浙江科技學院線性代數(shù)向量組的線性相關性與兩個向量組之間的關系

1、13.2向量組的線性相關性與兩向量組的線性相關性與兩個向量組之間的關系個向量組之間的關系定義定義1 1對于對于n維向量維向量12,m 12,mk kk如果存在一組數(shù)如果存在一組數(shù) 使使1122mmkkk稱稱 是向量組是向量組 的一個的一個線性組合線性組合， 12,m 或者或者 可由向量組可由向量組 線性表示線性表示。 12,m 一、向量組的線性相關性一、向量組的線性相關性mmxxx1122即線性方程組即線性方程組有解。有解。3給定向量組給定向量組12 :,mA 如果存在不全為零的數(shù)如果存在不全為零的數(shù)12,mk kk使使11220mmkkk則稱向量組則稱向量組A是是線性相關線性相關的；的；否則

2、稱向量組否則稱向量組A是是線性無關線性無關的。的。定義定義2 2即當且僅當即當且僅當120mkkk時，時，11220mmkkk才成立才成立. .4線性相關線性相關向量組中至少有一個向量能由其余向量組中至少有一個向量能由其余m-1-1個向量線性表示個向量線性表示. .12,m 定理定理1 15若若11220mmkkk其中其中,1,2,ik im 不全為不全為0 0。不妨設不妨設 10k ，則，則 32123111,mmkkkkkk 即即1 是向量組是向量組 23,m的線性組合，的線性組合，也即也即中必有一個向量能由其余中必有一個向量能由其余m-1個向量線性表示。個向量線性表示。 12,m 能由其

3、余能由其余m-1個向量線性表示，個向量線性表示， 不妨設不妨設 m則則 112211,mmm 中若有一向量，中若有一向量， 12,m 即即112211( 1)0,mmm 所以所以12,m 線性相關。線性相關。6注注:1.1.單個向量單個向量0, （1 1）0,k 只有只有k取取0 0時才成立時才成立線性無關線性無關. . 所以，單個向量所以，單個向量（2 2）0, k取任何值都成立取任何值都成立線性相關線性相關. . 所以，單個向量所以，單個向量0,k 62.2. n維單位坐標向量組維單位坐標向量組12(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)n 線性無關線性無關. .任一任一n維向量維向量

4、可以由可以由 線性表示，線性表示， 12(,)na aa 12,n 事實上，事實上，1122.nnaaa3.3.231224574xyzxyzxyz 通過方程組的初等變換，第三個方程的所有系數(shù)和常數(shù)項全通過方程組的初等變換，第三個方程的所有系數(shù)和常數(shù)項全化為化為0 0，所以這個方程在方程組中是，所以這個方程在方程組中是多余多余的，在解方程時，的，在解方程時，可以去掉它。可以去掉它。線性方程組有無多余方程相當于方程組對應的向量組中線性方程組有無多余方程相當于方程組對應的向量組中有無向量能由其余向量線性表示。有無向量能由其余向量線性表示。12 :,mA 線性相關線性相關4.4.11220mmxxx

5、 即即0Ax 有非零解有非零解812,m 線性無關線性無關, ,，12,m 線性相關線性相關. .定理定理2 2 能由能由線性表示線性表示，且表示法唯一，且表示法唯一.12,m 定理定理3 3若一個向量組中有一部分向量組線性相關若一個向量組中有一部分向量組線性相關整個向量組線性相關。整個向量組線性相關。如果一個向量組線性無關如果一個向量組線性無關它的任何一個部分向量組必線性無關。它的任何一個部分向量組必線性無關。推論推論1 1任意一個包含零向量的向量組必線性相關。任意一個包含零向量的向量組必線性相關。推論推論2 2例例1 1123(0,1,2,3) ,(2,2,3,1) ,( 1,2,1,2)

6、 ,(2,1, 1, 2)TTTT 問問 是否可由是否可由 線性表示？線性表示？ 123, 無解。無解。11, 0)()( 133322211 xxx）（即即, 0)()() 332221131 xxxxxx（亦亦即即線性無關，故有線性無關，故有，因因321 . 0 , 0 , 0 322131xxxxxx證明：證明： 123,xxx設有設有1 122330,x bx bx b 使使 10111020,011 所以方程組只有零解所以方程組只有零解 1230,xxx 即即 123,b b b線性無關。線性無關。已知向量組已知向量組 線性無關，線性無關，例例2 2123, 112223331,bb

7、b 試證：試證： 線性無關。線性無關。123,b b b12P86 P86 定理定理2 2 ( )( , )AxbR AR A b有解1212(,)(, ) ，mmRRb向量向量 b 能由向量組能由向量組 A 線性表示線性表示12 :, mA13定義定義3 3設有兩個向量組設有兩個向量組12 ( ):,mI 12():,sII 若組（若組（I I ) ) 中的每個向量都能由組（中的每個向量都能由組（II II ) ) 線性表示，線性表示，則稱則稱向量組（向量組（I I ) )可由向量組（可由向量組（II II ) )線性表示線性表示; ;若兩個向量組可以若兩個向量組可以互相互相線性表示，則稱這

8、兩個向線性表示，則稱這兩個向量組量組等價等價。二、兩個向量組間的關系二、兩個向量組間的關系（1）反身性）反身性（2）對稱性）對稱性（3）傳遞性）傳遞性等價關系的性質：等價關系的性質：14若記若記12 (,),sA 12(,)tB B能由能由A線性表示，線性表示，即對每個向量即對每個向量(1,2, ),jjt 12,jjsjkkk存在數(shù)存在數(shù)使得使得1122jjjsjskkk1212,),jjssjkkk （12,)t （則則11121212221212,)ttsssstkkkkkkkkk （這一線性表示的這一線性表示的系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣15P88 P88 定理定理4 4()( ,)R AR A

9、B AXB 有解有解定理定理4 4向量組向量組B 能由向量組能由向量組A 線性表示線性表示12 :,sA 12:,tB( )( ,)R AR A B ()( )( ,)R AR BR A B推論推論與與等價等價12 :,sA 12:,tB16. 線性組合與線性表示的概念；線性組合與線性表示的概念；. 線性相關與線性無關的概念；線性相關性線性相關與線性無關的概念；線性相關性在線性方程組中的應用；在線性方程組中的應用；. 線性相關與線性無關的判定方法線性相關與線性無關的判定方法.小結小結4.兩個向量組的等價關系兩個向量組的等價關系 17P1081（1）(2)，3（1）(2)，4, 6作業(yè)作業(yè)人有了知識，就會具備各種分析能力，明辨是非的能