廣東省2016中考數(shù)學(xué)第一部分教材梳理第六章圖形與變換第3節(jié)銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用復(fù)習(xí)課件新人教版

1、第一部分教材梳理第第3節(jié)銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用節(jié)銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用第六章圖形與變換第六章圖形與變換知識(shí)要點(diǎn)梳理知識(shí)要點(diǎn)梳理概念定理概念定理 1. 銳角三角函數(shù)的定義銳角三角函數(shù)的定義假設(shè)在RtABC中，C=90，則有：（1）正弦：我們把銳角A的對(duì)邊對(duì)邊a a與斜邊斜邊c c的比叫做A的正弦，記作sinsinA A.即（2）余弦：銳角A的鄰邊鄰邊b b與斜邊斜邊c c的比叫做A的余弦，記作coscosA A. 即（3）正切：銳角A的對(duì)邊對(duì)邊a a與鄰邊鄰邊b b的比叫做A的正切，記作tantanA A. （4）銳角三角函數(shù)：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做A的銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù).2. 解直角

2、三角形的應(yīng)用的有關(guān)概念解直角三角形的應(yīng)用的有關(guān)概念（1）坡度：坡面的垂直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比坡比，它是一個(gè)比值，反映了斜坡的陡峭程度陡峭程度，一般用i表示，常寫成i=1m的形式. （2）坡角：把坡面與水平面坡面與水平面的夾角叫做坡角，坡度i與坡角之間的關(guān)系為i= =tan. （3）仰角和俯角：仰角是向上看向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看向下看的視線與水平線的夾角.主要公式主要公式1. 同角三角函數(shù)關(guān)系同角三角函數(shù)關(guān)系（1）平方關(guān)系：sin2A+cos2A=1； （2）正余弦與正切之間的關(guān)系（積的關(guān)系）：一個(gè)角的正切值等于這個(gè)角的正弦與余弦的比，即tanA= 或sinA=t

3、anAcosA. 2. 兩角互余的三角函數(shù)關(guān)系兩角互余的三角函數(shù)關(guān)系在RtABC中，A+B=90時(shí)，正余弦之間的關(guān)系為：（1）一個(gè)角的正弦值等于這個(gè)角的余角的余弦值，即sinA=cos（90-A）.（2）一個(gè)角的余弦值等于這個(gè)角的余角的正弦值，即cosA=sin（90-A）.也可以理解成若A+B=90，那么sinA=cosB或sinB=cosA.3. 特殊角的三角函數(shù)值特殊角的三角函數(shù)值方法規(guī)律方法規(guī)律 1. 通過(guò)解直角三角形能解決實(shí)際問(wèn)題中的很多有關(guān)測(cè)量問(wèn)題，如：測(cè)不易直接測(cè)量的物體的高度、測(cè)河寬等，解此類問(wèn)題關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過(guò)測(cè)量角的度數(shù)和測(cè)量邊的長(zhǎng)度，計(jì)算出所要求的物體的高度

4、或長(zhǎng)度.2. 解直角三角形的一般過(guò)程解直角三角形的一般過(guò)程（1）將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題）.（2）根據(jù)題目的已知條件選用適當(dāng)?shù)匿J角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實(shí)際問(wèn)題的答案.3. 解直角三角形要用到的關(guān)系解直角三角形要用到的關(guān)系（1）銳角直角的關(guān)系：A+B=90.（2）三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2.（3）邊角之間的關(guān)系：sinA= ，cosA= ，tanA= .（a，b，c分別是A，B，C的對(duì)邊）中考考點(diǎn)精講精練中考考點(diǎn)精講精練考點(diǎn)考點(diǎn)1銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講【例例1 1】（2013

5、廣東）在RtABC中，ABC=90，AB=3，BC=4，則sinA= .思路點(diǎn)撥：思路點(diǎn)撥：首先由勾股定理求得斜邊AC=5，然后由銳角三角函數(shù)的定義知sinA= ，將相關(guān)線段的長(zhǎng)度代入計(jì)算即可.答案：答案：解題指導(dǎo)：解題指導(dǎo)：解此類題的關(guān)鍵是畫出圖形，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算.解此類題要注意以下要點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的基本概念，包括正弦、余弦、正切的定義等.考題再現(xiàn)考題再現(xiàn)1. （2014汕尾）在RtABC中，C=90，若sinA= ，則cosB的值是（）2. 圖6-3-1（2014廣州）如圖6-3-1，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則tanA等于（）B BD

6、 D3. 圖6-3-2（2015廣州）如圖6-3-2，ABC中，DE是BC的垂直平分線，DE交AC于點(diǎn)E，連接BE.若BE=9，BC=12，則cosC= .考題預(yù)測(cè)考題預(yù)測(cè)4. 如圖6-3-3，點(diǎn)A為邊上的任意一點(diǎn)，作ACBC于點(diǎn)C，CDAB于點(diǎn)D，下列用線段比表示cos的值，錯(cuò)誤的是（）C C5. 如圖6-3-4，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則ABC的正切值是（）D D6. 如圖6-3-5，在銳角ABC中，AB=15，BC=14，SABC=84，求：（1）tanC的值；（2）sinA的值.解：（解：（1 1）如答圖）如答圖6-3-16-3-1，過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A A作作A

7、DADBCBC于點(diǎn)于點(diǎn)D D. .S SABCABC= = BCBCADAD=84, =84, 1414ADAD=84=84AD=AD=1212. .又又ABAB=15=15，CDCD=14-9=5.=14-9=5. 922ADABBD.512tanDCADC（2 2）如答圖）如答圖6-3-16-3-1，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B B作作BEBEACAC于點(diǎn)于點(diǎn)E E. .在在RtRtADCADC中，中，ACAC= =13.= =13.S SABCABC= = ACACEBEB=84=84，BEBE= .= .sinsinBACBAC= =考點(diǎn)考點(diǎn)2解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的應(yīng)用考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講【例例

8、2 2】（2014廣東）如圖6-3-6，某數(shù)學(xué)興趣小組想測(cè)量一棵樹(shù)CD的高度，他們先在點(diǎn)A處測(cè)得樹(shù)頂C的仰角為30，然后沿AD方向前行10 m，到達(dá)B點(diǎn)，在B處測(cè)得樹(shù)頂C的仰角高度為60（A，B，D三點(diǎn)在同一直線上）.請(qǐng)你根據(jù)他們的測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算這棵樹(shù)CD的高度（結(jié)果精確到0.1 m）.（參考數(shù)據(jù)： 1.414， 1.732）思路點(diǎn)撥：思路點(diǎn)撥：首先利用三角形的外角的性質(zhì)求得ABC的度數(shù)，得到BC的長(zhǎng)度，然后在直角BDC中，利用三角函數(shù)即可求解.解：解：CBD=A+ACB，ACB=CBD-A=60-30=30.A=ACB.BC=AB=10（m）.在直角BCD中，CD=BCsinCBD=10 =

9、51.732=8.7（m）.答：這棵樹(shù)CD的高度為8.7米.解題指導(dǎo)：解題指導(dǎo)：解此類題的關(guān)鍵是借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形.解此類題要注意以下要點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用問(wèn)題的一般過(guò)程：（1）將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題）；（2）根據(jù)題目已知條件的特點(diǎn)選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實(shí)際問(wèn)題的答案.考題再現(xiàn)考題再現(xiàn)1. （2012廣東）如圖6-3-7，小山崗的斜坡AC的坡度是tan= ，在與山腳C距離200 m的D處，測(cè)得山頂A的仰角為26.6，求小山崗的高AB.（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin2

10、6.6=0.45，cos26.6=0.89，tan26.6=0.50）解：解：在直角三角形在直角三角形ABCABC中，中， =tan =tan= = ，BCBC= = 在直角三角形在直角三角形ADBADB中，中， =tan26.6 =tan26.6=0.50,=0.50,即即BDBD=2=2ABAB. .BDBD- -BCBC= =CDCD=200,=200,22ABAB- - ABAB=200.=200.解得解得ABAB=300=300（m m）. .答：小山崗的高答：小山崗的高ABAB為為300300米米. .2. （2015茂名）如圖6-3-8，一條輸電線路從A地到B地需要經(jīng)過(guò)C地，圖中

11、AC=20 km，CAB=30，CBA=45，因線路整改需要，將從A地到B地之間鋪設(shè)一條筆直的輸電線路.（1）求新鋪設(shè)的輸電線路AB的長(zhǎng)度；（結(jié)果保留根號(hào)）（2）問(wèn)整改后從A地到B地的輸電線路比原來(lái)縮短了多少千米.（結(jié)果保留根號(hào)）解：（解：（1 1）如答圖）如答圖6-3-26-3-2，過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)C C作作CDCDABAB，交，交ABAB于點(diǎn)于點(diǎn)D D. .在在RtRtACDACD中，中，CDCD= =ACACsinsinCADCAD=20=20 =10 =10（kmkm），），ADAD= =ACACcoscosCADCAD=20=20 （kmkm）. .在在RtRtBCDBCD中，中，BDBD=

12、 =10= =10（kmkm）. .ABAB= =ADAD+ +DBDB= +10=10= +10=10（ +1 +1）（）（kmkm）. .答：新鋪設(shè)的輸電線路答：新鋪設(shè)的輸電線路ABAB的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為1010（ +1 +1）千米）千米. .（2 2）在）在RtRtBCDBCD中，根據(jù)勾股定理得：中，根據(jù)勾股定理得：BCBC= = （kmkm），），ACAC+ +CBCB- -ABAB=20+ =20+ （kmkm）. .答：整改后從答：整改后從A A地到地到B B地的輸電線路比原來(lái)縮短了地的輸電線路比原來(lái)縮短了 千米千米. .3. （2014珠海）如圖6-3-9，一艘漁船從A處沿正南方向

13、航行一段距離后，到達(dá)位于小島南偏東60方向的B處.（1）求漁船從A到B的航行過(guò)程中與小島M之間的最小距離（結(jié)果用根號(hào)表示）；（2）若漁船以20海里/小時(shí)的速度從B沿BM方向行駛，求漁船從B到達(dá)小島M的航行時(shí)間（結(jié)果精確到0.1小時(shí)）.（參考數(shù)據(jù)： 1.41， 1.73， 2.45）解：（解：（1 1）如答圖）如答圖6-3-36-3-3，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M M作作MDMDABAB于點(diǎn)于點(diǎn)D D. .AMEAME=45=45，AMDAMD=MADMAD=45=45. .AMAM=180=180海里，海里，MDMD= =AMAMcos45cos45= = （海里）（海里）. .答：漁船從答：漁船從A A到

14、到B B的航行過(guò)程中與小島的航行過(guò)程中與小島M M間的最小距離是間的最小距離是 海里海里. .（2 2）在）在RtRtDMBDMB中，中，BMFBMF=60=60，DMBDMB=30=30. .MDMD= = 海里，海里，MBMB= = 20= =320= =32.45=7.357.42.45=7.357.4（小時(shí)）（小時(shí)）. .答：漁船從答：漁船從B B到達(dá)小島到達(dá)小島M M的航行時(shí)間約為的航行時(shí)間約為7.47.4小時(shí)小時(shí). .考題預(yù)測(cè)考題預(yù)測(cè)4. 如圖6-3-10，為安全起見(jiàn)，小明擬加長(zhǎng)滑梯，將其傾斜角由45降至30.已知滑梯AB的長(zhǎng)為3 m，點(diǎn)D，B，C在同一水平地面上，那么加長(zhǎng)后的滑梯

15、AD的長(zhǎng)是（）C C5. 筆直的公路AB一側(cè)有加油站C，已知從西面入口點(diǎn)A到C的距離為60米，西東兩個(gè)入口A,B與加油站C之間的方位角如圖6-3-11所示，則A,B兩個(gè)入口間的距離為（）C C6. 如圖6-3-12，一河壩的橫斷面為等腰梯形ABCD，壩頂寬10米，壩高12米，斜坡AB的坡度i=11.5，則壩底AD的長(zhǎng)度為（）A. 26米B. 28米C. 30米D. 46米D D7. 某處山坡上有一棵與水平面垂直的大樹(shù)，狂風(fēng)過(guò)后，大樹(shù)被刮得傾斜后折斷，倒在山坡上，樹(shù)的頂部恰好接觸到坡面（如圖6-3-13所示）.已知山坡的坡角AEF=23，量得樹(shù)干的傾斜角BAC=38，大樹(shù)被折斷部分和坡面所成的角ADC=60，AD=4 m.（1）求DAC的度數(shù)；（2）這棵大樹(shù)折斷前高約多少米？（結(jié)果精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)： 1.4， 1.7， 2.4）解：（解：（1 1）如答圖）如答圖6-3-46-3-4，延長(zhǎng)，延長(zhǎng)BABA交交EFEF于點(diǎn)于點(diǎn)G G. .在在RtRtAGEAGE中，中，E E=23=23，GAEGAE=67=67. .又又BACBAC=38=38，CAECAE=180=180- -6767-38-38=75=75. .（2 2）如答圖）如答圖6-3-46-3-4，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A A作作AHA