第5章大數(shù)定律

1、第五章 大數(shù)定律及中心極限定理11 大數(shù)定律2事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性, 即隨著試驗次數(shù)的增加, 事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定于某個常數(shù)(概率).大量測量值的算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性3定理 (伯努利大數(shù)定理) 設nA是n次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的次數(shù). p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率, 則對于任意正數(shù)e0, 有或4)2 . 1(1lim e epnnPAn)2 . 1(0lim e epnnPAn設Y1,Y2,.,Yn,.是一個隨機變量序列, a是一個常數(shù). 若對于任意正數(shù)e, 有, 1|lim e eaYPnn. aYPn則稱序列Y1,Y2,.,Yn,.依概率收斂于a. 記為5依概率收斂于事件的

2、概率p. 以嚴格的數(shù)學形式表達了頻率的穩(wěn)定性. 6nnA件發(fā)生的頻率伯努利大數(shù)定理表明事依概率收斂的序列還有以下性質(zhì).).,(),(,),(),(,bagYXgbayxgbYaXPnnPnPn則則連續(xù)連續(xù)在點在點又設函數(shù)又設函數(shù)設設7定理(辛欽大數(shù)定理) 設隨機變量X1,X2,.,Xn,.相互獨立, 服從同一分布, 且具有數(shù)學期望E(Xk)= m, (k=1,2,.), 則對于任意正數(shù)e, 有8)3 . 1(. 11lim1 e em mnkknXnPE(X1)=E(X2)=.=E(Xn)=m. 這種接近是概率意義下的接近. 通俗地說, n個隨機變量的算術(shù)平均, 當n無限增加時將幾乎變成一個常

3、數(shù).接近于數(shù)學期望的算術(shù)平均值隨機變量很大時當定理表明nkknnkknXnXXXXnXnP12111,. 11limem9上述定理一又可敘述為:辛欽大數(shù)定理 設隨機變量X1,X2,.,Xn,.相互獨立,服從同一分布, 且具有數(shù)學期望E(Xk)= m, (k=1,2,.),則序列.,11mmPnkkXXnX即依概率收斂于102 中心極限定理11在客觀實際中有許多隨機變量, 它們是由大量的相互獨立的隨機因素的綜合影響所形成的. 而其中每一個別因素在總的影響中所起的作用都是微小的. 這種隨機變量往往近似地服從正態(tài)分布. 這種現(xiàn)象就是中心極限定理的客觀背景.12定理 (獨立同分布的中心極限定理) 設隨

4、機變量X1,X2,.,Xn,.相互獨立, 服從同一分布, 且具有數(shù)學期望和方差E(Xk)=m, D(Xk)=s2, (k=1,2,.). 則隨機變量之和X1+X2+.+Xn的標準化變量（設為Yn）近似服從標準正態(tài)分布.1111s sm mnnXXDXEXYnkknkknkknkkn 13Yn的分布函數(shù)Fn(x)對于任意x滿足.1s sm mnnXYnkkn )1 . 2().(21lim)(lim2/12xdtexnnXPxFxtnkknnn m mm m 14此定理說明, 均值為m, 方差為s2的獨立同分布的n個隨機變量(n超過10或者20以上) 和X1+X2+.+Xn近似服從正態(tài)分布N(n

5、m, ns2). 或者將其標準化有)2 . 2().1 , 0(1NnnXnkk近似地近似地s sm m 這樣就可以用正態(tài)分布對X1+X2+.+Xn作理論分析或作概率計算, 好處是明顯的.15將(2.2)式左端改寫成)./,() 1 , 0(/,:,/121nNXNnXnnXnXnnkksmsmsmsm近似地近似地或充分大時當上述結(jié)果可寫成這樣這是獨立同分布中心極限定理結(jié)果的另一個形式.這一結(jié)果是數(shù)理統(tǒng)計中大樣本統(tǒng)計推斷的基礎.16定理 (李雅普諾夫定理) 設隨機變量X1 ,X2, .,Xn,., 相互獨立, 它們具有數(shù)學期望和方差: nkknkkkkBkXDXE1222, 2 , 1, 0)

6、(,)(s ss sm m記記0|1122 nkkknXEB m m若存在正數(shù), 使得當n時,17則隨機變量之和X1+X2+.+Xn的標準化變量:nkkkknkknkknkknBXXDXEXZ 11111m m)4 . 2().(de21lim)(lim2/112xtxBXPxFxtnnkknkknnn m m 的分布函數(shù)Fn(x)對于任意的x, 滿足18定理表明, 在定理的條件下, 隨機變量.,).1 , 0(,211111 nnkknkknnnkknkkkknBNZBXnNnBXZm mm mm m態(tài)分布態(tài)分布近似地服從正近似地服從正很大時很大時當當由此由此近似地服從正態(tài)分布近似地服從正態(tài)

7、分布很大時很大時當當19無論各個隨機變量Xk(k=1,2,.)服從什么分布, 只要滿足定理的條件, 則它們的和X1+X2+.+Xn當n很大時, 就近似地服從正態(tài)分布. 這就是為什么正態(tài)隨機變量在概率論中占有重要地位的一個基本原因. 20定理六(棣莫弗-拉普拉斯定理) 設隨機變量hn(n=1,2,.)服從參數(shù)為n,p(0p105)的近似值.解 易知E(Vk)=5, D(Vk)=100/12(k=1,2,.,20). 則E(V)=E(V1+.+V20)=E(V1)+.+E(V20)=100, D(V)=D(V1+.+V20)=D(V1)+.+D(V20)=1000/6,根據(jù)中心極限定理, 近似有

8、VN(100, 1000/6).22VN(100, 1000/6). 于是348. 0)387. 0(1387. 06/10001001387. 06/10001006/10001001056/1000100105 VPVPVPVP即有 PV1050.348.23例2 一船舶在某海區(qū)航行, 已知每遭受一次波浪的沖擊, 縱搖角大于3的概率為p=1/3, 若船舶遭受了90000次波浪沖擊, 問其中有2950030500次縱搖角大于3的概率是多少?解 將船舶每遭受一次波浪沖擊看作是一次試驗, 并假定各次試驗是獨立的. 在90000次波浪沖擊中縱搖角度大于3的次數(shù)記為X, 則X是一個隨機變量, 且有X

9、b(90000, 1/3). 則E(X)=np=90000(1/3)=30000, D(X)=np(1p)=90000(1/3)(2/3)=20000.24E(X)=30000, D(X)=20000,因此, 根據(jù)中心極限定理, 近似有XN(30000, 20000), 則9995. 0)2/25()2/25(20000300003050020000300002000030000295003050029500 XPXP25例3 對于一個學生而言, 來參加家長會的家長人數(shù)是一個隨機變量, 設一個學生無家長, 1名家長, 2名家長來參加會議的概率分別為0.05, 0.8, 0.15. 若學校共有400名學生, 設各學生參加會議的家長數(shù)相互獨立, 且服從同一分布. (1)求參加會議的家長數(shù)X超過450的概率; (2) 求有一名家長來參加會議的學生數(shù)不多于340的概率.26解 (1)以Xk(k=1,2,.,400)記第k個學生來參加會議的家長數(shù), 則Xk的分布律為15. 08 . 005. 0210kkpX1357. 0)147. 1(17644045076440450 XPXP則E(Xk)=1.1, D(Xk)=0.19 k=1,2,.,400. 而X=X1+X2+.+X400, E(X)=440, D(X)=