全國二卷理科數(shù)學(xué)高考真題

1、普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)本試卷共23題，共150分， 共4頁。考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。注意事項：1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚， 將條形碼準確粘 貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2 .選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用 0.5毫米黑色字跡的簽 字筆書寫, 字體工整、筆跡清楚。3 .請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答 ， 超出答題區(qū)域書寫 的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4 .作圖可先使用鉛筆畫出, 確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5 .保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。、選擇題：本題共12小題,每

2、小題5分,共60分。在每小題給出的四個1.選項中,只有一項是符合題目要求的A. 1 2i2.設(shè)集合A 1, 2,4 ,A. 1, 3B. 1 2iC. 2 i2B x 4x m 0 ,B. .1,0C. 1,3D. 2 i若A B 1 ,則BD. 1,53.我國古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問題：遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增， 共燈三百八十一， 請問尖頭幾盞燈？ ”意思是：一座7層塔共掛了 381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的 2倍，則塔的頂層共有燈A, 1盞B 3盞C. 5盞D 9盞4 .如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1, 粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓

3、柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為A. 90B. 63C. 42D. 365 .設(shè)x、y滿足約束條件2x 3y 3 0,2x 3y 3 0,則z 2x y的最小值是y 3 0,A. 15B.96.安排3名志愿者完成4項工作， 不同的安排方式共有A. 12 種B. 18 種C. 1每人至少完成1項,C. 24 種D. 9每項工作由1人完成,D. 36 種理科數(shù)學(xué)試題第1頁（共4頁）7.有2位優(yōu)秀, 成績， 信息，2 位良好,我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的給丁看甲的成績.看后甲對大家說：我還是不知道我的成績.根據(jù)以上 則A.乙可以知道四人的成績C.乙、丁可以知道對方的成績B. 丁可以知道

4、四人的成績D.乙、丁可以知道自己的成績8.S執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的a 1,則輸出的9.A.B.C.D.2345S=0 , K=1否S=S+a Ka= - aK=K+ 1(開始一)2 x若雙曲線C : -7a長為2 ,2- 三 1(a 0, b 0)的一條漸近線被圓 b則C的離心率為(x2)24所截得的弦A. 2D.10 .已知直三棱柱 ABC A1B1C1中，異面直線AB與BC1所成角的余弦值為ABC120 ,AB2,3BC CC1 1, WJA3A. 一 2B. *5C. 10511 .若 xA.12 .已知2是函數(shù)f (x) (x2ax 1)ex 1的極值點,D.小3則f (x)的

5、極小值為B. 2e 3ABC是邊長為2的等邊三角形,C. 5e 3P為平面ABCD. 1 內(nèi)一點，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競猜的成績 .老師說：你們四人中k1SkA.2B.、填空題：本題共4小題,32每小題5分,C.-3共20分。D.13 . 一批產(chǎn)品的二等品率為0.02, 地抽取100次，X表示抽到二等品件數(shù)，2314 .函數(shù) f (x) sin x <3cosx -(x415 .等差數(shù)列an的前n項和為Sn,n 1.從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件，則DX 0,一)的最大值是2a3 3 ,S4 10,有放回PA (PB PC)的最小值是16. 已知F是拋物線C : y2

6、8x的焦點, M是C上一點, FM的延長線交y 軸于點N .若M為FN的中點, 則FN .理科數(shù)學(xué)試題第2頁(共4頁)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第 1721題為必考題，每個試題考生都必須作答。第 22/23題為選考題， 考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共60分。17. (12 分) 2 B ABC的內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a, b, c, 已知sin(A C) 8sin .(1)求 cosB ;(2)若a c 6, ABC的面積為2 , 求b .18. (12 分)了 100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量舊養(yǎng)殖法收獲時各隨機抽取(單位:海水養(yǎng)殖場進行某水

7、產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立，記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg, 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”，估計A的概率；填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖 方法有關(guān)；箱產(chǎn)量50kg箱產(chǎn)量50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值(精確(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖 到 0.01).附:HE9 之上)0.0500 0100.0013 8416,635I0.K28K22n(ad bc)(a b)(c d)(a c)(b d)21. (12 分)已知函數(shù)f (x) ax2ax xln x, 且 f (x) 0.理

8、科數(shù)學(xué)試題第3頁(共4頁)19. (12分)如圖， 四棱錐P ABCD中， 側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于地面 ABCD , “1AB BC -AD ,BAD ABC 90 , E2是PD的中點.(1)證明：直線CE II平面PAB ;(2)點M在棱PC上， 且直線BM與底面ABCD 所詼角為45 ,求二面角M AB D的余弦值.20. (12分)2設(shè)O為坐標原點， 動點M在橢圓C ：y y2 1上， 過M作x軸的垂線， 垂足 為N, 點P滿足而72NM .(1)求點P的軌跡方程；設(shè)點Q在直線x 3上， 且OP PQ 1.證明：過點P且垂直于OQ的直線l過 C的左焦點F .(1)求 a ;(2

9、)證明：f (x)存在唯一的極大值點Xo, 且e2 f (xo) 2 2.(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做則按所做 的第一題計分。22 .選彳4 4:坐標系與參數(shù)方程(10分)在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x正半軸為極軸建立極坐標系， 曲線C1的極坐標方程為 cos 4 .(1) M為曲線G上的動點， 點P在線段OM上， 且滿足OM| OP 16, 求點 P的軌跡C2的直角坐標方程；(2)設(shè)點A的極坐標為(2,一),點B在曲線C2上，求OAB面積的最大值.323 .選彳4 5:不等式選講(10分)已知 a 0, b0, a3 b3 2 .證明:5

10、5(a b)(a5b5) 4；(2)a b 2.理科數(shù)學(xué)試題第4頁（共4頁）參考答案、選擇題1.D2.C3.B4.B5.A6.D7.D8.B9.A10.C11.A12.B、填空題13. 1.9614. 115. -2nn 116. 6三、解答題2 BBB17. (1)由 A C B 得 sinB 8sin ， 即 cos 4sin, 222x B1815tan ,得 tan B ,則有 cosB .241517由（1）可知sinB *117貝U S abc acsin B 2, 得 ac , 22222X b a c 2accos B (a、2c) 2ac30 ac174,則 b 2 .18.

11、 (1)舊養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為(0.0120.0140.0240.0340.040) 50.62 ,新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量不低于50kg的頻率為(0.0680.0460.0100.008)5 0.66 ,而兩種箱產(chǎn)量相互獨立， 則P(A) 0.62 0.66 0.4092 .（2）由頻率分布直方圖可得列聯(lián)表箱產(chǎn)量50kg箱產(chǎn)量50kg舊養(yǎng)殖法6238新養(yǎng)殖法3466則 K2200(62 66 34 38)215.7056.635,100 100 96 104所以有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān).(3)新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量低于 50kg的面積為(0.004 0.020 0.044) 5 0.

12、34 0.5,產(chǎn)量低于 55kg 的面積為(0.004 0.020 0.044 0.068) 5 0.68 0.5 ,所以新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量白中位數(shù)估計值為0.5 0.345 50 52.35 (kg).0.3419. (1)取 PA中點 F ,連結(jié)EF、BF .因為E為PD中點,-1貝U EF / AD .而由題=2可知 BC/ -AD , 2所以EC II FB .又EC故 CE / 面 PAB .WJ EF / BC ,即四邊形BCEF為平行四邊形面 PAB, FB 面 PAB ,*z(2)因為AB AD,則以A為坐標原點，AB、AD所在直線分別為x、y軸建立空間直角 坐標系A(chǔ) xyz ,

13、如圖所示.取AB 1 , 設(shè)CM CP(0 1)則得 A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), P(0,1,V3), 則 CP ( 1,0,后), CM ( ,0,J3 ), bm- (1,V3).ABPFJM EDC可得點M (1,1,J3 ), 所以取底面ABCD的法向量為n (0,0,1),cos BM ,nsin 45 ,2 t，則BM22.62,1,-6).因為 AB2(1,0,0),設(shè)面MAB的法向量為AB(x,y, z),BM(0,6,2),貝1) cos m, nm|n105.故二面角MAB D的余弦值為. 1052220. (1)設(shè)P(x, y), 則M(x

14、, 1y)， 將點M代入C中得x y 1, 所以點P的 軌跡方程為x2 y2 2.(2)由題可知 F( 1,0), 設(shè)Q( 3, t), P(m, n), 則OQ ( 3, t), PF ( 1 m, n),OP (m,n),PQ ( 3 m,t n).由 OPOQ 1 得 3m m2 tnn21 ,由(1)有 m2n2 2,則有 33m tn 0,所以 oQ PF 3 3mtn0,即過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F .22. (1)設(shè)P極坐標為(，)(0) , M極坐標為(1,)( 1 0).則OPOM 1 一.由OM OP 16得C2的極坐標方程為4cos (0).所以C2cos的

15、直角坐標方程為(x 2)2 y2 4(x 0).(2)設(shè)B極標為(2,)( 2 0),由題可知OA 2,2 4cos ,則有1S OAB 2 OA2 sin(2sin(223.即當時, 12OAB面積的最大值為2於.3 3(a b)3, 4所以(a b)3 8, 解得a b 2.21. (1) f(x)的定義域為(0,), 則 f(x) 0 等價于 ax a In x 0.1設(shè)g(x) ax a In x , 則g (x) a 一 .由題可知a 0, 則由g (x) 0解得xx 1 ,所以g(x)為(1,)上的增函數(shù)，為(0)上的減函數(shù).則有aaa，、,1、gmin(x) g(-) a1 a In a 0, 解得 a 1 .(2)由(1)可知 f (x) x x xln x,則 f (x) 2x 2 In x.11設(shè) h(x) 2x 2 In x ,則 h (x) 2 由 h( x) 0解得 x -, 所以 h(x)為x .21 11(-,)上的增函數(shù)，為(0,一)上的減函數(shù).又因為h(一) ln2 1 0, h(1) 0,2 221則h(x)在(0,1)上存在唯一零點x0使得2% 2 1nx0 0, 即2%