新北師大版九下數(shù)學(xué)33垂徑定理

1、3.3垂徑定理不要說成“圓的直徑”呦！圓的對稱性圓的對稱性v圓是軸對稱圖形嗎？圓是軸對稱圖形嗎？如果是如果是, ,它的對稱軸是什么它的對稱軸是什么? ?你能找到多少你能找到多少條對稱軸？條對稱軸？ 你是用什么方法解決上述問題的你是用什么方法解決上述問題的? ?v圓是軸對稱圖形圓是軸對稱圖形. .圓的對稱軸是任意一條經(jīng)圓的對稱軸是任意一條經(jīng)過圓心的直線過圓心的直線, ,它有無數(shù)條對稱軸它有無數(shù)條對稱軸. .可利用折疊的方法即可解決上述問題可利用折疊的方法即可解決上述問題. .O圓的相關(guān)概念：弧、弦、直徑圓的相關(guān)概念：弧、弦、直徑v圓上任意兩點間的部分叫做圓上任意兩點間的部分叫做圓弧圓弧, ,簡稱

2、簡稱弧弧. .v直徑直徑將圓分成兩部分將圓分成兩部分, ,每一部分都叫每一部分都叫做半圓做半圓( (如圓弧如圓弧ABC).ABC).連接圓上任意兩點間的線段叫做連接圓上任意兩點間的線段叫做弦弦( (如弦如弦AB).AB).O經(jīng)過圓心的弦叫做經(jīng)過圓心的弦叫做直徑直徑( (如直徑如直徑AC).AC).直徑是圓中直徑是圓中最大的弦。最大的弦。ABAB以以A,BA,B兩點為端點的兩點為端點的弧弧. .記作記作 , ,讀作讀作“弧弧AB”.AB”.AB 小于半圓的弧叫做小于半圓的弧叫做劣弧劣弧, ,如記作如記作 ABCABD大于半圓的弧叫做大于半圓的弧叫做優(yōu)弧優(yōu)弧, ,如記作如記作 D直徑是弦，但弦不一

3、定是直徑；直徑是弦，但弦不一定是直徑；半圓是弧，但弧不一定是半圓；半圓是弧，但弧不一定是半圓；半圓既不是劣弧，也不是優(yōu)弧半圓既不是劣弧，也不是優(yōu)弧 注意：注意：問題問題1 1： 垂直于弦的直徑垂直于弦的直徑有什么特點？有什么特點？ 如圖如圖ABAB是是OO的一條弦的一條弦. .作直徑作直徑CDCD，使，使CDABCDAB垂足垂足M.M.(2)(2)你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系? ?說說你的理由說說你的理由. .O(1)(1)下下圖是軸對稱圖形嗎圖是軸對稱圖形嗎? ?如果是如果是, ,其對稱軸是什么其對稱軸是什么? ?ABCDM小明發(fā)現(xiàn)小明發(fā)現(xiàn)AM=BM,AC=BC,AD

4、=BDAM=BM,AC=BC,AD=BD。他是這樣想的：。他是這樣想的： 連接連接OA,OB,OA,OB, 則則OA=OB.OA=OB.在在RtOAM和和RtOBM中中, OA=OB，OM=OMRtOAM RtOBM. AM=BM.點點A A和點和點B B關(guān)于關(guān)于CDCD對稱對稱. .O O關(guān)于直徑關(guān)于直徑CDCD對稱對稱, ,當(dāng)圓沿著直徑當(dāng)圓沿著直徑CDCD對折時對折時, ,點點A A與點與點B B重合重合, ,ACAC和和BCBC重合重合, ,ADAD和和BDBD重合重合. . AC =BC,AD =BD.定理定理 垂直于弦的直徑平分這條弦垂直于弦的直徑平分這條弦, ,并且平分弦所并且平分

5、弦所對的兩條弧對的兩條弧. .垂徑定理垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦垂直于弦的直徑平分這條弦, ,并且平分弦所并且平分弦所對的兩條弧對的兩條弧. .OABCDMCDAB,CDAB,如圖如圖 CDCD是直徑是直徑, ,AM=BM,AM=BM, AC = BC,AC = BC, AD = BD.AD = BD. 可以是直徑，也可以是可以是直徑，也可以是 半徑，還可以是過圓心的半徑，還可以是過圓心的 直直線或線段。線或線段。問題問題2 2 平分弦的直徑平分弦的直徑有什么特點？有什么特點？ABAB是是OO的弦（不是直徑的弦（不是直徑),),作一條平分作一條平分ABAB的直徑的直徑CD,CD,交交AB

6、AB于點于點M.M. .（2 2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系? ?說說你的理由說說你的理由. .O（1 1）下）下圖是軸對稱圖形嗎圖是軸對稱圖形嗎? ?若是若是, ,對稱軸是什么對稱軸是什么? ?CD MAB平分弦平分弦 的直徑垂直于弦的直徑垂直于弦, ,并且平分弦并且平分弦所對的兩條弧所對的兩條弧. .（不是直徑）（不是直徑）連接連接OA,OB,OA,OB,在在OAM和和OBM中中,OA=OB,OM=OM,AM=BMOAM OBM(SSS).AMO=BMO=900.點點A A和點和點B B關(guān)于直徑關(guān)于直徑CDCD對稱對稱. .當(dāng)圓沿著直徑當(dāng)圓沿著直徑CDCD對折時

7、對折時, ,點點A A與點與點B B重合重合, ,ACAC和和BCBC重合重合, ,ADAD和和BDBD重合重合. . AC =BC,AD =BD.垂徑定理的推論垂徑定理的推論 如果圓的兩條弦互相平行如果圓的兩條弦互相平行, ,那么這兩條弦所夾的弧那么這兩條弦所夾的弧相等嗎相等嗎? ?提示提示: :這兩條弦在圓中位置有兩種情況這兩條弦在圓中位置有兩種情況: :OABCD1.1.兩條弦在圓心的同側(cè)兩條弦在圓心的同側(cè)OABCD2.2.兩條弦在圓心的兩側(cè)兩條弦在圓心的兩側(cè)垂徑定理推論垂徑定理推論 圓的兩條平行弦所夾的弧相等圓的兩條平行弦所夾的弧相等. .MN作直徑作直徑MNMN，且，且MNABMNA

8、BAM=BMAM=BM 又又ABCD, MNCDABCD, MNCD CM=DMCM=DMAC=BDAC=BD AM-CM=BM-DMAM-CM=BM-DM 圓弧加減圓弧加減解這個方程，解這個方程，得得R=545.21例例1 1、如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。础⑷鐖D，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧（即弧弧CD,CD,點點0 0是弧是弧CDCD的圓心），其中的圓心），其中CD=600mCD=600m，E E為弧為弧CDCD上的一點，且上的一點，且OEOE垂直于垂直于CDCD，垂足為，垂足為F F，EF=90m.EF=90m.求這段彎路的半徑。求這段彎路的半徑。EODCF21解：連接解：連接OC

9、OC， 設(shè)彎路的半徑為設(shè)彎路的半徑為Rm,Rm,則則OF=(R-90)mOF=(R-90)m。 OE CDCF= CD= x600=300(m).CF= CD= x600=300(m).由勾股定理得由勾股定理得 OCOC=CF=CF +OF +OF即即 R=300+(R-90).答：這段彎路的半徑為答：這段彎路的半徑為545m545m我來判：我來判： 1 1、判斷：、判斷：垂直于弦的直線平分這條弦垂直于弦的直線平分這條弦, ,并且平分弦所并且平分弦所對的兩條弧對的兩條弧. . （ ）平分弦所對的一條弧的直徑一定平分這條平分弦所對的一條弧的直徑一定平分這條弦所對的另一條弧弦所對的另一條弧. .（

10、 ） 經(jīng)過弦的中點的直徑一定垂直于弦經(jīng)過弦的中點的直徑一定垂直于弦. .（ ） （4 4）弦的垂直平分線一定平分這條弦所對的）弦的垂直平分線一定平分這條弦所對的弧弧. .（ ） 2.2.如圖為一圓弧形拱橋，它的跨度（即弧如圖為一圓弧形拱橋，它的跨度（即弧所對的弦長）為所對的弦長）為37.4m37.4m，拱高，拱高( (即弧的中點即弧的中點到弦的距離到弦的距離) )為為7.2m7.2m，求橋拱所在圓的半徑。，求橋拱所在圓的半徑。 AODC解：連接解：連接AB,AB,作作COAB,COAB,交交ABAB于點于點C,C,交交ABAB于點于點D.D.連接連接OA,OBOA,OBBOCAB,OCAB,A

11、D= AB= AD= AB= 37.4=18.737.4=18.72121在在RtRtODAODA中，中，OD=R-7.2OD=R-7.2，OA=ROA=R，AD=18.7AD=18.7R R2 2=(R-7.2)=(R-7.2)2 2+18.7+18.72 2R27.9mR27.9m答：橋拱所在圓的半徑是答：橋拱所在圓的半徑是27.9m27.9m2 2、如圖在、如圖在O O中，中，ABAB為為O O的弦，的弦，C C、D D是直線是直線ABAB上兩點，且上兩點，且ACACBD.BD.求證：求證：OCDOCD為等腰三角形。為等腰三角形。ABCDOE挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我3 3、如圖、如圖OO中，中，

12、ABAB為弦，為弦，C C為弧為弧ABAB的中點，的中點，OCOC交交ABAB于于D, AB=6cm,CD=1cm.D, AB=6cm,CD=1cm.求求OO的半徑的半徑OA.OA.DOABC解：解：C C為弧為弧ABAB的中點，的中點，OCAB,AD= AB= OCAB,AD= AB= 6=3cm6=3cm2121在在RtRtAODAOD中，中，AD=3AD=3，OD=R-1OD=R-1，OA=ROA=R由勾股定理得：由勾股定理得：R R2 2-(R-1)-(R-1)2 2=3=32 2解之得：解之得：R=5R=5答：答：O O的半徑為的半徑為5cm5cm4.4.如圖如圖, ,圓圓O O與矩

13、形與矩形ABCDABCD交于交于E E、F F、G G、H,EF=10,HG=6,AH=4.H,EF=10,HG=6,AH=4.求求BEBE的長的長. .ABCD0EFGH解：過點解：過點O O作作OMAD,OMAD,交交BCBC于于N.N.M MN NHM=MG= HG= HM=MG= HG= 6=36=321212121同理同理 EN=NF= EF= EN=NF= EF= 10=510=5又又AH=4AH=4在矩形在矩形ABNMABNM中，中，BN=AM=AH+HM=7BN=AM=AH+HM=7BE=BN-EN=7-5=2BE=BN-EN=7-5=2ODCBAM垂直于垂直于并且平分弦所對的弧并且平分弦所對的弧 弦弦的直徑的直徑在在O O中，直徑中，直徑CDCD弦弦AB AM = BM = AB 21AC = BCAD = BDODCBAM在在 O中，直徑中，直徑CD平分弦平分弦AB CDABAC = BCAD = BD并