解絕對(duì)值不等式,涵蓋高中所有絕對(duì)值不等式解法

1、精選文檔確定值不等式，基本的確定值不等式：|a|-|b|a±b|a|+|b| y=|x-3|+|x+2|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函數(shù)的最小值是5，沒有最大值 |y|=|x-3|-|x+2|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5由|y|5得-5y5即函數(shù)的最小值是-5，最大值是5也可以從幾何意義上理解，|x-3|+|x+2|表示x到3，-2這兩點(diǎn)的距離之和，明顯當(dāng)-2x3時(shí)，距離之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x到3，-2這兩點(diǎn)的距離之差，當(dāng)x-2時(shí)，取最小值-5，當(dāng)x3時(shí)，取最大值5 解確定值不等式題根探討

2、題根四 解不等式題根4解不等式思路利用f(x)<a(a>0) -a<f(x)<a去掉確定值后轉(zhuǎn)化為我們生疏的一元二次不等式組即求解。解題原不等式等價(jià)于， 即 由（1）得：；由（2）得：或， 所以，原不等式的解集為或收獲1）一元一次不等式、一元二次不等式的解法是我們解不等式的基礎(chǔ)，無論是解高次不等式、確定值不等式還是解無理根式不等式，最終是通過代數(shù)變形后，轉(zhuǎn)化為一元一次不等式、一元二次不等式組來求解。2）本題也可用數(shù)形結(jié)合法來求解。在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的的圖象，解方程，再對(duì)比圖形寫出此不等式的解集。第1變 右邊的常數(shù)變代數(shù)式變題1解下列不等式：(1)|+1|>2；

3、(2)|26|<3思路利用f(x)<g(x) -g(x)<f(x)<g(x)和f(x)>g(x) f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉確定值后轉(zhuǎn)化為我們生疏的一元一次、一元二次不等式組來處理。解：(1)原不等式等價(jià)于+1>2或+1<(2)解得>或無解，所以原不等式的解集是|>(2)原不等式等價(jià)于3<26<3即2<<6所以原不等式的解集是|2<<6收獲形如|<，|>型不等式這類不等式的簡捷解法是等價(jià)命題法，即：|<<<|>>或<請你試試41

4、1解不等式（1）x-x2-2>x2-3x-4；（2）1解：（1）分析一 可按解不等式的方法來解.原不等式等價(jià)于：x-x2-2>x2-3x-4或x-x2-2<-(x2-3x-4)解得：1-<x<1+解得：x>-3故原不等式解集為xx>-3分析二 x-x2-2x2-x+2而x2-x+2(x-)2+>0所以x-x2-2中的確定值符號(hào)可直接去掉.故原不等式等價(jià)于x2-x+2>x2-3x-4解得：x>-3 原不等式解集為x>-3（2）分析 不等式可轉(zhuǎn)化為-11求解，但過程較繁，由于不等式1兩邊均為正，所以可平方后求解.原不等式等價(jià)于19x

5、2(x2-4)2 (x±2)x4-17x2+160x21或x216-1x1或x4或x-4留意：在解確定值不等式時(shí)，若f(x)中的f(x)的值的范圍可確定(包括恒正或恒非負(fù)，恒負(fù)或恒非正)，就可直接去掉確定值符號(hào)，從而簡化解題過程.第2變 含兩個(gè)確定值的不等式變題2解不等式（1）|1|<|+|；（2）x-2+x+3>5.思路（1）題由于兩邊均為非負(fù)數(shù)，因此可以利用f(x)g(x)f2(x)g2(x)兩邊平方去掉確定值符號(hào)。（2）題可接受零點(diǎn)分段法去確定值求解。解題（1）由于|1|0，|+|0，所以兩邊平方后有：|1|<|+|即有2+1<+2+，整理得(2+2)&

6、gt;1當(dāng)2+2>0即>1時(shí)，不等式的解為>(1)；當(dāng)2+2=0即=1時(shí)，不等式無解；當(dāng)2+2<0即<1時(shí)，不等式的解為<（2）解不等式x-2+x+3>5.解：當(dāng)x-3時(shí)，原不等式化為(2-x)-(x+3)>5-2x>6x<-3.當(dāng)-3<x<2時(shí)，原不等式為(2-x)+(x+3)>55>5無解.當(dāng)x2時(shí)，原不等式為(x-2)+(x+3)>52x>4x>2.綜合得：原不等式解集為xx>2或x<-3.收獲1）形如|<|型不等式此類不等式的簡捷解法是利用平方法，即：|<|&l

7、t;02）所謂零點(diǎn)分段法，是指：若數(shù)，分別使含有|，|，|的代數(shù)式中相應(yīng)確定值為零，稱，為相應(yīng)確定值的零點(diǎn)，零點(diǎn)，將數(shù)軸分為+1段，利用確定值的意義化去確定值符號(hào)，得到代數(shù)式在各段上的簡化式，從而化為不含確定值符號(hào)的一般不等式來解，即令每項(xiàng)等于零，得到的值作為爭辯的分區(qū)點(diǎn)，然后再分區(qū)間爭辯確定值不等式，最終應(yīng)求出解集的并集。零點(diǎn)分段法是解含確定值符號(hào)的不等式的常用解法，這種方法主要體現(xiàn)了化歸、分類爭辯等數(shù)學(xué)思想方法，它可以把求解條理化、思路直觀化請你試試421 解關(guān)于的不等式(>0且1)解析：易知1<<1，換成常用對(duì)數(shù)得：于是1<<10<1<1(1)&

8、lt;0<0解得0<<12不等式|x+3|-|2x-1|<+1的解集為 。解： |x+3|-|2x-1|= 當(dāng)時(shí) x>2 當(dāng)-3<x<時(shí)4x+2<+1 當(dāng)時(shí) 綜上或x>2故填。3求不等式的解集.解：由于對(duì)數(shù)必需有意義，即解不等式組，解得又原不等式可化為 (1)當(dāng)時(shí)，不等式化為即 綜合前提得：。(2)當(dāng)1<x2時(shí)，即. 。(1) 當(dāng)時(shí)，(2) ，結(jié)合前提得：。綜合得原不等式的解集為第3變 解含參確定值不等式變題3解關(guān)于x的不等式 思路本題若從表面現(xiàn)象看當(dāng)含一個(gè)根號(hào)的無理根式不等式來解，運(yùn)算理較大。若化簡成，則解題過程更簡潔。在解題過程中

9、需依據(jù)確定值定義對(duì)的正負(fù)進(jìn)行爭辯。解題原不等式等價(jià)于 當(dāng)即時(shí)， 當(dāng)即時(shí)， x¹-6當(dāng)即時(shí)， xÎR收獲1）一題有多解，方法的選擇更重要。2）形如|<，|>()型不等式此類不等式的簡捷解法是等價(jià)命題法，即： 當(dāng)>0時(shí)，|<<<；|>>或<； 當(dāng)=0時(shí)，|<無解，|>0 當(dāng)<0時(shí)，|<無解，|>有意義。請你試試431解關(guān)于的不等式：分析：本例主要復(fù)習(xí)含確定值不等式的解法，分類爭辯的思想。本題的關(guān)鍵不是對(duì)參數(shù)進(jìn)行爭辯，而是去確定值時(shí)必需對(duì)末知數(shù)進(jìn)行爭辯，得到兩個(gè)不等式組，最終對(duì)兩個(gè)不等式組的解集求

10、并集，得出原不等式的解集。解：當(dāng)。2關(guān)于的不等式|1|5的解集為|32，求的值。按確定值定義直接去掉確定值符號(hào)后，由于值的不確定，要以的不同取值分類處理。解：原不等式可化為46當(dāng)>0時(shí)，進(jìn)一步化為，依題意有，此時(shí)無解。當(dāng)=0時(shí)，明顯不滿足題意。當(dāng)<0時(shí)，依題意有綜上，=2。第4變 含參確定值不等式有解、解集為空與恒成立問題變題4若不等式|4|+|3|<的解集為空集，求的取值范圍。思路此不等式左邊含有兩個(gè)確定值符號(hào)，可考慮接受零點(diǎn)分段法，即令每一項(xiàng)都等于0，得到的值作為爭辯的分區(qū)點(diǎn)，然后再分區(qū)間爭辯確定值不等式，最終應(yīng)求出解集的并集，這是按常規(guī)去掉確定值符號(hào)的方法求解，運(yùn)算量較

11、大。若認(rèn)真觀看不等式左邊的結(jié)構(gòu)，利用確定值的幾何意義用數(shù)形結(jié)合方法或聯(lián)想到確定值不等式|+|+|，便把問題簡化。解題解法一 (1)當(dāng)0時(shí)，不等式的解集是空集。(2)當(dāng)>0時(shí)，先求不等式|4|+|3|<有解時(shí)的取值范圍。令4=0得=4，令3=0得=3 當(dāng)4時(shí)，原不等式化為4+3<，即27<解不等式組，>1 當(dāng)3<<4時(shí)，原不等式化為4+3<得>1 當(dāng)3時(shí)，原不等式化為4+3<即72<解不等式，>1綜合可知，當(dāng)>1時(shí)，原不等式有解，從而當(dāng)0<1時(shí)，原不等式解集為空集。由(1)(2)知所求取值范圍是1解法二由|4|+

12、|3|的最小值為1得當(dāng)>1時(shí)，|4|+|3|<有解從而當(dāng)1時(shí)，原不等式解集為空集。解法三： >|4|+|3|4+3|=1當(dāng)>1時(shí)，|4|+|3|<有解從而當(dāng)1時(shí)，原不等式解集為空集。收獲1）一題有多法，解題時(shí)需學(xué)會(huì)查找最優(yōu)解法。2）有解；解集為空集；這兩者互補(bǔ)。恒成立。有解；解集為空集；這兩者互補(bǔ)。恒成立。有解；解集為空集；這兩者互補(bǔ)。恒成立。有解；解集為空集；這兩者互補(bǔ)。恒成立。請你試試441對(duì)任意實(shí)數(shù)，若不等式|+1|2|>恒成立，求的取值范圍。思維點(diǎn)撥：要使|+1|2|>對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，只要|+1|2|的最小值大于。因|+1|的幾何意義為數(shù)軸上

13、點(diǎn)到1的距離，|2|的幾何意義為數(shù)軸上點(diǎn)到2的距離，|+1|2|的幾何意義為數(shù)軸上點(diǎn)到1與2的距離的差，其最小值可求。此題也可把不等式的左邊用零點(diǎn)分段的方法改寫成分段函數(shù)，通過畫出圖象，觀看的取值范圍。解法一 依據(jù)確定值的幾何意義，設(shè)數(shù)，1,2在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P、A、B，則原不等式即求|PA|PB|>成立|AB|=3，即|+1|2|3故當(dāng)<3時(shí)，原不等式恒成立解法二 令=|+1|2|，則要使|+1|2|>恒成立，從圖象中可以看出，只要<3即可。故<3滿足題意。O-332對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式|x+1|+|x-2|>a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。分析：經(jīng)過

14、分析轉(zhuǎn)化，實(shí)質(zhì)上就要求|x+1|+|x-2|的最小值，a應(yīng)比最小值小。解： 由確定值不等式：|x+1|+|x-2|(x+1)-(x-2)|=3，當(dāng)且僅當(dāng)(x+1)(x-2)0, 即時(shí)取等號(hào)。故a<3說明：轉(zhuǎn)化思想在解中有很重要的作用，比如：恒成立問題、定義域?yàn)镽等問題都可轉(zhuǎn)化為求最大、最小值問題。（在這些問題里我們要給自己提問題，怎樣把一般性的問題轉(zhuǎn)化到某個(gè)特殊的值的問題，常問的問題是：要使，只要）3已知a>0,不等式|x-4|+|x-3|<a在實(shí)數(shù)集R上的解集不是空集，求a的取值范圍分析（一）|x-4|+|x-3|x-4(x-3)|=1 當(dāng)|x-4|+|x-3|<a在

15、實(shí)數(shù)R上非空時(shí)，a須大于|x-4|+|x-3|的最小值，即a>1（二）如圖，實(shí)數(shù)x、3、4在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為P、A、B則有：y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB|PA|+|PB|1 恒有y1數(shù)按題意只須a>1 A B P 0 3 4 x（三）令y=f(x)=|x-4|+|x-3|作出其圖象由f(x)<g(x)=a有解得a>1 y 3 2 1 0 3 4 x（四）考慮|z-4|+|z-3|<a(zc)的幾何意義當(dāng)a>1時(shí)，表示復(fù)平面上以3、4為焦點(diǎn)，長軸長為a的橢圓內(nèi)部，當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí)，a>1原不等式有解a>1即為所求（五） 可利用零點(diǎn)分

16、段法爭辯.將數(shù)軸可分為(-，3)，3，4，(4，+)三個(gè)區(qū)間.當(dāng)x<3時(shí)，得(4-x)+(3-x)<ax>.有解條件為<3 即a>1當(dāng)3x4時(shí)得(4-x)+(x-3)<a 即a>1當(dāng)x>4時(shí)，得(x-4)+(x-3)<ax<有解條件為>4 即a>1以上三種狀況中任一個(gè)均可滿足題目要求，故求它們的并集，即仍為a>1.變題：1、若不等式|x-4|+|x-3|>a對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒成立，求a的取值范圍2、若不等式|x-4|-|x-3|<a的解集在R上不是空集，求a的取值范圍3、若不等式|x-4|-|x-3|>

17、;a在R上恒成立，求a的取值范圍評(píng)注：1、此題運(yùn)用了確定值的定義，確定值不等式的性質(zhì)，以及確定值的幾何意義等多種方法。4、構(gòu)造函數(shù)及數(shù)形結(jié)合的方法，是行之有效的常用方法設(shè)0<a,若滿足不等式的 一切實(shí)數(shù)x，亦滿足不等式求正實(shí)數(shù)b的取值范圍。簡析略解：此例看不出明顯的恒成立問題，我們可以設(shè)法轉(zhuǎn)化: 設(shè)集合A， B= 由題設(shè)知AB，則： () 于是得不等式組： 又 ，最小值為； 最小值為； , 即 ：b的取值范圍是第5變 確定值三角不等式問題變題5已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求證：；，則當(dāng)時(shí)，求證：。思路本題中所給條件并不足以確定參數(shù)，的值，但應(yīng)當(dāng)留意到：所要求的結(jié)論不是的確定值，而是與條件相對(duì)應(yīng)的“取

18、值范圍”，因此，我們可以用 、來表示,。由于由已知條件得，。解題證明：(1)由，從而有(2)由 從而 將以上三式代入，并整理得收獲1） 二次函數(shù)的一般式中有三個(gè)參數(shù). 解題的關(guān)鍵在于：通過三個(gè)獨(dú)立條件“確定”這三個(gè)參數(shù). 2）本題變形技巧性強(qiáng)，同時(shí)運(yùn)用公式，及已知條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆糯?。要求同學(xué)們做題時(shí)要有敏銳的數(shù)學(xué)觀看力量。請你試試451已知函數(shù)f(x)=，a,bR，且，求證|f(a)-f(b)|<|a-b|。分析：要證，考察左邊，是否能產(chǎn)生|a-b|。證明：|f(a)-f(b)|= （其中，同理）回顧：1、證題時(shí)，應(yīng)留意式子兩邊代數(shù)式的聯(lián)系，找出它們的共同點(diǎn)是證題成功的第一步。此外，綜合

19、運(yùn)用不等式的性質(zhì)是證題成功的關(guān)鍵。如在本例中，用到了不等式的傳遞性，倒數(shù)性質(zhì)，以及“三角形不等式”等等。2、本題的背景學(xué)問與解析幾何有關(guān)。函數(shù)是雙曲線，的上支，而（即），則表示該圖象上任意兩點(diǎn)連線的斜率的確定值。（學(xué)過有關(guān)學(xué)問后），很明顯這一斜率的范圍是在（-1，1）之間。2（1）已知不等式|x-3|+|x+1|<a，的解集為空集，求a的取值范圍；（2）已知不等式|x-3|+|x+1|<a有解，求a的取值范圍。分析：“有解”即“解集非空”，可見（1）（2）兩小題的答案（集合）互為補(bǔ)集（全集為R）當(dāng)然可以用|x-3|+|x+1|=這種“去確定值”的方法來解，但我們考慮到“三角形不等式

20、”：|a|-|b|ab|a|+|b|知|x-3|+|x+1|x-3-x-1|=4這樣|x-3|+|x+1|<a等價(jià)于若（*）解集為，則a4，若（*）有解，則a>4。解（略）回顧：本題是“確定值不等式性質(zhì)定理”（即“三角形不等式”）的一個(gè)應(yīng)用。進(jìn)展題：（1）已知不等式|x-3|+|x+1|>a的解集非空，求a的取值范圍。（2）已知不等式|x-3|+|x+1|a的解集非空，求a的取值范圍。3已知f(x)的定義域?yàn)?,1，且f(0)=f(1)，假如對(duì)于任意不同的x1,x20,1，都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|，求證：|f(x1)-f(x2)|<分析：題設(shè)

21、中沒有給出f(x)的解析式，這給我們分析f(x)的結(jié)構(gòu)帶來困難，事實(shí)上，可用的條件只有f(0)=f(1) ，與|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|兩個(gè)。首先，若|x1-x2|，那么必有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|即|f(x1)-f(x2)|<成立。但若|x1-x2|>呢？考慮到0|x1-x2|1，則1-|x1-x2|<，看來要證明的是|f(x1)-f(x2)|1-|x1-x2|<成立！證明：不妨設(shè)x1x2，則0x1x21（1）當(dāng)|x1-x2|時(shí)，則有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|即|f(x1)-f(x2)|<成立。

22、（2）當(dāng)|x1-x2|>時(shí)，即x2-x1>時(shí)，0x2-x11 必有1-|x1-x2|<即1- x2+x1< 也可寫成|1- x2|+|x1|< (*) 另一方面|f(x1)-f(x2)|=|f(1)-f(x2)+f(x1)-f(0)|f(1)-f(x2)|+|f(x1)-f(0)|<|1- x2|+|x1-0| 則由（*）式知|f(x1)-f(x2)|<成立 綜上所述，當(dāng)x1,x20,1時(shí)都有|f(x1)-f(x2)|<成立。 已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，求證：當(dāng)時(shí)，有.分析：爭辯的性質(zhì)，最好能夠得出其解析式，從這個(gè)意義上說，應(yīng)當(dāng)盡量用已知條件來表達(dá)

23、參數(shù). 確定三個(gè)參數(shù)，只需三個(gè)獨(dú)立條件，本題可以考慮，這樣做的好處有兩個(gè)：一是的表達(dá)較為簡潔，二是由于正好是所給條件的區(qū)間端點(diǎn)和中點(diǎn)，這樣做能夠較好地利用條件來達(dá)到把握二次函數(shù)范圍的目的. 要考慮在區(qū)間上函數(shù)值的取值范圍，只需考慮其最大值，也即考慮在區(qū)間端點(diǎn)和頂點(diǎn)處的函數(shù)值.證明：由題意知：， ， .由時(shí)，有，可得 . ,.（1）若，則在上單調(diào)，故當(dāng)時(shí)， 此時(shí)問題獲證. （2）若，則當(dāng)時(shí)，又， 此時(shí)問題獲證. 綜上可知：當(dāng)時(shí)，有.評(píng)析：由于二次函數(shù)在區(qū)間和區(qū)間上分別單調(diào)，所以函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值、最小值必在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處取得；函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值必在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處取得. 第6變 確定值

24、不等式與其它學(xué)問的橫向聯(lián)系變題6（2003年全國高考試題）已知.設(shè)函數(shù)在R上單調(diào)遞減.不等式的解集為R.假如和有且僅有一個(gè)正確，求的取值范圍.思路 此題雖是一道在老教材之下的高考試題，但揭示了“解不等式”一類高考試題的命題方向.在新教材中，確定值不等式的解法和二次不等式的解法與集合運(yùn)算、命題推斷都有肯定聯(lián)系，屬于對(duì)于同學(xué)提出的基本要求內(nèi)容的范疇，本題將這幾部分學(xué)問內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合在一起，在考查同學(xué)基礎(chǔ)學(xué)問、基本方法把握的同時(shí)，考查了同學(xué)命題轉(zhuǎn)換，分類爭辯等力量，在不同的方法下有不同的運(yùn)算量，較好地體現(xiàn)出了“多考一點(diǎn)想，少考一點(diǎn)算”的命題原則.解題:函數(shù)在R上單調(diào)遞減，不等式的解集為R函數(shù)在R上恒大于1，函數(shù)在R上的最小值為，不等式的解集為R，即，若正確，且不正確，則；若正確，且不正確，則；所以的取值范圍為.收獲“解不等式”一類的命題可以有形式上的更新和內(nèi)容上的變化.結(jié)合簡易規(guī)律的