課時(shí)跟蹤訓(xùn)練52

1、課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(五十二) 基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1若拋物線y22px的焦點(diǎn)與雙曲線y21的右焦點(diǎn)重合，則p的值為()A4 B4 C2 D2解析拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由雙曲線的方程可知a23，b21，所以c2a2b24，即c2，所以右焦點(diǎn)為(2,0)，所以2，p4.答案B2(2019·廣東湛江一中等四校第二次聯(lián)考)拋物線y22px上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到此拋物線焦點(diǎn)的距離為9，則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A4 B9 C10 D18解析拋物線y22px的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為x.由題意可得49，解得p10，所以該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p10.答案C3(2019·全國卷)設(shè)F為拋物線C：y2

2、4x的焦點(diǎn)，曲線y(k>0)與C交于點(diǎn)P，PFx軸，則k()A. B1 C. D2解析拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0)，PFx軸，xPxF1.又y4xP，y4.yP(k>0)，yP2，kxPyP2.故選D.答案D4(2019·全國卷)過拋物線C：y24x的焦點(diǎn)F，且斜率為的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸的上方)，l為C的準(zhǔn)線，點(diǎn)N在l上且MNl，則M到直線NF的距離為()A. B2 C2 D3解析解法一：依題意，得F(1,0)，則直線FM的方程是y(x1)由得x或x3.由M在x軸的上方，得M(3,2)，由MNl，得|MN|MF|314，又NMF等于直線FM的傾斜角，即NMF60

3、°，因此MNF是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)M到直線NF的距離為4×2，選C.解法二：依題意，得直線FM的傾斜角為60°，則|MN|MF|4，又NMF等于直線FM的傾斜角，即NMF60°，因此MNF是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)M到直線NF的距離為4×2，選C.答案C5已知拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且在第一象限，PAl，垂足為A，|PF|4，則直線AF的傾斜角等于()A. B.C. D.解析由拋物線定義知|PF|PA|，P點(diǎn)坐標(biāo)為(3，2)，所以A點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，AF與x軸夾角為，所以直線AF的傾斜角為，選B.答案B6

4、設(shè)拋物線C：y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|5.若以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0,2)，則C的方程為()Ay24x或y28x By22x或y28xCy24x或y216x Dy22x或y216x解析由已知得拋物線的焦點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)A(0,2)，拋物線上點(diǎn)M(x0，y0)，則，.由已知得，·0，即y8y0160，因而y04，M.由|MF|5得，165，又p>0，解得p2或p8，故選C.答案C二、填空題7已知拋物線y24x，過焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作y軸垂線，垂足分別為C，D，則|AC|BD|的最小值為_解析由題意知F(1,0)，|AC|BD

5、|AF|FB|2|AB|2，即|AC|BD|取得最小值時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)|AB|取得最小值由拋物線定義知，當(dāng)|AB|為通徑，即|AB|2p4時(shí)，取得最小值，所以|AC|BD|的最小值為2.答案28(2019·武漢市武昌區(qū)高三三調(diào))已知拋物線：y28x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K，點(diǎn)P在上且|PK|PF|，則PKF的面積為_解析由已知得，F(xiàn)(2,0)，K(2,0)，過P作PM垂直于準(zhǔn)線，則|PM|PF|，又|PK|PF|，|PM|MK|PF|，PFx軸，PFK的高等于|PF|，不妨設(shè)P(m2，2m)(m>0)，則m224，解得m，故PFK的面積S4×2×

6、5;8.答案89(2019·沈陽質(zhì)量監(jiān)測(cè))已知拋物線x24y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，過P作PAl于點(diǎn)A，當(dāng)AFO30°(O為坐標(biāo)原點(diǎn))時(shí)，|PF|_.解析設(shè)l與y軸的交點(diǎn)為B，在RtABF中，AFB30°，|BF|2，所以|AB|，設(shè)P(x0，y0)，則x0±，代入x24y中，得y0，從而|PF|PA|y01.答案三、解答題10已知拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4，且位于x軸上方的點(diǎn)，A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5，過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點(diǎn)為M.(1)求拋物線的方程；(2)若過M作MNFA，

7、垂足為N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)解(1)拋物線y22px的準(zhǔn)線為x，于是45，p2，拋物線方程為y24x.(2)點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4,4)，由題意得B(0,4)，M(0,2)又F(1,0)，kFA.MNFA，kMN.又FA的方程為y(x1)，故MN的方程為y2x，解方程組得x，y，N的坐標(biāo)為.能力提升11已知拋物線x24y上有一條長(zhǎng)為6的動(dòng)弦AB，則AB的中點(diǎn)到x軸的最短距離為()A. B. C1 D2解析由題意知，拋物線的準(zhǔn)線l：y1，過點(diǎn)A作AA1l交l于點(diǎn)A1，過點(diǎn)B作BB1l交l于點(diǎn)B1，設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M，過點(diǎn)M作MM1l交l于點(diǎn)M1，則|MM1|.因?yàn)閨AB|AF|BF|(F為拋物線的焦點(diǎn))，即

8、|AF|BF|6，當(dāng)直線AB過點(diǎn)F時(shí)，等號(hào)成立，所以|AA1|BB1|6,2|MM1|6，|MM1|3，故點(diǎn)M到x軸的距離d2，選D.答案D12(2019·全國卷)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn)已知|AB|4，|DE|2，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A2 B4 C6 D8解析如圖，設(shè)圓的方程為x2y2R2(R>0)，拋物線方程為y22px(p>0)，A(m，n)，拋物線y22px關(guān)于x軸對(duì)稱，圓關(guān)于x軸對(duì)稱，且|AB|4，|yA|2，xA.A在圓上，8R2.由拋物線y22px知，它的準(zhǔn)線方程為x，|DE|2，R25.聯(lián)立可解得p4，C的

9、焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.故選B.答案B13(2019·全國卷)已知F是拋物線C：y28x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|_.解析解法一：依題意，拋物線C：y28x的焦點(diǎn)F(2,0)，準(zhǔn)線x2，因?yàn)镸是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N，M為FN的中點(diǎn)，設(shè)M(a，b)(b>0)，所以a1，b2，所以N(0,4)，|FN|6.解法二：依題意，拋物線C：y28x的焦點(diǎn)F(2,0)，準(zhǔn)線x2，因?yàn)镸是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N，M為FN的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1，所以|MF|1(2)3，|FN|2|MF|6.答案614(2019

10、3;山東濰坊期末)已知點(diǎn)A為拋物線M：x22py(p>0)與圓N：(x2)2y2r2在第二象限的一個(gè)公共點(diǎn)，滿足點(diǎn)A到拋物線M準(zhǔn)線的距離為r.若拋物線M上動(dòng)點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離與到點(diǎn)N的距離之和的最小上值為2r，則p_.解析圓N：(x2)2y2r2的圓心N(2,0)，半徑為r.設(shè)拋物線x22py的焦點(diǎn)為F，則|AN|AF|2r.由拋物線M上一動(dòng)點(diǎn)到其準(zhǔn)線與到點(diǎn)N的距離之和的最小值為2r，即動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)F與到點(diǎn)N的距離之和的最小值為2r，可得A，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，且A為NF的中點(diǎn)由N(2,0)，F(xiàn)，可得A，代入拋物線M的方程可得，12p·，解得p.答案15(2019·河北廊坊期

11、末質(zhì)量監(jiān)測(cè))我國唐代詩人王維詩云：“明月松間照，清泉石上流”，這里的明月和清泉都是自然景物，沒有變，形容詞“明”對(duì)“清”，名詞“月”對(duì)“泉”，詞性不變，其余各詞均如此變化中的不變性質(zhì)，在文學(xué)和數(shù)學(xué)中都廣泛存在比如我們利用幾何畫板軟件作出拋物線C：x2y的圖象(如圖)，過焦點(diǎn)F作直線l交C于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作C的切線，兩切線交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線交C于點(diǎn)N，拖動(dòng)點(diǎn)B在C上運(yùn)動(dòng)，會(huì)發(fā)現(xiàn)是一個(gè)定值，試求出該定值解由題意，得線段AB是過拋物線x2y焦點(diǎn)F的弦過A，B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，兩切線相交于P點(diǎn)，則P點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上下面給出證明：由拋物線C：x2y，得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F.設(shè)A(x

12、1，x)，B(x2，x)，直線l：ykx.將直線l的方程代入拋物線C的方程x2y，得x2kx0.x1x2.又拋物線C的方程為yx2，求導(dǎo)得y2x，拋物線C在點(diǎn)A處的切線的斜率為2x1，切線方程為yx2x1(xx1)；拋物線C在點(diǎn)B處的切線的斜率為2x2，切線方程為yx2x2(xx2)由得y.點(diǎn)P的軌跡方程得y，即點(diǎn)P在拋物線的準(zhǔn)線上根據(jù)拋物線的定義知|NF|NP|，是一個(gè)定值1.16設(shè)A，B為拋物線y2x上相異兩點(diǎn)，其縱坐標(biāo)分別為1，2，分別以A，B為切點(diǎn)作拋物線的切線l1，l2，設(shè)l1，l2相交于點(diǎn)P.(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)M為A，B間拋物線段上任意一點(diǎn)，設(shè)，試判斷是否為定值？如果為定值，求出該定值，如果不是定值，請(qǐng)說明理由解(1)由題知A(1,1)，B(4，2)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xP，yP)，切線l1：y1k(x1)，聯(lián)立由拋物線與直線l1相切，解得k，即l1：yx，同理，l2：yx1.聯(lián)立l1，l2的方程，可解得即點(diǎn)P的坐標(biāo)為.(2)設(shè)M(y，y0)，且2y01.由得，即解得則1，即為定值1.延伸拓展(2019·廣西玉林陸川中學(xué)期末)從拋物線y24x的準(zhǔn)線l上一點(diǎn)