相似與動點問題專題

1、所謂“動點型問題”是指題設(shè)圖形中存在一個或多個動點，它們在線段、射線或弧線上運動的一類開放性題目.解決這類問題的關(guān)鍵是動中求靜，靈活運用有關(guān)數(shù)學(xué)知識解決問題關(guān)鍵:動中求靜.數(shù)學(xué)思想：分類思想函數(shù)思想方程思想數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化思想注重對幾何圖形運動變化能力的考查從變換的角度和運動變化來研究三角形、四邊形、函數(shù)圖像等圖形，通過“對稱、動點的運動”等研究手段和方法，來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。選擇基本的幾何圖形，讓學(xué)生經(jīng)歷探索的過程，以能力立意，考查學(xué)生的自主探究能力，促進(jìn)培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力圖形在動點的運動過程中觀察圖形的變化情況，需要理解圖形在不同位置的情

2、況，才能做好計算推理的過程。在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學(xué)“動點”探究題的基本思路,這也是動態(tài)幾何數(shù)學(xué)問題中最核心的數(shù)學(xué)本質(zhì)。動態(tài)幾何中的相似三角形例1、如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，AD=3，DC=5，BC=10，梯形的高為4.動點M從B點出發(fā)沿線段BC以每秒2個單位長度的速度向終點C運動；動點N同時從C點出發(fā)沿線段CD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動.設(shè)運動的時間為t(秒).(1) 當(dāng)MN/AB時，求t的值；(2) 試探究：t為何值時，MNC為直角三角形.變式練習(xí)1:如圖所示，在ABC中，BA=BC=20cmAC=30cm點P從A點出發(fā)，沿著AB以每秒4cm的速度向B點運動；同

3、時點Q從C點出發(fā)，沿CA以每秒3cm的速度向A點運動，設(shè)運動時間為X。(1)當(dāng)x為何值時，PQ/BC?(2)當(dāng)SBC，求SbPQ的值；(3)SABC3SABCAPQ能否與CQB相似？若能，求出AP的長；若不能，請說明理由。4變式練習(xí)2:如圖，已知直線I的函數(shù)表達(dá)式為y=_-x，8，且I與x軸，y軸分別交于AB34變式練習(xí)2:如圖，已知直線I的函數(shù)表達(dá)式為y=_-x，8，且I與x軸，y軸分別交于AB3兩點，動點Q從B點開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點從A點開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點0移動，設(shè)點Q,P移動的時間為t秒.(1) 求出點AB的坐標(biāo)；(2)當(dāng)t為何值時，AP

4、Q與厶AOB相似？(3) 求出(2)中當(dāng)APQ與厶AOB相似時，線段PQ所在直線的函數(shù)表達(dá)式.變式練習(xí)1:已知在RtAABC中，/ABC=90o,/A=30o,點P在AC上，且/MPN=90當(dāng)點P為線段AC的中點，點M、N分別在線段AB、BC上時(如圖1),過點P作PE丄AB于點E,PF丄BC于點F,可證tPMEstPNF,得出PN=3PM.(不需證明)當(dāng)PC=2PA,點M、N分別在線段AB、BC或其延長線上，如圖2、圖3這兩種情況時，請寫出線段PN、PM之間的數(shù)量關(guān)系，并任選取一給予證明.AAA變式練習(xí)2(備用)：如圖1,在同一平面內(nèi)，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG罷放在一起，A為

5、公共頂點，/BA(=ZAGF90°,它們的斜邊長為2,若?ABC固定不動，？AFG繞點A旋轉(zhuǎn)，AF、AG與邊BC的交點分別為DE(點D不與點B重合，點E不與點C重合),設(shè)BE=mC!=n.(1) 請在圖中找出兩對相似而不全等的三角形，并選取其中一對進(jìn)行證明(2) 求m與n的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量n的取值范圍.(3) 以？ABC的斜邊BC所在的直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(如圖12).在邊BC上找一點D,使BBCE求出D點的坐標(biāo)，并通過計算驗證BD2+ce2=de2.(4) 在旋轉(zhuǎn)過程中，(3)中的等量關(guān)系BD2+CE"=立,請說明理由.立

6、,請說明理由.C例3、如圖1,RtPMN中，P=90,PM二PN,MN=8cm，矩形ABCD的長和寬分別為8cm和2cm,C點和M點重合，BC和MN在一條直線上.令RtPMN不動,矩形ABCD沿MN所在直線向右以每秒1cm的速度移動(如圖2),直到C點與N點重合為止.設(shè)移動x秒后，矩形ABCD與PMN重疊部分的面積為ycm2.求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.圖1變式練習(xí)1:如圖，在等腰梯形ABCD中，AB/DC,/A=45,AB=10cm,CD=4cm.等腰直角三角形PMN的斜邊MN=10cm,A點與N點重合，MN和AB在一條直線上，設(shè)等腰梯形ABCD不動，等腰直角三角形PMN沿AB所在直線以1cm

7、/s的速度向右移動，直到點N與點B重合為止.(1)等腰直角三角形PMN在整個移動過程中與等腰梯形ABCD重疊部分的形狀由形變化為形；(2)設(shè)當(dāng)?shù)妊苯侨切蜳MN移動x(s)時，等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD重2疊部分的面積為y(cm)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)x=4(s)時，求等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積.變式練習(xí)1:如圖，在梯形ABCD中，AD/BC,AD=6cm,CD=4cm,BC=BD=10cm，點P由B出發(fā)沿BD方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，線段EF由DC出發(fā)沿DA方向勻速運動，速度為1cm/s，交BD于Q,連接PE若設(shè)運動時間為t(

8、s)(0t-5).解答下列問題:(1)當(dāng)t為何值時，PE/AB?AQ(2) 設(shè)PEQ的面積為y(cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;2(3)是否存在某一時刻t,使SapeqSaBCD?25變式練習(xí)2:在RtAABC中，/C=90°AC=3,AB=5.點P從點C出發(fā)沿CA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，到達(dá)點A后立刻以原來的速度沿AC返回；點Q從點A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動.伴隨著P、Q的運動，DE保持垂直平分PQ,且交PQ于點D,交折線QB-BC-CP于點E.點P、Q同時出發(fā)，當(dāng)點Q到達(dá)點B時停止運動，點P也隨之停止.設(shè)點P、Q運動的時間是t秒(t>0).(1)當(dāng)t=2時，AP=，點Q到AC的距離是