數(shù)學(xué)模型姜啟源課件

1、數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 模模 型型主講|敬成林 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編 課課 程程 簡簡 介介 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編第一章第一章 建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型第二章第二章 初等模型初等模型第三章第三章 簡單的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)化模型第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型 第五章第五章 微分方程模型微分方程模型第六章第六章 穩(wěn)定性模型穩(wěn)定性模型第七章第七章 差分方程模型差分方程模型第八章第八章 離散模型離散模型第九章第九章 概率模型概率模型第十章第十章 統(tǒng)計回歸模型統(tǒng)計回歸模型附錄附錄:

2、 : 數(shù)學(xué)建模實驗數(shù)學(xué)建模實驗 教教 學(xué)學(xué) 進(jìn)進(jìn) 度度 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編第第一一章章 建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型1.1 從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型1.2 數(shù)學(xué)建模的重要意義數(shù)學(xué)建模的重要意義1.3 數(shù)學(xué)建模示例數(shù)學(xué)建模示例1.4 數(shù)學(xué)建模的方法和步驟數(shù)學(xué)建模的方法和步驟1.5 數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類1.6 怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型 實物模型實物模型水箱

3、中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī)水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī) 物理模型物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖 符號模型符號模型模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分是為了一定目的，對客觀事物的一部分進(jìn)行簡縮、抽象、提煉出來的進(jìn)行簡縮、抽象、提煉出來的原型原型的替代物的替代物模型模型集中反映了集中反映了原型原型中人們需要的那一部分特征中人們需要的那一部分特征1.1 從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型我們常見的模型我們常見的模型 第一章第一章 建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編你碰到過的數(shù)學(xué)模型你碰到過的數(shù)學(xué)模型“航行問題航行問題”用用 x 表示船速，

4、表示船速，y 表示水速，列出方程：表示水速，列出方程：75050)(75030)(yxyx答：船速每小時答：船速每小時20千米千米/ /小時小時. .甲乙兩地相距甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行枨?，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時，小時，從乙到甲逆水航行需從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少小時，問船的速度是多少?x =20y =5求解求解 第一章第一章 建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編航行問題航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟 作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）； 用符號表示有關(guān)量（用符號表示

5、有關(guān)量（x, y表示船速和水速）；表示船速和水速）； 用物理定律（勻速運(yùn)動的距離等于速度乘以用物理定律（勻速運(yùn)動的距離等于速度乘以 時間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；時間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）； 求解得到數(shù)學(xué)解答（求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20, y=5）；）； 回答原問題（船速每小時回答原問題（船速每小時20千米千米/小時）。小時）。 第一章第一章 建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 (Mathematical Model) 和和數(shù)學(xué)建模（數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling)對于一個對于一個現(xiàn)實對象現(xiàn)實對象，為了一個，為了

6、一個特定目的特定目的，根據(jù)其根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律內(nèi)在規(guī)律，作出必要的，作出必要的簡化假設(shè)簡化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)倪\(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具數(shù)學(xué)工具，得到的一個，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學(xué)模型的全過程建立數(shù)學(xué)模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）（包括表述、求解、解釋、檢驗等）數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)建模建模 第一章第一章 建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編1.2 數(shù)學(xué)建模的重要意義數(shù)學(xué)建模的重要意義 電子計算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展；電子計算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展； 數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實際問題

7、的第一步，數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的第一步，越來越受到人們的重視。越來越受到人們的重視。 在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地；在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地； 在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具；在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具； 數(shù)學(xué)進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開辟了許多處女地。數(shù)學(xué)進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開辟了許多處女地。 第一章第一章 建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用 分析與設(shè)計分析與設(shè)計 預(yù)報與決策預(yù)報與決策 控制與優(yōu)化控制與優(yōu)化 規(guī)劃與管理規(guī)劃與管理數(shù)學(xué)建模計算機(jī)技術(shù)知

8、識經(jīng)濟(jì)知識經(jīng)濟(jì)如虎添翼如虎添翼 第一章第一章 建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編1.3 數(shù)學(xué)建模示例數(shù)學(xué)建模示例1.3.1 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問題分析問題分析模模型型假假設(shè)設(shè)通常通常 三只腳著地三只腳著地放穩(wěn)放穩(wěn) 四只腳著地四只腳著地 四條腿一樣長，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳四條腿一樣長，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線呈正方形連線呈正方形; 地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面曲面; 地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。只腳同時著地。 第一章第一章

9、建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編模型構(gòu)成模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅腳連線椅腳連線)的對稱性的對稱性xBADCOD C B A 用用 (對角線與對角線與x軸的夾角軸的夾角)表示椅子位置表示椅子位置 四只腳著地四只腳著地距離是距離是 的函數(shù)的函數(shù)四個距離四個距離(四只腳四只腳)A,C 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 f( )B,D 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 g( )兩個距離兩個距離 椅腳與地面距離為零椅腳與地面距離為零正方形正方形AB

10、CD繞繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)正方形正方形對稱性對稱性 第一章第一章 建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來f( ) , g( )是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)對任意對任意 , f( ), g( )至少一個為至少一個為0數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)問題問題已知：已知： f( ) , g( )是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) ; 對任意對任意 ， f( ) g( )=0 ; 且且 g(0)=0， f(0) 0. 證明：存在證明：存在 0，使，使f( 0) = g( 0) = 0.模型構(gòu)成模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面地面為連續(xù)曲面 椅子

11、在任意位置椅子在任意位置至少三只腳著地至少三只腳著地 第一章第一章 建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編模型求解模型求解給出一種簡單、粗糙的證明方法給出一種簡單、粗糙的證明方法將椅子將椅子旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)900，對角線，對角線AC和和BD互換?；Q。由由g(0)=0， f(0) 0 ，知，知f( /2)=0 , g( /2)0.令令h( )= f( )g( ), 則則h(0)0和和h( /2) p2/n2 ，對對 不公平不公平A p1/n1 p2/n2=5 第二章第二章 初等模型初等模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編公平分配方案應(yīng)公平分配方案應(yīng)使使 rA , rB

12、 盡量小盡量小設(shè)設(shè)A, B已分別有已分別有n1, n2 席，若增加席，若增加1席，問應(yīng)分給席，問應(yīng)分給A, 還是還是B不妨設(shè)分配開始時不妨設(shè)分配開始時 p1/n1 p2/n2 ，即對即對A不公平不公平),(/21222211nnrnpnpnpA 對對A的的相對不公平度相對不公平度將絕對度量改為相對度量將絕對度量改為相對度量類似地定義類似地定義 rB(n1,n2) 將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動態(tài)的席位分配將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動態(tài)的席位分配, 即即“公平公平”分配方分配方法法若若 p1/n1 p2/n2 ，定義定義 第二章第二章 初等模型初等模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編1）若）若

13、 p1/(n1+1) p2/n2 ， 則這席應(yīng)給則這席應(yīng)給 A2）若）若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)，應(yīng)計算應(yīng)計算rB(n1+1, n2)應(yīng)計算應(yīng)計算rA(n1, n2+1)若若rB(n1+1, n2) p2/n2 問：問： p1/n1rA(n1, n2+1), 則這席應(yīng)給則這席應(yīng)給 B 第二章第二章 初等模型初等模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編當(dāng)當(dāng) rB(n1+1, n2) 640g=0.1 第三章第三章 簡單的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)化模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編敏感性分析敏感性分析研究研究 r, g變化時對模型結(jié)果的影響變化時對模型結(jié)果的影響 估計估計r=

14、2， g=0.1rggrt2404 設(shè)設(shè)g=0.1不變不變 5 . 1,6040rrrtt 對對r 的（相對）敏感度的（相對）敏感度 rrttrtS/),(trdrdt3604060),(rrtS生豬每天體重增加量生豬每天體重增加量r 增加增加1%，出售時間推遲，出售時間推遲3%。 1.522.5305101520rt 第三章第三章 簡單的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)化模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編敏感性分析敏感性分析估計估計r=2， g=0.1rggrt2404研究研究 r, g變化時對模型結(jié)果的影響變化時對模型結(jié)果的影響 設(shè)設(shè)r=2不變不變 15. 00,203gggtt 對對g的（相對

15、）敏感度的（相對）敏感度 tgdgdtggttgtS/),(32033),(ggtS生豬價格每天的降低量生豬價格每天的降低量g增加增加1%，出售時間提前，出售時間提前3%。 0.060.040.160102030gt 第三章第三章 簡單的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)化模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編強(qiáng)健性分析強(qiáng)健性分析保留生豬直到利潤的增值等于每天的費(fèi)用時出售保留生豬直到利潤的增值等于每天的費(fèi)用時出售由由 S(t,r)=3建議過一周后建議過一周后(t=7)重新估計重新估計 , 再作計算。再作計算。wwpp,研究研究 r, g不是常數(shù)時對模型結(jié)果的影響不是常數(shù)時對模型結(jié)果的

16、影響 w=80+rt w = w(t)4)()()()(twtptwtpp=8-gt p =p(t) 若若 (10%), 則則 （30%） 2 . 28 . 1 w137 t0)( tQ每天利潤的增值每天利潤的增值 每天投入的資金每天投入的資金 ttwtptQ4)()()( 第三章第三章 簡單的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)化模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編3.3 森林救火森林救火森林失火后，要確定派出消防隊員的數(shù)量。森林失火后，要確定派出消防隊員的數(shù)量。隊員多，森林損失小，救援費(fèi)用大；隊員多，森林損失小，救援費(fèi)用大；隊員少，森林損失大，救援費(fèi)用小。隊員少，森林損失大，救援費(fèi)用小。綜合考慮損失費(fèi)

17、和救援費(fèi)，確定隊員數(shù)量。綜合考慮損失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊員數(shù)量。問題問題分析分析問題問題記隊員人數(shù)記隊員人數(shù)x, 失火時刻失火時刻t=0, 開始救火時刻開始救火時刻t1, 滅火時刻滅火時刻t2, 時刻時刻t森林燒毀面積森林燒毀面積B(t). 損失費(fèi)損失費(fèi)f1(x)是是x的減函數(shù)的減函數(shù), 由燒毀面積由燒毀面積B(t2)決定決定. 救援費(fèi)救援費(fèi)f2(x)是是x的增函數(shù)的增函數(shù), 由隊員人數(shù)和救火時間決定由隊員人數(shù)和救火時間決定.存在恰當(dāng)?shù)拇嬖谇‘?dāng)?shù)膞，使，使f1(x), f2(x)之和最小之和最小 第三章第三章 簡單的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)化模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編 關(guān)鍵是對關(guān)鍵是對

18、B(t)作出合理的簡化假設(shè)作出合理的簡化假設(shè).問題問題分析分析失火時刻失火時刻t=0, 開始救火時刻開始救火時刻t1, 滅火時刻滅火時刻t2, 畫出時刻畫出時刻 t 森林燒毀面積森林燒毀面積B(t)的大致圖形的大致圖形t1t20tBB(t2)分析分析B(t)比較困難比較困難,轉(zhuǎn)而討論森林燒毀轉(zhuǎn)而討論森林燒毀速度速度dB/dt. 第三章第三章 簡單的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)化模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編模型假設(shè)模型假設(shè) 3）f1(x)與與B(t2)成正比，系數(shù)成正比，系數(shù)c1 (燒毀單位面積損失費(fèi)）燒毀單位面積損失費(fèi)） 1）0 t t1, dB/dt 與與 t成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) (

19、火勢蔓延速度）火勢蔓延速度） 2）t1 t t2, 降為降為 - x ( 為隊員的平均滅火為隊員的平均滅火速度）速度） 4）每個）每個隊員的單位時間滅火費(fèi)用隊員的單位時間滅火費(fèi)用c2, 一次性費(fèi)用一次性費(fèi)用c3假設(shè)假設(shè)1）的解釋的解釋 rB火勢以失火點(diǎn)為中心，火勢以失火點(diǎn)為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑半徑 r與與 t 成正比成正比面積面積 B與與 t2成正比，成正比， dB/dt與與 t成正比成正比. 第三章第三章 簡單的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)化模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編xbtt12202)()(tdttBtB模型建立模型建立dtdBb0t1tt2x假設(shè)假

20、設(shè)1）,1tbxcttxcxftBcxf31222211)()(),()(目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)總費(fèi)用總費(fèi)用)()()(21xfxfxC假設(shè)假設(shè)3）4）xttt112假設(shè)假設(shè)2）)(222212212xttbt 第三章第三章 簡單的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)化模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編0dxdCxcxxtcxtctcxC3122121211)(22)(模型建立模型建立目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)總費(fèi)用總費(fèi)用模型求解模型求解求求 x使使 C(x)最小最小231221122ctctcx結(jié)果解釋結(jié)果解釋 / 是火勢不繼續(xù)蔓延的最少隊員數(shù)是火勢不繼續(xù)蔓延的最少隊員數(shù)dtdBb0t1t2tx其中其中 c1,c2,

21、c3, t1, , 為已知參數(shù)為已知參數(shù) 第三章第三章 簡單的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)化模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編模型模型應(yīng)用應(yīng)用c1,c2,c3已知已知, t1可估計可估計, c2 x c1, t1, x c3 , x 結(jié)果結(jié)果解釋解釋231221122ctctcxc1燒毀單位面積損失費(fèi)燒毀單位面積損失費(fèi), c2每個每個隊員單位時間滅火費(fèi)隊員單位時間滅火費(fèi), c3每個每個隊員一次性費(fèi)用隊員一次性費(fèi)用, t1開始救火時刻開始救火時刻, 火火勢蔓延速度勢蔓延速度, 每個每個隊員平均滅火隊員平均滅火速度速度.為什么為什么? ? , 可可設(shè)置一系列數(shù)值設(shè)置一系列數(shù)值由模型決定隊員數(shù)量由模型

22、決定隊員數(shù)量x 第三章第三章 簡單的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)化模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編3.4 最優(yōu)價格最優(yōu)價格問題問題根據(jù)產(chǎn)品成本和市場需求，在產(chǎn)銷平根據(jù)產(chǎn)品成本和市場需求，在產(chǎn)銷平衡條件下確定商品價格，使利潤最大衡條件下確定商品價格，使利潤最大假設(shè)假設(shè)1）產(chǎn)量等于銷量，記作）產(chǎn)量等于銷量，記作 x2）收入與銷量）收入與銷量 x 成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) p 即價格即價格3）支出與產(chǎn)量）支出與產(chǎn)量 x 成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) q 即成本即成本4）銷量）銷量 x 依賴于價格依賴于價格 p, x(p)是減函數(shù)是減函數(shù) 建模建模與求解與求解pxpI)(收入收入qxpC)(支出支出)()

23、()(pCpIpU利潤利潤進(jìn)一步設(shè)進(jìn)一步設(shè)0,)(babpapx求求p使使U(p)最大最大 第三章第三章 簡單的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)化模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編0* ppdpdU使利潤使利潤 U(p)最大的最優(yōu)價格最大的最優(yōu)價格 p*滿足滿足*ppppdpdCdpdI最大利潤在邊際收入等于邊際支出時達(dá)到最大利潤在邊際收入等于邊際支出時達(dá)到pxpI)(qxpC)(bpapx)()(bpaqp)()()(pCpIpUbaqp22* 建模建模與求解與求解邊際收入邊際收入邊際支出邊際支出 第三章第三章 簡單的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)化模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編結(jié)果結(jié)果解釋解釋b

24、aqp22*0,)(babpapx q / 2 成本的一半成本的一半 b 價格上升價格上升1單位時銷量的下降單位時銷量的下降 幅度（需求對價格的敏感度）幅度（需求對價格的敏感度） a 絕對需求絕對需求( p很小時的需求很小時的需求)b p* a p* 思考：如何得到參數(shù)思考：如何得到參數(shù)a, b? 第三章第三章 簡單的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)化模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編q2U(q1,q2) = cq101l2l3l3.6 消費(fèi)者均衡消費(fèi)者均衡問題問題消費(fèi)者對甲乙兩種商品的偏愛程度用無差別消費(fèi)者對甲乙兩種商品的偏愛程度用無差別曲線族表示，問他如何分配一定數(shù)量的錢，曲線族表示，問他如何分

25、配一定數(shù)量的錢，購買這兩種商品，以達(dá)到最大的滿意度。購買這兩種商品，以達(dá)到最大的滿意度。設(shè)甲乙數(shù)量為設(shè)甲乙數(shù)量為q1,q2, 消消費(fèi)者的無差別曲線族費(fèi)者的無差別曲線族(單調(diào)減、下凸、不相單調(diào)減、下凸、不相交），記作交），記作 U(q1,q2)=cU(q1,q2) 效用函數(shù)效用函數(shù)已知甲乙價格已知甲乙價格 p1,p2, 有錢有錢s，試分配，試分配s,購買甲乙數(shù)量購買甲乙數(shù)量 q1,q2,使使 U(q1,q2)最大最大.第三章第三章 簡單的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)化模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編s/p2s/p1q2U(q1,q2) = cq101l2l3l模型模型及及求解求解已知價格已知價格

26、 p1,p2,錢錢 s, 求求q1,q2,或或 p1q1 / p2q2, 使使 U(q1,q2)最大最大sqpqptsqqUZ221121. .),(max),(2211qpqpUL) 2 , 1(0iqLi2121ppqUqU122dqdqKl幾幾何何解解釋釋sqpqp2211直線直線MN: 最優(yōu)解最優(yōu)解Q: MN與與 l2切點(diǎn)切點(diǎn)21/ ppKMN斜率斜率MQN21/qUqU第三章第三章 簡單的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)化模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編0, 0, 0, 0, 0.B21222221221qqUqUqUqUqU2121ppqUqU結(jié)果結(jié)果解釋解釋21,qUqU邊際效用邊際

27、效用消費(fèi)者均衡狀態(tài)在兩種商品消費(fèi)者均衡狀態(tài)在兩種商品的邊際效用之比恰等于它們的邊際效用之比恰等于它們價格之比時達(dá)到。價格之比時達(dá)到。效用函數(shù)效用函數(shù)U(q1,q2) 應(yīng)滿足的條件應(yīng)滿足的條件A. U(q1,q2) =c 所確定的函數(shù)所確定的函數(shù) q2=q2(q1)單調(diào)減、下凸單調(diào)減、下凸 解釋解釋 B的實際意義的實際意義AB 第三章第三章 簡單的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)化模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編0,)(. 1121qqU效用函數(shù)效用函數(shù)U(q1,q2) 幾種常用幾種常用的形式的形式2121ppqUqU212211ppqpqp 消費(fèi)者均衡狀態(tài)下購買兩種商品費(fèi)用之比消費(fèi)者均衡狀態(tài)下購買

28、兩種商品費(fèi)用之比與二者價格之比的平方根成正比。與二者價格之比的平方根成正比。 U(q1,q2)中參數(shù)中參數(shù) , 分別表示消費(fèi)者對甲乙分別表示消費(fèi)者對甲乙兩種商品的偏愛程度。兩種商品的偏愛程度。第三章第三章 簡單的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)化模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編1,0,. 221qqU0,)(. 3221baqbqaU2121ppqUqU2211qpqp 購買兩種商品費(fèi)用之比與二者價格無關(guān)。購買兩種商品費(fèi)用之比與二者價格無關(guān)。 U(q1,q2)中參數(shù)中參數(shù) , 分別表示對甲乙分別表示對甲乙的偏愛程度。的偏愛程度。思考：如何推廣到思考：如何推廣到 m ( 2) 種商品的情況種商品的情

29、況效用函數(shù)效用函數(shù)U(q1,q2) 幾種常用幾種常用的形式的形式第三章第三章 簡單的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)化模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型 4.3 汽車生產(chǎn)與原油采購汽車生產(chǎn)與原油采購4.5 飲料廠的生產(chǎn)與檢修飲料廠的生產(chǎn)與檢修 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型 實際問題中實際問題中的優(yōu)化模型的優(yōu)化模型mixgtsxxxxfzMaxMiniTn, 2 , 1, 0)(. .),(),()(1或x決策變量決策變量f(x)目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)gi(x) 0約束條件約束條件多元函數(shù)多元函數(shù)條件極值條件極值 決策

30、變量個數(shù)決策變量個數(shù)n和和約束條件個數(shù)約束條件個數(shù)m較大較大 最優(yōu)解在可行域最優(yōu)解在可行域的邊界上取得的邊界上取得 數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)規(guī)規(guī)劃劃線性規(guī)劃線性規(guī)劃非線性規(guī)劃非線性規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃重點(diǎn)在模型的建立和結(jié)果的分析重點(diǎn)在模型的建立和結(jié)果的分析第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編 如果生產(chǎn)某一類型汽車，則至少要生產(chǎn)如果生產(chǎn)某一類型汽車，則至少要生產(chǎn)8080輛，輛， 那么最優(yōu)的生產(chǎn)計劃應(yīng)作何改變？那么最優(yōu)的生產(chǎn)計劃應(yīng)作何改變？汽車廠生產(chǎn)三種類型的汽車，已知各類型每輛車對鋼汽車廠生產(chǎn)三種類型的汽車，已知各類型每輛車對鋼材、勞動時間的需求，利潤及工廠每月的現(xiàn)有量

31、。材、勞動時間的需求，利潤及工廠每月的現(xiàn)有量。 小型小型 中型中型 大型大型 現(xiàn)有量現(xiàn)有量鋼材（噸）鋼材（噸） 1.5 3 5 600勞動時間（小時）勞動時間（小時） 280 250 400 60000利潤（萬元）利潤（萬元） 2 3 4 制訂月生產(chǎn)計劃，使工廠的利潤最大。制訂月生產(chǎn)計劃，使工廠的利潤最大。4.3 汽車生產(chǎn)與原油采購汽車生產(chǎn)與原油采購第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編設(shè)每月生產(chǎn)小、中、大型設(shè)每月生產(chǎn)小、中、大型汽車的數(shù)量分別為汽車的數(shù)量分別為x1, x2, x3321432xxxzMax600535 . 1.321xxxts60000

32、400250280321xxx0,321xxx汽車廠生產(chǎn)計劃汽車廠生產(chǎn)計劃 模型建立模型建立 小型小型 中型中型 大型大型 現(xiàn)有量現(xiàn)有量鋼材鋼材 1.5 3 5 600時間時間 280 250 400 60000利潤利潤 2 3 4 線性線性規(guī)劃規(guī)劃模型模型(LP)第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編模型模型求解求解 3） 模型中增加條件：模型中增加條件：x1, x2, x3 均為整數(shù)，重新求解。均為整數(shù)，重新求解。 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 632.2581VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 6

33、4.516129 0.000000 X2 167.741928 0.000000 X3 0.000000 0.946237 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.731183 3) 0.000000 0.003226結(jié)果為小數(shù)，結(jié)果為小數(shù)，怎么辦？怎么辦？1）舍去小數(shù)：取）舍去小數(shù)：取x1=64，x2=167，算出目標(biāo)函數(shù)值，算出目標(biāo)函數(shù)值z=629，與，與LP最優(yōu)值最優(yōu)值632.2581相差不大。相差不大。2）試探：如?。┰囂剑喝缛1=65，x2=167；x1=64，x2=168等，計算函數(shù)等，計算函數(shù)值值z，通過比較可能得到更優(yōu)的解

34、。，通過比較可能得到更優(yōu)的解。 但必須檢驗它們是否滿足約束條件。為什么？但必須檢驗它們是否滿足約束條件。為什么？第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編IP可用可用LINDO直接求解直接求解整數(shù)規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃( (Integer Programming, ,簡記簡記IP) )“gin 3”表示表示“前前3個變量為個變量為整數(shù)整數(shù)”，等價于：，等價于：gin x1gin x2gin x3 IP 的最優(yōu)解的最優(yōu)解x1=64，x2=168，x3=0，最優(yōu)值，最優(yōu)值z=632 max 2x1+3x2+4x3st1.5x1+3x2+5x3600280 x1+250 x

35、2+400 x360000endgin 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 632.0000VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 64.000000 -2.000000 X2 168.000000 -3.000000 X3 0.000000 -4.000000 321432xxxzMax600535 . 1.321xxxts60000400250280321xxx為非負(fù)整數(shù)321,xxx模型求解模型求解 IP 結(jié)果輸出結(jié)果輸出第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編其中其中3個個子模型應(yīng)子模型應(yīng)去掉，然后去掉

36、，然后逐一求解，比較目標(biāo)函數(shù)值，逐一求解，比較目標(biāo)函數(shù)值，再加上整數(shù)約束，得最優(yōu)解：再加上整數(shù)約束，得最優(yōu)解：80, 0, 0321xxx0,80, 0321xxx80,80, 0321xxx0, 0,80321xxx0,80,80321xxx80, 0,80321xxx80,80,80321xxx0,321xxx方法方法1：分解為：分解為8個個LP子模型子模型 汽車廠生產(chǎn)計劃汽車廠生產(chǎn)計劃 若生產(chǎn)某類汽車，則至少生產(chǎn)若生產(chǎn)某類汽車，則至少生產(chǎn)8080輛，求生產(chǎn)計劃。輛，求生產(chǎn)計劃。321432xxxzMax600535 . 1.321xxxts60000400250280321xxxx1,

37、,x2, x3=0 或或 80 x1=80，x2= 150，x3=0，最優(yōu)值，最優(yōu)值z=610第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編LINDO中對中對0-1變量的限定：變量的限定：int y1int y2int y3 方法方法2：引入引入0-1變量，化為整數(shù)規(guī)劃變量，化為整數(shù)規(guī)劃 M為大的正數(shù)，為大的正數(shù)，可取可取1000 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 610.0000VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 80.000000 -2.000000 X2 150.000000 -3.000000 X3 0.0

38、00000 -4.000000 Y1 1.000000 0.000000 Y2 1.000000 0.000000 Y3 0.000000 0.000000 若生產(chǎn)某類汽車，則至少生產(chǎn)若生產(chǎn)某類汽車，則至少生產(chǎn)8080輛，求生產(chǎn)計劃。輛，求生產(chǎn)計劃。x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 801 , 0,80,11111yyxMyx1 , 0,80,22222yyxMyx1 , 0,80,33333yyxMyx最優(yōu)解同前最優(yōu)解同前 第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編NLP雖然可用現(xiàn)成的數(shù)學(xué)軟件求解雖然可用現(xiàn)成的數(shù)學(xué)軟件求解( (如如LI

39、NGO, , MATLAB) )，但是其結(jié)果常依賴于初值的選擇。，但是其結(jié)果常依賴于初值的選擇。 方法方法3：化為非線性規(guī)劃化為非線性規(guī)劃 非線性規(guī)劃（非線性規(guī)劃（Non- Linear Programming，簡記，簡記NLP） 實踐表明，本例僅當(dāng)初值非常接近上面方法算出實踐表明，本例僅當(dāng)初值非常接近上面方法算出的最優(yōu)解時，才能得到正確的結(jié)果。的最優(yōu)解時，才能得到正確的結(jié)果。 若生產(chǎn)某類汽車，則至少生產(chǎn)若生產(chǎn)某類汽車，則至少生產(chǎn)8080輛，求生產(chǎn)計劃。輛，求生產(chǎn)計劃。 x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 800)80(11xx0)80(22xx0)80(33xx第四章第四章

40、 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編應(yīng)如何安排原油的采購和加工應(yīng)如何安排原油的采購和加工 ？ 市場上可買到不超過市場上可買到不超過1500噸的原油噸的原油A： 購買量不超過購買量不超過500噸時的單價為噸時的單價為10000元元/ /噸；噸； 購買量超過購買量超過500噸但不超過噸但不超過1000噸時，超過噸時，超過500噸的噸的 部分部分8000元元/ /噸；噸； 購買量超過購買量超過1000噸時，超過噸時，超過1000噸的部分噸的部分6000元元/ /噸。噸。 售價售價4800元元/噸噸 售價售價5600元元/噸噸庫存庫存500噸噸 庫存庫存1000噸噸 汽油

41、甲汽油甲(A 50%) 原油原油A 原油原油B 汽油乙汽油乙 (A 60%) 第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編決策決策變量變量 目標(biāo)目標(biāo)函數(shù)函數(shù)問題問題分析分析 利潤：銷售汽油的收入利潤：銷售汽油的收入 - - 購買原油購買原油A的支出的支出 難點(diǎn)：原油難點(diǎn)：原油A的購價與購買量的關(guān)系較復(fù)雜的購價與購買量的關(guān)系較復(fù)雜)()(6 . 5)( 8 . 422122111xcxxxxzMax甲甲(A 50%) A B 乙乙(A 60%) 購買購買xx11x12x21x224.8千元千元/噸噸 5.6千元千元/噸噸原油原油A的購買量的購買量, ,原油原油A

42、, B生產(chǎn)生產(chǎn)汽油汽油甲甲,乙的數(shù)量乙的數(shù)量c(x) 購買原油購買原油A的支出的支出利潤利潤(千元千元)c(x)如何表述？如何表述？第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編原油供應(yīng)原油供應(yīng) 約束約束條件條件xxx500121110002221 xx1500 x500)1(1000 300061000)(500 1000 8500)(0 10)(xxxxxxxc x 500噸單價為噸單價為10千千元元/ /噸；噸； 500噸噸 x 1000噸，超過噸，超過500噸的噸的8千千元元/ /噸；噸；1000噸噸 x 1500噸，超過噸，超過1000噸的噸的6千千元

43、元/ /噸。噸。 目標(biāo)目標(biāo)函數(shù)函數(shù)購買購買x A B x11x12x21x22庫存庫存500噸噸 庫存庫存1000噸噸 第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編 目標(biāo)函數(shù)中目標(biāo)函數(shù)中c(x)不是線性函數(shù)，是非線性規(guī)劃；不是線性函數(shù)，是非線性規(guī)劃； 對于用分段函數(shù)定義的對于用分段函數(shù)定義的c(x)，一般的非線性規(guī)劃軟，一般的非線性規(guī)劃軟件也難以輸入和求解；件也難以輸入和求解； 想辦法將模型化簡，用現(xiàn)成的軟件求解。想辦法將模型化簡，用現(xiàn)成的軟件求解。 汽油含原油汽油含原油A的比例限制的比例限制 5 . 0211111 xxx6 . 0221212 xxx211

44、1xx 221232xx 約束約束條件條件甲甲(A 50%) A B 乙乙(A 60%) x11x12x21x22第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編x1 , x2 , x3 以價格以價格10, 8, 6(千元千元/ /噸噸) )采購采購A的噸數(shù)的噸數(shù)目標(biāo)目標(biāo)函數(shù)函數(shù) 只有當(dāng)以只有當(dāng)以10千元千元/噸的價格購買噸的價格購買x1=500( (噸噸) )時，才能以時，才能以8千元千元/噸的價格購買噸的價格購買x2方法方法1 )6810()( 6 . 5)( 8 . 432122122111xxxxxxxzMax0)500(32xx500,0321xxx非線

45、性規(guī)劃模型非線性規(guī)劃模型，可以用，可以用LINGO求解求解模型求解模型求解x= x1+x2+x3, c(x) = 10 x1+8x2+6x3 500噸噸 x 1000噸，超過噸，超過500噸的噸的8千千元元/ /噸噸增加約束增加約束0)500(21xxx= x1+x2+x3, c(x) = 10 x1+8x2+6x3 第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編方法方法1：LINGO求解求解Model:Max= 4.8*x11 + 4.8*x21 + 5.6*x12 + 5.6*x22 - 10*x1 - 8*x2 - 6*x3;x11+x12 x + 500

46、;x21+x22 0; 2*x12 - 3*x22 0;x=x1+x2+x3; (x1 - 500) * x2=0; (x2 - 500) * x3=0; x1 500;x2 500;x3 0;x11 0;x12 0;x21 0;x22 0;x1 0;x2 0;x3 0;end Objective value: 4800.000Variable Value Reduced CostX11 500.0000 0.0000000E+00X21 500.0000 0.0000000E+00X12 0.0000000E+00 0.0000000E+00X22 0.0000000E+00 0.00000

47、00E+00 X1 0.1021405E-13 10.00000 X2 0.0000000E+00 8.000000 X3 0.0000000E+00 6.000000 X 0.0000000E+00 0.0000000E+00 LINGO得到的是局部最優(yōu)解，還得到的是局部最優(yōu)解，還能得到更好的解嗎？能得到更好的解嗎？ 用庫存的用庫存的500噸原油噸原油A、500噸原油噸原油B生產(chǎn)汽油甲，不購買新的原油生產(chǎn)汽油甲，不購買新的原油A，利潤為利潤為4,800千千元。元。 第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編y1, y2 , y3=1 以價格以價格10, 8

48、, 6(千元千元/ /噸噸) )采購采購A增增加加約約束束方法方法2 0-1線性規(guī)劃模型線性規(guī)劃模型，可，可用用LINDO求解求解112500500yxy223500500yxy33500yx y1, ,y2, ,y3 =0或或1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 5000.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST Y1 1.000000 0.000000 Y2 1.000000 2200.000000 Y3 1.000000 1200.000000 X11 0.000000 0.800000 X21 0.000000 0.800000 X12 15

49、00.000000 0.000000 X22 1000.000000 0.000000 X1 500.000000 0.000000 X2 500.000000 0.000000 X3 0.000000 0.400000 X 1000.000000 0.000000 購買購買1000噸原油噸原油A，與，與庫存的庫存的500噸原油噸原油A和和1000噸原油噸原油B一起，生一起，生產(chǎn)汽油乙，利潤為產(chǎn)汽油乙，利潤為5,000千元千元 。x1 , x2 , x3 以價格以價格10, 8, 6(千元千元/ /噸噸) )采購采購A的噸數(shù)的噸數(shù)y=0 x=0 x0 y=1優(yōu)于方法優(yōu)于方法1的結(jié)果的結(jié)果第四章

50、第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編b1 b2 b3 b4方法方法3 b1 x b2，x= z1b1+z2b2，z1+z2=1，z1, z2 0, c(x)= z1c(b1)+z2c(b2).c(x)x1200090005000050010001500b2 x b3，x= z2b2+z3b3， z2+z3=1，z2, z3 0, c(x)= z2c(b2)+z3c(b3). b3 x b4，x= z3b3+z4b4，z3+z4=1，z3, z4 0, c(x)= z3c(b3)+z4c(b4). 500)1(1000 300061000)(500 1000

51、8500)(0 10)(xxxxxxxc 直接處理處理分段線性函數(shù)直接處理處理分段線性函數(shù)c(x) 第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編IP模型，模型，LINDO求求解，得到的結(jié)果與解，得到的結(jié)果與方法方法2相同相同. .處理分段線性函數(shù)，方法處理分段線性函數(shù)，方法3更具一般性更具一般性44332211bzbzbzbzx)()()()()(44332211bczbczbczbczxcbk x bk+1yk=1, ,否則否則, ,yk=03432321211,yzyyzyyzyz)4 , 3 , 2 , 1(0, 14321kzzzzzk10, 1321

52、321或yyyyyy方法方法3 bk x bk+1 , ,x= zkbk+z k+1 bk+1zk+zk+1 =1，zk, zk+1 0, c(x)= zkc(bk)+zk+1 c(bk+1 ).c(x)x1200090005000050010001500b1 b2 b3 b4對于對于k=1,2,3第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編4.5 飲料廠的生產(chǎn)與檢修飲料廠的生產(chǎn)與檢修單階段生產(chǎn)計劃單階段生產(chǎn)計劃多階段生產(chǎn)計劃多階段生產(chǎn)計劃 生產(chǎn)批量問題生產(chǎn)批量問題 企業(yè)生產(chǎn)計劃企業(yè)生產(chǎn)計劃考慮與產(chǎn)量無關(guān)的固定費(fèi)用考慮與產(chǎn)量無關(guān)的固定費(fèi)用給優(yōu)化模型求解帶來新的

53、困難給優(yōu)化模型求解帶來新的困難外部需求和內(nèi)部外部需求和內(nèi)部資源隨時間變化資源隨時間變化第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編 安排生產(chǎn)計劃安排生產(chǎn)計劃, 滿足每周的需求滿足每周的需求, 使使4周總費(fèi)用最小。周總費(fèi)用最小。存貯費(fèi)存貯費(fèi): :每周每千箱飲料每周每千箱飲料 0.2千元。千元。 在在4周內(nèi)安排一次設(shè)備檢修，占用當(dāng)周周內(nèi)安排一次設(shè)備檢修，占用當(dāng)周15千箱生產(chǎn)能千箱生產(chǎn)能力，能使檢修后每周增產(chǎn)力，能使檢修后每周增產(chǎn)5千箱，檢修應(yīng)排在哪一周千箱，檢修應(yīng)排在哪一周? ? 周次周次需求量需求量(千箱千箱)生產(chǎn)能力生產(chǎn)能力(千箱千箱)成本成本(千元千元/千箱

54、千箱)115305.0225405.1335455.4425205.5合計合計100135 某種飲料某種飲料4周的需求量、生產(chǎn)能力和成本周的需求量、生產(chǎn)能力和成本第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編問題分析問題分析 除第除第4周外每周的生產(chǎn)周外每周的生產(chǎn)能力超過每周的需求；能力超過每周的需求； 生產(chǎn)成本逐周上升；生產(chǎn)成本逐周上升；前幾周應(yīng)多生產(chǎn)一些。前幾周應(yīng)多生產(chǎn)一些。 周次周次需求需求能力能力11530225403354542520合計合計100135成本成本5.0 飲料廠在第飲料廠在第1周開始時沒有庫存；周開始時沒有庫存； 從費(fèi)用

55、最小考慮從費(fèi)用最小考慮, , 第第4周末不能有庫存；周末不能有庫存； 周末有庫存時需支出一周的存貯費(fèi)；周末有庫存時需支出一周的存貯費(fèi)； 每周末的庫存量等于下周初的庫存量。每周末的庫存量等于下周初的庫存量。 模模型型假假設(shè)設(shè) 第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編目標(biāo)目標(biāo)函數(shù)函數(shù)約束約束條件條件產(chǎn)量、庫存與需求平衡產(chǎn)量、庫存與需求平衡 決策變量決策變量 )( 2 . 05 . 54 . 51 . 50 . 53214321yyyxxxxzMin1511 yx25212yyx35323yyx2534 yx20,4540,304321xxxx能力限制能力限制

56、非負(fù)限制非負(fù)限制 0,3214321yyyxxxx模型建立模型建立x1 x4：第：第14周周的生產(chǎn)量的生產(chǎn)量y1 y3：第：第13周末周末庫存量庫存量周次周次需求需求能力能力11530225403354542520成本成本5.0存貯費(fèi)存貯費(fèi): :0.2 ( (千元千元/ /周周千箱千箱) ) 第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編模型求解模型求解 4周生產(chǎn)計劃的總費(fèi)用為周生產(chǎn)計劃的總費(fèi)用為528 (千元千元) 最優(yōu)解：最優(yōu)解： x1 x4：15，40，25，20； y1 y3： 0，15，5 .周次周次需求需求能力能力115302254

57、03354542520成本成本5.0產(chǎn)量產(chǎn)量15402520庫存庫存01550LINDO求解求解第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編檢修計劃檢修計劃0-1變量變量wt ：wt=1=1 檢修安排檢修安排在第在第t周周(t=1,2,3,4） 在在4周內(nèi)安排一次設(shè)備檢修，占用當(dāng)周周內(nèi)安排一次設(shè)備檢修，占用當(dāng)周15千箱生產(chǎn)能力，能使千箱生產(chǎn)能力，能使檢修后每周增產(chǎn)檢修后每周增產(chǎn)5千箱，檢修應(yīng)排在哪一周千箱，檢修應(yīng)排在哪一周? ? 檢修安排在任一周均可檢修安排在任一周均可周次周次需求需求能力能力11530225403354542520成本成本5

58、.0約束條件約束條件能能力力限限制制 204540304321xxxx301511wx12254015wwx1233554515wwwx321445552015wwwwx產(chǎn)量、庫存產(chǎn)量、庫存與需求平衡與需求平衡條件不變條件不變 第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編增加約束條件：檢修增加約束條件：檢修1 1次次14321wwww檢修計劃檢修計劃目標(biāo)函數(shù)不變目標(biāo)函數(shù)不變0-1變量變量wt ：wt= =1 檢修檢修安排在第安排在第t周周(t=1,2,3,4）LINDO求解求解總費(fèi)用由總費(fèi)用由528千元降千元降為為527千元千元檢修所導(dǎo)致的生

59、產(chǎn)能力提高的作用檢修所導(dǎo)致的生產(chǎn)能力提高的作用, 需要更長的時間才能得到充分體現(xiàn)。需要更長的時間才能得到充分體現(xiàn)。 最優(yōu)解：最優(yōu)解： w1= =1, w2 , w3, w4=0; x1 x4：15, ,45, ,15, ,25； y1 y3：0, ,20, ,0 .第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編 安排生產(chǎn)計劃安排生產(chǎn)計劃, 滿足每周的需求滿足每周的需求, 使使4周總費(fèi)用最小。周總費(fèi)用最小。存貯費(fèi)存貯費(fèi): :每周每千箱飲料每周每千箱飲料 0.2千元。千元。 飲料廠使用同一條生產(chǎn)線輪流生產(chǎn)飲料廠使用同一條生產(chǎn)線輪流生產(chǎn)多種多種飲料。飲料。若某周開工生

60、產(chǎn)若某周開工生產(chǎn)某種某種飲料飲料, 需支出需支出生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)8千元。千元。 某種飲料某種飲料4周的需求量、生產(chǎn)能力和成本周的需求量、生產(chǎn)能力和成本周次周次需求量需求量(千箱千箱)生產(chǎn)能力生產(chǎn)能力(千箱千箱)成本成本(千元千元/千箱千箱)115305.0225405.1335455.4425205.5合計合計100135 第四章第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源姜啟源 主編主編混合混合0-1規(guī)劃模型規(guī)劃模型 最優(yōu)解：最優(yōu)解：x1 x4：15，40，45，0；總費(fèi)用：總費(fèi)用：554.0(千元千元) 生產(chǎn)批量問題的一般提法生產(chǎn)批量問題的一般提法ttttdyxyts1.