小學(xué)數(shù)學(xué)中主要的數(shù)學(xué)模型

1、 小學(xué)數(shù)學(xué)中主要的數(shù)學(xué)模型小學(xué)數(shù)學(xué)中主要的數(shù)學(xué)模型 王永春 一、一、 對數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識對數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言概括地或近似地描述現(xiàn)實世界數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言概括地或近似地描述現(xiàn)實世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。在義務(wù)教育階段，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號表達(dá)在義務(wù)教育階段，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號表達(dá)的數(shù)學(xué)的代數(shù)式、關(guān)系式、方程、函數(shù)、不等式及各種的數(shù)學(xué)的代數(shù)式、關(guān)系式、方程、函數(shù)、不等式及各種圖表、圖形等都是數(shù)學(xué)模型。圖表、圖形等都是數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型思想是基本的數(shù)學(xué)思想之一，數(shù)學(xué)模型的主數(shù)學(xué)模型思想是基本的數(shù)學(xué)思想

2、之一，數(shù)學(xué)模型的主要表現(xiàn)形式是數(shù)學(xué)符號表達(dá)式和圖表、圖形，因而它與要表現(xiàn)形式是數(shù)學(xué)符號表達(dá)式和圖表、圖形，因而它與符號化方法有很多相似之處。符號化方法有很多相似之處。二、數(shù)學(xué)模型的重要性二、數(shù)學(xué)模型的重要性數(shù)學(xué)模型在當(dāng)今市場經(jīng)濟(jì)和信息化社會已經(jīng)有比較數(shù)學(xué)模型在當(dāng)今市場經(jīng)濟(jì)和信息化社會已經(jīng)有比較廣泛的應(yīng)用；因而，模型方法在數(shù)學(xué)方法中有非常重要廣泛的應(yīng)用；因而，模型方法在數(shù)學(xué)方法中有非常重要的地位。如果說符號化方法更注重數(shù)學(xué)抽象和符號表達(dá)，的地位。如果說符號化方法更注重數(shù)學(xué)抽象和符號表達(dá)，那么模型思想更注重數(shù)學(xué)的應(yīng)用，即通過數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化解那么模型思想更注重數(shù)學(xué)的應(yīng)用，即通過數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化解決問題，尤其是

3、現(xiàn)實中的各種問題；當(dāng)然，把現(xiàn)實情境決問題，尤其是現(xiàn)實中的各種問題；當(dāng)然，把現(xiàn)實情境數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化的過程也是一個抽象的過程。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化的過程也是一個抽象的過程。2011版課標(biāo)與原課標(biāo)相比有了較大變化，在課程內(nèi)版課標(biāo)與原課標(biāo)相比有了較大變化，在課程內(nèi)容的十大核心概念中是唯一以容的十大核心概念中是唯一以“思想思想”出現(xiàn)的，并具體出現(xiàn)的，并具體解釋為解釋為“模型思想的建立是幫助學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與模型思想的建立是幫助學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號從現(xiàn)實生活或具體情境中抽

4、象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識興趣和應(yīng)用意識”。 模型思想是數(shù)學(xué)的基本思想之一。模型思想是數(shù)學(xué)的基本思想之一。 2011版課標(biāo)在總目標(biāo)中指出：版課標(biāo)在總目標(biāo)中指出： 經(jīng)歷數(shù)與代數(shù)的抽象、運算與建模等過程，掌握數(shù)經(jīng)歷數(shù)與代數(shù)的抽象、運算與建模等過程，掌握數(shù)與代數(shù)的基礎(chǔ)知識和基本技能。與代數(shù)的基礎(chǔ)知識和基本

5、技能?？傊?，培養(yǎng)學(xué)生的模型思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)總之，培養(yǎng)學(xué)生的模型思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。當(dāng)學(xué)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。當(dāng)學(xué)生理解并掌握了各種基本的數(shù)學(xué)模型后，面對變化多生理解并掌握了各種基本的數(shù)學(xué)模型后，面對變化多端的數(shù)學(xué)問題時，可以利用已有的模型求解，把握數(shù)端的數(shù)學(xué)問題時，可以利用已有的模型求解，把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，而不至于被各種雜亂的表面信息所迷惑。學(xué)的本質(zhì)，而不至于被各種雜亂的表面信息所迷惑。三、模型思想的教學(xué)三、模型思想的教學(xué).使學(xué)生經(jīng)歷使學(xué)生經(jīng)歷“問題情境問題情境建立模型建立模型求解驗求解驗證證”的數(shù)學(xué)活動過程。的數(shù)學(xué)活動過

6、程。體現(xiàn)了體現(xiàn)了標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)2011中模型思想的基本要求，也中模型思想的基本要求，也有利于學(xué)生在過程中理解、掌握有關(guān)知識、技能，積有利于學(xué)生在過程中理解、掌握有關(guān)知識、技能，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，感悟模型思想的本質(zhì)。累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，感悟模型思想的本質(zhì)。這個過程與問題解決的過程有相似之處。這個過程與問題解決的過程有相似之處。2. 重視對數(shù)學(xué)模型的解構(gòu)、表征和變式。重視對數(shù)學(xué)模型的解構(gòu)、表征和變式。 “建立數(shù)學(xué)模型應(yīng)該是提取加還原的過程建立數(shù)學(xué)模型應(yīng)該是提取加還原的過程”1也就是也就是說在讓學(xué)生經(jīng)歷建模的過程后，還要注重模型的多種說在讓學(xué)生經(jīng)歷建模的過程后，還要注重模型的多種表征形式，包括模型的還原、生活

7、化。這樣有利于培表征形式，包括模型的還原、生活化。這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生建模的能力。如用方程解決問題就是一個建模養(yǎng)學(xué)生建模的能力。如用方程解決問題就是一個建模的過程。陳千舉老師的過程。陳千舉老師方程方程一課體現(xiàn)了這一理念。一課體現(xiàn)了這一理念。1吳正憲、張秋爽吳正憲、張秋爽對數(shù)學(xué)核心概念的思考對數(shù)學(xué)核心概念的思考，20122012年年課程教材教法課程教材教法增刊。增刊。.數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)是一個長期的過程。數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)是一個長期的過程。低年級學(xué)生的基礎(chǔ)知識目標(biāo)達(dá)到的水平、語言理低年級學(xué)生的基礎(chǔ)知識目標(biāo)達(dá)到的水平、語言理解水平、思維水平、生活經(jīng)驗等各方面因素都決定解水平、思維水平、生活經(jīng)驗等各方

8、面因素都決定了學(xué)生的建模能力培養(yǎng)的艱巨性、長期性。了學(xué)生的建模能力培養(yǎng)的艱巨性、長期性。 低年級的數(shù)學(xué)模型主要是應(yīng)用加、減、乘、除及低年級的數(shù)學(xué)模型主要是應(yīng)用加、減、乘、除及混合運算解決簡單的實際問題，重點是讓學(xué)生理解混合運算解決簡單的實際問題，重點是讓學(xué)生理解和掌握四則運算的概念，這是培養(yǎng)學(xué)生模型思想的和掌握四則運算的概念，這是培養(yǎng)學(xué)生模型思想的基礎(chǔ)?；A(chǔ)。傳統(tǒng)上，應(yīng)用題按類型進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生死記硬傳統(tǒng)上，應(yīng)用題按類型進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生死記硬背一些關(guān)鍵詞和公式。這樣做的結(jié)果是沒有抓住問背一些關(guān)鍵詞和公式。這樣做的結(jié)果是沒有抓住問題的核心，沒有真正培養(yǎng)分析問題、解決問題的能題的核心，沒有真正培養(yǎng)

9、分析問題、解決問題的能力，及抽象思維能力。力，及抽象思維能力。長期以來，我國的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育有一個重視訓(xùn)練技長期以來，我國的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育有一個重視訓(xùn)練技能的傳統(tǒng)，這是對的。但是一定要建立在基礎(chǔ)知識扎能的傳統(tǒng)，這是對的。但是一定要建立在基礎(chǔ)知識扎實的基礎(chǔ)上，這是最重要的。實的基礎(chǔ)上，這是最重要的。磨刀不誤砍柴工，在基礎(chǔ)知識扎實基礎(chǔ)上的技能訓(xùn)磨刀不誤砍柴工，在基礎(chǔ)知識扎實基礎(chǔ)上的技能訓(xùn)練能夠事半功倍；否則反之，有些老師進(jìn)行題海訓(xùn)練練能夠事半功倍；否則反之，有些老師進(jìn)行題海訓(xùn)練但成績不理想，道理就在于此。但成績不理想，道理就在于此?；A(chǔ)知識包括：概念、法則、性質(zhì)、定律、公式等?；A(chǔ)知識包括：概念、法則

10、、性質(zhì)、定律、公式等。要讓學(xué)生達(dá)到：要讓學(xué)生達(dá)到：了解理解掌握運用的水的水平。平。再讓學(xué)生經(jīng)歷、體驗、探索數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的過程。再讓學(xué)生經(jīng)歷、體驗、探索數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的過程。 以加法為例，學(xué)生對加法的理解有一個逐步抽象概以加法為例，學(xué)生對加法的理解有一個逐步抽象概括的過程。括的過程。加法的情境和題型非常豐富，從開始的兩個數(shù)相加，加法的情境和題型非常豐富，從開始的兩個數(shù)相加，用、的加法解決問題，用、的加法解決問題，10以內(nèi)的連加，個數(shù)相加以內(nèi)的連加，個數(shù)相加打破了加法是打破了加法是熟悉情境的傳熟悉情境的傳統(tǒng)。需要從加統(tǒng)。需要從加法的概念入手，法的概念入手，去理解用加法去理解用加法計算的道理。計算的道

11、理。一下：一下：同數(shù)相加同數(shù)相加的加法的加法二上：二上：求比一個數(shù)多求比一個數(shù)多幾的數(shù)。幾的數(shù)。二上：二上：連續(xù)兩問的連續(xù)兩問的問題。問題。二上：二上：多個數(shù)相加。多個數(shù)相加。案例：二年級班男生有案例：二年級班男生有26 人，女生有人，女生有29人。二年人。二年級班一共有多少學(xué)生？級班一共有多少學(xué)生？案例：二年級班男生有案例：二年級班男生有26 人，女生比男生多人。人，女生比男生多人。二年級班有多少女生？二年級班有多少女生？案例：二年級班男生有案例：二年級班男生有26 人，男生比女生少人。人，男生比女生少人。二年級班有多少女生？二年級班有多少女生？第題傳統(tǒng)上是反敘的應(yīng)用題，難度較大，低年級第題

12、傳統(tǒng)上是反敘的應(yīng)用題，難度較大，低年級不再編排。同時說明有部分學(xué)生對加法的概念還沒有不再編排。同時說明有部分學(xué)生對加法的概念還沒有達(dá)到理解和掌握的水平。達(dá)到理解和掌握的水平。實際上即使用方程解決此類問題，也需要學(xué)生理解實際上即使用方程解決此類問題，也需要學(xué)生理解“男生比女生少人男生比女生少人”這句話，才能正確列出方程。這句話，才能正確列出方程。 需要學(xué)生理解各種生活語言，不僅僅是看到一共用需要學(xué)生理解各種生活語言，不僅僅是看到一共用加法，如前面案例，再轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言：加法，如前面案例，再轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言：abc最后抽象概括出最后抽象概括出“把若干個數(shù)合并成一個數(shù)的運算，把若干個數(shù)合并成一個數(shù)的運

13、算，就是加法就是加法”。 再比如等式的性質(zhì)，如何做到真正理解和掌握。再比如等式的性質(zhì)，如何做到真正理解和掌握。 有些老師會問形如有些老師會問形如ax=b, ax=b的方程如何解。的方程如何解。說明對等式的性質(zhì)還沒有完全理解和掌握，等式的性說明對等式的性質(zhì)還沒有完全理解和掌握，等式的性質(zhì)中說的數(shù)可以是已知數(shù)，也可以是未知數(shù)。質(zhì)中說的數(shù)可以是已知數(shù)，也可以是未知數(shù)。4數(shù)學(xué)建模可分為以下幾個層次。數(shù)學(xué)建?？煞譃橐韵聨讉€層次。第一，學(xué)生可以經(jīng)歷構(gòu)建模型的探索過程。第一，學(xué)生可以經(jīng)歷構(gòu)建模型的探索過程。現(xiàn)實生活中已有的數(shù)學(xué)模型基本上是數(shù)學(xué)家、物理現(xiàn)實生活中已有的數(shù)學(xué)模型基本上是數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家等科學(xué)家們

14、把數(shù)學(xué)應(yīng)用于各個科學(xué)領(lǐng)域經(jīng)過艱辛學(xué)家等科學(xué)家們把數(shù)學(xué)應(yīng)用于各個科學(xué)領(lǐng)域經(jīng)過艱辛的研究創(chuàng)造出來的，使得我們能夠享受現(xiàn)有的成果。的研究創(chuàng)造出來的，使得我們能夠享受現(xiàn)有的成果。如阿基米德發(fā)現(xiàn)了杠桿定律：平衡的杠桿，物體到如阿基米德發(fā)現(xiàn)了杠桿定律：平衡的杠桿，物體到杠桿支點的距離之比，等于兩個物體質(zhì)量的反比，即杠桿支點的距離之比，等于兩個物體質(zhì)量的反比，即1：22：L1。在學(xué)習(xí)了反比例關(guān)系以后，可。在學(xué)習(xí)了反比例關(guān)系以后，可以利用簡單的學(xué)具進(jìn)行操作實驗，探索杠桿定律。以利用簡單的學(xué)具進(jìn)行操作實驗，探索杠桿定律。 再如各種圖形的周長、面積、體積公式的探索，運再如各種圖形的周長、面積、體積公式的探索，運算

15、定律的探索等等。算定律的探索等等。第二，有些數(shù)學(xué)模型，由學(xué)生進(jìn)行探索是有難度的。第二，有些數(shù)學(xué)模型，由學(xué)生進(jìn)行探索是有難度的。如物體運動的路程、時間和速度的關(guān)系為如物體運動的路程、時間和速度的關(guān)系為s=vt，利用，利用這個基本模型可以解決各種有關(guān)勻速運動的簡單的實際這個基本模型可以解決各種有關(guān)勻速運動的簡單的實際問題。但是由于這個模型比較抽象，不適合學(xué)生進(jìn)行探問題。但是由于這個模型比較抽象，不適合學(xué)生進(jìn)行探索。教師只需要通過現(xiàn)實模擬或者動畫模擬，使學(xué)生能索。教師只需要通過現(xiàn)實模擬或者動畫模擬，使學(xué)生能夠理解模型的意義便可。再如反比例關(guān)系等，讓學(xué)生進(jìn)夠理解模型的意義便可。再如反比例關(guān)系等，讓學(xué)生

16、進(jìn)行實驗探究也是有難度的，可借助表格的數(shù)據(jù)讓學(xué)生發(fā)行實驗探究也是有難度的，可借助表格的數(shù)據(jù)讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，理解概念?，F(xiàn)規(guī)律，理解概念。第三，應(yīng)用已經(jīng)掌握的模型解決問題。第三，應(yīng)用已經(jīng)掌握的模型解決問題。前面兩條說的是新知識的學(xué)習(xí)，第前面兩條說的是新知識的學(xué)習(xí)，第3條說的是學(xué)生學(xué)條說的是學(xué)生學(xué)習(xí)了教材上的各種基本模型以后，利用已有知識解決習(xí)了教材上的各種基本模型以后，利用已有知識解決新的更加復(fù)雜的各種問題，能夠舉一反三。如方程、新的更加復(fù)雜的各種問題，能夠舉一反三。如方程、正比例、反比例、植樹問題、雞兔同籠、找次品、抽正比例、反比例、植樹問題、雞兔同籠、找次品、抽屜原理等。屜原理等。 以植樹問題

17、為例，可以封閉圓圈植樹為核心模型，以植樹問題為例，可以封閉圓圈植樹為核心模型，演變出其他模型。演變出其他模型。 點與間隔一一對應(yīng)，長度點與間隔一一對應(yīng)，長度間隔間隔=棵數(shù)。再根據(jù)實棵數(shù)。再根據(jù)實際情況演變出其他模型。際情況演變出其他模型。一端栽一端不栽：長度一端栽一端不栽：長度間隔間隔=棵數(shù)棵數(shù) 兩端都栽：長度兩端都栽：長度間隔間隔+1=棵數(shù)棵數(shù)兩端都不栽：長度兩端都不栽：長度間隔間隔1=棵數(shù)棵數(shù)四、四、 小學(xué)數(shù)學(xué)中主要的數(shù)學(xué)模型小學(xué)數(shù)學(xué)中主要的數(shù)學(xué)模型(一一)數(shù)與代數(shù)數(shù)與代數(shù)1. 用數(shù)字和圖形表示有規(guī)律的數(shù)列或圖形。用數(shù)字和圖形表示有規(guī)律的數(shù)列或圖形。一下，找規(guī)律一下，找規(guī)律 找規(guī)律，填數(shù)。

18、 1，6，11，16，21， ，。 這列數(shù)中小于100的最大數(shù)是 ，第n項是 。y5n+1，96。 一個一個地加是算術(shù)思維，建模是代數(shù)思維。低年級讓學(xué)生感受、了解數(shù)學(xué)模型，在高年級，注意從算在高年級，注意從算術(shù)思維到代數(shù)思維的過渡，培養(yǎng)代數(shù)思維。術(shù)思維到代數(shù)思維的過渡，培養(yǎng)代數(shù)思維。2. 數(shù)的運算。數(shù)的運算。a+b=c，ca =b, cba，abc(a0,b0)，ca=b, cba四則運算關(guān)系式是小學(xué)數(shù)學(xué)最基本的數(shù)學(xué)模型，其四則運算關(guān)系式是小學(xué)數(shù)學(xué)最基本的數(shù)學(xué)模型，其他很多模型都是在此基礎(chǔ)上的進(jìn)一步發(fā)展。他很多模型都是在此基礎(chǔ)上的進(jìn)一步發(fā)展。加法交換律：a+b=b+a加法結(jié)合律：a+b+c=a

19、+(b+c)乘法交換律：ab=ba乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac運算律的探運算律的探索過程也是建索過程也是建模的過程。模的過程。3. 數(shù)量關(guān)系式。數(shù)量關(guān)系式。時間、速度和路程：時間、速度和路程：s=vt數(shù)量、單價和總價：數(shù)量、單價和總價：a=np工效工效時間工作總量時間工作總量單產(chǎn)單產(chǎn)面積面積=總產(chǎn)總產(chǎn) 耗油量耗油量/千米千米千米數(shù)千米數(shù)=總耗油量總耗油量消耗量消耗量/天天天數(shù)天數(shù)=總消耗量總消耗量 合格率合格率=合格產(chǎn)品數(shù)合格產(chǎn)品數(shù)產(chǎn)品總數(shù)產(chǎn)品總數(shù) 100%發(fā)芽率發(fā)芽率=發(fā)芽種子數(shù)發(fā)芽種子數(shù)種子總數(shù)種子總數(shù) 100%出勤率出勤率=實際出勤人數(shù)實際出勤人

20、數(shù)應(yīng)出勤人數(shù)應(yīng)出勤人數(shù) 100%以上數(shù)量關(guān)系式的變式也很重要，可以培養(yǎng)學(xué)生的以上數(shù)量關(guān)系式的變式也很重要，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和辯證思維能力。邏輯思維和辯證思維能力。速度一定：路程時間定值速度一定：路程時間定值單價一定：總價數(shù)量定值單價一定：總價數(shù)量定值工效一定：工作總量時間定值工效一定：工作總量時間定值單產(chǎn)一定：總產(chǎn)面積單產(chǎn)一定：總產(chǎn)面積=定值定值耗油量耗油量/千米一定：總耗油量千米數(shù)千米一定：總耗油量千米數(shù)=定值定值 下面討論以數(shù)學(xué)模型為核心的問題解決的教學(xué)。下面討論以數(shù)學(xué)模型為核心的問題解決的教學(xué)。傳統(tǒng)上應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)是與四則運算、混合運算相匹傳統(tǒng)上應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)是與四則運算、混合運算相匹

21、配，包括有連續(xù)兩問的應(yīng)用題、相似應(yīng)用題的比較，配，包括有連續(xù)兩問的應(yīng)用題、相似應(yīng)用題的比較，現(xiàn)在有問題串，這些都是很好的做法和經(jīng)驗，是知識現(xiàn)在有問題串，這些都是很好的做法和經(jīng)驗，是知識結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。這種結(jié)構(gòu)是線性的。以基本模型和問題結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。這種結(jié)構(gòu)是線性的。以基本模型和問題為核心，構(gòu)建問題鏈，可以是網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，從而最大限為核心，構(gòu)建問題鏈，可以是網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，從而最大限度地整合豐富多彩的問題。度地整合豐富多彩的問題。以以svt為例，模型結(jié)構(gòu)圖如下，為例，模型結(jié)構(gòu)圖如下，a是常數(shù)。請老師是常數(shù)。請老師自己編題。自己編題。案例案例1：甲地到乙地原來運行的是動車，上午：甲地到乙地原來運行的是動車，上午8

22、時出發(fā)時出發(fā)中午中午12時到達(dá)，運行路程是時到達(dá)，運行路程是700千米?，F(xiàn)在運行的是千米?，F(xiàn)在運行的是高鐵，每小時比動車快高鐵，每小時比動車快105千米，上午千米，上午8時出發(fā)，幾時時出發(fā)，幾時到達(dá)？到達(dá)？分析：分析：(1)此題是生活中的實際問題，屬于時間、速度、路程此題是生活中的實際問題，屬于時間、速度、路程的問題，要解決的問題是求高鐵的運行時間的問題，要解決的問題是求高鐵的運行時間, t=sv。(2)S不變，不變，v比原來大，可用比原來大，可用t1=s(v+a)的數(shù)學(xué)模型。的數(shù)學(xué)模型。(3)根據(jù)題中的信息根據(jù)題中的信息, v=700 4=175，a=105。 所以所以v+a=175+105

23、=280。則。則t1=7002802.5。(4)高鐵高鐵8時出發(fā)，時出發(fā)，10:30 到達(dá)。到達(dá)。案例案例2：甲乙兩地相距：甲乙兩地相距1200米，王老師以每分米，王老師以每分80米的米的速度從甲地向乙地步行，同時一只狗以每分速度從甲地向乙地步行，同時一只狗以每分120米的速米的速度從甲地向乙地跑去，到達(dá)乙地后立即往回跑，與王度從甲地向乙地跑去，到達(dá)乙地后立即往回跑，與王老師相遇后，繼續(xù)重復(fù)以上動作，直到王老師到達(dá)乙老師相遇后，繼續(xù)重復(fù)以上動作，直到王老師到達(dá)乙地為止。這只狗一共跑了多少米？地為止。這只狗一共跑了多少米？ 分析：這道題的本質(zhì)是關(guān)于分析：這道題的本質(zhì)是關(guān)于s、v、t之間的數(shù)量關(guān)系

24、，之間的數(shù)量關(guān)系，s=vt這一模型。求的是狗的這一模型。求的是狗的s，v已經(jīng)知道了，需要先已經(jīng)知道了，需要先求出求出t；表面上看狗跑來跑去不知如何計算路程，實際；表面上看狗跑來跑去不知如何計算路程，實際上狗跑的時間與王老師走的時間是相等的。上狗跑的時間與王老師走的時間是相等的。很顯然，王老師走的時間很容易求出來。很顯然，王老師走的時間很容易求出來。 t12008015(分分)s12015=1800(米米)4. 用字母表示數(shù)、代數(shù)式、方程、函數(shù)。用字母表示數(shù)、代數(shù)式、方程、函數(shù)。ax+b=c正比例關(guān)系：正比例關(guān)系：y/x=k反比例關(guān)系：反比例關(guān)系：xy=k ( (1)方程和函數(shù)的概念。方程和函數(shù)

25、的概念。方程和函數(shù)是初等數(shù)學(xué)代數(shù)領(lǐng)域的主要內(nèi)容，也是方程和函數(shù)是初等數(shù)學(xué)代數(shù)領(lǐng)域的主要內(nèi)容，也是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的重要工具，它們都可以用來應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的重要工具，它們都可以用來描述現(xiàn)實世界的各種數(shù)量關(guān)系，而且它們之間有著密描述現(xiàn)實世界的各種數(shù)量關(guān)系，而且它們之間有著密切的聯(lián)系，因此，將二者放在一起進(jìn)行討論。切的聯(lián)系，因此，將二者放在一起進(jìn)行討論。方程。方程。含有未知數(shù)的等式叫方程。方程按照未知數(shù)的個含有未知數(shù)的等式叫方程。方程按照未知數(shù)的個數(shù)和未知數(shù)的最高次數(shù)，可以分為一元一次方程、一數(shù)和未知數(shù)的最高次數(shù)，可以分為一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、三元一次方程等等，這元二次

26、方程、二元一次方程、三元一次方程等等，這些都是初等數(shù)學(xué)代數(shù)領(lǐng)域中最基本的內(nèi)容。方程思想些都是初等數(shù)學(xué)代數(shù)領(lǐng)域中最基本的內(nèi)容。方程思想的核心是將問題中的未知量用數(shù)字以外的數(shù)學(xué)符號的核心是將問題中的未知量用數(shù)字以外的數(shù)學(xué)符號（常用（常用、y等字母）表示，根據(jù)相關(guān)數(shù)量之間的等字母）表示，根據(jù)相關(guān)數(shù)量之間的相等關(guān)系相等關(guān)系構(gòu)建方程模型。構(gòu)建方程模型。方程思想體現(xiàn)了已知與未知的對立統(tǒng)一。方程思想體現(xiàn)了已知與未知的對立統(tǒng)一。函數(shù)。函數(shù)。設(shè)集合、是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種確定設(shè)集合、是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系的對應(yīng)關(guān)系，如果對于集合中的任意一個數(shù)，如果對于集合中的任意一個數(shù)，在集，在集

27、合中都有唯一確定的數(shù)合中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱和它對應(yīng)，那么就稱y是是的函的函數(shù)，記作數(shù)，記作y()。其中。其中叫做自變量，叫做自變量，的取值范圍叫的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，做函數(shù)的定義域，y叫做函數(shù)或因變量，與叫做函數(shù)或因變量，與相對應(yīng)的相對應(yīng)的y的的值叫做函數(shù)值，值叫做函數(shù)值，y的取值范圍叫做值域。以上函數(shù)的定義的取值范圍叫做值域。以上函數(shù)的定義是從初等數(shù)學(xué)的角度出發(fā)的，自變量只有一個，與之對應(yīng)是從初等數(shù)學(xué)的角度出發(fā)的，自變量只有一個，與之對應(yīng)的函數(shù)值也是唯一的。這樣的函數(shù)研究的是兩個變量之間的函數(shù)值也是唯一的。這樣的函數(shù)研究的是兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，一個變量的取值發(fā)生了

28、變化，另一個變量的的對應(yīng)關(guān)系，一個變量的取值發(fā)生了變化，另一個變量的取值也相應(yīng)發(fā)生變化，中學(xué)里學(xué)習(xí)的正比例函數(shù)、一次函取值也相應(yīng)發(fā)生變化，中學(xué)里學(xué)習(xí)的正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等都是這類數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等都是這類函數(shù)。函數(shù)。 實際上現(xiàn)實生活中還有很多情況是一個變量會隨實際上現(xiàn)實生活中還有很多情況是一個變量會隨著幾個變量的變化而相應(yīng)地變化，這樣的函數(shù)是多元函著幾個變量的變化而相應(yīng)地變化，這樣的函數(shù)是多元函數(shù)。雖然在中小學(xué)里不學(xué)習(xí)多元函數(shù)，但實際上它是存數(shù)。雖然在中小學(xué)里不學(xué)習(xí)多元函數(shù)，但實際上它是存在的，如圓柱的體積與底面半徑在的，如圓柱的

29、體積與底面半徑r和圓柱的高的關(guān)系：和圓柱的高的關(guān)系：rh。半徑和高有一對取值，體積就會相應(yīng)地有。半徑和高有一對取值，體積就會相應(yīng)地有一個取值。一個取值。 函數(shù)思想的核心是事物的變量之間有一種依存關(guān)函數(shù)思想的核心是事物的變量之間有一種依存關(guān)系，因變量隨著自變量的變化而變化，通過對這種變化系，因變量隨著自變量的變化而變化，通過對這種變化的探究找出變量之間的對應(yīng)法則，從而構(gòu)建函數(shù)模型。的探究找出變量之間的對應(yīng)法則，從而構(gòu)建函數(shù)模型。函數(shù)思想體現(xiàn)了運動變化的觀點。函數(shù)思想體現(xiàn)了運動變化的觀點。(2) 方程和函數(shù)的關(guān)系。方程和函數(shù)的關(guān)系。從小學(xué)數(shù)學(xué)到中學(xué)數(shù)學(xué)，數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域經(jīng)歷了從算術(shù)從小學(xué)數(shù)學(xué)到中學(xué)數(shù)學(xué)

30、，數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域經(jīng)歷了從算術(shù)到方程再到函數(shù)的過程。算術(shù)研究具體的確定的常量以及到方程再到函數(shù)的過程。算術(shù)研究具體的確定的常量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系。方程研究確定的常量和未知的常量它們之間的數(shù)量關(guān)系。方程研究確定的常量和未知的常量或變量之間的數(shù)量關(guān)系。函數(shù)研究變量之間的數(shù)量關(guān)系?；蜃兞恐g的數(shù)量關(guān)系。函數(shù)研究變量之間的數(shù)量關(guān)系。方程和函數(shù)雖然都是表示數(shù)量關(guān)系的，但是它們有方程和函數(shù)雖然都是表示數(shù)量關(guān)系的，但是它們有本質(zhì)的區(qū)別。如一元一次方程中的未知數(shù)是常量，而本質(zhì)的區(qū)別。如一元一次方程中的未知數(shù)是常量，而一次函數(shù)中的自變量和因變量一定是變量，因此二者一次函數(shù)中的自變量和因變量一定是變量，因此二者有

31、本質(zhì)的不同。方程必須有未知數(shù)，未知數(shù)往往是常有本質(zhì)的不同。方程必須有未知數(shù)，未知數(shù)往往是常量，而且一定用等式的形式呈現(xiàn)，二者缺一不可，如量，而且一定用等式的形式呈現(xiàn)，二者缺一不可，如246。而函數(shù)至少要有兩個變量，兩個變量依據(jù)。而函數(shù)至少要有兩個變量，兩個變量依據(jù)一定的法則相對應(yīng)，呈現(xiàn)的形式可以有解析式、圖象一定的法則相對應(yīng)，呈現(xiàn)的形式可以有解析式、圖象法和列表法等，如集合為大于等于法和列表法等，如集合為大于等于1 、小于等于、小于等于10的整數(shù)，集合為小于等于的整數(shù)，集合為小于等于20的正偶數(shù)。那么兩個集的正偶數(shù)。那么兩個集合的數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系可以用合的數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系可以用y2表示，也可以

32、用表示，也可以用圖象表示，還可以用如下的表格表示。圖象表示，還可以用如下的表格表示。12345678910 y2468101214161820人們運用方程思想，一般關(guān)注的是通過設(shè)未知數(shù)如何找人們運用方程思想，一般關(guān)注的是通過設(shè)未知數(shù)如何找出數(shù)量之間的相等關(guān)系構(gòu)建方程并求出方程的解，從而解出數(shù)量之間的相等關(guān)系構(gòu)建方程并求出方程的解，從而解決數(shù)學(xué)問題和實際問題。人們運用函數(shù)思想，一般更加關(guān)決數(shù)學(xué)問題和實際問題。人們運用函數(shù)思想，一般更加關(guān)注變量之間的對應(yīng)關(guān)系，通過構(gòu)建函數(shù)模型并研究函數(shù)的注變量之間的對應(yīng)關(guān)系，通過構(gòu)建函數(shù)模型并研究函數(shù)的一些性質(zhì)來解決數(shù)學(xué)問題和實際問題。方程中的未知數(shù)有一些性質(zhì)來解

33、決數(shù)學(xué)問題和實際問題。方程中的未知數(shù)有時是靜態(tài)的、有時是動態(tài)的，而函數(shù)中的變量則一定是動時是靜態(tài)的、有時是動態(tài)的，而函數(shù)中的變量則一定是動態(tài)的。方程已經(jīng)有態(tài)的。方程已經(jīng)有3000多年的歷史，而函數(shù)概念的產(chǎn)生多年的歷史，而函數(shù)概念的產(chǎn)生不過才不過才300年。年。 方程中的未知數(shù)有時是動態(tài)的，方程中的未知數(shù)有時是動態(tài)的， 如圓的方程：如圓的方程： x + y = 1, 雖然雖然x、y在區(qū)間在區(qū)間-1，1內(nèi)內(nèi)可以取任意數(shù)值，可以取任意數(shù)值，x和和y可以理解為變量，但不是函數(shù)關(guān)可以理解為變量，但不是函數(shù)關(guān)系，因為每對確定的絕對值相等系，因為每對確定的絕對值相等x的值（的值（0除外），如除外），如+0.

34、6、-0.6，都有兩個都有兩個y的值與之對應(yīng)，如的值與之對應(yīng)，如+0.8、-0.8。不滿足函數(shù)的自變量與因變量一對一或者多對一的法則。不滿足函數(shù)的自變量與因變量一對一或者多對一的法則。 如果把圓的方程變換為半圓的方程：如果把圓的方程變換為半圓的方程： y = 。 就可以看成就可以看成y是是x的函數(shù)。的函數(shù)。 21x(3) 方程和函數(shù)的教學(xué)。方程和函數(shù)的教學(xué)。方程和函數(shù)是中小學(xué)數(shù)學(xué)，尤其是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)方程和函數(shù)是中小學(xué)數(shù)學(xué)，尤其是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一。方程和函數(shù)在研究和構(gòu)建現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系容之一。方程和函數(shù)在研究和構(gòu)建現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系模型方面，發(fā)揮著重要的作用。模型方面，發(fā)揮著重要的作

35、用。 小學(xué)數(shù)學(xué)教材中比例的內(nèi)容，比例的應(yīng)用，一般用含小學(xué)數(shù)學(xué)教材中比例的內(nèi)容，比例的應(yīng)用，一般用含有一個未知數(shù)的比例關(guān)系式解決問題。偏向于方程思想，有一個未知數(shù)的比例關(guān)系式解決問題。偏向于方程思想，忽視了函數(shù)思想。忽視了函數(shù)思想。 某地某時物體的影長與該物體的高度成正比例，小蘭某地某時物體的影長與該物體的高度成正比例，小蘭的身高為的身高為1.5m，影長為，影長為2.4m。 (1)任意物體影長與高度的正比例關(guān)系式為任意物體影長與高度的正比例關(guān)系式為 。(2)此時此地測得一棵樹的影長為此時此地測得一棵樹的影長為4m，這棵樹高，這棵樹高 m。 案例案例1：媽媽買了：媽媽買了3千克香蕉和千克香蕉和2千

36、克蘋果，一共花了千克蘋果，一共花了21元。蘋果的價格是香蕉的元。蘋果的價格是香蕉的2倍，蘋果和香蕉的單價各是倍，蘋果和香蕉的單價各是多少？多少？分析：題目涉及的是商品的數(shù)量、單價和總價的關(guān)系，分析：題目涉及的是商品的數(shù)量、單價和總價的關(guān)系，根據(jù)數(shù)量關(guān)系根據(jù)數(shù)量關(guān)系“單價單價數(shù)量總價數(shù)量總價”進(jìn)行分析，題中出現(xiàn)進(jìn)行分析，題中出現(xiàn)了兩種商品，總價也是兩種商品的總價。所以等量關(guān)系應(yīng)了兩種商品，總價也是兩種商品的總價。所以等量關(guān)系應(yīng)為為“香蕉的單價香蕉的單價香蕉的數(shù)量蘋果的單價香蕉的數(shù)量蘋果的單價蘋果的數(shù)量蘋果的數(shù)量總價總價”。再根據(jù)這個等量關(guān)系找出題中已知的量，總價。再根據(jù)這個等量關(guān)系找出題中已知的

37、量，總價21元、香蕉的數(shù)量元、香蕉的數(shù)量3千克和蘋果的數(shù)量千克和蘋果的數(shù)量2千克。未知的是千克。未知的是香蕉和蘋果的單價，也就是題目中要求的量。設(shè)香蕉的單香蕉和蘋果的單價，也就是題目中要求的量。設(shè)香蕉的單價是價是元千克，蘋果的單價是元千克，蘋果的單價是y元千克。元千克。根據(jù)題意，可列出如下方程。根據(jù)題意，可列出如下方程。32y21，y2。根據(jù)等量代換的原理，兩個方。根據(jù)等量代換的原理，兩個方程可合并成一個方程，程可合并成一個方程，32 221。這是在小學(xué)。這是在小學(xué)數(shù)學(xué)中遇到含有有關(guān)系的兩個未知數(shù)的方程時能夠直數(shù)學(xué)中遇到含有有關(guān)系的兩個未知數(shù)的方程時能夠直接列出一個方程的依據(jù)。如和倍、差倍、雞

38、兔同籠等接列出一個方程的依據(jù)。如和倍、差倍、雞兔同籠等問題，用方程解決也是利用了這個原理。解方程，問題，用方程解決也是利用了這個原理。解方程，3, y6。案例案例2：小明家的果園供游人采摘桃，每千克：小明家的果園供游人采摘桃，每千克10元。元。請寫出銷售桃的總價請寫出銷售桃的總價(總收入總收入)y元與數(shù)量元與數(shù)量(千克數(shù)千克數(shù)) 之間之間的關(guān)系式。如果某天的銷量是的關(guān)系式。如果某天的銷量是50千克，這天的總收入千克，這天的總收入是多少？如果上個月的總收入是是多少？如果上個月的總收入是12000元，上個月的銷元，上個月的銷量是多少千克？量是多少千克？分析：此題涉及的也是商品的單價、數(shù)量和總價的分

39、析：此題涉及的也是商品的單價、數(shù)量和總價的關(guān)系，仍然要根據(jù)數(shù)量關(guān)系關(guān)系，仍然要根據(jù)數(shù)量關(guān)系“單價單價數(shù)量總價數(shù)量總價”進(jìn)進(jìn)行分析。根據(jù)題意，已知的量是單價，未知的量是總行分析。根據(jù)題意，已知的量是單價，未知的量是總價和數(shù)量，題目已經(jīng)告訴我們分別用價和數(shù)量，題目已經(jīng)告訴我們分別用y和和表示。因為表示。因為桃的單價一定，所以它的總價與數(shù)量成正比例，可列桃的單價一定，所以它的總價與數(shù)量成正比例，可列關(guān)系式：關(guān)系式：y10。某天的銷量是。某天的銷量是50千克，總收入是千克，總收入是500元。上個月的總收入是元。上個月的總收入是12000元，銷量是元，銷量是1200千克。千克。 案例案例2與案例與案例1

40、相比較，都有兩個量分別用相比較，都有兩個量分別用y和和表示。表示。案例案例1中的中的y和和雖然是未知的量，但是它們實際上是具雖然是未知的量，但是它們實際上是具體的靜止的常量，都有一個確定的值，通過解方程可以體的靜止的常量，都有一個確定的值，通過解方程可以得到它們的值。案例得到它們的值。案例2的兩個量的兩個量y和和則是相關(guān)聯(lián)的變化則是相關(guān)聯(lián)的變化的量，的量，的取值可以是一定范圍內(nèi)的取值可以是一定范圍內(nèi) (果園內(nèi)桃子總質(zhì)量果園內(nèi)桃子總質(zhì)量的最大值以內(nèi)的最大值以內(nèi)) 的任何一個數(shù)，的任何一個數(shù)，y隨隨的變化而變化。只的變化而變化。只有有y和和中的一個量取一個具體的值時，另一個量才會中的一個量取一個具

41、體的值時，另一個量才會相應(yīng)地取一個具體的值。如案例相應(yīng)地取一個具體的值。如案例2中的具體問題的解答。中的具體問題的解答。案例案例3:3:無限循環(huán)小數(shù)無限循環(huán)小數(shù)0.7770.777和和0.7474740.747474如何化成如何化成分?jǐn)?shù)？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？分?jǐn)?shù)？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？分析：根據(jù)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系，有限小數(shù)化分?jǐn)?shù)比較分析：根據(jù)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系，有限小數(shù)化分?jǐn)?shù)比較容易進(jìn)行。由于無限小數(shù)的數(shù)位是無限的，不能直接容易進(jìn)行。由于無限小數(shù)的數(shù)位是無限的，不能直接用有限小數(shù)化分?jǐn)?shù)的方法進(jìn)行。根據(jù)循環(huán)小數(shù)的循環(huán)用有限小數(shù)化分?jǐn)?shù)的方法進(jìn)行。根據(jù)循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)不斷重復(fù)出現(xiàn)的特點，循環(huán)節(jié)有幾位數(shù)字，就把

42、這節(jié)不斷重復(fù)出現(xiàn)的特點，循環(huán)節(jié)有幾位數(shù)字，就把這個循環(huán)小數(shù)乘個循環(huán)小數(shù)乘1010的幾次方；它的左起第一個循環(huán)節(jié)就的幾次方；它的左起第一個循環(huán)節(jié)就變成了整數(shù)部分，而循環(huán)小數(shù)部分不會改變；二者的變成了整數(shù)部分，而循環(huán)小數(shù)部分不會改變；二者的小數(shù)部分相同，二者的差為循環(huán)節(jié)變成的整數(shù)部分。小數(shù)部分相同，二者的差為循環(huán)節(jié)變成的整數(shù)部分。因此，可利用差倍問題的原理，列方程解決問題。如因此，可利用差倍問題的原理，列方程解決問題。如設(shè)設(shè)0.777，那么，那么107.777,求它們的差，求它們的差， 107，解方程，解方程，所以所以0.777。同理可得，同理可得，10074，所以，所以0.747474。無限循環(huán)

43、小數(shù)化分?jǐn)?shù)的規(guī)律是，把循環(huán)節(jié)作為分子，無限循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的規(guī)律是，把循環(huán)節(jié)作為分子，循環(huán)節(jié)有幾位數(shù)字，分母就是由幾個循環(huán)節(jié)有幾位數(shù)字，分母就是由幾個9組成的幾位數(shù)。組成的幾位數(shù)。997499749797案例案例4:2006年廣州市中考題。年廣州市中考題。 目前廣州市小學(xué)和初中在校生共有約萬人，目前廣州市小學(xué)和初中在校生共有約萬人，其中小學(xué)生在校人數(shù)比初中生在校人數(shù)的倍多其中小學(xué)生在校人數(shù)比初中生在校人數(shù)的倍多萬人。萬人。（）求目前廣州市在校小學(xué)生人數(shù)和初中生人數(shù)。（）求目前廣州市在校小學(xué)生人數(shù)和初中生人數(shù)。（）假設(shè)今年小學(xué)生每人需交雜費元，初中（）假設(shè)今年小學(xué)生每人需交雜費元，初中生每人需交雜費元，而這些費用全部由廣州市生每人需交雜費元，而這些費用全部由廣州市政府撥款解決，則廣州市要為此撥款多少？政府撥款解決，則廣州市要為此撥款多少