課件第2章矩陣

1、-1-2.2 可可逆矩陣逆矩陣2.3 分塊分塊矩陣矩陣學習要點學習要點1. 熟練熟練掌握矩陣的代數(shù)運算：矩陣的加法；掌握矩陣的代數(shù)運算：矩陣的加法；矩陣的數(shù)乘；矩陣的乘法；矩陣的轉(zhuǎn)置等。矩陣的數(shù)乘；矩陣的乘法；矩陣的轉(zhuǎn)置等。 2. 掌握逆矩陣的定義、可逆矩陣的性質(zhì)、矩陣掌握逆矩陣的定義、可逆矩陣的性質(zhì)、矩陣可逆的充分必要條件?？赡娴某浞直匾獥l件。 3. 熟練掌握逆矩陣的求法熟練掌握逆矩陣的求法-初等行變換法。初等行變換法。 4. 掌握分塊矩陣的運算，了解矩陣常用的分塊掌握分塊矩陣的運算，了解矩陣常用的分塊方法。方法。-3- 矩陣的加法矩陣的加法nmijnmijbBaA )(,)( mnmnmm

2、mmnnnnbababababababababa221122222221211112121111BA def 矩陣的數(shù)乘矩陣的數(shù)乘RkaAnmij ,)(Ak mnmmnnkakakakakakakakaka212222111211defkA-4-A mnmmnnijaaaaaaaaaa212222111211)(defdef)( BABA 特別特別-5-5 1 AA( )6AA( ) ()() 7AAA( ) ()8ABAB( )()ABBA 交換律：交換律：)1( CBACBA )2(結(jié)合律：結(jié)合律： OAA )4(AOA )3(-6-例例1,501431,312201 BABA23 求求

3、 936603 134261 1002862 BA23解：解：-7- njmi, 2 , 1;, 2 , 1 smijaA )(nsijbB )(nmijcC )( skkjiksjisjijibabababa12211defijcnssmBA defnmC smmsmjmisijisjaaaaaaaaaA 111111nssnsjsinijinjababbbbbbB 111111 矩陣的乘法矩陣的乘法-8-222263422142 C22 16 32 816? 106861985123321不存在不存在 123321 132231 .10 21322 12 22 12 22 13 23 .6

4、34242 例例2-9-例例3 0321,1111,1111CBA 11111111AB 11111111BA 03211111AC2Adef AA 11111111 2222 0000 2222 0000?BAAB ?CBACAB OBA?orOAOB ?2OAOA -10-例例4 321321,xxxxxx232221xxx 321321,xxxxxx 232313322212312121xxxxxxxxxxxxxxx：上式：上式=0的充要條件是什么？的充要條件是什么？-11-4333731120854121111 44431111731120854121 43731120854121 4

5、3731120854121 例例5)(AEEAEAAEnnmnmm ：E在矩陣乘法中的作用在矩陣乘法中的作用-12-有了矩陣的乘法，有了矩陣的乘法，方程組的矩陣表示形式方程組的矩陣表示形式對應(yīng)可以用矩陣形式表示為對應(yīng)可以用矩陣形式表示為 AX B ，其中，其中B 。b1b2 bmA ，a11a21 am1a12a22 am2 a1na2n amnX ，x1x2 xn(|)AA B 稱為方程組的稱為方程組的增廣矩陣增廣矩陣對應(yīng)齊次方程組可用矩陣形式表示為對應(yīng)齊次方程組可用矩陣形式表示為 AX O ) 1 (22112222212111212111 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxa

6、bxaxaxa) 2(000221122221211212111 nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa-13- BCACAB 1 ,3ACABCBA CABAACB BABAAB 2證證(1): 記記qpijpnijnmijcCbBaA )(,)(,)(qnijpmijvVBCuUAB )(,)(矩陣矩陣都是都是與與qmBCACAB )()( pkkjnllkilpkkjikcbacujiCAB111)(),()(元元的的元元的的),()()(111jiBCAvacbanlljilnlpkkjlkil -14- 方陣的冪方陣的冪設(shè)設(shè)A是是n階方陣，階方陣，定義定義111121

7、,AAAAAAAAkk 規(guī)定規(guī)定EA 0mmAaAaEaAf 10)(稱稱 為為A的的m次多項式次多項式。mmxaxaaxf 10)(設(shè)設(shè) 為為x的的m次多項式，次多項式，lklkAAA kllkAA )()()()()(AfAgAgAf -15-例例6舉例說明舉例說明222)()1(BAAB 2222)()2(BABABA )()3(22BABABA 0110,0001BA 000000100010)(2AB 0001000100012A 001001100001AB 1001011001102B 0001222ABAABBA 010000010110因因下一例題說明下一例題說明(2)(3)

8、不成立。不成立。-16-例例72222)()1(BABABA )()2(22BABABA 成立的充要條件是成立的充要條件是(即即AB=BA)。2222)()1(BABABA 222)(BABABABA 2222BABABABBAABA BAAB )()2(22BABABA BAABBBAABABA 2222-17-100,001001AA求求設(shè)設(shè) 例例9 0001000100100100102BOB 0100100001003BEA 010010-18-nnnnnnnnBACBACBACBA01100)( nnnnnnnnnCCC 000112211當當A與與B可交換時，有下面二項展開式可交換

9、時，有下面二項展開式稱為稱為數(shù)量矩陣數(shù)量矩陣，它與任何方陣可交換。，它與任何方陣可交換。E 0000000002211nnnnnnnCnn 222110)()()()(BECBECECBEAnnnnnnnn -19- 矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置 把矩陣把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到的新的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做矩陣，叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT。,65432132 A23635241 TA,321 x).3,2,1( Tx如如 ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB -20-,102324171,231102 BA .TAB求求例例10 10232

10、4171231102AB 1013173140 1031314170TAB TTTABAB 213012131027241.1031314170 !)()(3323無意義無意義 TTBA-21-例例11 1021A 312101B 210112CBAABCTTTT )2(求求BABACBAABCTTTTTT 2)2( 3121011201210112BACT 304011514101210112-22-例例12TTTA ,)2 , 1, 2(,)1 , 2 , 1(101A求求 2124242122 , 1, 2121A )(2TTATT )(TTTA )()(101 T )( T 21212

11、 , 1, 2 T100ATT1001002)()( -23-(1) TnTnbbbaaa),(,),(2121 nnnnTbabababbbaaa 22112121, TTTTT )(是一個數(shù)，從而是一個數(shù)，從而 nnnnTbababaaaabbb 22112121, (2)TTTTTTTTA )()()()(2 ?-24-例例 已知已知100111222 ,.333AA 求求提示提示: 111122221113333A T 方法同上可得方法同上可得100999911166222 .333TA-25-.601086160為對稱陣為對稱陣例如例如 A設(shè)設(shè) A 為為 n 階方陣，如果滿足階方陣，

12、如果滿足 A = AT , 即即, 則稱則稱 A 為為.),2,1,(njiaajiij 假設(shè)假設(shè) A , B 都是都是 n 階對稱矩陣，顯然階對稱矩陣，顯然 kA , A+B 都是對稱矩陣。但都是對稱矩陣。但 AB 不一定是對稱矩陣。不一定是對稱矩陣。例如例如 0022,1111,1111ABBA對稱陣的元素以對稱陣的元素以主對角線為對稱主對角線為對稱軸對應(yīng)相等軸對應(yīng)相等-26-例例14證明證明且且設(shè)設(shè),1,),(21 TTnxxxTEH2 .EHHT 是對稱矩陣，且是對稱矩陣，且例例13 設(shè)設(shè) ，證明，證明 和和 分別是分別是n階和階和m階階nmA AATTAA對稱矩陣。對稱矩陣。AAAA

13、AATTTTTT )()(HEEEHTTTTTTTT 2)(2)2()2)(2(2TTTEEHHH EETTTT )(422-27-反對稱矩陣反對稱矩陣:如果如果則矩陣則矩陣A稱為稱為。,AAaaTjiij 即即-28-2.2 可可逆矩陣逆矩陣2.3 分塊分塊矩陣矩陣-29-對于對于n階矩陣階矩陣A, 如果有一個如果有一個n階矩陣階矩陣B, 使得使得則說矩陣則說矩陣A是是的的, 并把矩陣并把矩陣B稱為稱為A的的.EBAAB 例例 設(shè)設(shè),21212121,1111 BA,EBAAB .的一個逆矩陣的一個逆矩陣是是AB例例 設(shè)設(shè)2003A 11/2001/3A 一、可逆矩陣的定義一、可逆矩陣的定義

14、-30- naaaA21 112111naaaA1200A 它的逆矩陣存在嗎？它的逆矩陣存在嗎？結(jié)論結(jié)論-31-假設(shè)假設(shè)結(jié)論：結(jié)論：,abAcd 若若 ，則，則A可逆且可逆且0adbc11dbAadbcca 0112A如如可可逆逆Abdac 01 211021101A-32-設(shè)設(shè)B、C都是都是A的逆，則的逆，則B=BE=BAC=EC=CAB=BA=E AC=CA=E從而，從而，如果如果A可逆，則可逆，則A的逆矩陣是唯一的。的逆矩陣是唯一的。證明：證明：-33-AAAA 111)(,)1(且且可逆可逆可逆可逆111)(,0,)2( AkkAkAkA且且可逆可逆可逆可逆111)(,)3( ABAB

15、ABBA且且可逆可逆同階可逆同階可逆TTTAAAA)()(,)4(11 且且可逆可逆可逆可逆(P34)二、可逆矩陣的性質(zhì)二、可逆矩陣的性質(zhì)-34-注：注：111)( BABA111)(1002,0002,200110011001 CACACACABABACBA可逆，但可逆，但可逆，可逆，不可逆不可逆可逆，但可逆，但，例如：例如：BAX 有惟一解，且解可表示為有惟一解，且解可表示為 階方陣，階方陣，n設(shè)設(shè) A是是如果如果A可逆，可逆，則線性方程組則線性方程組.1BAX 定理定理2.2-36- ;5104023211120111112 X .1125103241230111111120111113

16、 X ;412341511 X解矩陣方程解矩陣方程例例-37- 把單位矩陣分別作第一、第二、第三種初等把單位矩陣分別作第一、第二、第三種初等行變換得到的矩陣分別稱為行變換得到的矩陣分別稱為。E),(jiEjirr 記號記號)( kiEirkE)(,(kjiEjikrr E三、用初等變換法求逆矩陣三、用初等變換法求逆矩陣-38- 1000100013kr k000100013kc 100010001)(3(kE 10001000113krr 10010001k31kcc 100010001)( 1 , 3(kE 10001000131rr 001010100 10001000131cc)3 ,

17、1(E-39- 初等矩陣都是可逆的，且其逆矩陣仍是初等矩陣都是可逆的，且其逆矩陣仍是同一種初等矩陣。同一種初等矩陣。),(),(1jiEjiE )()(11kiEkiE )(,()(,(1kjiEkjiE ?010100001010100001 ?1000/1000110000001 kk?1001000110010001 kk可作如下驗證：可作如下驗證：-40-計算計算1112121222313231 0 0(1) 000 0 1nnnaaakaaaaaa 111212122231323nnnaaakakakaaaa 11122122313210(2) 010001kaaaaaa111213

18、212223313233100(3)001010bbbbbbbbb111312212322313332bbbbbbbbb 32123111kaakaa 2212aa2313aa-41-() P36 20082008100010101987654321100001010 720089674200865412008321計算計算-42- n階方陣階方陣A可逆的充要條件是可逆的充要條件是A可經(jīng)過有限次初可經(jīng)過有限次初等行變換化成單位矩陣。等行變換化成單位矩陣。 即即n階方陣階方陣A可逆的充要條件是可逆的充要條件是A行等價于單位行等價于單位矩陣矩陣E。 定理定理2.3推論推論2.1 (1)方陣可逆的充

19、要條件是可以分解為有限個初等方陣可逆的充要條件是可以分解為有限個初等矩陣的乘積矩陣的乘積 (2) 方陣方陣A可逆的充要條件齊次線性方程組可逆的充要條件齊次線性方程組 OAX 只有零解；只有零解； (3) 方陣方陣A可逆的充要條件非齊次線性方程組可逆的充要條件非齊次線性方程組 BAX 有惟一解。有惟一解。 -44- (1) n 階方陣階方陣A可逆的可逆的充分必要條件充分必要條件是是A可可以表示為若干個初等矩陣的乘積。以表示為若干個初等矩陣的乘積。推論推論2.1證明證明 必要性必要性 由定理，知由定理，知 ,即存在初等矩陣即存在初等矩陣AE 12,sP PP 21,sPP PAE ，使得，使得 1

20、1112112ssAPP PP PP 又因為初等矩陣可逆，則等號兩邊左乘又因為初等矩陣可逆，則等號兩邊左乘 121sPP P 初等矩陣的逆矩陣仍為初等矩陣，故得證。初等矩陣的逆矩陣仍為初等矩陣，故得證。充分性充分性-45-設(shè)設(shè) 即有初等矩陣即有初等矩陣 使得使得EArlPPP,21EAPPPl 12問問 1A? EAP1 EPAP11作一次行變換作一次行變換再作一次行變換再作一次行變換 EAPP12 EPPPAPPPll1212繼續(xù)繼續(xù) EAPPPl12 EPPAPP1212考慮對考慮對 作行變換作行變換 EAE1 A1rEA -46-. ,343122321 1 AA求求設(shè)設(shè) 解解 1036

21、20012520001321 100343010122001321EA213123rrrr 3212r rr r 例例4-47- 111100012520011201 111100563020231001.111253232311 A10013235010322001111 132325rrrr 23( 2)( 1)rr -48-練習練習：用初等行變換求可逆矩陣：用初等行變換求可逆矩陣A的逆矩陣的逆矩陣 100111010211001120,EA 10011100112001021121rrA 021021112112111111-49- 11010000112001021113rr23132

22、110012020111001011rrrr 212110012111010222001011r 121 0 01/23/25/20 1 0 1/21/21/20 0 1011r r 1102121212523211A-50-2. 若作初等行變換時若作初等行變換時,出現(xiàn)出現(xiàn)全行為全行為0，則矩陣的則矩陣的行列式等于行列式等于0。結(jié)論：。結(jié)論：矩陣不可逆矩陣不可逆!1. 求逆時求逆時,若用初等行變換必須堅持始若用初等行變換必須堅持始 終終,不不能夾雜任何列變換能夾雜任何列變換.注：注：另：另：利用初等行變換求逆矩陣的方法，還可用于求利用初等行變換求逆矩陣的方法，還可用于求 矩陣矩陣1.A B 2

23、12121(|)(|)lllPP P A BPP P A PP P B1(|)EA B 11 (|)(|)AA BE A B 24412422321321321xxxxxxxxx, bAx 提示提示：該方程組可記為：該方程組可記為bAx 有唯一解為有唯一解為bAx1 21436320446261 2211212661思考思考：如何利用逆矩陣解下列線性方程組：如何利用逆矩陣解下列線性方程組因為因為A可逆，則方程組可逆，則方程組其中其中.414211212 A-52-.341352,343122321 , BABAXX，其中，其中使使求矩陣求矩陣解解.1BAXA 可逆，則可逆，則若若方法方法1：先

24、求出先求出 ，再計算，再計算 。1A 1A B 方法方法2：直接求直接求 。1A B 1()()ABEAB 初等行變換初等行變換例例5-53-132325rrrr 1232r rr r 213123rrrr 343431312252321)(BA 1226209152052321 311009152041201 31100640202300113223 .13XA B 23( 2)( 1)rr ， 311003201023001-54-矩陣方程矩陣方程 AX=B (假設(shè)假設(shè) A 可逆可逆)，如何求解？，如何求解？：先求：先求 ，再計算，再計算1 ABAX1 ：, XEBArBAX1 則則：求：

25、求 ，再計算，再計算1 A1 BAXXA=B (假設(shè)假設(shè) A 可逆可逆) ？rTTTABEX BXATTTBXA ：,130231,3512,343122321 CBA設(shè)設(shè).CAXBX 使其滿足使其滿足求矩陣求矩陣且且都存在都存在,11 BA例例6解解用初等行變換可以判斷用初等行變換可以判斷,25131 B,222563462211 ACAXB 由由 1111CBAAXBBA11 CBAX 251313023122256346221 2513202011 41041012-57- 100110111A 200020102BBABAAXAXB 22解矩陣方程解矩陣方程解解BABAAXAXB 22

26、BEBAEBAX )()(2BEBAXA )(BAEBAX1)( DC例例7-58- 200020102100110111BA 200220322100010001r 222322C 101101DTTTCAXDCDAX )()( 223101022010002001TTCD 225100022010002001r-59-FAXT 225222)( 222522111111TFAX 333613-60-2131 2123 402rrA E EA 1301210011021 1021200113011221 00 1rr 1103 1A 110102 1120 1 例例8 將矩陣將矩陣A表示成初

27、等矩陣的乘積表示成初等矩陣的乘積1234A 解解2121 20 1r 方陣方陣A可逆可逆的的充分必要條件充分必要條件是存在方陣是存在方陣B 使得使得.EBA 證明證明 必要性顯然必要性顯然, , 取取 1BA 即可。即可。 下面證明充分性。下面證明充分性。 即證明即證明：若：若,EBA OAX 只有零解。只有零解。 則則即即.OA 兩邊左乘兩邊左乘B B： BAuBOO ,EuO 由由 EBA 可知可知即即uO 矛盾！充分性得證。矛盾！充分性得證。 反證法反證法, , 設(shè)設(shè) OAX 有非零解有非零解 , u方陣方陣A A可逆的充分必要條件是存在方陣可逆的充分必要條件是存在方陣B B 使得使得.

28、EAB 推論推論-62-設(shè)方陣設(shè)方陣B為為冪等矩陣冪等矩陣，2BB （即（即 ，從而對正整數(shù)，從而對正整數(shù)k， ）kBB ,AEB證明：證明：A是可逆矩陣，且是可逆矩陣，且 1132AEA 證明證明 132AEA 132EBEA 132EBEEB 122EBEB 21222EBBB 1222EBBBE 1132AEA 例例1-63-例例2證明證明 A 和和 A+2E 都可逆都可逆 , 并求其逆并求其逆.設(shè)方陣設(shè)方陣 A 滿足滿足,22OEAA EEAAOEAA2)(22 )(21)(211EAAEEAA EEAAAOEAA4632222 EEAEAA4)2(3)2( EEAEA4)2)(3(

29、)3(41)2(1AEEA -64-法二法二(待定系數(shù)法待定系數(shù)法)2CAE令令2ACE帶入方程可得帶入方程可得2(2)(2)20CECEE1(5)4CECE1(2)(3)4AEEAE)3(41)2(1AEEA -65-例例3設(shè)設(shè) A , B 和和 A+B 均可逆均可逆 , 11 BA證明證明 也可逆也可逆,并求其逆并求其逆.BABABAEABA)()(111 1111)( BBAABAABABBA1111)()( 例例(08年考研年考研)設(shè)設(shè) A 為為n階非零矩陣，若階非零矩陣，若 ,則問則問 30A EA和和E+A是否可逆？是否可逆？-66-設(shè)設(shè)BA,nm 均為均為階矩陣，則階矩陣，則（1

30、）BA,行等價的充分必要條件是存在行等價的充分必要條件是存在,Pm階可逆矩陣階可逆矩陣.BPA 使得使得（2）BA,等價的充分必要條件是存在等價的充分必要條件是存在,Pm階可逆矩陣階可逆矩陣.BPAQ 使得使得n,Q階可逆矩陣階可逆矩陣-68-2.2 可可逆矩陣逆矩陣2.3 分塊分塊矩陣矩陣-69- 把大矩陣分成小矩陣處理。把大矩陣分成小矩陣處理。簡化矩陣計算；簡化矩陣計算；通過小矩陣的性質(zhì)推斷大矩陣的性質(zhì)；通過小矩陣的性質(zhì)推斷大矩陣的性質(zhì)；突出矩陣結(jié)構(gòu)突出矩陣結(jié)構(gòu),方便理論推導方便理論推導.-70- 4321,121110987654321 A TTTA321121110987654321

31、稱為稱為按列分塊按列分塊稱為稱為按行分塊按行分塊 22211211121110987654321AAAAA 76532111A 8412A 11,10, 921 A1222 A稱為稱為22的的分塊矩陣分塊矩陣,小矩陣小矩陣A11等稱為等稱為A的的子塊子塊.-71-那么那么的行數(shù)、列數(shù)相同的行數(shù)、列數(shù)相同與與其中其中,ijijBA srsrssrrBABABABABA11111111 srsrsrsrBBBBBAAAAA11111111,(1)設(shè)設(shè)A , B的行數(shù)、列數(shù)相同的行數(shù)、列數(shù)相同, 且有相同的分法且有相同的分法1msm1nrn1msm1nrn-72- srssrrAAAAAAAAAA2

32、12222111211(2) 設(shè)設(shè)則則 srssrrAAAAAAAAAA 212222111211-73-(3) 設(shè)設(shè)A與與B可乘可乘,且且A的列分法與的列分法與B的行分法相同的行分法相同 tjsiBACkjrkikij, 1;, 11 其中其中 rtrrttsrssrrBBBBBBBBBBAAAAAAAAAA212222111211212222111211,1msm2m1nrn2n1n2nrn1ltl2l則則 stssttCCCCCCCCCAB212222111211-74-,1011012100100001 A例例1求求 AB 1011012100100001A EAOE1 0211140

33、110210101B 0211140110210101B 222111BBEB 1311334210210101AB直接計算直接計算分塊計算分塊計算-75- 2221111BBEBEAOEAB 2212111111BABBAEB21111BBA 110121011121 1142 02141121221BA 1333 1311334210210101AB-76-(4) 設(shè)設(shè) srssrrAAAAAAAAAA212222111211則則 TT2T1T2T22T12T1T21T11TsrrrssAAAAAAAAAA 22211211987654321AAAAA T22T12T21T11TAAAAA

34、 963852741 T22T21T12T11AAAA 22122111AAAA524163879542187639-77-(5) 設(shè)設(shè) A 是是 n 階方陣階方陣 其中其中 都是方陣都是方陣,則稱則稱A為為分塊對角矩陣分塊對角矩陣.)21(siAi， A1A2AsA 1A11 A12 A1 sA設(shè)設(shè)),.,(21sAAAdiagA ),.,(21sBBBdiagB ).,.,(2211ssBABABAdiagAB 其中其中iiBA ,為同階方陣，則為同階方陣，則?1 A若若),.,2 , 1(siAi 都可逆，則都可逆，則-78-,100100000001 bbaaA設(shè)設(shè) bbaaB1000

35、00001000.ABA求求例例2解解分塊分塊將將BA, bbaaA100100000001,0021 AA其中其中,011 aaA;112 bbA-79- bbaaB100000001000,0021 BB,101 aaB;102 bbB其中其中 212121000000AABBAAABA,00222111 ABAABA-80-,123223111 aaaaaaABA,231223223222 bbbbbbABA32233223210000.002210032aaaaaaABAbbbbbb -81-例例3 120130005A，求，求1 A 21120130005AAA 32115/112111AAA-82-例例4 111)1(ABBAnm11111mn mnAOAOCBB CAB 11111(2)0BDBB DCCOC -83-，則滿足解、設(shè)矩陣EXCCXXXXXX2221121121222112110000EEXXXXBA212221121100EEBXBXAXAX2121122121, 0, 0,EBXBXAXEAX1121122121, 0, 0,BXXXAX00111ABC(1)-84-(2), 可逆可逆由由CB, 0 CBA有有.可逆可逆得得A,1 YWZXA設(shè)設(shè).000 EEYWZXCDB則則 .,ECYOCWODYBZEDWBX .,1111OWDC