錢？多少錢？3.3.事理事理(shl)(shl)向算理向算理的嬗變的嬗變 （90+60）8=1200 ; 908+608=1200 即 （90+60）8= 908+608 第25頁/共59頁第二十六頁，共59頁。案例：案例： 有一種新款童裝有一種新款童裝(tn(tn zhun zhun) )，上衣每件，上衣每件9090元，元，褲子每條褲子每條6060元，學校舞蹈興趣組買來元，學校舞蹈興趣組買來8 8套

22、，一共花了多少套，一共花了多少錢？錢？4. 4. 算理的推廣算理的推廣(tugung) (tugung) 你能找出類似于（90+60）8= 908+608這樣的等式嗎？第26頁/共59頁第二十七頁，共59頁。案例：案例： 有一種新款童裝，上衣有一種新款童裝，上衣(shngy)(shngy)每件每件9090元，元，褲子每條褲子每條6060元，學校舞蹈興趣組買來元，學校舞蹈興趣組買來8 8套，一共花了套，一共花了多少錢？多少錢？5.5.算理的符號化算理的符號化數(shù)學模型的形成數(shù)學模型的形成(xngchng) (xngchng) 這樣的等式有多少？列舉得完嗎？你能想個辦法將它表示出來嗎？ 第27頁/共

23、59頁第二十八頁，共59頁。案例：案例： 有一種有一種(y zhn(y zhn) )新款童裝，上衣每件新款童裝，上衣每件9090元，褲子元，褲子每條每條6060元，學校舞蹈興趣組買來元，學校舞蹈興趣組買來8 8套，一共花了多少錢？套，一共花了多少錢？5.5.算理的符號化算理的符號化數(shù)學模型的形成數(shù)學模型的形成(xngchng) (xngchng) 兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，等于將這兩個數(shù)分另與一個數(shù)相乘，然后相加。 第28頁/共59頁第二十九頁，共59頁。案例：案例： 有一種新款有一種新款(xn kun)(xn kun)童裝，上衣每件童裝，上衣每件9090元，褲子每條元，褲子每條6060元，學校

24、舞蹈興趣組買來元，學校舞蹈興趣組買來8 8套，一共花了多少錢？套，一共花了多少錢？5.5.算理的符號化算理的符號化數(shù)學模型的形成數(shù)學模型的形成(xngchng) (xngchng) （a+b）c= ac+bc第29頁/共59頁第三十頁，共59頁。注意注意(zh (zh y)y)點：點： 選取的生活(shnghu)實例要典型，適切，具有代表性，蘊含的事理要鮮明、易于學生捕捉和揭示，并便于他們進行數(shù)學化處理、抽象概括和表述； 領悟的事理，用列舉(lij)實例的方式進行演繹、佐證，以及對事理作數(shù)學化推廣的環(huán)節(jié)是必不可少的； 算理的符號化表述數(shù)學表達式是數(shù)學模型的重要形式，應當盡可能多地采用。第30頁

25、/共59頁第三十一頁，共59頁。2.2.激活學習激活學習(xux)(xux)經驗儲備，在類比遷移中經驗儲備，在類比遷移中建模建模 建模教學中要充分利用學生先前獲得的認知結構、建模經驗，讓學生從既有的數(shù)學知識、技能和思想方法的遷移中類推、衍生并提煉、概括新的數(shù)學模型，把建模過程化作學生運用遷移規(guī)律(gul)進行自主探究的實踐和歷練過程。第31頁/共59頁第三十二頁，共59頁。案例案例(n (n l)l)：1.1.回溯回溯激活知識、經驗激活知識、經驗(jngyn)(jngyn)儲備，奠定遷移基儲備，奠定遷移基礎礎 師：402=？，你是怎么算的？為什么可以這樣算？生甲：是80，我用40+40，因為4

26、02表示2個40；生乙：是80，因為40是4個十，4個十乘2是8個十，8個十是80；生丙：是80，先用42得8，再添一個0得80，因為2個4是8，所以2個40就是80。第32頁/共59頁第三十三頁，共59頁。案例案例(n (n l)l)：2.2.遷移遷移尋求算理、算法尋求算理、算法(sun f)(sun f)依據(jù)，續(xù)依據(jù)，續(xù)構新的模型構新的模型師：一圈跑道400米，小明跑2圈，求他跑多少米如何列式？生：4002。師：4002又該怎樣口算呢？請大家想一想，再把自己的想法與同伴們交流交流。生：略。（上述生甲、乙、丙敘述內容的遷移）師：如果小明跑6圈，求他跑多少米又該怎樣列式呢？生：4006。師：現(xiàn)

27、在還用加法算嗎？（排除負遷移的干擾排除負遷移的干擾）生：不，太麻煩啦！師：那么，整百數(shù)乘一位數(shù)該怎樣算呢？生：先用一位數(shù)乘一位數(shù)，然后再添兩個0。（整百數(shù)乘一位數(shù)的口算模型整百數(shù)乘一位數(shù)的口算模型）第33頁/共59頁第三十四頁，共59頁。案例案例(n (n l)l)：3.3.聯(lián)想聯(lián)想(linxing)(linxing)運用拓展、延伸機制，升華運用拓展、延伸機制，升華遷移價值遷移價值 師：讀一讀下面的算式，并根據(jù)這些算式之間的聯(lián)系，把他們分分類。36=18 5700=3500 75=35 3006=1800 49=36 705=350 360=180生： 36 =18 75=35 49=36 3

28、60=180 705=350 3006=1800 7500=3500師：這樣分類的依據(jù)是什么？生：第一組在口算時都用“三六十八”這句口訣，第二組在口算時都用“五七三十五”這句口訣。第34頁/共59頁第三十五頁，共59頁。案例案例(n (n l)l)：3.3.聯(lián)想聯(lián)想運用拓展、延伸運用拓展、延伸(ynshn)(ynshn)機制，升華遷機制，升華遷移價值移價值 師：那么，類似這樣，根據(jù)49=36，你能聯(lián)想到哪些算式呢？生：409=360 、 4900=3600、 40009=36000、900004=360000 師：（小結）很好，你們憑借整十數(shù)乘一位數(shù)的經驗和自己的聰明才智，進行類推，不僅找到了

29、整百數(shù)乘一位數(shù)的口算方法，而且創(chuàng)造性地聯(lián)想到整千、整萬數(shù)的口算方法，并且算得很好，老師真是佩服你們！第35頁/共59頁第三十六頁，共59頁。( (二二) )探解認知沖突探解認知沖突(chngt) (chngt) 思辨明理建模思辨明理建模 從數(shù)學史視閾審視數(shù)學的產生與發(fā)展，其根本的動因是源于實際問題解決(jiju)的需要； 從本質屬性上去考察數(shù)學的內涵，其實質是在對客觀世界深刻認識(rn shi)的基礎上所作出的定量刻畫和定性把握； 從學生數(shù)學學習的有效機理分析，其自身內在的心里矛盾運動是最為理想的動力策源。 第36頁/共59頁第三十七頁，共59頁。 實際問題的解決與學生既有認知結構、經驗等的矛

30、盾、沖突及其由此而觸發(fā)和引生的心理的、言語和行為方面的活動，是一種推動和促進他們進行數(shù)學建模的重要的動力資源和有效的途徑、方法。 在為學生設計學習活動方案時，要圍繞他們認知過程中的認識質點的逐步推進，有層次地創(chuàng)設一些必要的認知沖突，讓他們在探解認知沖突的思辨與實踐中頓悟明理，并逐步歸納、概括建構數(shù)學模型。 第37頁/共59頁第三十八頁，共59頁。第38頁/共59頁第三十九頁，共59頁。 課題課題(kt)(kt)在沖突中在沖突中提出；提出； “ “方位方位(fngwi)”(fngwi)”在在沖突中統(tǒng)一；沖突中統(tǒng)一； 方向(fngxing)在沖突中精準； 模型在沖突中完善；模型在沖突中完善；第39

31、頁/共59頁第四十頁，共59頁。( (三三) )依托操作支撐依托操作支撐(zh chng) (zh chng) 循序遞推建循序遞推建模模 動手操作，是學生數(shù)學學習(xux)中最直接、最具體、最利于從感性向理性抽象過渡的認知、探究活動。 學習活動中，學生隨著操作思維和思維操作的交替往復，熟練程度會逐步提高，動手操作將逐漸衰減淡出，理性思維將逐步遞進攀升，頭腦中會漸漸(jinjin)地自發(fā)形成一些簡化了的、類似于條件反射式的認知聯(lián)結，并且其基本內涵與本質屬性最終會以一定的圖式來表征建構生成數(shù)學模型。 第40頁/共59頁第四十一頁，共59頁。案例案例(n l)(n l)：材料準備：每位學生7枚面積(

32、min j)1平方厘米的正方形卡片。 長方形、正方形的面積計算方法的模型長方形、正方形的面積計算方法的模型(mxng)建構建構第41頁/共59頁第四十二頁，共59頁。建模過程建模過程(guchng)(guchng)： 1.1.擺測奠基擺測奠基(dinj)(dinj)，滋生算理，滋生算理生： （待大家擺好后集體交流）1行擺3個，擺了2行，一共擺了32=6（個），面積就是6平方厘米。 出示長方形（長3厘米，寬2厘米）：第42頁/共59頁第四十三頁，共59頁。2.2.設疑引探，推算設疑引探，推算(tu sun)(tu sun)遂就遂就生： 我有辦法了！第一行擺5個，還有2個這樣豎著擺，就可以知道（推

33、算出）能擺3行，一共擺53=15（個），面積是15平方厘米。 出示長方形（長5厘米，寬3厘米）：第43頁/共59頁第四十四頁，共59頁。生：不用擺了，根據(jù)圖中的格點能想到：（師引述：沿長的方向）一行(yxng)可以擺4個，（師引述：沿寬的方向）正好可以擺3行，一共能擺43=12（個），面積是12平方厘米。 3.3.引發(fā)引發(fā)(yn f)(yn f)聯(lián)想，棄擺從算聯(lián)想，棄擺從算出示 1厘米第44頁/共59頁第四十五頁，共59頁。 生：95=45（平方厘米） 4.4.循序循序(xnx)(xnx)遞推，確立遞推，確立算法算法出示5厘米9厘米第45頁/共59頁第四十六頁，共59頁。5.5.強算蓄勢，因勢

34、建模強算蓄勢，因勢建模 長 寬 面積（1） 7厘米 4厘米 ？（生：28平方厘米）（2） 10厘米 8厘米 ？（生：80平方厘米）第46頁/共59頁第四十七頁，共59頁。6.6.變式體驗，完善變式體驗，完善(wnshn)(wnshn)建構建構 長 寬 面積（1） 9厘米(l m) 5厘米(l m) ？（45平方厘米(l m)）（2） 8分米 4分米 ？（32平方分米） （3） 10分米 7分米 ？（70平方分米）（4） 6米 4米 ？（24平方米）（5） 5米 5米 ？（25平方米）第47頁/共59頁第四十八頁，共59頁。注意注意(zh (zh y)y)點：點：1. 操作僅僅是實施建模的一種前

35、期手段，操作的最終目的卻是為了(wi le)退出操作； 2. 操作的目的與意圖光是教師清楚還遠遠不夠，還要設法通過滲透、啟發(fā)和借助情境的刺激、催化作用，將教學(jio xu)（操作）的目的轉化為學生的學習（操作）心理驅動，并內化為全體學生共同意識； 3. . 所有的操作要以建模目標主線貫穿成鏈，主旨鮮明。操作內容的選擇和組織要切合學生學習基礎和建模的實際需要；操作目標和要求要具體明確；操作方式要簡單方法要易行，既要尊重學生的選擇，又要服從建模的需要。 第48頁/共59頁第四十九頁，共59頁。( (四四) )遵循數(shù)理邏輯遵循數(shù)理邏輯 據(jù)理據(jù)理(j l)(j l)分類分類建模建模 數(shù)理邏輯(shl

36、-lu j) 分類是數(shù)學上常用的方法，也是數(shù)學自身發(fā)展的一條重要途徑和主要的方式、方法之一，有許許多多(x x du du)新的數(shù)學知識就是通過對既有知識的進一步分類而分離或分化出來的。 分離：方程就是以“式子等式含有未知數(shù)的等式”這樣的序鏈進行分類，從“式子”這一數(shù)學概念中分離出來的新的數(shù)學分支。 分化：小數(shù)就是從分母是10、100、1000這類分數(shù)中分化出來的關于“數(shù)”的新的分支。第49頁/共59頁第五十頁，共59頁。 以新知識產生的背景為基礎，運用數(shù)理邏輯通過分類建構新知模型的方法，是學生追溯數(shù)學知識的本源(bnyun)、把握數(shù)學知識的內涵、領悟數(shù)學知識的本質和生成新的數(shù)學認識建構新的數(shù)學模型的重要途徑與方法，它對于學生弄懂數(shù)學知識的來龍去脈、搞清數(shù)學知識間的邏輯關系和厘定數(shù)學概念的內涵與外延，具有十分重要的作用。 第50頁/共59頁第五十一頁，共59頁。 運用邏輯分類的方法幫助學生