34圓周角和圓心角的關(guān)系

1、九年級(jí)數(shù)學(xué)(下)第三章圓3.4 3.4 圓周角和圓心角的關(guān)系（圓周角和圓心角的關(guān)系（1 1） 圓周角定理圓周角定理寶氮子校寶氮子校 陳明俠陳明俠.OBCA特征：特征： 角的頂點(diǎn)在圓上角的頂點(diǎn)在圓上. 角的兩邊都與圓相交角的兩邊都與圓相交.圓周角定義圓周角定義: : 頂點(diǎn)在圓上頂點(diǎn)在圓上,并且并且兩邊都和圓相交兩邊都和圓相交的角的角叫叫圓周角圓周角.練習(xí)練習(xí)：1.判別下列各圖形中的角是不是圓周角，并說(shuō)明理由。判別下列各圖形中的角是不是圓周角，并說(shuō)明理由。不是不是不是不是是是不是不是不是不是圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖類(lèi)比圓心角類(lèi)比圓心角探知探知圓周角圓周角n在在同圓同圓或或等圓等圓中中, ,相等的相等的

2、弧弧所對(duì)的所對(duì)的圓心角圓心角相等相等. .n在在同圓同圓或或等圓等圓中中, ,相等的相等的弧弧所對(duì)的所對(duì)的圓周角圓周角有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？n 為了解決這個(gè)問(wèn)題為了解決這個(gè)問(wèn)題, ,我們先探究一條弧所對(duì)的圓周我們先探究一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角之間的關(guān)系角和圓心角之間的關(guān)系. .圓周角圓周角和和圓心角圓心角的關(guān)系的關(guān)系n如圖如圖, ,觀察觀察弧弧ACAC所對(duì)的所對(duì)的圓周角圓周角ABCABC與與圓心角圓心角AOCAOC, ,它們的大小有什么關(guān)系它們的大小有什么關(guān)系? ?n說(shuō)說(shuō)你的想法說(shuō)說(shuō)你的想法,并與同伴交流并與同伴交流.n教師提示教師提示:注意圓心與圓周角的位置關(guān)系注意圓心與圓周角的位置關(guān)系

3、.OABCOABCOABC圓周角圓周角和和圓心角圓心角的關(guān)系的關(guān)系n1 1. .首先考慮一種特殊情況：首先考慮一種特殊情況：當(dāng)當(dāng)圓心圓心(O)在在圓周圓周角角(ABC)的一邊的一邊(BC)上時(shí)上時(shí),圓周角圓周角ABC與與圓心角圓心角AOC的大小關(guān)系的大小關(guān)系A(chǔ)OCAOC是是ABOABO的外角，的外角，AOC=B+A.AOC=B+A.OA=OBOA=OB，OABCA=B.A=B.AOC=2B.AOC=2B.即即 ABC = AOC.ABC = AOC.21一條弧所對(duì)的一條弧所對(duì)的圓周角圓周角等于它所等于它所對(duì)的對(duì)的圓心角圓心角的一半的一半. .圓周角圓周角和和圓心角圓心角的關(guān)系的關(guān)系n2.2.當(dāng)

4、當(dāng)圓心圓心(O)(O)在在圓周角圓周角(ABC)(ABC)的內(nèi)部時(shí)的內(nèi)部時(shí), ,圓周圓周角角ABCABC與圓心角與圓心角AOCAOC的大小關(guān)系會(huì)怎樣的大小關(guān)系會(huì)怎樣? ?n過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)B B作直徑作直徑BD.BD.由由1 1可得可得: :O ABC = AOC. ABC = AOC.21一條弧所對(duì)的一條弧所對(duì)的圓周角圓周角等于它所等于它所對(duì)的對(duì)的圓心角圓心角的一半的一半. .ABCDnABD = AOD,CBD = COD,ABD = AOD,CBD = COD,2121nABD+CBD= AOD+COD,ABD+CBD= AOD+COD,21n過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)B B作直徑作直徑BD.BD.由由1 1可得

5、可得: :O ABC = AOC. ABC = AOC.21一條弧所對(duì)的一條弧所對(duì)的圓周角圓周角等于它所等于它所對(duì)的對(duì)的圓心角圓心角的一半的一半. .DnABD = AOD,CBD = COD,ABD = AOD,CBD = COD,2121ABCnABD -ABD -CBD = (AOD-COD),= (AOD-COD),21圓周角圓周角和和圓心角圓心角的關(guān)系的關(guān)系n3.當(dāng)當(dāng)圓心圓心(O)在在圓周角圓周角(ABC)的外部時(shí)的外部時(shí),圓圓周角周角ABC與圓心角與圓心角AOC的大小關(guān)系會(huì)怎的大小關(guān)系會(huì)怎樣樣?練習(xí)：練習(xí)：2.如圖，圓心角如圖，圓心角AOB=100，則，則ACB=_。OABCBAO

6、.70 x1.求圓中角求圓中角X的度數(shù)的度數(shù)AO.X120130AO.X120 C C D B如圖所示，如圖所示，ADB、ACB、AOB分別是分別是什么角？它們有何共同點(diǎn)？什么角？它們有何共同點(diǎn)？ ADB與與ACB有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？ 同弧同弧 所對(duì)的圓周角相等所對(duì)的圓周角相等.(等弧等弧)思考思考: 相等的圓周角所對(duì)的弧相相等的圓周角所對(duì)的弧相等嗎等嗎?在同圓或等圓中在同圓或等圓中都等于都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半這條弧所對(duì)的圓心角的一半.圓周角定理推論圓周角定理推論: :BOADC1.相等相等的的圓周角圓周角所對(duì)的所對(duì)的弧弧相等相等.2.在同圓或等圓中在同圓或等圓中,探究：探究：3.

7、3.試找出下圖中所有相等的圓周角。試找出下圖中所有相等的圓周角。 ABCD123456782=71=43=65=8ABOC4、如圖、如圖,AB是直徑是直徑,則則ACB=.903. 直徑直徑所對(duì)的圓周角所對(duì)的圓周角是直角是直角;4. 90度度的圓周角所對(duì)的弦的圓周角所對(duì)的弦是直徑。是直徑。圓周角定理推論圓周角定理推論: :5.5.如圖：如圖：OAOA、OBOB、OCOC都是都是O O的半徑的半徑 AOB=2BOC.AOB=2BOC.求證：求證：ACB=2BAC.ACB=2BAC.證明：證明：ACB= AOB12BAC= BOC2AOB=2BOCAOBCACB=2BAC1 規(guī)律規(guī)律:解決圓周角和圓

8、心角的計(jì)算和證明問(wèn)題解決圓周角和圓心角的計(jì)算和證明問(wèn)題,要準(zhǔn)確找出同弧所對(duì)要準(zhǔn)確找出同弧所對(duì)的圓周角和圓心角的圓周角和圓心角,然后再靈活運(yùn)用圓周角定理然后再靈活運(yùn)用圓周角定理分析分析:AB所對(duì)圓周角是所對(duì)圓周角是ACB, 圓心角是圓心角是AOB. 則則ACB= AOB. BC所對(duì)圓周角是所對(duì)圓周角是 BAC , 圓心角是圓心角是BOC, 則則 BAC= BOC 21_21_O ODABC 6. 6.如圖如圖,AB,AB是是O O的直徑，的直徑，BDBD是弦是弦, ,延長(zhǎng)延長(zhǎng)BDBD到到C,C,使使AC=AB,AC=AB,BDBD與與CDCD的大小有什么關(guān)系的大小有什么關(guān)系? ?為什么為什么?

9、?解：解：BD=CD. 理由是：理由是：連接連接AD.AB是是 O的直徑的直徑ADB90即即ADBD又又ACABBDCD拓展拓展 化化心心動(dòng)為動(dòng)為行行動(dòng)動(dòng)7.7.在在O O中中,A=50,A=50, ,求求C C的大小的大小. .OCABD定理：定理：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。1.同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等; 在同圓或等圓中在同圓或等圓中,相等的圓周角所對(duì)的弧相等相等的圓周角所對(duì)的弧相等.2.直徑所對(duì)的圓周角是直角直徑所對(duì)的圓周角是直角; 90的圓周角所對(duì)的弦是直徑的圓周角所對(duì)的弦是直徑.3圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)條件條件“同

10、弧或等弧同弧或等弧”改為改為“同弦或等弦同弦或等弦”,或或刪去刪去“同圓或等圓同圓或等圓”的條件，結(jié)論都不成立了的條件，結(jié)論都不成立了.圓周角定理：圓周角定理：一條弧所對(duì)的一條弧所對(duì)的圓周角圓周角等于它所對(duì)的等于它所對(duì)的圓圓心角心角的一半的一半. .圓周角定理推論：圓周角定理推論：例題精解例題精解 7. 如圖，如圖，AD是是ABC的高，的高，AE是是ABC的外接圓直的外接圓直徑。求證：徑。求證：AB AC = AE ADAOBCDEAE是是ABC的外接圓直徑的外接圓直徑ABADAEAC ADC ABEABE90AD是是ABC的高的高ADCABE90CE AB AC = AE AD 證明：連接證

11、明：連接BE.1 1、證明題的思路尋找方法；、證明題的思路尋找方法；2 2、等積式的證明方法；、等積式的證明方法；3 3、輔助線的思考方法。、輔助線的思考方法。9.9.如圖如圖, ,圓圓O O中中,AB,AB是直徑是直徑, ,半徑半徑COCOAB,DAB,D是是COCO的中點(diǎn)的中點(diǎn),DEAB,DEAB,求求ABEABE的度數(shù)的度數(shù). .ABEODC拓展拓展 化心動(dòng)為行動(dòng)化心動(dòng)為行動(dòng)3、 如圖，在直徑為如圖，在直徑為AB的半圓中，的半圓中，O為圓心，為圓心，C、D為半圓上的兩點(diǎn)，為半圓上的兩點(diǎn)，COD=500，則，則CAD=_ 4、AB、AC為為 O的兩條弦，延長(zhǎng)的兩條弦，延長(zhǎng)CA到到D，使，使AD=AB，如果，如果ADB=350，求，求BOC的度數(shù)。的度數(shù)。討論與思考討論與思考ABC