二次函數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)講義

1、百度文庫 - 讓每個(gè)人平等地提升自我精銳教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義12講義編號學(xué)員編號：年 級：九年級課時(shí)數(shù)： 3學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師：課題二次函數(shù)的應(yīng)用授課日期及時(shí)段2013 年 10 月 12 日 17:30 19:30教學(xué)目的總結(jié)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)知識點(diǎn)與學(xué)習(xí)二次函數(shù)的常規(guī)各種應(yīng)用題解法。教學(xué)內(nèi)容相關(guān)概念及定義二次函數(shù)的概念：一般地，形如 y ax2 bx c( a，b，c是常數(shù)， a 0 )的函數(shù)，叫做二次 函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù) a 0，而 b，c 可以為零二次函 數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)二次函數(shù) y ax2 bx c 的結(jié)構(gòu)特征： 等號左邊是函數(shù)，右

2、邊是關(guān)于自變量 x 的二次式， x 的最高次數(shù)是 2 a，b，c是常數(shù)， a是二次項(xiàng)系數(shù)， b是一次項(xiàng)系數(shù)， c 是常數(shù)項(xiàng)二次函數(shù)各種形式之間的變換次 函 數(shù) y ax2 bx c 用 配 方 法 可 化 成 ： yaxh2b 4ac b2h ， k .2a 4a二次函數(shù)由特殊到一般2 y a x h ； y a可分為以下幾種形式：2ax 2 bxh 2 k ；yc.ax2ax 2 k ；二次函數(shù)解析式的表示方法 一般式： 頂點(diǎn)式：2ax bx c ( a ，2a(x h)2 k ( a，b， c 為常數(shù)， h， k為常數(shù)，0)；0)；兩根式： y a(x x1)(x x2)( a 0，x1，

3、 x2是拋物線與 x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo))? 注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成 交點(diǎn)式，只有拋物線與 x軸有交點(diǎn)， 即b2 4ac 0時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示 次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化 .2四、 二次函數(shù) y a(x h) k 的圖像和性質(zhì)a>0a<0圖象yO x百度文庫 - 讓每個(gè)人平等地提升自我開口對稱軸頂點(diǎn)坐標(biāo)最值當(dāng) x時(shí)， y 有最值當(dāng) x 時(shí)， y 有最值增 減 性在對稱軸左側(cè)y隨 x的增大而y 隨 x 的增大而在對稱軸右側(cè)y隨 x的增大而y隨 x的增大而五、 拋物線 y ax bx c 的三要素：開口方向

4、、對稱軸、頂點(diǎn) .? a 的符號決定拋物線的開口方向：當(dāng) a 0 時(shí)，開口向上；當(dāng) a 0時(shí)，開口向下；a 相等，拋物線的開口大小、形狀相同 .? 對稱軸：平行于 y 軸（或重合）的直線記作 x b . 特別地， y 軸記作直線 x 0.2ab 4ac b2? 頂點(diǎn)坐標(biāo)： （ ， ）2a 4a? 頂點(diǎn)決定拋物線的位置 . 幾個(gè)不同的二次函數(shù)， 如果二次項(xiàng)系數(shù) a 相同， 那么拋物線的開口方 向、開口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同 .a越大，開口越小，圖像兩邊越靠近y 軸， a越小，開口越大， ?圖像兩邊越靠近 x 軸當(dāng) b 0時(shí)， b 0 ，即拋物線的對稱軸就是 y 軸 2a六、當(dāng) c 0

5、時(shí)，拋物線與當(dāng) c 0 時(shí)，拋物線與當(dāng) c 0 時(shí)，拋物線與y 軸的交點(diǎn)在 x 軸上方，即拋物線與 y 軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與 y 軸的交點(diǎn)在 x 軸下方，即拋物線與y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 0 ； y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式22? 一般式： y ax2 bx c . 已知圖像上三點(diǎn)或三對 x 、 y 的值，通常選擇一般式 .? 頂點(diǎn)式： y a x h 2 k. 已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式 .? 交點(diǎn)式：已知圖像與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo) x1、 x2 ，通常選用交點(diǎn)式： y a x x1 x x2 七、 直線與拋物線的交點(diǎn)情況可

6、以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定 ： 有兩個(gè)交點(diǎn) 0 拋物線與 x 軸相交；有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在 x軸上） 0 拋物線與 x 軸相切；沒有交點(diǎn) 0 拋物線與 x 軸相離 .平行于 x 軸的直線與拋物線的交點(diǎn)可能有 0 個(gè)交點(diǎn)、 1 個(gè)交點(diǎn)、 2 個(gè)交點(diǎn) . 當(dāng)有 2 個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為k ，則橫坐標(biāo)是 ax2 bx c k 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 .拋 物線 與 x 軸 兩 交 點(diǎn)之 間的 距離 ： 若 拋物線 y ax2 bx A x1，0 ，c 與 x 軸兩 交 點(diǎn) 為x1 x2B x2，0 ，由于 x1、 b,x1 x2a2x2 是方程 ax2 bx c 0 的兩個(gè)根，故

7、ABax1 x2x1 x24x1x2c2b24cx1x2b2 4acaa百度文庫 - 讓每個(gè)人平等地提升自我八、 二次函數(shù)圖象的平移? 平移步驟：2 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式 y a x h 2 k ，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo) h ，k ； 保持拋物線 y ax2 的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到 h ，k 處，具體平移方法如下：y=a2x向上（k>0）【或向（下k<0】） 平移|k|個(gè)單位2y=a2x+ky=a(x-h)2向右（h>0【） 或左（h<0】） 平移 |k|個(gè)單位向右（h>0【） 或左（h<0】） 平移|k|個(gè)單位向右（h>0【） 或左（h<0】

8、） 平移|k|個(gè)單位向上（k>0【） 或下（k<0】）平移|k|個(gè)單位向上（k>0【） 或下（k<0】） 平移|k|個(gè)單位 y=a（x-h）2+k33平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上 “h值正右移，負(fù)左移； k 值正上移，負(fù)下移 ” 概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減” 二、典例精析 例 1、投擲、跳水問題 一位運(yùn)動(dòng)員在距籃下 4 米處跳起投籃，球運(yùn)行的路線是拋物線，當(dāng)球運(yùn)行的水 平距離為米時(shí)，達(dá)到最大高度米，然后準(zhǔn)確落入籃圈。已知籃圈中心到地面的 距離為米。（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求拋物線的解析式；（2）該運(yùn)動(dòng)員身高米，在這次跳投中，球在頭頂上方米處出手，問：球出手

9、時(shí)，他跳離地面的高度是多少？【課堂訓(xùn)練】 1、在體育測試時(shí)，初三的一名高個(gè)子男同學(xué)推鉛球，已知鉛球所經(jīng)過的路線是某個(gè)二次函數(shù)圖像 的一部分， 如圖所示， 如果這個(gè)男同學(xué)的出手處 A 點(diǎn)的坐標(biāo) （0，2）， 鉛球路線的最高處 B 點(diǎn)的坐標(biāo)為 （6， 5）（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）該 男 同 學(xué) 把 鉛 球 推 出 去 多 遠(yuǎn) ？百度文庫 - 讓每個(gè)人平等地提升自我2、某跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行 10 米跳臺跳水訓(xùn)練時(shí)，身體（看成一點(diǎn)）在空中的運(yùn)動(dòng)路線是如圖所示坐標(biāo)系 下經(jīng)過原點(diǎn) O的一條拋物線（圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)為已知條件）. 在跳某個(gè)規(guī)定動(dòng)作時(shí)，正常情況下，該運(yùn)動(dòng)員在空中的最高處距水面 米，入水處

10、距池邊的距離為 4 米，運(yùn)動(dòng)員在距水面高度為 5 米以前， 必須完成規(guī)定的翻騰動(dòng)作，并調(diào)整好入水姿勢，否則就會(huì)出現(xiàn)失誤 .（1）求這條拋物線的解析式；（ 2）在某次試跳中，測得運(yùn)動(dòng)員在空中的運(yùn)動(dòng)路線是（1）中的拋物線，且運(yùn)動(dòng)員在空中調(diào)整好入水姿勢時(shí)，距池邊的水平距離為 米，問此次跳水會(huì)不會(huì)失誤？ 并通過計(jì)算說明理由45例 2、營銷中的最值問題某商場購進(jìn)一批單價(jià)為 16 元的日用品，經(jīng)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，若按每件20 元的價(jià)格銷售時(shí)，每月能賣 360件，若按每件 25 元的價(jià)格銷售時(shí)，每月能賣 210 件，假定每月銷售件數(shù) y（件）是價(jià)格 x（元 /件）的一次函 數(shù)（1）試求 y 與 x 之間的關(guān)系式；

11、（2）在商品不積壓，且不考慮其他因素的條件下，問銷售價(jià)格定為多少時(shí)，才能使每月獲得最 大利潤？每月的最大利潤是多少？（件），與1、 某商場以每件 42 元的價(jià)錢購進(jìn)一種服裝，根據(jù)試銷得知：這種服裝每天的銷售量每件的銷售價(jià)（元 /件）可看成是一次函數(shù)關(guān)系：1.寫出商場賣這種服裝每天的銷售利潤與每件的銷售價(jià) 之間的函數(shù)關(guān)系式（每天的銷售利潤是指所賣出服裝的銷售價(jià)與購進(jìn)價(jià)的差） ；2.通過對所得函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行配方，指出：商場要想每天獲得最大的銷售利潤，每件的銷售價(jià) 定為多少最為合適；最大銷售利潤為多少？2、某服裝經(jīng)銷商甲，庫存有進(jìn)價(jià)每套 400元的 A 品牌服裝 1200套，正常銷售時(shí)每套 600元

12、， 每月可買出 100 套，一年內(nèi)剛好賣完，現(xiàn)在市場上流行 B 品牌服裝，此品牌服裝進(jìn)價(jià)每套 200 元，售 出價(jià)每套 500 元，每月可買出 120 套（兩套服裝的市場行情互不影響） 。目前有一可進(jìn) B 品牌的機(jī)會(huì)，百度文庫 - 讓每個(gè)人平等地提升自我若這一機(jī)會(huì)錯(cuò)過，估計(jì)一年內(nèi)進(jìn)不到這種服裝，可是，經(jīng)銷商手頭無流動(dòng)資金可用，只有低價(jià)轉(zhuǎn)讓 A 品牌服裝，經(jīng)與經(jīng)銷商乙協(xié)商，達(dá)成協(xié)議，轉(zhuǎn)讓價(jià)格（元/套）與轉(zhuǎn)讓數(shù)量（套）有如下關(guān)系：轉(zhuǎn)讓數(shù)量（套） 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 價(jià)格（元 /套） 240 250 260 270 2

13、80 290 300 310 320 330 340 350 方案 1：不轉(zhuǎn)讓 A 品牌服裝，也不經(jīng)銷 B 品牌服裝； 方案 2：全部轉(zhuǎn)讓 A 品牌服裝，用轉(zhuǎn)讓來的資金購 B 品牌服裝后，經(jīng)銷 B 品牌服裝； 方案 3：部份轉(zhuǎn)讓 A 品牌服裝，用轉(zhuǎn)讓來的資金購 B 品牌服裝后，經(jīng)銷 B 品牌服裝，同時(shí)經(jīng) 銷A 品牌服裝。問：經(jīng)銷商甲選擇方案 1 與方案 2 一年內(nèi)分別獲得利潤各多少元？ 經(jīng)銷商甲選擇哪種方案可以使自己一年內(nèi)獲得最大利潤？若選用方案3，請問他轉(zhuǎn)讓給經(jīng)銷商乙的 A 品牌服裝的數(shù)量是多少（精確到百套）？此時(shí)他在一年內(nèi)共得利潤多少元？例 3 過河問題如圖，有一座拋物線型拱橋，在正常水位

14、時(shí)水面 AB的寬是 20 米，如果水位上升 3 米時(shí)，水面 CD 的寬為 10 米，（ 1） 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求此拋物線的解析式；（ 2）現(xiàn)有一輛載有救援物質(zhì)的貨車從甲地出發(fā)， 要經(jīng)過此橋開往乙地， 已知甲地到此橋 280千米， （橋長忽略不計(jì)）貨車以每小時(shí) 40 千米的速度開往乙地，當(dāng)行駛到 1 小時(shí)時(shí)，忽然接到緊急通知，前 方連降大雨，造成水位以每小時(shí)米的速度持續(xù)上漲， （貨車接到通知時(shí)水位在 CD處），當(dāng)水位達(dá)到橋拱 最高點(diǎn) O 時(shí)，禁止車輛通行；試問：汽車按原來速度行駛，能否安全通過此橋？若能，請說明理由；例 4動(dòng)點(diǎn)問題如圖，矩形 ABCD 中， AB=6cm ，AD=3cm

15、 ，點(diǎn) E在邊 DC 上，且 DE=4cm 動(dòng)點(diǎn) P從點(diǎn) A 開始沿著 A? B? C? E的路線以 2cm/s的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn) Q從點(diǎn) A開始沿著 AE 以1cm/s的速度移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn) Q 移動(dòng)到點(diǎn) E時(shí)，點(diǎn) P停止移動(dòng)若點(diǎn) P、 Q同時(shí)從點(diǎn) A 同時(shí)出發(fā)，設(shè)點(diǎn) Q移動(dòng)時(shí)間為 t（ s）， P、Q兩 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路線與線段 PQ 圍成的圖形面積為 S（cm2），求 S與 t 的函數(shù)關(guān)系式56百度文庫 - 讓每個(gè)人平等地提升自我已知：如圖在 Rt ABC 中，斜邊 AB 5厘米， BC a厘米， AC b厘米， a>b，且 a、b是方 程 x2 （m 1）x m 4 0 的兩根。 求a 和 b的

16、值； ABC 與 ABC開始時(shí)完全重合，然后讓ABC固定不動(dòng)，將 ABC 以 1厘米/秒的速度沿 BC 所在的直線向左移動(dòng)。 設(shè) x 秒后 ABC 與 ABC 的重疊部分的面積為 y 平方厘米，求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式 ,并 寫出 x 的取值范圍； 幾秒后重疊部分的面積等于 3 平方厘米？8例 5幾何中的最值問題 1、星光中學(xué)課外活動(dòng)小組準(zhǔn)備圍建一個(gè)矩形生物苗圃園，其中一邊靠墻，另外三邊用長為30 米的籬笆圍成已知墻長為 18 米（如圖所示） ，設(shè)這個(gè)苗圃園垂直于墻的一邊的長為x 米（1）若平行于墻的一邊長為 y 米，直接寫出 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式及其自變量 x 的取值范圍； （2

17、）垂直于墻的一邊的長 為多少米時(shí)，這個(gè)苗圃園的面積最大，并求出這個(gè)最大值；（3）當(dāng)這個(gè)苗圃園的面積不小于 88 平方米時(shí)，試結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出 x 的取值范圍用長度一定的不銹鋼材料設(shè)計(jì)成外觀為矩形的框架（如圖 123 中的一種）設(shè)豎檔 AB=x米， 請根據(jù)以上圖案回答下列問題： （題中的不銹鋼材料總長度均指各圖中所有黑線的長度和，所有橫 檔和豎檔分別與 AD、AB 平行）（1）在圖 1中，如果不銹鋼材料總長度為 12米，當(dāng) x 為多少時(shí)，矩形框架 ABCD的面積為 3 平方米？（ 4 分）（2）在圖 2中，如果不銹鋼材料總長度為 12米，當(dāng) x 為多少時(shí)，矩形框架 ABCD的面積 S最 大

18、？最大面積是多少？（ 4 分）（3）在圖 3中，如果不銹鋼材料總長度為 a米，共有 n 條豎檔，那么當(dāng) x 為多少時(shí)，矩形框 架 ABCD的面積 S 最大？最大面積是多少？1 2 3第 23 題圖）67百度文庫 - 讓每個(gè)人平等地提升自我【備選習(xí)題】1.某公司生產(chǎn)的 A種產(chǎn)品，它的成本是 2元，售價(jià)是 3元，年銷售量為 100 萬件，為了獲得更好的效 益，公司準(zhǔn)備拿出一定的資金做廣告。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，每年投入的廣告費(fèi)是x（十萬元）時(shí)，產(chǎn)品的年銷售量將是原銷售量的 y倍，且 y是 x的二次函數(shù)，它們的關(guān)系如下表：x（十萬元）012y1（1）求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式；（ 2）如果把利潤看作是銷售總額

19、減去成本費(fèi)和廣告費(fèi)，試寫出年利潤S（十萬元）與廣告費(fèi) x（十萬元）的函數(shù)關(guān)系式；（ 3）如果投入的年廣告費(fèi)為 1030 萬元，問廣告費(fèi)在什么范圍內(nèi)，公司獲得的年利潤隨廣告費(fèi) 的增大而增大？2、某化工材料經(jīng)銷公司購進(jìn)了一種化工原料共7000 千克，購進(jìn)價(jià)格為每千克 30 元。物價(jià)部門規(guī)定其銷售單價(jià)不得高于每千克 70 元，也不得低于 30 元。市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：單價(jià)定為 70 元時(shí)，日均銷售 60 千克；單價(jià)每降低 1 元，日均多售出 2 千克。在銷售過程中，每天還要支出其它費(fèi)用 500 元（天數(shù)不 足一天時(shí)，按整天計(jì)算） 。設(shè)銷售單價(jià)為 x 元，日均獲利為 y 元。（1）求 y關(guān)于 x 的二次函數(shù)

20、關(guān)系式，并注明 x的取值范圍；2）將（ 1）中所求出的二次函數(shù)配方成b2y a(x 2ba)24ac b24a 的形式，寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；在圖2所78示的坐標(biāo)系中畫出草圖；觀察圖象，指出單價(jià)定為多少元時(shí)日均獲得最多，是多少？（3）若將這種化工原料全部售出，比較日均獲利最多和銷售單價(jià)最高這兩種銷售方式，哪一種獲總利 較多，多多少？3. 用長 8m的鋁合金條制成如圖 3 形狀的矩形窗框， 使窗戶的透光面積最大，百度文庫 - 讓每個(gè)人平等地提升自我t(月)89-2-3那么這個(gè)窗戶的最大透光面積是（64 2 m A) 2542 m B) 382 m C) 32D) 4m24、某商場以每件 30 元的價(jià)格購

21、進(jìn)一種商品， 每天的銷量 （件）與每件的銷售價(jià) （元）滿足一次函數(shù)：（1）寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤間 的函數(shù)數(shù)關(guān)系式 .（2）如果商場要想每天獲得最大的銷售利潤，每件商品的售價(jià)定為多少 最合適？最大銷售利潤為多少？試銷中發(fā)現(xiàn)， 這種商品與每件的銷售價(jià)5、如圖，一邊靠學(xué)校院墻，其它三邊用40 米長的籬笆圍成一個(gè)矩形花圃，設(shè)矩形米，面積為 平方米 .（1）求：（2）設(shè)矩形的邊米 2 時(shí)， 的值； 米，如果 滿足關(guān)系式與 之間的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)?shù)倪吳蟠它S金矩形的長和寬 .小結(jié)】課后練習(xí)】1. 一自動(dòng)噴灌設(shè)備的噴流情況如圖所示，設(shè)水管 處有一自動(dòng)旋轉(zhuǎn)的噴水頭，一瞬間流出的水流是拋物線狀，噴頭

22、 高點(diǎn) C連線成 45 角，水流最高點(diǎn) C比噴頭高 2 米，求水流落點(diǎn)即矩形成黃金矩形，BA(O)AB 在高出地面 1.5米的 B B 與水流最 D到 A 點(diǎn)的距離。D x3. 某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品， 面的二次函數(shù)圖象（部分）刻畫了該公司年初以來累積利潤 銷售時(shí)間 t （月）之間的關(guān)系（即前 t 個(gè)月的利潤總和 根據(jù)圖象提供的信息，解答下列問題：（ 1）由已知圖象上的三點(diǎn)坐標(biāo)，求累積利潤s（萬元）間 t （月）之間的函數(shù)關(guān)系式；年初上市后，s（萬元）與 s與 t 之間的關(guān)系） 4公司經(jīng)歷了從虧損到盈利的過程 下與時(shí)s（萬元 ）132O-1百度文庫 - 讓每個(gè)人平等地提升自我2）求

23、截止到幾月末公司累積利潤可達(dá)到30 萬元；3）求第 8 個(gè)月公司所獲利潤是多少萬元？4. 華聯(lián)商場以每件 30 元購進(jìn)一種商品， 試銷中發(fā)現(xiàn)每天的銷售量 y（件） 與每件的銷售價(jià) x（元） 滿足一次函數(shù) y=162-3x.（ 1）寫出商場每天的銷售利潤 w（元）與每件的銷售價(jià) x（元）的函數(shù)關(guān)系式； （2）如果商場要想獲得最大利潤，每件商品的銷售價(jià)定為多少為最合適？最大銷售利潤為多少？6. 某商場經(jīng)營一批進(jìn)價(jià)為 2元的小商品，在市場營銷中發(fā)現(xiàn)日銷售單價(jià) x 元與日銷售量 y 件有如 下關(guān)系：x35911y181462（1）預(yù)測此商品日銷售單價(jià)為元時(shí)的日銷售量；（2）設(shè)經(jīng)營此商品日銷售利潤（不考慮其他因素）為p 元，根據(jù)銷售規(guī)律，試求日銷售利潤 p 元與銷售單價(jià) x 元之間的函數(shù)關(guān)系式，問日銷售利潤 p 是否存在最大值或最小值？若有，試求出；若無， 請說明理由；7. 某瓜果基地市場部為指導(dǎo)該基地某種蔬菜的生產(chǎn)和銷售， 在對歷年市場行銷和生產(chǎn)情況進(jìn)行了