隱函數(shù)及參數(shù)方程的求導方法,高階導數(shù)ppt課件

1、例例 1 設方程設方程 x2 + y2 = R2(R 為常數(shù)為常數(shù))確定函確定函數(shù)數(shù) y = y(x)， .ddxy求求解解 在方程兩邊求微分，在方程兩邊求微分，d(x2 + y2 ) = dR2，即即2xdx + 2ydy = 0.由此，當由此，當 y 0 時解得時解得，yxxy dd或或.yxyx 例例 2 設方程設方程 y + x exy = 0 確定了函數(shù)確定了函數(shù) y = y(x)，.xy 求求解解 方程兩邊求微分，得方程兩邊求微分，得d(y + x exy) = d0，即即dy + dx - dexy = 0，dy + dx exy(xdy + ydx ) = 0.當當 1 - x

2、exy 0 時，解得時，解得，xyxyxyxye11edd 即即.e11exyxyxxyy 例例 3 求曲線求曲線 x2 + y4 = 17 在在 x = 4 處對應于曲處對應于曲線上的點的切線方程線上的點的切線方程.解解 方程兩邊求微分，得方程兩邊求微分，得2xdx + 4y3dy = 0，得得).0(2dd3 yyxxy 即對應于即對應于 x = 4 有兩個縱坐標，這就是說曲線上有兩個點有兩個縱坐標，這就是說曲線上有兩個點 P1(4, 1) 和和 P2(4, - 1).將將 x = 4 代入方程，得代入方程，得 y = 1.在在 P1 處的切線斜率處的切線斜率 y|(4,1)= - 2，y

3、 1 = - 2(x - 4) 即即 y + 2x 9 = 0在點在點 P2 處的切線方程為處的切線方程為y + 1 = 2(x - 4)，即，即 y - 2x + 9 = 0 在在 P2 處切線的處切線的斜率斜率 y|(4, - 1) = 2.所以，在點所以，在點 P1 處的切線方程為處的切線方程為補證反三角函數(shù)的導數(shù)公式：補證反三角函數(shù)的導數(shù)公式：設設 y = arcsin x，那么，那么 x = sin y，兩邊對，兩邊對 x 求微分，得求微分，得dx = cos ydy，.cos1yy 時時，因因為為22 ycos y 取正號，取正號，.1sin1cos22xyy 所所以以.11)(a

4、rcsin2xx 參數(shù)方程，它的普通方式為參數(shù)方程，它的普通方式為. )()(Ittfytx區(qū)區(qū)間間， 對方程對方程 兩邊求微分，得兩邊求微分，得dy = f (t)dt，同樣對方程同樣對方程 兩邊求微分，得兩邊求微分，得dx = (t)dt，得得,d)(d)(ddttttfxy 即即.)()(ttfyx 例例 4設參數(shù)方程設參數(shù)方程 tbytaxsincos ， ( (橢圓方程橢圓方程) )確確定了函數(shù)定了函數(shù) y = y(x)y = y(x)，.ddxy求求解解 dx = - a sin tdt， dy = bcos tdt ，所以所以.cotdsindcosddtabttattbxy 3

5、 t解解 與與 對應的曲線上的點為對應的曲線上的點為 ,21,233 aaP dy = asin t dt ， dx = a(1 cos t)dt ，例例 5求擺線求擺線 (a 為常數(shù)為常數(shù)) 在對應于在對應于 時曲線上點的切線方程時曲線上點的切線方程 . )cos1( )sin(tayttax，3 t點點 P 處的切線方程為處的切線方程為. 233321 aaxay所以所以. 3dd,cos1sindd3 txyttxy例例 6 設炮彈與地平線成設炮彈與地平線成 a 角，初速為角，初速為 v0 射出，射出，假設不計空氣阻力，以發(fā)射點為原點，假設不計空氣阻力，以發(fā)射點為原點， 地平線為地平線為

6、 x 軸，過原點垂直軸，過原點垂直 x 軸方向上的直線為軸方向上的直線為 y 軸軸(如圖如圖).由物理學知道它的運動方程為由物理學知道它的運動方程為 .21sin,cos200gttvytvx 求求(1)炮彈在時辰炮彈在時辰 t 時的速度大小與方向，時的速度大小與方向， (2)(2)假設假設中彈點與以射點同在一程度線上，求炮彈的射程中彈點與以射點同在一程度線上，求炮彈的射程. . yOx中彈點中彈點解解 (1)炮彈的程度方向速度為炮彈的程度方向速度為 .cosdd0 vtxvx 炮彈的垂直方向速度為炮彈的垂直方向速度為，gtvtyvy sindd0yOx中彈點中彈點VxVy所以，在所以，在 t

7、 時炮彈速度的大小為時炮彈速度的大小為，2202022sin2|tggtvvvvvyx 它的位置是在它的位置是在 t 時所對應的點處的切線上，且沿炮時所對應的點處的切線上，且沿炮彈的前進方向，其斜率為彈的前進方向，其斜率為(2)(2)令令 y = 0 y = 0，得中彈點所對應的時辰，得中彈點所對應的時辰 ，gvt sin200 .2sin200 gvxt 所所以以射射程程.cossindd00 vgtvxy 解兩邊取對數(shù)，得解兩邊取對數(shù)，得， )2ln()1ln()1ln(231ln xxxy兩邊求微分，兩邊求微分， xxxxxxyyd21d11d11231d1例例 7 設設.,)2)(1(

8、)1(2yxxxy 求求3所以所以.21111231dd xxxyxyy.211112)2)(1()1(3132 xxxxxx例例 8設設 y = (tan x)x，求，求 y .解解lny = xln(tan x) = x(lnsin x - lncos x)xxxxxxyyd)coslnsin(ln)coslnsin(lndd1 ， d)coslnsin(lndcossindsincosxxxxxxxxxxx 所以所以 xxxxxxyxyycossinlntancotdd).tanlntancot()(tanxxxxxxx 假設可以對函數(shù)假設可以對函數(shù) f(x) 的導函數(shù)的導函數(shù) f (x

9、) 再求導，再求導，所得到的一個新函數(shù)，所得到的一個新函數(shù)， 稱為函數(shù)稱為函數(shù) y = f(x) 的二階導數(shù)，的二階導數(shù)，.dd22xy記作記作 f (x) 或或 y 或或如對二階導數(shù)再求導，那如對二階導數(shù)再求導，那么稱三階導數(shù)，么稱三階導數(shù)，.dd33xy記作記作 f (x) 或或 四階或四階以上導四階或四階以上導數(shù)記為數(shù)記為 y(4)，y(5)， ，y(n),dd44xy,ddnnxy或或 ， 而把而把 f (x) 稱為稱為 f (x) 的一階導數(shù)的一階導數(shù).例例 9設設 y = ex，求，求 y(n).y = ex，y = ex， ，y(n) = ex .解解例例 10設設 y = ln

10、(1 + x) . 求求 y(0)，y(0)， y(0)， ，y(n)(0). ，xy 11解解，21)1)(1()1( xxy；1)0( y；1)0( y，3)1)(2)(1( xy；! 2)2()1()0( y,)1)(3)(2)(1(4)4( xy；! 3)1()3)(2)(1()0(3)4( y,)1)(1()3)(2)(1()(nnxny )1()2)(1()0()( nyn)!.1()1(1 nn例例 11設設 y = sin x ，.ddnnxy求求解解， 2sincosdd xxxy， 22sin2cosdd22 xxxy， 23sin22cosdd33 xxxy. 2sind

11、d nxxynn函數(shù)函數(shù) z = f ( x , y ) 的兩個偏導數(shù)的兩個偏導數(shù)),(yxfxzx ),(yxfyzy 普通說來依然是普通說來依然是 x , y 的函數(shù)，的函數(shù)， 假設這兩個函數(shù)關于假設這兩個函數(shù)關于 x , y 的偏導數(shù)也存在，的偏導數(shù)也存在， 那么稱它們的偏導數(shù)是那么稱它們的偏導數(shù)是 f (x , y)的二階偏導數(shù)的二階偏導數(shù).按照對變量的不同求導次序，按照對變量的不同求導次序，二階偏導數(shù)有四二階偏導數(shù)有四個：個： xzxxzx22xz ),(yxfxx ;xxz xzyxzyyxz 2),(yxfxy ;xyz yzxyzxxyz 2),(yxfyx ;yxz yzyy

12、zy22yz ),(yxfyy .yyz 其中其中 及及 稱為二階混合偏導數(shù)稱為二階混合偏導數(shù).),(yxfxy ),(yxfyx 類似的，可以定義三階、四階、類似的，可以定義三階、四階、 、n 階偏導數(shù)，階偏導數(shù)，二階及二階以上的偏導數(shù)稱為高階偏導數(shù)，二階及二階以上的偏導數(shù)稱為高階偏導數(shù)，),(,),(yxfyyxfx而稱為函數(shù)稱為函數(shù) f ( x , y ) 的一階偏導數(shù)的一階偏導數(shù).例例 12 求函數(shù)求函數(shù) 的一切二階偏導數(shù)的一切二階偏導數(shù).yxxyzsin2 解解,sin2yxyxz 因為因為,cos2yxxyz 所以所以22xz )sin2(yxyx ,sin2y yxz 2)sin

13、2(yxyy ,cos21yx 22yz )cos(2yxxy ,sin2yx xyz 2)cos(2yxxx .cos21yx 本例中本例中 ，yxz 2xyz 2=這不是偶爾的，這不是偶爾的， 有下述有下述定理：定理：定理定理 假設函數(shù)假設函數(shù) z = f (x , y) 在區(qū)域在區(qū)域 D 上兩個二上兩個二階混合偏導數(shù)階混合偏導數(shù) 、 延續(xù)，延續(xù)，yxz 2xyz 2 那么在區(qū)域那么在區(qū)域 D 上有上有.22xyzyxz 即當二階混合偏導數(shù)在區(qū)域即當二階混合偏導數(shù)在區(qū)域 D 上延續(xù)時，上延續(xù)時， 求導結果求導結果與求導次序無關，與求導次序無關，證明從略證明從略.這個定理也適用于三這個定理也適用于三元及三元以上的函數(shù)元及三元以上的函數(shù).例例 1313,arctanxyz 設設試求試求yxz 2xyz 2，.解解2211xyxyxz ,22yxy xxyyz1112 ,22yxx 222yxyyyxz22222)()20()()()1(yxyyyx ,)(22222yxxy 222yxxxxyz22222)()02()