對坐標(biāo)的曲面積分1ppt課件

1、一、對坐標(biāo)曲面積分的定義一、對坐標(biāo)曲面積分的定義第八節(jié) 對坐標(biāo)的曲面積分二、對坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算二、對坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算 （第十章（第十章 第五節(jié)）第五節(jié)）2關(guān)于曲面關(guān)于曲面觀察以下曲面的側(cè)觀察以下曲面的側(cè) ( (假設(shè)曲面是光滑的假設(shè)曲面是光滑的) )曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)典典型型雙雙側(cè)側(cè)曲曲面面曲面的分類曲面的分類:1.雙側(cè)曲面雙側(cè)曲面;2.單側(cè)曲面單側(cè)曲面.3莫比烏斯帶莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面典型單側(cè)曲面:決定了側(cè)的曲面稱為有向曲面決定了側(cè)的曲面稱為有向曲面. .曲面法向量的指向決定曲面的側(cè)曲面法向量的指向決定曲面的側(cè). .內(nèi)側(cè)與外側(cè)內(nèi)側(cè)與外側(cè)左

2、側(cè)與右側(cè)左側(cè)與右側(cè)下側(cè)與上側(cè)下側(cè)與上側(cè)cos,cos,cos 用用的的符符號號確確定定曲曲面面的的側(cè)側(cè)，前側(cè)與后前側(cè)與后側(cè)側(cè)xyzOxyzO cos cos cos0 0 0 xyzO0 0 0 5有向曲面的投影問題有向曲面的投影問題: :()xySxoyS 則則在在面面上上的的投投影影為為.0cos00cos)(0cos)()( 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xyxyxyS().xy 其其中中表表示示投投影影區(qū)區(qū)域域的的面面積積（上側(cè)）（上側(cè)）（下側(cè)）（下側(cè)）（法向量垂直于（法向量垂直于z軸）軸）若在有向曲面若在有向曲面上取一小塊曲面上取一小塊曲面S ，6一、對坐標(biāo)的曲面積分定義一、對坐標(biāo)的曲面

3、積分定義實(shí)例實(shí)例: 計(jì)算流向曲面一側(cè)的流量計(jì)算流向曲面一側(cè)的流量.A0n A0cos A vAv n 斜柱體的體積斜柱體的體積. 求單位時(shí)間流過求單位時(shí)間流過A的流體的質(zhì)量的流體的質(zhì)量(假定密度為假定密度為1).1.設(shè)流速場為常向量設(shè)流速場為常向量 v,有向平面區(qū)域?yàn)橛邢蚱矫鎱^(qū)域?yàn)锳,流流量量v72.設(shè)穩(wěn)定流動的不可壓縮流體設(shè)穩(wěn)定流動的不可壓縮流體(假定密度假定密度為為1的速度場由向量函數(shù)的速度場由向量函數(shù)kzyxRjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),( 給出給出,是速度場中的一片有向曲面是速度場中的一片有向曲面,函數(shù)函數(shù) ),(),(),(zyxRzyxQzyxP都在都在上連續(xù)

4、上連續(xù), 求在單位時(shí)間內(nèi)流向求在單位時(shí)間內(nèi)流向指指. 定側(cè)的流體的質(zhì)量定側(cè)的流體的質(zhì)量xyzOdS( , , )x y zv 0n dS近近似似看看作作小小塊塊平平面面，在曲面在曲面 上取一小塊上取一小塊 ,dS , ,x y z 處處， 指指向向指指定定一一側(cè)側(cè)的的單單位位法法向向量量：其其上上任任一一點(diǎn)點(diǎn) 00cos ,cos ,cos, , ,nn 是是 的的方方向向角角. . , ,v x y z 若若看看作作常常向向量量，dS則則過過流流向向指指定定一一側(cè)側(cè)的的流流量量： 0v ndS 利用元素法計(jì)算利用元素法計(jì)算 coscoscosPQRdS 0dv ndS coscoscosPQ

5、RdS 記為另一種形式記為另一種形式PdydzQdzdxRdxdy 對坐標(biāo)的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分. .流量微元流量微元故流體流向故流體流向 指定一側(cè)的流量為指定一側(cè)的流量為對面積的曲面積分對面積的曲面積分對坐標(biāo)曲面積分的定義對坐標(biāo)曲面積分的定義定義定義 設(shè)設(shè)為光滑的有向曲面為光滑的有向曲面, 函數(shù)函數(shù)P,Q,R在在 , ,x y z , , , , 是是 上上處處沿沿指指定定一一側(cè)側(cè)的的法法向向量量的的方方向向角角，如如果果積積分分 coscoscosPQRdS 存存在在，則則記記它它為為PdydzQdzdxRdxdy 上有界，上有界，PdydzQdzdxRdxdy , , , ,P x

6、y zQ x y zR x y z稱稱為為函函數(shù)數(shù) 在在有有限限曲曲面面片片 上上第第二二類類曲曲也也稱稱面面積積分分. .即即PdydzQdzdxRdxdy =coscoscosPQRdS 對對坐坐標(biāo)標(biāo)的的曲曲面面積積分分，注注:(1) 當(dāng)當(dāng)),(),(),(zyxRzyxQzyxP在有向光滑曲面在有向光滑曲面上連續(xù)時(shí)上連續(xù)時(shí),對坐標(biāo)的曲面積分存在對坐標(biāo)的曲面積分存在.（2當(dāng)當(dāng)為封閉曲面時(shí)，記為為封閉曲面時(shí)，記為PdydzQdzdxRdxdy （3 3向量形式向量形式A dSA ndS PdydzQdzdxRdxdy ( ,),(cos ,cos,cos )AP Q R n(,)dSndSd

7、ydz dzdx dxdy 其中其中稱為有向曲面元稱為有向曲面元, ,nAAn為向量為向量在在上的投影上的投影. .流體流向流體流向 指定一側(cè)的流量為指定一側(cè)的流量為nA dSA dS 或或v dS =coscoscosPQRdS (4)對坐標(biāo)的積分具有方向性對坐標(biāo)的積分具有方向性PdydzQdzdxRdxdy =PdydzQdzdxRdxdy LLPdxQdyPdxQdy abbadxxfdxxf)()(性質(zhì)性質(zhì):12121.PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy 2.積積分分可可以以分分開開寫寫：區(qū)域可加性區(qū)域可加性( , , )( ,

8、, )cosP x y z dydzP x y zdS = = ( , , )( , , )cosQ x y z dzdxQ x y zdS ( , , )( , , )cosR x y z dxdyR x y zdS 線性性線性性( , , )=( , , )cosR x y z dxdyR x y zdS 現(xiàn)現(xiàn)討討論論二、二、 計(jì)算法計(jì)算法 ( ,)zz x y xyDxyzod dSxoy在在面上的投影區(qū)域面上的投影區(qū)域),(zyxR被積函數(shù)被積函數(shù)在在上連續(xù)上連續(xù).函數(shù)函數(shù) ),(yxzz xyD在在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),:( , )zz x y ,xyD為為.dS

9、d 的的投投影影為為 ,1xynzz 的的法法向向量量為為 n 221,xydSzzd cos dSd 2222221,111yxxyxyxyzzzzzzzz 0cos ,cos,cosn 正正負(fù)負(fù)號號由由 所所指指定定的的側(cè)側(cè)來來確確定定： cos0+ 當(dāng)當(dāng)指指定定為為上上側(cè)側(cè) 時(shí)時(shí)，取取 號號 ,1xynzz 的的法法向向量量為為 下側(cè)下側(cè)cos dSd 正正負(fù)負(fù)號號由由 所所指指定定的的側(cè)側(cè)來來確確定定： cos0+ 當(dāng)當(dāng)指指定定為為上上側(cè)側(cè) 時(shí)時(shí)，取取 號號 下側(cè)下側(cè)( , , )=( , , )cosR x y z dxdyR x y zdS :( , )zz x y , , ( ,

10、 )xyDR x y z x y d ( , , ) , , ( , )xyDR x y z dxdyR x y z x y dxdy ( , , ) , , ( , )xyDR x y z dxdyR x y z x y dxdy :( , ),xx y z yzDdydzzyzyxPdydzzyxP,),(),(:( , ),yy z x zxDdzdxzxzyxQdzdxzyxQ),(,),(對坐標(biāo)的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分, ,必須注意曲面所取的側(cè)必須注意曲面所取的側(cè). . :,zz x y上側(cè)取上側(cè)取“+”,下側(cè)取下側(cè)取“ ” 前側(cè)取前側(cè)取“+”,后側(cè)取后側(cè)取“ ” 右側(cè)取右側(cè)取“+

11、”,左側(cè)取左側(cè)取“ ” 1 xyzdxdy 計(jì)計(jì)算算，其其中中例例是是球球面面解解12 把把 分分成成和和兩兩部部分分;1:2211yxz ,1:2222yxz 1 2 下側(cè)下側(cè)上側(cè)上側(cè)222100.xyzxy 在在，部部分分的的外外側(cè)側(cè)zxy 12xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy221xyDxyxy dxdy xyDdxdyyxxy221212240022sin cos1.15dd 2211:1,zxy 下下側(cè)側(cè)2222:1,zxy 上上側(cè)側(cè)22(1)xyDxyxy dxdy 2222x dydzy dzdxz dxdy 計(jì)計(jì)算算例例0,0,0 xaybzc 其其中中 為為長長方方

12、體體的的整整個(gè)個(gè)表表面面的的外外側(cè)側(cè). .把把曲曲面面分分為為六六解解 個(gè)個(gè)平平面面部部分分：135246上上側(cè)側(cè)，前前側(cè)側(cè)，右右側(cè)側(cè)，下下側(cè)側(cè)，后后側(cè)側(cè)，左左側(cè)側(cè)12345622+x dydzx dydz xyzO6 4 2 1 3 5 34222+x dydzx dydzx dydz 22y dzdxb ac 22z dxdyc ab 20yzyzDDa dydzdydz2yzDadydz 同理，得同理，得xyzO1 6 5 4 3 2 故原積分故原積分222a bcb acabc 1256,0yoz , , ,在在面面的的投投影影均均為為 ，2a bc :x a :0 x 注注 ,zz

13、x y 設(shè)設(shè) ：把三個(gè)積分合并把三個(gè)積分合并, ,只向一個(gè)坐標(biāo)面投影只向一個(gè)坐標(biāo)面投影 ,1xynzz 0cos ,cos,cosn coscoscos1xyzz由由，得得coscos ,coscos ,xyzz PdydzQdzdxRdxdy PdydzQdzdxRdxdy =coscoscosPQRdS =cosxyPzQzRdS xyPzQzR dxdy xydydzzdxdydxdzzdxdy coscos ,coscos ,xyzz 轉(zhuǎn)換公式轉(zhuǎn)換公式)(2122yxz 下側(cè)下側(cè)xyzO2 z 把兩個(gè)積分合并把兩個(gè)積分合并,只向坐標(biāo)面只向坐標(biāo)面xoy投影投影分析分析解解2()zx dy

14、dz ,xxzxdydzzdxdy 2()zx dydzzdxdy 2()()zxx dxdy 2()()zxxz dxdy 把兩個(gè)積分合并把兩個(gè)積分合并, ,只向坐標(biāo)面只向坐標(biāo)面xoyxoy投影投影PdydzQdzdxRdxdy xyPzQzR dxdy 22()()()zx dydzzdxdyzxxz dxdy 22 22211 () ()()42xyDxyxxxydxdy xyDdxdyyxx)(2122222222001(cos)2dd .8 2221()04xyDxyx dxdy 由由對對稱稱性性：xyz)(2122yxz xyD下側(cè)下側(cè)小小 結(jié)結(jié)PdydzQdzdxRdxdy =c

15、oscoscosPQRdS 一、對坐標(biāo)第二類曲面積分的定義一、對坐標(biāo)第二類曲面積分的定義兩類曲面積分的聯(lián)系兩類曲面積分的聯(lián)系cos,dSdydz cosdSdxdy cos,dSdxdz (cos,cos,cos )n 指定側(cè)的法向量指定側(cè)的法向量A dSA ndS (,)dSndSdydz dzdx dxdy ( ,),AP Q R 稱為有向曲面元稱為有向曲面元, ,nAAn為向量為向量在在上的投影上的投影. .nA dS 向量形式向量形式其中其中二、計(jì)算方法二、計(jì)算方法( , , ) , , ( , )xyDR x y z dxdyR x y z x y dxdy :( , ),xx y z yzDdy