第二章 邏輯代數基礎

1、第二章邏輯代數基礎第二節(jié)第二節(jié) 三種基本邏輯運算三種基本邏輯運算l與(AND)l或(OR)l非(NOT)常用的復合邏輯運算l與非、或非、與或非、異或、同或第三節(jié)第三節(jié) 邏輯代數的基本公式和常用公式邏輯代數的基本公式和常用公式一、基本公式一、基本公式10 01 111 001 111 0A A 00 AAA 1AAA 1AA AA 011 AAAA 101 重疊律重疊律互補律互補律ABBA CBACBA CABACBA ABBA CBACBA )()(CABACBA ()A BAB()ABA B()AA 德德摩根定理摩根定理還原律還原律可通過真值表進行驗證可通過真值表進行驗證二、若干常用公式二、

2、若干常用公式ABAA AA BAB ABAA )(A BA CBCA BA CA BA BA 用基本公式或真值表來驗證用基本公式或真值表來驗證三、邏輯代數的基本定理三、邏輯代數的基本定理在任何一個包含變量在任何一個包含變量 A 的邏輯等式中，的邏輯等式中，若以另外一個邏輯式代入式中所有若以另外一個邏輯式代入式中所有 A 的位置，的位置，則等式仍然成立。則等式仍然成立。1.1.代入定理代入定理例例2.3.1：用邏輯式用邏輯式CD代入公式代入公式AB+A=A中所有中所有A的位置，的位置，則等式則等式CDB+CD=CD仍然成立。仍然成立。對任一邏輯式對任一邏輯式 Y，若將其中所有的乘換成加，若將其中

3、所有的乘換成加，加換成乘，加換成乘，0 換成換成 1 ，1 換成換成 0，原變量換成反變量，反變量換成原變量，原變量換成反變量，反變量換成原變量，則得到的結果就是則得到的結果就是 Y 的反。的反。 ()YABB CD()YA BBCD例例2.3.2：()YABCDC ()YABCDC 對偶式：對偶式：對于任何一個邏輯式對于任何一個邏輯式 Y， 若將其中的若將其中的 “” 換成換成 “+”， “+” 換成換成 “”，0 換成換成 1，1 換成換成 0， 則得到一個新的邏輯式則得到一個新的邏輯式 YD， 則則 YD 叫做叫做 Y 的對偶式。的對偶式。 CBAY DYAB C()YABCD D()(

4、)YAB CD 例例2.3.4：v 邏輯函數邏輯函數v 邏輯函數的表示方法邏輯函數的表示方法v 邏輯函數的兩種標準形式邏輯函數的兩種標準形式一、邏輯函數一、邏輯函數),(CBAFY ),(CBAFY 二、邏輯函數的表示方法二、邏輯函數的表示方法 邏輯真值表邏輯真值表 邏輯函數式（邏輯式或函數式）邏輯函數式（邏輯式或函數式） 邏輯圖邏輯圖 波形圖波形圖 卡諾圖卡諾圖將輸入變量所有的取值下對應的輸出值找出來列成表格，即可得到真值表。1.邏輯真值表以三人表決電路為例，輸入變量為1表示同意，0表示不同意，輸出（函數）為1表示通過，0表示沒通過。A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0

5、 01 0 11 1 01 1 100010111A、B、CY把輸入與輸出之間的邏輯關系把輸入與輸出之間的邏輯關系寫成與、或、非等運算的組合式，寫成與、或、非等運算的組合式，就得到了邏輯函數式。就得到了邏輯函數式。根據電路功能的要求和與、或的根據電路功能的要求和與、或的邏輯定義，三人表決電路的邏輯邏輯定義，三人表決電路的邏輯函數式為：函數式為：BCACABY 000101110 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1YA B C將邏輯函數中各變量之間的與、或、非等邏輯關系，將邏輯函數中各變量之間的與、或、非等邏輯關系，用圖形符號表示出來，就可畫出表示函數關

6、系的用圖形符號表示出來，就可畫出表示函數關系的邏輯圖邏輯圖。BCACABY ABYACBC從真值表寫出邏輯函數式從真值表寫出邏輯函數式 一般方法：（1）找出真值表中使邏輯函數為1 1的那些輸入變量取值的 組合。（2）每組輸入變量取值的組合對應一個乘積項， 其中取值為 1 1 的寫入原變量， 取值為 0 0 的寫入反變量。（3）將這些乘積項相加，即得輸出的邏輯函數式。A B C Y0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 A BC AB C ABCABCYA BCAB CABCABC 例例2.4.2 2.4.2 ：將下圖所示

7、真值表轉換為邏輯函數式。：將下圖所示真值表轉換為邏輯函數式。將輸入變量取值的所有組合狀態(tài)逐一代入邏輯式將輸入變量取值的所有組合狀態(tài)逐一代入邏輯式, 求出函數值，列成表。求出函數值，列成表。YABCABC已知邏輯函數表達式：已知邏輯函數表達式：求它對應的真值表。求它對應的真值表。YABCABC1111001100000010000100010 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1YABCBCA B CA B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 111110011A BCABC YABCABC用圖形符號代替邏輯式

8、中的運算符號。用圖形符號代替邏輯式中的運算符號。 例例2.4.42.4.4：已知邏輯函數為：已知邏輯函數為()YABB CA BC畫出對應的邏輯圖。畫出對應的邏輯圖。ABB C A BC ()ABB C CABY從輸入端到輸出端逐級寫出每個圖形符號對應的邏輯從輸入端到輸出端逐級寫出每個圖形符號對應的邏輯式，即可得到對應的邏輯式。式，即可得到對應的邏輯式。A B BC ()A BBBC ()YA BBBCBC CBAY定義：定義：在在n變量邏輯函數中，變量邏輯函數中，若若m為包含為包含n個因子的乘積項，個因子的乘積項，而且這幾個變量均以原變量或反變量的形式在而且這幾個變量均以原變量或反變量的形式

9、在m中出現一次，中出現一次，則稱則稱m為該組變量的為該組變量的最小項最小項。v n變量的最小項應為變量的最小項應為2n個。個。v 輸入變量的每一組取值，輸入變量的每一組取值， 都使一個對應的最小項的值等于都使一個對應的最小項的值等于1。三、邏輯函數的兩種標準形式三、邏輯函數的兩種標準形式A B C A B C A BCA BC AB C AB C ABC ABC1. 在輸入變量的任何取值下必有一個最小項，在輸入變量的任何取值下必有一個最小項， 而且僅有一個最小項的值為而且僅有一個最小項的值為1。2. 全體最小項之和為全體最小項之和為1。3. 任意兩個最小項的乘積為任意兩個最小項的乘積為0。4.

10、 具有相鄰性的兩個最小項之和，具有相鄰性的兩個最小項之和， 可以合并成一項并消去一對因子?？梢院喜⒊梢豁棽⑾ヒ粚σ蜃?。()A BCABCAA BCBC()A B CAB CAA B CB C n變量的最大項應為變量的最大項應為2n個。個。 輸入變量的每一組取值，輸入變量的每一組取值， 都使一個對應的最大項的值等于都使一個對應的最大項的值等于0。定義：在定義：在n變量邏輯函數中，若變量邏輯函數中，若M為為n個變量之和，個變量之和，而且這幾個變量均以原變量或反變量的形式在而且這幾個變量均以原變量或反變量的形式在M中出現一次，中出現一次，則稱則稱M 為該組變量的最大項。為該組變量的最大項。ABC

11、ABCABCABC ABCABC ABC ABC 1. 在輸入變量的任何取值下必有一個最大項，而且僅有在輸入變量的任何取值下必有一個最大項，而且僅有 一個最大項的值為一個最大項的值為0。2. 全體最大項之積為全體最大項之積為0。3. 任意兩個最大項的和為任意兩個最大項的和為1。4. 只有一個變量不同的兩個最大項的乘積，等于各相同只有一個變量不同的兩個最大項的乘積，等于各相同 變量之和。變量之和。iiMm 2mA BC 22()mA BCABCM 可以把任何一個邏輯函數化為最小項之和的標準形式?？梢园讶魏我粋€邏輯函數化為最小項之和的標準形式。1AA 利用利用例例2.4.6：給定邏輯函數給定邏輯函數YABA C 則可化為：則可化為：()()YAB CCA BB CABCABCA BCA B C 7631mmmm )7 , 6 , 3 , 1( imiiYAB DAC ()()YAB CC DA BB C151411109mmmmm )15,14,11,10, 9( imiiAB CDAB C DABCAB C ()AB CDAB C DABC DD ()AB C DDAB CDAB C DABCDABCDAB CD 4.邏輯函數的最大項之積形式任何一個邏輯函數，任何一個邏輯函數，都可以化成最大項之積的標準形式。都可以化成最大項之積的