34圓周角和圓心角的關(guān)系

1、九年級數(shù)學(xué)(下)第三章圓3.4 3.4 圓周角和圓心角的關(guān)系（圓周角和圓心角的關(guān)系（1 1） 圓周角定理圓周角定理寶氮子校寶氮子校 陳明俠陳明俠.OBCA特征：特征： 角的頂點在圓上角的頂點在圓上. 角的兩邊都與圓相交角的兩邊都與圓相交.圓周角定義圓周角定義: : 頂點在圓上頂點在圓上,并且并且兩邊都和圓相交兩邊都和圓相交的角的角叫叫圓周角圓周角.練習(xí)練習(xí)：1.判別下列各圖形中的角是不是圓周角，并說明理由。判別下列各圖形中的角是不是圓周角，并說明理由。不是不是不是不是是是不是不是不是不是圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖類比圓心角類比圓心角探知探知圓周角圓周角n在在同圓同圓或或等圓等圓中中, ,相等的相等的

2、弧弧所對的所對的圓心角圓心角相等相等. .n在在同圓同圓或或等圓等圓中中, ,相等的相等的弧弧所對的所對的圓周角圓周角有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？n 為了解決這個問題為了解決這個問題, ,我們先探究一條弧所對的圓周我們先探究一條弧所對的圓周角和圓心角之間的關(guān)系角和圓心角之間的關(guān)系. .圓周角圓周角和和圓心角圓心角的關(guān)系的關(guān)系n如圖如圖, ,觀察觀察弧弧ACAC所對的所對的圓周角圓周角ABCABC與與圓心角圓心角AOCAOC, ,它們的大小有什么關(guān)系它們的大小有什么關(guān)系? ?n說說你的想法說說你的想法,并與同伴交流并與同伴交流.n教師提示教師提示:注意圓心與圓周角的位置關(guān)系注意圓心與圓周角的位置關(guān)系

3、.OABCOABCOABC圓周角圓周角和和圓心角圓心角的關(guān)系的關(guān)系n1 1. .首先考慮一種特殊情況：首先考慮一種特殊情況：當(dāng)當(dāng)圓心圓心(O)在在圓周圓周角角(ABC)的一邊的一邊(BC)上時上時,圓周角圓周角ABC與與圓心角圓心角AOC的大小關(guān)系的大小關(guān)系A(chǔ)OCAOC是是ABOABO的外角，的外角，AOC=B+A.AOC=B+A.OA=OBOA=OB，OABCA=B.A=B.AOC=2B.AOC=2B.即即 ABC = AOC.ABC = AOC.21一條弧所對的一條弧所對的圓周角圓周角等于它所等于它所對的對的圓心角圓心角的一半的一半. .圓周角圓周角和和圓心角圓心角的關(guān)系的關(guān)系n2.2.當(dāng)

4、當(dāng)圓心圓心(O)(O)在在圓周角圓周角(ABC)(ABC)的內(nèi)部時的內(nèi)部時, ,圓周圓周角角ABCABC與圓心角與圓心角AOCAOC的大小關(guān)系會怎樣的大小關(guān)系會怎樣? ?n過點過點B B作直徑作直徑BD.BD.由由1 1可得可得: :O ABC = AOC. ABC = AOC.21一條弧所對的一條弧所對的圓周角圓周角等于它所等于它所對的對的圓心角圓心角的一半的一半. .ABCDnABD = AOD,CBD = COD,ABD = AOD,CBD = COD,2121nABD+CBD= AOD+COD,ABD+CBD= AOD+COD,21n過點過點B B作直徑作直徑BD.BD.由由1 1可得

5、可得: :O ABC = AOC. ABC = AOC.21一條弧所對的一條弧所對的圓周角圓周角等于它所等于它所對的對的圓心角圓心角的一半的一半. .DnABD = AOD,CBD = COD,ABD = AOD,CBD = COD,2121ABCnABD -ABD -CBD = (AOD-COD),= (AOD-COD),21圓周角圓周角和和圓心角圓心角的關(guān)系的關(guān)系n3.當(dāng)當(dāng)圓心圓心(O)在在圓周角圓周角(ABC)的外部時的外部時,圓圓周角周角ABC與圓心角與圓心角AOC的大小關(guān)系會怎的大小關(guān)系會怎樣樣?練習(xí)：練習(xí)：2.如圖，圓心角如圖，圓心角AOB=100，則，則ACB=_。OABCBAO

6、.70 x1.求圓中角求圓中角X的度數(shù)的度數(shù)AO.X120130AO.X120 C C D B如圖所示，如圖所示，ADB、ACB、AOB分別是分別是什么角？它們有何共同點？什么角？它們有何共同點？ ADB與與ACB有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？ 同弧同弧 所對的圓周角相等所對的圓周角相等.(等弧等弧)思考思考: 相等的圓周角所對的弧相相等的圓周角所對的弧相等嗎等嗎?在同圓或等圓中在同圓或等圓中都等于都等于這條弧所對的圓心角的一半這條弧所對的圓心角的一半.圓周角定理推論圓周角定理推論: :BOADC1.相等相等的的圓周角圓周角所對的所對的弧弧相等相等.2.在同圓或等圓中在同圓或等圓中,探究：探究：3.

7、3.試找出下圖中所有相等的圓周角。試找出下圖中所有相等的圓周角。 ABCD123456782=71=43=65=8ABOC4、如圖、如圖,AB是直徑是直徑,則則ACB=.903. 直徑直徑所對的圓周角所對的圓周角是直角是直角;4. 90度度的圓周角所對的弦的圓周角所對的弦是直徑。是直徑。圓周角定理推論圓周角定理推論: :5.5.如圖：如圖：OAOA、OBOB、OCOC都是都是O O的半徑的半徑 AOB=2BOC.AOB=2BOC.求證：求證：ACB=2BAC.ACB=2BAC.證明：證明：ACB= AOB12BAC= BOC2AOB=2BOCAOBCACB=2BAC1 規(guī)律規(guī)律:解決圓周角和圓

8、心角的計算和證明問題解決圓周角和圓心角的計算和證明問題,要準確找出同弧所對要準確找出同弧所對的圓周角和圓心角的圓周角和圓心角,然后再靈活運用圓周角定理然后再靈活運用圓周角定理分析分析:AB所對圓周角是所對圓周角是ACB, 圓心角是圓心角是AOB. 則則ACB= AOB. BC所對圓周角是所對圓周角是 BAC , 圓心角是圓心角是BOC, 則則 BAC= BOC 21_21_O ODABC 6. 6.如圖如圖,AB,AB是是O O的直徑，的直徑，BDBD是弦是弦, ,延長延長BDBD到到C,C,使使AC=AB,AC=AB,BDBD與與CDCD的大小有什么關(guān)系的大小有什么關(guān)系? ?為什么為什么?

9、?解：解：BD=CD. 理由是：理由是：連接連接AD.AB是是 O的直徑的直徑ADB90即即ADBD又又ACABBDCD拓展拓展 化化心心動為動為行行動動7.7.在在O O中中,A=50,A=50, ,求求C C的大小的大小. .OCABD定理：定理：圓內(nèi)接四邊形的對角互補。圓內(nèi)接四邊形的對角互補。1.同弧或等弧所對的圓周角相等同弧或等弧所對的圓周角相等; 在同圓或等圓中在同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧相等相等的圓周角所對的弧相等.2.直徑所對的圓周角是直角直徑所對的圓周角是直角; 90的圓周角所對的弦是直徑的圓周角所對的弦是直徑.3圓內(nèi)接四邊形的對角互補圓內(nèi)接四邊形的對角互補條件條件“同

10、弧或等弧同弧或等弧”改為改為“同弦或等弦同弦或等弦”,或或刪去刪去“同圓或等圓同圓或等圓”的條件，結(jié)論都不成立了的條件，結(jié)論都不成立了.圓周角定理：圓周角定理：一條弧所對的一條弧所對的圓周角圓周角等于它所對的等于它所對的圓圓心角心角的一半的一半. .圓周角定理推論：圓周角定理推論：例題精解例題精解 7. 如圖，如圖，AD是是ABC的高，的高，AE是是ABC的外接圓直的外接圓直徑。求證：徑。求證：AB AC = AE ADAOBCDEAE是是ABC的外接圓直徑的外接圓直徑ABADAEAC ADC ABEABE90AD是是ABC的高的高ADCABE90CE AB AC = AE AD 證明：連接證

11、明：連接BE.1 1、證明題的思路尋找方法；、證明題的思路尋找方法；2 2、等積式的證明方法；、等積式的證明方法；3 3、輔助線的思考方法。、輔助線的思考方法。9.9.如圖如圖, ,圓圓O O中中,AB,AB是直徑是直徑, ,半徑半徑COCOAB,DAB,D是是COCO的中點的中點,DEAB,DEAB,求求ABEABE的度數(shù)的度數(shù). .ABEODC拓展拓展 化心動為行動化心動為行動3、 如圖，在直徑為如圖，在直徑為AB的半圓中，的半圓中，O為圓心，為圓心，C、D為半圓上的兩點，為半圓上的兩點，COD=500，則，則CAD=_ 4、AB、AC為為 O的兩條弦，延長的兩條弦，延長CA到到D，使，使AD=AB，如果，如果ADB=350，求，求BOC的度數(shù)。的度數(shù)。討論與思考討論與思考ABC