2 第二型曲面積分

1、2 第二型曲面積分一、曲面的側(cè)一、曲面的側(cè)二、第二型曲面積分概念二、第二型曲面積分概念三、第二型曲面積分的計算計算法三、第二型曲面積分的計算計算法四、兩類曲面積分之間的聯(lián)系四、兩類曲面積分之間的聯(lián)系一、曲面的側(cè)曲面的側(cè)觀察以下曲面的側(cè)觀察以下曲面的側(cè) (假設(shè)曲面是光滑的假設(shè)曲面是光滑的)曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)n曲面的分類曲面的分類:1.1.雙側(cè)曲面雙側(cè)曲面; ;2.2.單側(cè)曲面單側(cè)曲面. .典典型型雙雙側(cè)側(cè)曲曲面面莫比烏斯帶莫比烏斯帶典型典型單側(cè)曲面單側(cè)曲面:播放播放實例實例: : 流向曲面一側(cè)的流量流向曲面一側(cè)的流量. .Avn AcosA vAv

2、nv A 流流量量二、第二型曲面積分概第二型曲面積分概念念xyzoSiS ),(iii ivinivin(2)01lim (,)(,)(,)yzzxxyniiiiiiiiTiiiiiEPSQSRS 這種與曲面的側(cè)有關(guān)的和式極限就是所要討這種與曲面的側(cè)有關(guān)的和式極限就是所要討論的第二曲面積分。論的第二曲面積分。定義定義101lim( ,)( ,)( ,)yzzxxyniiiiiiiiTiiiiiPSQSRS 或xyzoS存在條件存在條件:組合形式組合形式:( , , )( , , )( , , )SP x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy 物理意義物理意義:( ,

3、 , )( , , )( , , )SP x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy 第二型曲面積分也有如下性質(zhì)第二型曲面積分也有如下性質(zhì)存在存在,則有則有三、第二型曲面積分的計算第二型曲面積分的計算 第二型曲面積分也是把它化為二重積分第二型曲面積分也是把它化為二重積分來計算來計算.定理定理 22.2證證 由第二型曲面積分定義由第二型曲面積分定義00( , , )lim(, (,)lim(, (,)xyxySiiiiiTiiiiidR x y z dxdyRzSRzS 0( , , ( , )lim ( , ( ,)xyxyiiiiidDR x y z x y dxd

4、yRzS ( , , )( , , ( ,)xySDR x y z dxdyR x y z x y dxdy 所以所以 類似地，類似地，上連續(xù)時，有上連續(xù)時，有上連續(xù)時，有上連續(xù)時，有 計算法S),(yxfz xyDxyzoxys)( 01( , , )lim(,)()niiiixyTiSR x y z dxdyRS ),(,)()(, 0cos,iiixyxyizS 又又取上側(cè)取上側(cè)0101lim(,)()lim(, (,)()niiiixyTiniiiiixyTiRSRz ( , , ) , , ( , )xySDR x y z dxdyR x y z x y dxdy 即即,)()(,

5、0cos,xyxyiS 取取下下側(cè)側(cè)若若( , , ) , , ( , )xySDR x y z dxdyR x y z x y dxdy 則有則有給出給出由由如果如果,),(zyxx ( , , ) ( , ), , yzSDP x y z dydzP x y zy z dydz 則有則有給出給出由由如果如果,),(xzyy ( , , ) , ( , ), zxSDQ x y z dzdxQ x y z x z dzdx 注意注意: :對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分, ,必須注意曲面所取的側(cè)必須注意曲面所取的側(cè). .解解12把把S分S分成成S 和S 和S S2211:1;Szxy 222

6、2:1,Szxyxyz2S 1S 21SSSxyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy xyxyDDdxdyyxxydxdyyxxy)1(12222 xyDdxdyyxxy2212.1521cossin222 xyDrdrdrr 則分別有則分別有注注例例2 計算計算解解 曲面的參量方程曲面的參量方程xyzozD(8)由由(5)式有式有其中其中四、兩類曲面積分之間的聯(lián)系四、兩類曲面積分之間的聯(lián)系xyD),(yxfz Sxyzodsn(coscoscos )SSPdydzQdzdxRdxdyPQRdS 兩類曲面積分之間的聯(lián)系兩類曲面積分之間的聯(lián)系解解2()Szx dydz ,在在曲曲面面S上S上

7、有有 2()cosSzxds 2cos()cosSzxdxdy 22()()()SSzx dydzzdxdyzxxz dxdy xyDdxdyyxxxyx)(21)()(412222 xyDdxdyyxx)(21222 2022220)21cos(rdrrrd.11cos,1cos2222yxyxx .8 六、小結(jié)1 1、物理意義、物理意義2 2、計算時應(yīng)注意以下兩點、計算時應(yīng)注意以下兩點曲面的側(cè)曲面的側(cè)“一投一投, ,二代二代, ,三定號三定號”思考題思考題 設(shè)設(shè) 為球面為球面1222 zyx，若以其，若以其球面的外側(cè)為正側(cè)，試問球面的外側(cè)為正側(cè)，試問221zxy 之左側(cè)之左側(cè)（即（即oy軸

8、與其法線成鈍角的一側(cè)）軸與其法線成鈍角的一側(cè)）是正側(cè)嗎？那么是正側(cè)嗎？那么221zxy 的左側(cè)的左側(cè)是正側(cè)嗎？是正側(cè)嗎？思考題解答思考題解答此時此時 的左側(cè)為的左側(cè)為負負側(cè)，側(cè)，221zxy 而而 的左側(cè)為的左側(cè)為正正側(cè)側(cè).221zxy 莫比烏斯帶莫比烏斯帶典型典型單側(cè)曲面單側(cè)曲面:典型典型單側(cè)曲面單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶典型典型單側(cè)曲面單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶典型典型單側(cè)曲面單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶典型典型單側(cè)曲面單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶典型典型單側(cè)曲面單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶典型典型單側(cè)曲面單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶典型典型單側(cè)曲面單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶典型典型單側(cè)曲面單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶典型典型單側(cè)曲面單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶典型典型單側(cè)曲面單