數(shù)值分析誤差學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1數(shù)值數(shù)值(shz)分析誤差分析誤差第一頁(yè)，共44頁(yè)。2 數(shù)值分析是做什么用的？數(shù)值分析是做什么用的？數(shù)值數(shù)值分析分析輸入復(fù)雜問(wèn)題或運(yùn)算輸入復(fù)雜問(wèn)題或運(yùn)算.),(,)(,ln,xfdxddxxfbxAxaxbax 計(jì)算機(jī)計(jì)算機(jī)近似解近似解第2頁(yè)/共44頁(yè)第二頁(yè)，共44頁(yè)。3 研究對(duì)象研究對(duì)象 那些在理論上有解而又無(wú)法手工那些在理論上有解而又無(wú)法手工(shugng)計(jì)算的數(shù)學(xué)問(wèn)題計(jì)算的數(shù)學(xué)問(wèn)題 例例 解解300階的線性方程組階的線性方程組 求求6階矩陣階矩陣(j zhn)的全部特征值的全部特征值第3頁(yè)/共44頁(yè)第三頁(yè)，共44頁(yè)。4主要主要(zhyo)內(nèi)容內(nèi)容 數(shù)值數(shù)值(shz)代數(shù)代數(shù)近似

2、求解線性方程組近似求解線性方程組 (直接解法直接解法, 迭代解法迭代解法)矩陣特征值的計(jì)算矩陣特征值的計(jì)算 數(shù)值數(shù)值(shz)逼近：逼近：插值法，函數(shù)逼近插值法，函數(shù)逼近 數(shù)值微分與數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分與數(shù)值積分 微分方程近似求解微分方程近似求解 非線性方程求解非線性方程求解 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 偏微分方程數(shù)值解法偏微分方程數(shù)值解法第4頁(yè)/共44頁(yè)第四頁(yè)，共44頁(yè)。5第一章第一章 誤差誤差(wch)2 絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差(xin du w ch)和有效數(shù)字和有效數(shù)字3 數(shù)值計(jì)算數(shù)值計(jì)算(j sun)中誤差的傳播中誤差的傳播4 數(shù)值計(jì)算中應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題數(shù)值計(jì)算中

3、應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題1 誤差的來(lái)源誤差的來(lái)源 第5頁(yè)/共44頁(yè)第五頁(yè)，共44頁(yè)。61 誤差誤差(wch)的來(lái)源的來(lái)源 誤差按來(lái)源誤差按來(lái)源(liyun)可分為：可分為： 模型誤差模型誤差 觀測(cè)誤差觀測(cè)誤差 截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差 舍入誤差舍入誤差第6頁(yè)/共44頁(yè)第六頁(yè)，共44頁(yè)。7 模型誤差模型誤差 數(shù)學(xué)模型通常是由實(shí)際問(wèn)題抽象得到的，一數(shù)學(xué)模型通常是由實(shí)際問(wèn)題抽象得到的，一般般(ybn)帶有誤差，這種誤差稱(chēng)為模型誤差帶有誤差，這種誤差稱(chēng)為模型誤差. 觀測(cè)誤差觀測(cè)誤差 數(shù)學(xué)模型中包含的一些數(shù)學(xué)模型中包含的一些(yxi)物理參數(shù)通物理參數(shù)通常是通過(guò)觀測(cè)和實(shí)驗(yàn)得到的，難免帶有誤差，這種誤差常是通過(guò)觀測(cè)和實(shí)驗(yàn)

4、得到的，難免帶有誤差，這種誤差稱(chēng)為觀測(cè)誤差稱(chēng)為觀測(cè)誤差. 截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差 求解數(shù)學(xué)模型所用求解數(shù)學(xué)模型所用(su yn)的數(shù)值的數(shù)值方法通常是一種近似方法，這種因方法產(chǎn)生的誤差稱(chēng)方法通常是一種近似方法，這種因方法產(chǎn)生的誤差稱(chēng)為截?cái)嗾`差或方法誤差為截?cái)嗾`差或方法誤差.第7頁(yè)/共44頁(yè)第七頁(yè)，共44頁(yè)。8 543251413121)1ln(xxxxxx實(shí)際實(shí)際(shj)計(jì)算時(shí)只能截取有限項(xiàng)代數(shù)和計(jì)算，如取前計(jì)算時(shí)只能截取有限項(xiàng)代數(shù)和計(jì)算，如取前5項(xiàng)有：項(xiàng)有：5141312112ln 這里產(chǎn)生這里產(chǎn)生(chnshng)誤差誤差 (記作記作R5 )截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差 8171615R例如，利用例如，利

5、用 ln(x+1) 的的Taylor公式公式(gngsh)計(jì)算計(jì)算 ln2,第8頁(yè)/共44頁(yè)第八頁(yè)，共44頁(yè)。9 舍入誤差舍入誤差 由于計(jì)算機(jī)只能對(duì)有限位數(shù)進(jìn)由于計(jì)算機(jī)只能對(duì)有限位數(shù)進(jìn)行行, e原則保留有限位，這時(shí)產(chǎn)生的誤差稱(chēng)為原則保留有限位，這時(shí)產(chǎn)生的誤差稱(chēng)為舍入誤舍入誤差差。, 231等都要按舍入等都要按舍入運(yùn)算，在運(yùn)算中像運(yùn)算，在運(yùn)算中像在數(shù)值在數(shù)值(shz)分析中，均假定數(shù)學(xué)模型是準(zhǔn)確的，因而分析中，均假定數(shù)學(xué)模型是準(zhǔn)確的，因而不考慮模型誤差和觀測(cè)誤差，只討論截?cái)嗾`差和舍入誤不考慮模型誤差和觀測(cè)誤差，只討論截?cái)嗾`差和舍入誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響差對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響.第9頁(yè)/共44頁(yè)第九頁(yè)，共

6、44頁(yè)。10 設(shè)設(shè)x* 是準(zhǔn)確值是準(zhǔn)確值x 的一個(gè)的一個(gè)(y )近似值，記近似值，記e=x x*稱(chēng)稱(chēng) e為近似值為近似值 x* 的絕對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱(chēng)誤差的絕對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱(chēng)誤差.絕對(duì)誤差一般很難準(zhǔn)確計(jì)算絕對(duì)誤差一般很難準(zhǔn)確計(jì)算(j sun), 但可以估計(jì)上界但可以估計(jì)上界. 絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差(ju du w ch)則稱(chēng)則稱(chēng) 為近似值為近似值 x* 的的絕對(duì)誤差限絕對(duì)誤差限，簡(jiǎn)稱(chēng)誤差限，簡(jiǎn)稱(chēng)誤差限. 若若 滿(mǎn)足滿(mǎn)足 |e2 絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和有效數(shù)字絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和有效數(shù)字第10頁(yè)/共44頁(yè)第十頁(yè)，共44頁(yè)。11例例 用毫米用毫米(ho m)刻度的米尺測(cè)量一長(zhǎng)度刻度的米尺測(cè)量一長(zhǎng)度 x, 如讀如讀

7、出的長(zhǎng)度是出的長(zhǎng)度是 x*=765 mm, 由于誤差限是由于誤差限是 0.5 mm, 故故準(zhǔn)確值準(zhǔn)確值.mm5 .765,mm5 .764 x 精確精確(jngqu)值值x , 近似值近似值 x* 和誤差限和誤差限 之之間滿(mǎn)足：間滿(mǎn)足：通常通常(tngchng)記為記為 *xxx *xx 第11頁(yè)/共44頁(yè)第十一頁(yè)，共44頁(yè)。12 絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差(ju du w ch)有時(shí)并不能完全地反有時(shí)并不能完全地反映近似值的好壞，如測(cè)量映近似值的好壞，如測(cè)量 100 m 和和 10 m 兩個(gè)長(zhǎng)度兩個(gè)長(zhǎng)度，若它們的絕對(duì)誤差，若它們的絕對(duì)誤差(ju du w ch)都是都是 1 cm，顯然前者的測(cè)量結(jié)果比

8、后者的準(zhǔn)確顯然前者的測(cè)量結(jié)果比后者的準(zhǔn)確. 因此，決定一個(gè)量的近似值的精確度，除了要因此，決定一個(gè)量的近似值的精確度，除了要看絕對(duì)誤差看絕對(duì)誤差(ju du w ch)外，還必須考慮該量外，還必須考慮該量本身的大小本身的大小.第12頁(yè)/共44頁(yè)第十二頁(yè)，共44頁(yè)。13稱(chēng)稱(chēng) er 為近似值為近似值 x* 的的相對(duì)誤差相對(duì)誤差. 記記,*xxxxeer 由于由于 x 未知，實(shí)際使用時(shí)總是未知，實(shí)際使用時(shí)總是(zn sh)將將 x* 的相的相對(duì)誤差取為對(duì)誤差取為*xxxxeer .|rre 相對(duì)誤差相對(duì)誤差(xin du w ch) 稱(chēng)為近似值稱(chēng)為近似值x*的的相對(duì)誤差限相對(duì)誤差限. |*| xr

9、第13頁(yè)/共44頁(yè)第十三頁(yè)，共44頁(yè)。14例例 設(shè)設(shè) x*=1.24是由精確值是由精確值 x 經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)(jnggu)四舍五入得四舍五入得到的近似值到的近似值, 求求x*的絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限的絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限.由已知可得由已知可得:所以所以(suy) =0.005,245. 1235. 1 x%.4 . 024. 1005. 0 r 解解 一般地一般地, 凡是由準(zhǔn)確值經(jīng)過(guò)四舍五入得到的近似凡是由準(zhǔn)確值經(jīng)過(guò)四舍五入得到的近似值值, 其絕對(duì)誤差限等于其絕對(duì)誤差限等于(dngy)該近似值末位的半該近似值末位的半個(gè)單位個(gè)單位.第14頁(yè)/共44頁(yè)第十四頁(yè)，共44頁(yè)。15有有 位有效數(shù)字，精確到小

10、數(shù)點(diǎn)后第位有效數(shù)字，精確到小數(shù)點(diǎn)后第 位位* 有效數(shù)字有效數(shù)字(yu xio sh z) 若近似值若近似值 x*滿(mǎn)足滿(mǎn)足 則稱(chēng)則稱(chēng) x*準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第n位位. 并把從第一個(gè)非零數(shù)字到并把從第一個(gè)非零數(shù)字到這一位的所有數(shù)字均稱(chēng)為這一位的所有數(shù)字均稱(chēng)為有效數(shù)字有效數(shù)字.,1021|*|nxx 1415.3*.;8979321415926535.3 例例：?jiǎn)枺簡(jiǎn)枺?有幾位有效數(shù)字？有幾位有效數(shù)字？* 31050* .|解：解：43第15頁(yè)/共44頁(yè)第十五頁(yè)，共44頁(yè)。16例例 已知下列近似值的絕對(duì)誤差限都是已知下列近似值的絕對(duì)誤差限都是0.005, 問(wèn)問(wèn)它們它們(t men)具有幾

11、位有效數(shù)字具有幾位有效數(shù)字? a=12.175, b=0.10, c=0.1, d=0.0032由于由于(yuy)0.0050.5102,解解所以所以(suy)a 有有4位有效數(shù)字位有效數(shù)字1, 2, 1,7; b 有有2位有效數(shù)字位有效數(shù)字1, 0;c 有有1位有效數(shù)字位有效數(shù)字1;d 沒(méi)有有效數(shù)字沒(méi)有有效數(shù)字.第16頁(yè)/共44頁(yè)第十六頁(yè)，共44頁(yè)。17數(shù)數(shù)x*總可以寫(xiě)成如下形式總可以寫(xiě)成如下形式.10. 0*21mnaaax x* 作為作為x的近似值的近似值, 具有具有n位有效數(shù)字當(dāng)且僅當(dāng)位有效數(shù)字當(dāng)且僅當(dāng)nmxx 1021*其中其中m是整數(shù)是整數(shù), ai是是0到到9中的一個(gè)數(shù)字中的一個(gè)數(shù)

12、字,. 01 a由此可見(jiàn)由此可見(jiàn), 近似值的有效數(shù)字近似值的有效數(shù)字(yu xio sh z)越多越多, 其絕對(duì)其絕對(duì)誤差越小誤差越小. 有效數(shù)字的另一等價(jià)有效數(shù)字的另一等價(jià)(dngji)定義定義第17頁(yè)/共44頁(yè)第十七頁(yè)，共44頁(yè)。18故取故取 n=6，即取，即取 6 位有效數(shù)字位有效數(shù)字(yu xio sh z). 此時(shí)此時(shí) x*=1.41421.解解則近似值則近似值x*可寫(xiě)為可寫(xiě)為由于由于 ,414. 12 ,10. 0*121 naaax. 011 a51101021*2 nx令令例例 為了為了(wi le)使使 的近似值的絕對(duì)誤差小于的近似值的絕對(duì)誤差小于105，問(wèn)應(yīng)取幾位有效數(shù)字？

13、，問(wèn)應(yīng)取幾位有效數(shù)字？2 x第18頁(yè)/共44頁(yè)第十八頁(yè)，共44頁(yè)。19 相對(duì)誤差限與有效數(shù)字相對(duì)誤差限與有效數(shù)字(yu xio sh z)之間的關(guān)系之間的關(guān)系.111211021.021010.01050 nnmnnmra.aaa.a.x* 有效數(shù)字有效數(shù)字(yu xio sh z) 相對(duì)誤差限相對(duì)誤差限已知已知 x* =0.a1a2an10m有有 n 位有效數(shù)字位有效數(shù)字(yu xio sh z)，則其相對(duì)誤差限為，則其相對(duì)誤差限為第19頁(yè)/共44頁(yè)第十九頁(yè)，共44頁(yè)。20nmmnmnr.aaa.aaxxx 105010)1()1(21010.0)1(210|*|*|11112111 相對(duì)誤

14、差相對(duì)誤差(xin du w ch)限限 有效數(shù)字有效數(shù)字1110)1(21 nra已知已知 x* 的的相對(duì)誤差限相對(duì)誤差限可寫(xiě)為可寫(xiě)為則則可見(jiàn)可見(jiàn) x* 至少至少(zhsho)有有 n 位有效數(shù)字位有效數(shù)字.第20頁(yè)/共44頁(yè)第二十頁(yè)，共44頁(yè)。21 基本運(yùn)算基本運(yùn)算(yn sun)中中( )的誤差估計(jì)的誤差估計(jì),105 . 0|414. 12|3 ,105 . 0|236. 25|3 問(wèn)問(wèn)?|414. 1236. 225| ?236. 2414. 152 3 數(shù)值計(jì)算數(shù)值計(jì)算(j sun)中誤差中誤差的傳播的傳播如如第21頁(yè)/共44頁(yè)第二十一頁(yè)，共44頁(yè)。22例例 計(jì)算計(jì)算 A=f (x1

15、, x2). 如果如果x1, x2的近似值為的近似值為 x1*, x2*, 則則A的近似值為的近似值為 A*=f (x1*, x2*), 用多元用多元函數(shù)函數(shù)(hnsh)微分近似公式可以得到微分近似公式可以得到*)(*)*,(*)(*)*,(*)(*)*,(*)(*)*,(*)*,(),(*)(2221112122221111212121xexxxfxexxxfxxxxxfxxxxxfxxfxxfAAAe 絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差(ju du w ch) e 運(yùn)算可近似看成微分運(yùn)算運(yùn)算可近似看成微分運(yùn)算.第22頁(yè)/共44頁(yè)第二十二頁(yè)，共44頁(yè)。23由此可以得到由此可以得到(d do)基本運(yùn)算中基本運(yùn)算

16、中( )的誤差估計(jì)的誤差估計(jì),),()()(2121xexexxe 和差的誤差和差的誤差(wch)限不超過(guò)各數(shù)的誤限不超過(guò)各數(shù)的誤差差(wch)限之和限之和.| )(| )(| )(|2121xexexxe 第23頁(yè)/共44頁(yè)第二十三頁(yè)，共44頁(yè)。24)()()()()(212121211221xexexxxexxxxexxxerrr ),()()(211221xexxexxxe | )(| )(| )(|2121xexexxerrr 乘法相對(duì)誤差乘法相對(duì)誤差(xin du w ch)限不超過(guò)各數(shù)相對(duì)誤差限不超過(guò)各數(shù)相對(duì)誤差(xin du w ch)限之和限之和.第24頁(yè)/共44頁(yè)第二十四頁(yè)，

17、共44頁(yè)。25,)()(22211221xxexxexxxe ).()()()(211222211221xexexxxxexxexxxerrr 乘除相對(duì)誤差乘除相對(duì)誤差(xin du w ch)限不超過(guò)各數(shù)相對(duì)誤差限不超過(guò)各數(shù)相對(duì)誤差(xin du w ch)限之和限之和. | )(| )(|2121xexexxerrr 第25頁(yè)/共44頁(yè)第二十五頁(yè)，共44頁(yè)。26例例 設(shè)設(shè) y=xn, 求求 y 的相對(duì)誤差的相對(duì)誤差(xin du w ch)與與 x 的相對(duì)誤差的相對(duì)誤差(xin du w ch)之間的關(guān)系之間的關(guān)系.解解)()()(1xenxxeyenn )()()()()(1xnexxe

18、nxxenxyyeyernnr 所以所以(suy)xn 的相對(duì)誤差是的相對(duì)誤差是 x 的相對(duì)誤差的的相對(duì)誤差的n倍倍.x2的相對(duì)誤差是的相對(duì)誤差是 x 的相對(duì)誤差的的相對(duì)誤差的 2 倍倍,x的相對(duì)誤差的相對(duì)誤差(xin du w ch)是是 x 的相對(duì)誤差的相對(duì)誤差(xin du w ch)的的 1/2 倍倍.第26頁(yè)/共44頁(yè)第二十六頁(yè)，共44頁(yè)。27 算法算法(sun f)的數(shù)值穩(wěn)定性的數(shù)值穩(wěn)定性 一種數(shù)值算法一種數(shù)值算法, 如果如果(rgu)其計(jì)算舍入誤差積其計(jì)算舍入誤差積累是可控制的累是可控制的, 則稱(chēng)其為數(shù)值穩(wěn)定的則稱(chēng)其為數(shù)值穩(wěn)定的, 反之稱(chēng)為數(shù)反之稱(chēng)為數(shù)值不穩(wěn)定的值不穩(wěn)定的.第27

19、頁(yè)/共44頁(yè)第二十七頁(yè)，共44頁(yè)。28 101dxexIxnn利用分部積分法可得計(jì)算利用分部積分法可得計(jì)算(j sun)In的的遞推公式遞推公式, 2 , 11, 1 nnIInn例例 計(jì)算計(jì)算(j sun)積分積分算法算法(sun f)1： 1010dxeIx, 2 , 11, 1 nnIInn6321. 0632120558. 011 e由此遞推計(jì)算由此遞推計(jì)算 I1, I2, , I9.解解第28頁(yè)/共44頁(yè)第二十八頁(yè)，共44頁(yè)。291 , 2 , 8 , 9, )1(11 nInInn 10109919110110dxxIdxexe取近似值取近似值,0684. 0)10110(2119

20、 eI由此計(jì)算由此計(jì)算(j sun) I8, I7, , I0.并將計(jì)算公式改寫(xiě)并將計(jì)算公式改寫(xiě)(gixi)為為算法算法(sun f)2：此時(shí)此時(shí)10121|1*99 eII.0316. 0 第29頁(yè)/共44頁(yè)第二十九頁(yè)，共44頁(yè)。30InI0I1I2I3I4I5I6I7I8I9算法算法(sun f)10.63210.36790.26420.20740.17040.14800.11200.21600.72807.5520算法算法(sun f)20.63210.36790.26420.20730.17090.14550.12680.11210.10350.0684真值真值0.63210.36790.26420.20730.17090.14550.12680.11240.10090.0916第30頁(yè)/共44頁(yè)第三十頁(yè)，共44頁(yè)。31 對(duì)任何對(duì)任何 n都應(yīng)有都應(yīng)有In0, 但算法但算法1的計(jì)算結(jié)果顯示的計(jì)算結(jié)果顯示I8 (n+1)n!當(dāng)當(dāng)n=25時(shí)時(shí), 在每秒百億次乘除運(yùn)算計(jì)算機(jī)上求解時(shí)間為在每秒百億次乘除運(yùn)算計(jì)算機(jī)上求解時(shí)間為