概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：第6章 第二節(jié)抽樣分布

1、概率統(tǒng)計(jì) 在上節(jié)所介紹內(nèi)容中已經(jīng)知道：樣本是進(jìn)行統(tǒng)在上節(jié)所介紹內(nèi)容中已經(jīng)知道：樣本是進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的依據(jù)。但在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，往往不是直接使計(jì)推斷的依據(jù)。但在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，往往不是直接使用樣本本身，而是針對(duì)不同的問(wèn)題構(gòu)造樣本的適當(dāng)用樣本本身，而是針對(duì)不同的問(wèn)題構(gòu)造樣本的適當(dāng)函數(shù)，利用這些樣本的函數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。函數(shù)，利用這些樣本的函數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。 第二節(jié)第二節(jié) 抽樣分布抽樣分布 問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出 亦即樣本去推斷總體情況，需要對(duì)樣本進(jìn)行一亦即樣本去推斷總體情況，需要對(duì)樣本進(jìn)行一定的定的“加工加工”，這就要構(gòu)造一些樣本的適當(dāng)函數(shù)，這就要構(gòu)造一些樣本的適當(dāng)函數(shù)，它把樣本中所含的（某一方面）的信息集中起

2、來(lái)。它把樣本中所含的（某一方面）的信息集中起來(lái)。 這種這種不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)稱為稱為統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)量量。它是完全由樣本決定的量。它是完全由樣本決定的量。概率統(tǒng)計(jì)1. 定義定義設(shè)設(shè) 是來(lái)自總體是來(lái)自總體 X 的一個(gè)樣的一個(gè)樣本本，12,nXXX),(21nXXXg是是 的函數(shù)。的函數(shù)。nXXX21,若若 g 是連續(xù)函數(shù)且是連續(xù)函數(shù)且 g 中不含任何未知參數(shù)中不含任何未知參數(shù),則稱則稱 是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。12(,)ng XXX一一. 統(tǒng)計(jì)量的定義統(tǒng)計(jì)量的定義 注注: 統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，它是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，它是一個(gè)隨機(jī)變量隨機(jī)變量。其中其中: 是是

3、 的的樣本值樣本值nxxx,21nXXX21, 稱稱 為為 的的觀察值觀察值),(21nxxxg12(,)ng X XX概率統(tǒng)計(jì) 2. 幾個(gè)常用的統(tǒng)計(jì)量幾個(gè)常用的統(tǒng)計(jì)量樣本均值：樣本均值：樣本方差：樣本方差：11niiXXn 2211()1niiSXXn 它反映了總體它反映了總體均值的信息均值的信息它反映它反映了總體了總體方差的方差的信息信息(1).(2).(3).樣本標(biāo)準(zhǔn)差：樣本標(biāo)準(zhǔn)差：2211()1niiSXXn (4).樣本樣本 k 階原點(diǎn)矩：階原點(diǎn)矩：11nkkiiAXn (5).樣本樣本 k 階中心矩：階中心矩：11()nkkiiBXXn k=1, 2,它反映了它反映了總體總體k 階

4、階矩的信息矩的信息它反映了它反映了總體總體k 階階中心矩的中心矩的信息信息概率統(tǒng)計(jì)注注:(1) (5)均是隨機(jī)變量，均是隨機(jī)變量，實(shí)際上它們是樣本函數(shù)的實(shí)際上它們是樣本函數(shù)的數(shù)字特征；數(shù)字特征；它們的觀察值是具體的實(shí)數(shù)值，仍它們的觀察值是具體的實(shí)數(shù)值，仍稱為樣本均值、樣本方差、樣本稱為樣本均值、樣本方差、樣本 k 階原點(diǎn)距階原點(diǎn)距與樣本與樣本 k 階中心距。階中心距。 若總體若總體 X 的的 k 階原點(diǎn)距階原點(diǎn)距 存在，存在，則當(dāng)則當(dāng) 時(shí)有：時(shí)有： ()kkE X n ,1,2,pkkAk 這個(gè)這個(gè)結(jié)論表明結(jié)論表明：樣本的：樣本的 k 階距依概率收斂到階距依概率收斂到總體的總體的 k 階距。這

5、也是參數(shù)估計(jì)中的矩估計(jì)階距。這也是參數(shù)估計(jì)中的矩估計(jì)法的理論根據(jù)。法的理論根據(jù)。(證明見(jiàn)教材證明見(jiàn)教材 P161)概率統(tǒng)計(jì)3. 抽樣分布抽樣分布統(tǒng)計(jì)量作為隨機(jī)變量，因而就有一定的分布，這統(tǒng)計(jì)量作為隨機(jī)變量，因而就有一定的分布，這個(gè)分布就稱為統(tǒng)計(jì)量的個(gè)分布就稱為統(tǒng)計(jì)量的 “抽樣分布抽樣分布” 。故有：。故有：統(tǒng)計(jì)量的分布稱為統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布抽樣分布 二二. 幾個(gè)重要的分布幾個(gè)重要的分布設(shè)設(shè) 是來(lái)自正態(tài)分布是來(lái)自正態(tài)分布 N( 0, 1 )的樣本，則稱統(tǒng)計(jì)量：的樣本，則稱統(tǒng)計(jì)量： 為為服從自由度為服從自由度為 n 的的 分布分布.12,nXXX222212nXXX 2 定義定義.2 分布分

6、布1.22( )n記為：記為：概率統(tǒng)計(jì)注注:自由度自由度 n 是指是指 中所包含中所包含獨(dú)立變量獨(dú)立變量的個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)2 2 分布的分布的密度函數(shù)密度函數(shù)為：為：122210( ; )2(2)00nxnxexf x nnx 來(lái)定義。來(lái)定義。10( ),0txxe tdtx 其中：伽瑪函數(shù)其中：伽瑪函數(shù) 通過(guò)積分：通過(guò)積分：( )x 其圖形如下：其圖形如下：概率統(tǒng)計(jì)22()(),2EDnn22( )n若若 ，則，則n=2n=1n=4n=6n=11xf (x)0（參見(jiàn)教材（參見(jiàn)教材 P163 圖圖 61）概率統(tǒng)計(jì)2221212()nn2212,相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則2 分布的分布的上上 分位點(diǎn)分位

7、點(diǎn)：(01),稱稱滿足：滿足：對(duì)于給定的對(duì)于給定的為為2 分布的上分布的上 分位點(diǎn)。分位點(diǎn)。2 分布的分布的可加性：可加性：22221122(),()nn 若若且且其圖形如下：其圖形如下：2( )n 的點(diǎn)的點(diǎn) )(222)()(ndxxfnP概率統(tǒng)計(jì)面積面積 = xf (x)02( )n 2( )n n對(duì)于不同的對(duì)于不同的 與與 ， 有表可查（見(jiàn)教材有表可查（見(jiàn)教材P443 的附表的附表4） 一般一般:( )a45n 當(dāng)當(dāng)時(shí)可直接查表時(shí)可直接查表( )b45n 當(dāng)當(dāng)時(shí)可用近似公式：時(shí)可用近似公式：概率統(tǒng)計(jì)例如：例如：20.1(25)34.382 2(40)26.509)0.95P 20.95(

8、40)26.509 費(fèi)歇費(fèi)歇R.AFisher證明證明221( )(21)2nzn z 是正態(tài)分布的上是正態(tài)分布的上分位點(diǎn)分位點(diǎn)或：或：2( )2nnn z 20.05(50) 21(1.64599)67.22122(25)34.382)0.1P 20.051(2 501)2z概率統(tǒng)計(jì)記為記為T(mén) t ( n )XTY n 為為服從自由度為服從自由度為 n 的的 t 分布分布.設(shè)設(shè) XN ( 0, 1 ) , Y , 且且 X 與與 Y 相互相互獨(dú)立獨(dú)立 ，則稱隨機(jī)變量：，則稱隨機(jī)變量：2( )n t 分布分布2. 定義定義. 注注:t 分布是英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家哥塞特（分布是英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家哥塞特（G0s

9、set）首先）首先發(fā)現(xiàn)的，并以學(xué)生發(fā)現(xiàn)的，并以學(xué)生(student)的筆名在英國(guó)的的筆名在英國(guó)的Bi0metrike雜志上發(fā)表的一篇文章中提出雜志上發(fā)表的一篇文章中提出了他的研究結(jié)果，故了他的研究結(jié)果，故 t 分布也稱為分布也稱為學(xué)生分布學(xué)生分布。概率統(tǒng)計(jì) t 分布的概率密度函數(shù)為：分布的概率密度函數(shù)為：122(1) 2( ; )(1)(2)nnxt x nnnn t 它非常象正態(tài)它非常象正態(tài)分布圖形分布圖形, 關(guān)于關(guān)于 y 軸對(duì)稱軸對(duì)稱xt (x)0n=2n=25n = （參見(jiàn)教材（參見(jiàn)教材 P165 圖圖 63）其圖形如下：其圖形如下：概率統(tǒng)計(jì)T 分布的上分布的上 分位點(diǎn)分位點(diǎn): 對(duì)于給定

10、的對(duì)于給定的 , )10( 稱滿足條件稱滿足條件:當(dāng)當(dāng) 充分大時(shí)，充分大時(shí)，n221lim ( ;)2xnt x ne 即即當(dāng)當(dāng) 充分大時(shí)，充分大時(shí)，t 分布可以近似看作是標(biāo)準(zhǔn)正分布可以近似看作是標(biāo)準(zhǔn)正n態(tài)分布；但態(tài)分布；但當(dāng)當(dāng) 較小時(shí)，較小時(shí)， t 分布與正態(tài)分布的差分布與正態(tài)分布的差n異是不能忽略的。異是不能忽略的。若若 T t ( n )，則有：，則有：1n 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)( )0E T 2( )D Tnn 2n 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)( )( )( )tnP ttnh t dt 的點(diǎn)的點(diǎn) 為為 t 分布的上分布的上 分位點(diǎn)分位點(diǎn)。 )(nt 概率統(tǒng)計(jì)( )tn ( )f tt0面積面積 = ( )tn

11、n對(duì)于不同的對(duì)于不同的 與與 ， 有表可查（見(jiàn)教材有表可查（見(jiàn)教材P441 的附表的附表3） 一般一般:( )a45n 當(dāng)當(dāng)時(shí)可直接查表時(shí)可直接查表( )b45n 當(dāng)當(dāng)時(shí)可用近似公式：時(shí)可用近似公式：( )tnz (用正態(tài)分布近似用正態(tài)分布近似)概率統(tǒng)計(jì)例如例如：0.05(30)1.6973t ( (30)1.6973)0.05P t0.01(35)2.4377t ( (35)2.4377)0.01P t0.050.05(50)(10.05)(0.95)1.645tzzz由上由上 分位點(diǎn)定義及分位點(diǎn)定義及 h( t ) 對(duì)稱性得對(duì)稱性得: 1( )( )tntn 概率統(tǒng)計(jì) F分布分布2212(

12、),(),XnYn 設(shè)設(shè) X 與與Y 相互獨(dú)立，相互獨(dú)立， 則稱統(tǒng)計(jì)量：則稱統(tǒng)計(jì)量：為為服從自由度服從自由度 n1 及及 n2 的的 F 分布分布，記作：，記作： F F ( n1, n2 ) 12X nFY n 112121211122212221222()()()1,0( ;,)()()0 0nnnnnnnnnnnnnxxxx n nx 若若 F F ( n1, n2 )，則，則 F 的概率密度為：的概率密度為：注注:3.定義定義.概率統(tǒng)計(jì)x( )x 012(,)(10,40)n n 12(,)(1,3)n n 其圖形如下：其圖形如下：（參見(jiàn)教材（參見(jiàn)教材 P167 圖圖 65）211(,

13、)F n nF若若 則則12(,)FF n n概率統(tǒng)計(jì) 若若 則：則：12(,)FF n n2n 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，22(2)nEnF 21221222(2)()(2) (4)n nnn nnD F 4n 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，稱滿足條件稱滿足條件:1212(,)(,)( )Fn nP FFn nx dx F 分布的上分布的上 分位點(diǎn)分位點(diǎn): 對(duì)于給定的對(duì)于給定的 , )10( 的點(diǎn)的點(diǎn) 為為 F 分布的上分布的上 分位點(diǎn)分位點(diǎn)。 ),(21nnF 概率統(tǒng)計(jì)12(,)Fn n x( )x 0面積面積 = 12(,)Fn n n對(duì)于不同的對(duì)于不同的 與與 ， 有表可查（見(jiàn)教有表可查（見(jiàn)教材材P447 的附表

14、的附表5） 62. 2)12,15(05. 0 F(15,12)2.62)0.05P F例如例如:概率統(tǒng)計(jì)112211(,)(,)Fn nFn n 0.951 0.05(15,12)(15,12)FF 0.05110.04(12,15)2.48F(15,12)0.04)0.95P F 正態(tài)分布正態(tài)分布F 分布的上分布的上 分位的分位的性質(zhì)性質(zhì)：4.（請(qǐng)復(fù)習(xí)其圖形及性質(zhì)等）（請(qǐng)復(fù)習(xí)其圖形及性質(zhì)等）概率統(tǒng)計(jì)三三. 正態(tài)分布的樣本均值與樣本方差的分布正態(tài)分布的樣本均值與樣本方差的分布 定理定理 1 (樣本均值和樣本方差的分布樣本均值和樣本方差的分布)設(shè)設(shè) X1, X2, Xn 是取自正態(tài)總體是取自正

15、態(tài)總體 ),(2 N的樣本，的樣本，2,SX是其樣本均值和樣本方差是其樣本均值和樣本方差則則2(1)( ,)XNn 222(1)(2)(1)nSn (3)X2S和和相互獨(dú)立相互獨(dú)立只證（只證（1），），（2）與（）與（3）的證明見(jiàn)教材的證明見(jiàn)教材P173P174概率統(tǒng)計(jì)證明證明:2111(,),XN ),(2222 NX22121212(,)XXN 21(,)niiXN nn 211(,)niiXNnn 2(,)XNn 2( ,),XN (1) 因?yàn)槿粢驗(yàn)槿?2(,)YN ab a 則有：則有：由已知由已知11niiXXn 又又則：則：即即baXY 概率統(tǒng)計(jì)),(2NX12,nXXX2,X S

16、222(1)(1)nSn2,X S2221 (1)()()niinSXn X2 2 2 221/niiXXn22221(1) /niinSXXn2 ( ,)XNn(0,1)/XNn2 /Xn2(1) (0,1)iXN21 niiX2( )n2( )n2(1)2(1)n概率統(tǒng)計(jì)n 取不同值時(shí)樣本均值取不同值時(shí)樣本均值 的分布的分布X概率統(tǒng)計(jì)n 取不同值時(shí)取不同值時(shí) 的分布的分布22(1)nS 概率統(tǒng)計(jì)推論推論.(0,1)XNn 注注:推論的推論的實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)是把服從一般正態(tài)分布的隨機(jī)變是把服從一般正態(tài)分布的隨機(jī)變量量 化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的一個(gè)方法。它類似化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的一個(gè)方法。它類似于把一個(gè)隨機(jī)變

17、量于把一個(gè)隨機(jī)變量 經(jīng)經(jīng)線性變換線性變換X),(2 NXxz 化為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布?；癁榉臉?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。2( ,)N 12,nXXX設(shè)設(shè) 是總體是總體 的一個(gè)樣本，的一個(gè)樣本， 則則概率統(tǒng)計(jì)的的線線性性函函數(shù)數(shù)是是 XnX 對(duì)于對(duì)于一般一般的有：的有：()P aXb()()bann ()aXbPnnn由推論由推論概率統(tǒng)計(jì)定理定理 2. 設(shè)設(shè) X1, X2 , Xn 是取自正態(tài)總體是取自正態(tài)總體),(2 N的樣本的樣本,2XS和和分別為樣本均值和樣本方差分別為樣本均值和樣本方差,則有：則有： (1)Xt nSn 證明證明:(0,1),XNn 222(1)(1)nSn 由定理由定理1 的結(jié)的結(jié)論

18、與論與 推論推論并且兩者相互獨(dú)立并且兩者相互獨(dú)立t由由 分布的定義得：分布的定義得：概率統(tǒng)計(jì)22(1)1XnnSn 定理定理 3. 2212(,)(,)XNYN ，且且 X 與與是取自是取自 Y 的樣本。的樣本。212,nY YY(1)Xt nsn Y 相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，112,nXXX是取自是取自 X 的的樣本，樣本，分別是這兩個(gè)樣本的樣本均值，分別是這兩個(gè)樣本的樣本均值，XY和和分別是這兩個(gè)樣本的樣本方差。分別是這兩個(gè)樣本的樣本方差。21S22S和和概率統(tǒng)計(jì)則有：則有：121212()(2)11WXYt nnsnn證明證明:211(,),XNn 222(,)YNn 而而222() (,)YNn 相當(dāng)于相當(dāng)于y = ax+b中中 a = -1, b = 0221212(,)XYNnn0122112212(1)(1)2WnSnSsnn 其中：其中：概率統(tǒng)計(jì)從而從而