求向量組的極大無關(guān)組-向量組極大無關(guān)組例題-文檔資料

1、1重要結(jié)論重要結(jié)論 矩陣矩陣A的初等的初等行行(列列)變換不改變矩陣的秩變換不改變矩陣的秩, 且不改變其且不改變其列列(行行)向量間的線性關(guān)系向量間的線性關(guān)系.(證明略證明略)2思路之一思路之一: 定義法定義法.(2) 向量組向量組 中含向量個數(shù)最多的線中含向量個數(shù)最多的線性無關(guān)部分組都是向量組的極大無關(guān)組性無關(guān)部分組都是向量組的極大無關(guān)組;12,m (1) 假定假定 是某向量組中的是某向量組中的 r 個向量個向量, 如果如果 線性無關(guān)線性無關(guān), 且向量組中任一向且向量組中任一向量都可由量都可由 線性表示線性表示, 則則 是是向量組的一個極大無關(guān)組向量組的一個極大無關(guān)組;12,r 12,r 1

2、2,r 12,r 此方法比較煩瑣此方法比較煩瑣, 較少用較少用求向量組的極大無關(guān)組的方法總結(jié)求向量組的極大無關(guān)組的方法總結(jié)3思路之二思路之二: 初等行變換法初等行變換法.(1) 將向量組中的各向量作為矩陣將向量組中的各向量作為矩陣A的各列的各列;(2) 對對A施行初等行變換施行初等行變換(注意僅限初等行變換注意僅限初等行變換);(3) 化化A為階梯形為階梯形, 在每一階梯中取一列為代表在每一階梯中取一列為代表, 則所得向量組即為原向量組得一個極大無關(guān)組則所得向量組即為原向量組得一個極大無關(guān)組.用初等行變換求極大無關(guān)組是用初等行變換求極大無關(guān)組是最基本最基本的方法的方法.4思路之三思路之三: 利

3、用等價性利用等價性.設(shè)設(shè) 為某向量組的一個極大無關(guān)組為某向量組的一個極大無關(guān)組, 則任意則任意 r 個線性無關(guān)的部分組均為極大無關(guān)組個線性無關(guān)的部分組均為極大無關(guān)組.12,r 5例例1 求下列向量組的一個極大無關(guān)組求下列向量組的一個極大無關(guān)組1(2,1,3, 1), 3(4,2,6, 2), 4(4, 3,1,1). 2(3, 1,2,0), 分析分析: 按定義向量個數(shù)按定義向量個數(shù)最多最多的的線性無關(guān)線性無關(guān)部部分組都是向量組的極大無關(guān)組分組都是向量組的極大無關(guān)組.6思想思想:(i) 通過觀察找出一個無關(guān)組通過觀察找出一個無關(guān)組;(ii) 往前面找出的無關(guān)組中增加一個向量往前面找出的無關(guān)組中

4、增加一個向量, 若得若得到新的向量組仍然線性無關(guān)到新的向量組仍然線性無關(guān), 則得到了新的線性則得到了新的線性無關(guān)組無關(guān)組, 否則否則, 繼續(xù)考慮下一個向量繼續(xù)考慮下一個向量(iii) 重復(fù)步驟重復(fù)步驟(ii)直到考慮完所有的向量為止直到考慮完所有的向量為止, 這這樣最后得到的線性無關(guān)組便是原向量組的一個樣最后得到的線性無關(guān)組便是原向量組的一個最大無關(guān)組最大無關(guān)組.7解解:1(2,1,3, 1)0, 1 線性無關(guān)線性無關(guān).1)2) 因為因為 的對應(yīng)分量不成比例的對應(yīng)分量不成比例, 12, 所以所以 線性無關(guān)線性無關(guān). 12, 3) 下面考慮向量組下面考慮向量組123,. 3112220, 123

5、, 線性相關(guān)線性相關(guān).4) 下面考慮向量組下面考慮向量組124,. 設(shè)存在一組數(shù)設(shè)存在一組數(shù) 使得使得124,k k k1122440.kkk 即即124(2,1,3, 1)(3, 1,2,0)(4, 3,1,1)(0,0,0,0).kkk 8從而從而124124124142340,30,320,0,kkkkkkkkkkk 解得解得1231,2,1.kkk 即即12420, 也即也即4122. 所以所以 是向量組是向量組 的一個極大無關(guān)組的一個極大無關(guān)組.12, 1234, 9例例2 考慮向量組考慮向量組112,12 52243 210,31 321,01 421,22 求此向量組的一個極大線

6、性無關(guān)組求此向量組的一個極大線性無關(guān)組, 并把其余并把其余向量分別用該極大無關(guān)組線性表示向量分別用該極大無關(guān)組線性表示.10解解:用這些向量作為矩陣用這些向量作為矩陣A的的列列向量，并向量，并對矩陣對矩陣A作初等作初等行行變換變換11222201121302421123A 11222025320224201321111122201321001100088011222013210011000000可見可見, 為一個極大無關(guān)組為一個極大無關(guān)組.123, 135,; 124,; 145,. 事實上事實上,均為極大無關(guān)組均為極大無關(guān)組.12進一步有進一步有11002010110011000000A10

7、011010110011000000 所以有所以有4123, 51230. 注注: 這里用到初等行變換不改變列向量之這里用到初等行變換不改變列向量之間的線性關(guān)系間的線性關(guān)系.13分析分析: 若能證明向量組若能證明向量組 例例3 試證試證: 若若 n 維單位向量維單位向量 可以可以由由 n 維向量維向量 線性表示線性表示, 則則 線性無關(guān)線性無關(guān).12,n 12,n 12,n 12,n I:12,n II:等價等價, 則則 又又 從而從而(I)(II),RR (I),Rn (II),Rn 因此因此, 線性無關(guān)線性無關(guān). 12,n 14證明證明: 由于由于 n 維單位向量維單位向量 可以由可以由1

8、2,n 故向量組故向量組n 維向量維向量 線性表示線性表示,12,n 又顯然有又顯然有 n 維維向量向量 可以由可以由 n 維單位向量維單位向量12,n 12,n 線性表示線性表示,12,n I:12,n II:等價等價, 則則 又又 從而從而(I)(II),RR (I),Rn (II),Rn 因此因此, 線性無關(guān)線性無關(guān). 12,n 15 例例4 設(shè)設(shè) 為齊次線性方程組為齊次線性方程組 的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系, 試判別下述向量組是否仍是的基試判別下述向量組是否仍是的基礎(chǔ)解系礎(chǔ)解系.123, 0Ax 11232123323(1)3,3,;112321233123(2),2,23.分析分析: 本題

9、實際上已知本題實際上已知 為為 的解的解空間的極大無關(guān)組空間的極大無關(guān)組, 要求證明要求證明 是否是否仍是仍是 的解空間的極大無關(guān)組的解空間的極大無關(guān)組. 由于已知由于已知極大無關(guān)組為三個向量極大無關(guān)組為三個向量, 所以任意三個線性無所以任意三個線性無關(guān)向量均為極大無關(guān)組關(guān)向量均為極大無關(guān)組, 這只要證明這只要證明 與與 是否等價即可是否等價即可. 注意注意: 作為基礎(chǔ)解作為基礎(chǔ)解系系, 應(yīng)說明應(yīng)說明 為解向量為解向量. 123,123, 0Ax 0Ax 123, 123,123,16解解:只需證明只需證明 線性無關(guān)即可線性無關(guān)即可, 123,顯然顯然 均為均為 的解的解, 0Ax 123,而

10、這又轉(zhuǎn)化為證明而這又轉(zhuǎn)化為證明 與與 等價等價.123, 123,(1)由由112321233233,3,. 知知123123110(,)(,)131 .311 記為記為A17又又1101310,311A 從而從而()2,R A 因此秩因此秩123,2. (注注: )()min ( ),( ).R ABR A R B 即即 線性相關(guān)線性相關(guān), 故故 不是不是 的的基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系.0Ax 123,123,18(2)由由112321233123,2,23. 知知123123112(,)(,) 111 .123 記為記為B又又11211110,123B 從而從而( )3,R B 所以矩陣所以矩陣B可逆可逆,