大學(xué)物理上下冊(cè)課后習(xí)題答案(共252頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上習(xí) 題1-1. 已知質(zhì)點(diǎn)位矢隨時(shí)間變化的函數(shù)形式為r = R(costi+ sin tj)其中 為常量求：（1）質(zhì)點(diǎn)的軌道；(2)速度和速率。解：1） 由r = R(costi + sin tj) 知x = R cos t y = R sin t 消去 t 可得軌道方程 x 2 + y2 = R 22） v = ddtr = R sin ti+ Rcostjv = (R sin t)2 + (R cos t)2 12 = R1-2. 已知質(zhì)點(diǎn)位矢隨時(shí)間變化的函數(shù)形式為r = 4t 2 i + (3 + 2t) j ，式中r 的單位為m ，t 的單位為s .求：（1）質(zhì)

2、點(diǎn)的軌道；（2）從t = 0 到t =1秒的位移；（3） t = 0 和t =1秒兩時(shí)刻的速度。解：1）由r = 4t 2 i + (3 + 2t) j 可知x = 4t 2 y = 3 + 2t 消去 t 得軌道方程為：x = (y 3)2專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)2）v = ddrt = 8ti + 2 jr = 01 vdt = 01 (8ti + 2 j)dt = 4i + 2 j3） v(0) = 2 jv(1) = 8i + 2 j1-3. 已知質(zhì)點(diǎn)位矢隨時(shí)間變化的函數(shù)形式為r = t 2 i + 2tj ，式中r 的單位為m ，t 的單位為s .求：（1）任一時(shí)刻的速度和加速度；（2）任一

3、時(shí)刻的切向加速 度和法向加速度。解：1）v = ddrt = 2ti + 2 j a = ddvt = 2i2）v = (2t)2 + 4 12 = 2(t 2 +1) 12 a t=dv=2tdtt 2 +1a =a 2 a 2=2ntt2 +11-4. 一升降機(jī)以加速度a 上升，在上升過(guò)程中有一螺釘從天花板上松落，升 降機(jī)的天花板與底板相距為d ，求螺釘從天花板落到底板上所需的時(shí)間。解：以地面為參照系，坐標(biāo)如圖，升降機(jī)與螺絲的運(yùn)動(dòng)方程分別為y= vt + 1 at 2（1）圖 1-41021 gt 2y2= h + v0t （2）2y1= y2（3）解之t =2dg + a1-5. 一質(zhì)量

4、為m 的小球在高度h 處以初速度v0 水平拋出，求：（1）小球的運(yùn)動(dòng)方程；（2）小球在落地之前的軌跡方程；（3）落地前瞬時(shí)小球的 dr， dv ， dv .dtdtdt解：（1）x = v0 t式（1）y = h 1 gt 2式（2）21 gt 2 ) jr(t) = v0 t i + (h -2（2）聯(lián)立式（1）、式（2）得y = h gx 22v02（3）dr= v0 i - gt j而 落地所用時(shí)間t =2hgdt所以dr= v0 i -2gh jdv= g jdtdtv =v 2x+ v2y = v02+ (gt)2dv=g 2 t=g2ghdt v 2+ ( gt) 2 1 2( v

5、 2 +2gh) 12001-6. 路燈距地面的高度為h1 ，一身高為h2 的人在路燈下以勻速v1 沿直線行走。試證明人影的頂端作勻速運(yùn)動(dòng)，并求其速度v2 .證明：設(shè)人從 O 點(diǎn)開(kāi)始行走，t 時(shí)刻人影中足的坐標(biāo)為 x1 ，人影中頭的坐標(biāo)為 x2 ，由幾何關(guān)系可得圖 1-6x2=h1而 x= vtx2 x1h210所以，人影中頭的運(yùn)動(dòng)方程為x2=h1 x1=h1tv0h1 h2h1 h2人影中頭的速度v2=dx2=h1v0dth1 h21-7. 一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為 x = 2 + 4t 2t 2 (m)，在 t 從 0 秒到3 秒的時(shí)間間隔內(nèi)，則質(zhì)點(diǎn)走過(guò)的路程為多少？解：v = dx

6、= 4 4t 若v = 0 解的 t =1sdtx1 = x1 x0 = (2 + 4 2) 2 = 2mx3= x3 x = (2 + 4 3 2 32 ) (2 + 4 2) = 8m1x =x1+x2= 10m1-8. 一彈性球直落在一斜面上，下落高度h = 20cm ，斜面對(duì)水平的傾角 = 30o ，問(wèn)它第二次碰到斜面的位置距原來(lái)的下落點(diǎn)多遠(yuǎn) (假設(shè)小球碰斜面前后速度數(shù)值相等，碰撞時(shí)人 射角等于反射角)。 圖 1-8解：小球落地時(shí)速度為v0 =2gh一建立直角坐標(biāo)系，以小球第一次落地點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)如圖vx0= v0 cos 600x = v0 cos 600 t +1 g cos 600

7、 t 2（1）2v y 0= v0 sin 600y = v0 sin 600 t 1 g sin 600 t 2（2）2第二次落地時(shí) y = 0t =2v0gx = v0 cos 600 t +1g cos 600 t2=2v2= 0.8m所以02g1-9. 地球的自轉(zhuǎn)角速度最大增加到若干倍時(shí)，赤道上的物體仍能保持在地球上而不致離開(kāi)地球?已知現(xiàn)在赤道上物體的向心加速度約為3.4cm / s2 ，設(shè)赤道上重力加速度為9.80m/s2 .解：赤道上的物體仍能保持在地球必須滿足 g = R2現(xiàn)在赤道上物體 =3.4 102R=9.8=173.4 1021-10. 已知子彈的軌跡為拋物線，初速為v0

8、 ，并且v0 與水平面的夾角為 .試分別求出拋物線頂點(diǎn)及落地點(diǎn)的曲率半徑。解：在頂點(diǎn)處子彈的速度v = v0 cos ，頂點(diǎn)處切向加速度為 0。因此有： g =v2=(vcos)2 =v2cos2 00g在落地點(diǎn)速度為v0g cos =v2 =v200g cos1-11. 飛機(jī)以v0 =100m / s 的速度沿水平直線飛行，在離地面高h(yuǎn) = 98m 時(shí)，駕駛員要把物品投到前方某一地面目標(biāo)上，問(wèn)：投放物品時(shí)，駕駛員看目標(biāo)的視 線和豎直線應(yīng)成什么角度?此時(shí)目標(biāo)距飛機(jī)下方地點(diǎn)多遠(yuǎn)?解：設(shè)此時(shí)飛機(jī)距目標(biāo)水平距離為 x 有： x = v0th =1gt 22x聯(lián)立方程解得： x 447m = arct

9、an 77.50h1-12. 設(shè)將兩物體 A 和 B 分別以初速v A 和vB 拋擲出去v A 與水平面的夾角為 ；vB 與水平面的夾角為 ，試證明在任何時(shí)刻物體 B 相對(duì)物體 A 的速度是常矢量。 解：兩個(gè)物體在任意時(shí)刻的速度為v A = v0 cosi + (v0 sin gt) j vB = v0 cos i + (v0 sin - gt) jvBA = vB - v A = (v0 cos v0 cos)i + (v0 sin v0 sin) j與時(shí)間無(wú)關(guān)，故 B 相對(duì)物體 A 的速度是常矢量。1-13. 一物體和探測(cè)氣球從同一高度豎直向上運(yùn)動(dòng)，物體初速為v0 = 49.0m / s

10、，而氣球以速度v =19.6m / s 勻速上升，問(wèn)氣球中的觀察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末測(cè)得物體的速度各多少？物體在任意時(shí)刻的速度表達(dá)式為 vy = v0 gt故氣球中的觀察者測(cè)得物體的速度 v = vy v代入時(shí)間 t 可以得到第二秒末物體速度 v = 9.8 ms第三秒末物體速度v = 0第四秒末物體速度v = 9.8 ms1-14. 質(zhì)點(diǎn)沿 x 在軸向運(yùn)動(dòng)，加速度a = kv ，k 為常數(shù)設(shè)從原點(diǎn)出發(fā)時(shí)速度為v0 ，求運(yùn)動(dòng)方程 x = x(t) .dvv 1tk t解：= kvv0dv =0 kdtv = v0 edtvdx= v0 ek t0x dx = 0t v0 ek t

11、dtdtx = vk0 (1 ek t )1-15. 跳水運(yùn)動(dòng)員自10m 跳臺(tái)自由下落，入水后因受水的阻礙而減速，設(shè)加速度a = kv2 ，k = 0.4m1 .求運(yùn)動(dòng)員速度減為入水速度的 10%時(shí)的入水深度。解：取水面為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向下為 x 軸跳水運(yùn)動(dòng)員入水速度 v0 =2gh =14 ms kv2 =dv= vdvv01dv = 0x kdxv10dtdx0vx = 1k ln10 = 5.76m1-16. 一飛行火箭的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為： x = ut + u(b1 t) ln(1 bt) ，其中 b 是與燃料燃燒速率有關(guān)的量，u 為燃?xì)庀鄬?duì)火箭的噴射速度。求：（1）火箭飛行速度與時(shí)間的關(guān)

12、系；（2）火箭的加速度。解：（1）v =dx= u ln(1 bt)dt（2）a =dv=ubdt1bt1-17. 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為： x = R cost,y =R sin t, z =ht, 式2中 R、h、 為正的常量。求：（1）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道方程；（2）質(zhì)點(diǎn)的速度大?。唬?）質(zhì)點(diǎn)的加速度大小。解：（1）軌道方程為 x2 + y 2 = R2z = 2h t這是一條空間螺旋線。在 O xy 平面上的投影為圓心在原點(diǎn)，半徑為 R 的圓，螺距為 h（2）vx = dxdt = Rsin tv = vx2 + vy2 + vz2 = R 2 +h24 2（3）ax = R2 cost a y

13、= R2 sin t az = 0 a = ax2 + a y2 = R2思考題1-1. 質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)，其瞬時(shí)速度為v ，瞬時(shí)速率為v ，平均速度為v ，平均速率為v ，則它們之間的下列四種關(guān)系中哪一種是正確的?（1） v = v, v = v ；（2） v v, v = v ；（3 ） v = v, v v ；（4） v v, v v答： （3）1-2. 質(zhì)點(diǎn)的 x t 關(guān)系如圖，圖中a ，b ，c 三條線表示三 個(gè)速度不同的運(yùn)動(dòng)問(wèn)它們屬于什么類(lèi)型的運(yùn)動(dòng)?哪一個(gè)速 度大？哪一個(gè)速度?。看穑簐a f vb f vc1-3. 結(jié)合v t 圖，說(shuō)明平均加速度和瞬時(shí)加速度的幾何意義。 答：平均加速

14、度表示速度 v 在 t 時(shí)間內(nèi)的平均變化率，它只能粗略地反映運(yùn)動(dòng)速度的變化程度和方向，而瞬時(shí)加速度能精確反映質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的變化及方 向。1-4. 運(yùn)動(dòng)物體的加速度隨時(shí)間減小，而速度隨時(shí)間增加，是可能的嗎？ 答：是可能的。加速度隨時(shí)間減小，說(shuō)明速度隨時(shí)間的變化率減小。1-5. 如圖所示，兩船 A 和 B 相距 R ，分別以速度v A 和vB 勻速直線行駛，它們會(huì)不會(huì)相碰?若不相碰，求兩船相靠最近的距離圖中 和 為已知。答：方法一 如圖，以 A 船為參考系，在該參考系中船 A 是靜止的，而船 B的速度v = vB v A .v 是船 B 相對(duì)于船 A 的速度,從船 B 作一條平行于v 方向的直線

15、BC,它不與 船 A 相交,這表明兩船不會(huì)相碰.由 A 作 BC 垂線 AC,其長(zhǎng)度rmin 就是兩船相靠最近的距離 rmin = R sin作 FD/AB,構(gòu)成直角三角形 DEF,故有sin = vB sin vA sin v在三角形 BEF 中,由余弦定理可得v = vA2 + vB2 + 2vA vB cos( + )rmin=vB sin vA sin RvA2+ vB2 + 2vA vB cos( + )方法二：兩船在任一時(shí)刻t 的位置矢量分別為rA = (vAt cos)i + (vB tsin) jrB = (R vB t cos )i + (vB tsin) jr = rB -

16、 rA = R (vB cos + vA cos)ti +(vB sin vA sin )t j任一時(shí)刻兩船的距離為r =R (vB cos + vA cos)t2 +(vB sin vA sin )t2令dr(t)= 0dtt =vB cos + vA cosR(vB cos + vA cos)2 + (vB sin vA sin)2rmin=vB sin vA sin RvA2+ vB2 + 2vA vB cos( + )1-6. 若質(zhì)點(diǎn)限于在平面上運(yùn)動(dòng)，試指出符合下列條件的各應(yīng)是什么樣的運(yùn)動(dòng)？（1） ddrt = 0 ， ddrt 0 ；（2） ddvt = 0 ， ddvt 0 ；（3

17、） ddat = 0 ， ddat = 0答: (1) 質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng).(2) 質(zhì)點(diǎn)作勻速率曲線運(yùn)動(dòng). (3) 質(zhì)點(diǎn)作拋體運(yùn)動(dòng). 1-7. 一質(zhì)點(diǎn)作斜拋運(yùn)動(dòng)，用t1 代表落地時(shí)，.（1）說(shuō)明下面三個(gè)積分的意義：t1t1t1vx dt ,vy dt,vdt .000（2）用 A 和 B 代表拋出點(diǎn)和落地點(diǎn)位置，說(shuō)明下面三個(gè)積分的意義：B dr,Bdr,B dr .AAAt1答: vx dt 表示物體落地時(shí) x 方向的距離0t1v y dt 表示物體落地時(shí) y 方向的距離0t1vdt 表示物體在t1 時(shí)間內(nèi)走過(guò)的幾何路程.0B dr 拋出點(diǎn)到落地點(diǎn)的位移AB dr 拋出點(diǎn)到落地點(diǎn)位移的大小AB d

18、r 拋出點(diǎn)到落地點(diǎn)位移的大小A習(xí)題2-1. 質(zhì)量為m 的子彈以速度v0 水平射入沙土中，設(shè)子彈所受阻力與速度反向，大小與速度成正比，比例系數(shù)為k ，忽略子彈的重力，求：(1) 子彈射入沙 土后，速度隨時(shí)間變化的函數(shù)式；(2) 子彈進(jìn)入沙土的最大深度。解：（1）由題意和牛頓第二定律可得： f = kv = m dvdt ，kdvk分離變量，可得：=兩邊同時(shí)積分，所以：v = v0 etmmvdt（2）子彈進(jìn)入沙土的最大深度也就是 v=0 的時(shí)候子彈的位移，則：由k=dv可推出：vdt = mdv ，而這個(gè)式子兩邊積分就可以得vdtkm= 0mm到位移： xmaxvdt = v0 kdv = k

19、v0。2-2. 一條質(zhì)量分布均勻的繩子，質(zhì)量為 M 、長(zhǎng)度為 L ，一端拴在豎直轉(zhuǎn)軸 OO上，并以恒定角速度 在水 平面上旋轉(zhuǎn)設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中繩子始終伸直不打彎，且忽略 重力，求距轉(zhuǎn)軸為 r 處繩中的張力 T( r)解：在繩子中距離轉(zhuǎn)軸為 r 處取一小段繩子，假設(shè)其質(zhì)量為 dm，可知：dm = MdL ，分析這 dm 的繩子的受力情況，因?yàn)樗龅氖?圓周運(yùn)動(dòng)，所以我們可列出： dT（r）= 2 rdm = 2 r Mdr 。L距轉(zhuǎn)軸為 r 處繩中的張力 T( r)將提供的是 r 以外的繩子轉(zhuǎn)動(dòng)的向心力，所以?xún)蛇叿e分：T（r）= rLM2dT（r）=（L2 r 2）2L12-3. 已知一質(zhì)量為 m

20、的質(zhì)點(diǎn)在 x 軸上運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)只受到指向原點(diǎn)的引力作用，引力大小與質(zhì)點(diǎn)離原點(diǎn)的距離 x 的平方成反比，即 f = k / x2 ，k 是比例常數(shù)設(shè)質(zhì)點(diǎn)在 x = A 時(shí)的速度為零，求質(zhì)點(diǎn)在 x = A / 4 處的速度的大小。 解：由題意和牛頓第二定律可得： f = xk2 = m dvdt = m dvdx dxdt = mv dvdx再采取分離變量法可得：kdx = mvdv，x2k兩邊同時(shí)取積分，則：AA / 4dx = 0vmvdv2x所以：v =6kmA2-4. 一質(zhì)量為2kg 的質(zhì)點(diǎn)，在 xy 平面上運(yùn)動(dòng)，受到外力F = 4i 24t 2 j (SI)的作用，t = 0 時(shí)，它的初速

21、度為v0 = 3i + 4 j (SI)，求t =1s 時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度及受到的法向力Fn . 解：由題意和牛頓第二定律可得： f = ma = m ddtv ，代入 f 與 v，并兩邊積分，01 (4i 24t 2 j )dt = vv0 mdv ， 4i 8 j = 2 v (3i + 4 j) v = 5i速度是i 方向，也就是切向的，所以法向的力是 j 方向的，則F = 24j2-5. 如圖，用質(zhì)量為m1 的板車(chē)運(yùn)載一質(zhì)量為m2 的木箱，車(chē)板與箱底間的摩擦系數(shù)為 ，車(chē)與路面間的滾動(dòng)摩擦可不計(jì)，計(jì)算拉車(chē)的力 F 為多少才能保證木箱不致滑動(dòng)？2解：根據(jù)題意，要使木箱不致于滑動(dòng)，必須使板車(chē)與木箱

22、具有相同的加速度，所以列式：a =Fmsx=f =m2 gmmm+ m1222可得： F p (m1 + m2 )g2-6. 如圖所示一傾角為 的斜面放在水 平面上，斜面上放一木塊，兩者間摩擦系數(shù) 為( tg) 。為使木塊相對(duì)斜面靜止，求斜 面加速度a 的范圍。解：在斜面具有不同的加速度的時(shí)候，木塊將分別具有向上和向下滑動(dòng)的趨勢(shì)，這就是加速度的兩個(gè)范圍，由題意，可得：（1）當(dāng)木塊具有向下滑動(dòng)的趨勢(shì)時(shí)（見(jiàn)圖a），列式為：N sin + N cos = mg N sin N cos = ma可計(jì)算得到：此時(shí)的a =tan g11+ tan（2）當(dāng)木快具有向上滑動(dòng)的趨勢(shì)時(shí)（見(jiàn)圖 b），列式為：N s

23、in + mg = N cosN sin + N cos = ma可計(jì)算得到：此時(shí)的a2 =tan + g1 tan所以tan g a tan + g1 + tan 1 tan32-7. 一質(zhì)量為 M、頂角為 的三角形光滑物體上。放有一質(zhì)量為 m 的物塊，如圖所示。設(shè)各面間的摩擦力均可忽略不計(jì)。試按下列三種方法：（1）用牛頓定理及約束方程；（2）用牛頓定律及運(yùn)動(dòng)疊加原理；（3）用非慣性系中力學(xué)定律；求解三角形物塊的加速度aM .解：隔離物塊和斜面體，畫(huà)圖分析力，列出方程，發(fā)現(xiàn)方程完備性不夠，即未知數(shù)比方程數(shù)多，關(guān)鍵在于，M 與 m 的運(yùn)動(dòng)有聯(lián)系的，M 沿地面運(yùn)動(dòng)，m 沿斜面運(yùn)動(dòng)，這就是約束條件

24、。取地面作為參考系，則 m 的運(yùn)動(dòng)為： N sin = max（1）N cos m g = may（2）M 的運(yùn)動(dòng)方程為： N sin = MaM（3）下面列出約束條件的方程：取M 作為參考系，設(shè)m 在其中的相對(duì)加速度為a，在 x,y 方向的分量分別為ax與ay ，那么：tan = ay ax利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)的公式，am = aM + a所以：ax = ax aM ay = ay4于是：tan =a y=aya xa x aM即：a x sin a y cos = aM sin （4）由（1）（2）（3）（4）聯(lián)立，計(jì)算可得：a M= m sin cos gM + m sin2 2-8. 圓柱形容

25、器內(nèi)裝有一定量 的液體，若它們一起繞圓柱軸以角速 度 勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，試問(wèn)穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時(shí)液面 的形狀如何？解：受力分析如圖N sin =m2 y（1）N cos =mg（2）兩式相比 tan = 2 y = dz g dy dz = 2 ydyz =2y2 + Cg2g當(dāng) y = 0 時(shí) z = z0 所以 C = z0z =2y 2 + z0穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時(shí)液面是一個(gè)拋物面2g由于旋轉(zhuǎn)后成為立體，故方程變?yōu)椤?z = 2g2 (x2 + y 2 ) + z0 】52-9. 質(zhì)量為m2 的物體可以在劈形物體的斜面上無(wú)摩擦滑動(dòng)，劈形物質(zhì)量為m1 ，放置在光滑的水平面上，斜面傾角為 ，求釋放后兩物體的加速度及它們

26、的相互作 用力。解：隔離物塊和斜面體，分析力，列出方程，發(fā)現(xiàn)方程完備性不夠，即未知數(shù)比方程數(shù)多，關(guān)鍵在于，m1 與 m2 的運(yùn)動(dòng)有聯(lián)系的，m1 沿地面運(yùn)動(dòng)，m2 沿斜面運(yùn)動(dòng)，這就是約束條件。取地面作為參考系，則 m2 的運(yùn)動(dòng)為： N sin = m2 ax（1）N cos m2 g = m2 a y（2）m1 的運(yùn)動(dòng)方程為： N sin = m1 a1（3）下面列出約束條件的方程：取 m1 作為參考系，設(shè) m2 在其中的相對(duì)加速度為aya，在 x,y 方向的分量分別為ax與ay，那么：tan =ax利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)的公式，a2 = a1 + a所以：a x = a x a1ay = ay于是：ta

27、n =a y=aya xax a1即：ax sin a y cos = a1 sin（4）由（1）（2）（3）（4）聯(lián)立，計(jì)算可得：a=m2 sin cosg ；a1m+ m sin2212m1 sin cos( m1 + m2 )sin= g ；a =gm+ m sin2m+ m sin212126相互作用力 N=m1m2 cosgm+ msin 2122-10. 一小環(huán)套在光滑細(xì)桿上，細(xì)桿以?xún)A角 繞豎直軸作勻角 速度轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為 ，求：小環(huán)平衡時(shí)距桿端點(diǎn)O 的距離r . 解：根據(jù)題意，當(dāng)小環(huán)能平衡時(shí)，其運(yùn)動(dòng)為繞 Z 軸的圓周運(yùn)動(dòng)， 所以可列式：N sin = mgN cos = m 2

28、r sin所以，可得：r =g 2 tan sin2-11. 設(shè)質(zhì)量為m 的帶電微粒受到沿 x 方向的電力F = (b + cx)i ，計(jì)算粒子 在任一時(shí)刻t 的速度和位置，假定t = 0 時(shí)，v0 = 0, x0 = 0 .其中b c 為、與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù)，m 、 F 、 x 、t 的單位分別為kg 、 N 、m 、s .解：根據(jù)題意和牛頓第二定律，可列式：F = (b + cx)i = m d 2 x ， dt 2整理可得二階微分方程：m d 2 x cx b = 0 。 dt 2令2 =c下面分 c 為正負(fù)再做進(jìn)一步討論。md 2 x2bbb當(dāng)c p 0時(shí)，dt 2+x = 0，可得：

29、x =cost mcc一次求導(dǎo)，得到：v = bsin tc7d 2 x2bbttb當(dāng)c f 0時(shí)，dt 2x = 0，可得： x =(e+ e) m2cc一次求導(dǎo)，得到：v =b(et et )2c2-12. 在光滑的水平面上設(shè)置一豎直的圓筒，半徑為 R ，一小球緊靠圓筒內(nèi)壁運(yùn)動(dòng)，摩擦系數(shù)為 ，在t = 0 時(shí)，球的速率為v0 ，求任一時(shí)刻球的速率和運(yùn)動(dòng)路程。解：在法向上有N = mv2而f = NR在切向上有 f = mdvdt由上面三個(gè)式子可得dv= v2dtRv1tv0 R vdv =0dtv =0v2RR + v0tS =t vdt = v0 Rt dt=Rln(1 +v0 t)0

30、R + v0 t0R思考題2-1. 質(zhì)量為 m 的小球，放在光滑的木板和光滑的墻壁之間，并 保持平衡，如圖所示設(shè)木板和墻壁之間的夾角為，當(dāng)逐漸增大 時(shí)，小球?qū)δ景宓膲毫⒃鯓幼兓拷猓杭僭O(shè)墻壁對(duì)小球的壓力為 N1，木板對(duì)小球的壓力為 N2。 由受力分析圖可知：8N2 sin = mg所以當(dāng)所以 增大，小球?qū)δ景宓膲毫?N2 將減小； 同時(shí)： N2 cos = N1N1 = mgctg所以 增大，小球?qū)Ρ诘膲毫?N1 也減小。2-2. 質(zhì)量分別為 m1 和 m2 的兩滑塊 A 和 B 通過(guò)一輕彈簧水平連結(jié)后置于水平 桌面上，滑塊與桌面間的摩擦系數(shù)均為，系統(tǒng)在水平拉力 F 作用下勻速運(yùn)動(dòng)， 如

31、圖所示如突然撤消拉力，則剛撤消后瞬間，二者的加速度aA和aB分別為多少 ？解：分別對(duì) A，B 進(jìn)行受力分析，由受力分析圖可知：F = (m1 + m2 )gF = kx + m1 gkx = m2 g所以aA = m1 + m2 g, aB = 0. m12-3. 如圖所示，用一斜向上的力F (與水平成 30角)，將一 重為 G 的木塊壓靠在豎直壁面上，如果不論用怎樣大的力 F，都 不能使木塊向上滑動(dòng)，則說(shuō)明木塊與壁面間的靜摩擦系數(shù)的大 小為多少？解：假設(shè)墻壁對(duì)木塊的壓力為 N，由受力分析圖可知：F sin = G + NN = F cos整理上式，并且根據(jù)題意，如果不論用怎樣大的力 F，都不

32、能使木塊向上滑動(dòng)，則說(shuō)明：1F G + 3F即當(dāng)1F p 3F 此式中 F 無(wú)論為多大，22229總成立，則可得： f 332-4. 質(zhì)量分別為m 和M 的滑塊 A 和 B ，疊放在光滑水 平桌面上，如圖所示 A 、 B 間靜摩擦系數(shù)為 s ，滑動(dòng)摩擦系數(shù)為k ，系統(tǒng)原處于靜止今有一水平力作用于 A 上， 要使 A 、 B 不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，則F 應(yīng)取什么范圍？解：根據(jù)題意，分別對(duì) A，B 進(jìn)行受力分析，要使 A，B 不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，必須使兩者具有相同的加速度，所以列式：a =Fmsx=s mgm + MM可得： F p sm（m + M）gM2-5. 如圖，物體 A、B 質(zhì)量相同，B 在光滑水

33、平桌面 上滑輪與繩的質(zhì)量以及空氣阻力均不計(jì)，滑輪與其軸之 間的摩擦也不計(jì)系統(tǒng)無(wú)初速地釋放，則物體 A 下落的加 速度是多少？解：分別對(duì) A，B 進(jìn)行受力分析，由受力分析圖可知：m1 g T = m1a12T = m2 a2 a2 = 12 a1則可計(jì)算得到：a1 = 54 g2-6. 如圖所示，假設(shè)物體沿著豎直面上圓弧形軌道下 滑，軌道是光滑的，在從 A 至 C 的下滑過(guò)程中，下面哪 個(gè)說(shuō)法是正確的？(A) 它的加速度大小不變，方向永遠(yuǎn)指向圓心。 (B) 它的速率均勻增加。 (C) 它的合外力大小變化，方向永遠(yuǎn)指向圓心。 10(D) 它的合外力大小不變。 (E) 軌道支持力的大小不斷增加。 在

34、下滑過(guò)程中，物體做圓周運(yùn)動(dòng)。并且 v 在增大，所以它既有法向加速度， 又有切向加速度，A 的說(shuō)法不對(duì)；速率的增加由重力沿切線方向的分力提供，由于切線方向始終在改變，所以 速率增加不均勻；外力有重力和支持力，后者的大小和方向都在變化，所以合力的大小方向也 在變化。C，D 的說(shuō)法都不對(duì)。下滑過(guò)程中的和 v 都在增大，所以 N 也在增大， N = mg sin + m v2R則 E 的說(shuō)法正確。2-7. 一小珠可在半徑為 R 的豎直圓環(huán)上無(wú)摩擦地滑動(dòng)，且圓環(huán)能以其豎直直 徑為軸轉(zhuǎn)動(dòng)當(dāng)圓環(huán)以一適當(dāng)?shù)暮愣ń撬俣?轉(zhuǎn)動(dòng)，小珠偏離圓環(huán)轉(zhuǎn)軸而且相對(duì) 圓環(huán)靜止時(shí)，小珠所在處圓環(huán)半徑偏離豎直方向的角度為多大？解：

35、根據(jù)題意，當(dāng)小珠能相對(duì)于圓環(huán)平衡時(shí)，其運(yùn)動(dòng)為繞 Z 軸的圓周運(yùn)動(dòng)，假設(shè) 小珠所在處圓環(huán)半徑偏離豎直方向的角度為 ，可列式：N cos = mgN sin = m 2 R sin所以，可得：cos = g2R2-8. 幾個(gè)不同傾角的光滑斜面，有共同的底邊，頂點(diǎn)也在同一 豎直面上（如圖所示）為使一物體（視為質(zhì)點(diǎn)）從斜面上端由靜止 滑到下端的時(shí)間最短，則斜面的傾角應(yīng)選(A) 60(B) 45(C) 30(D) 15解：根據(jù)題意，假設(shè)底邊長(zhǎng)為 s，斜面的傾角為 ，可列式：12 g sint 2 = coss11t2=4s。當(dāng) =45 時(shí)，時(shí)間最短。g sin 22-9. 如圖所示，小球 A 用輕彈簧O

36、1A 與輕繩O2 A 系??；小球 B 用輕繩O1B與O2 B 系住，今剪斷O2 A 繩和O2 B 繩，在剛剪斷的瞬間，A 、B 球的加速度量值和方向是否相同？ 解：不同。對(duì)于 a 圖，在剪斷繩子的瞬間，彈簧的伸長(zhǎng) 沒(méi)有變化，所以彈簧的拉力 F 不變，A 的加 速度應(yīng)該是由重力和彈簧的拉力提供的合力T，所以：F sin = T = maF cos = mg所以加速度大小為：a = g tan ，方向?yàn)樗椒较颉?duì)于 b 圖，在剪斷繩子的瞬間，繩子拉力 F 變化，它將提供物體做圓周運(yùn)動(dòng)，的 加速度應(yīng)該有切向加速度和法向加速度。所以：mg sin = mat2T mg cos = man = m v

37、R = 0所以加速度大小為：a = g sin ，方向?yàn)榕c繩垂直的切線方向。2-10. 兩質(zhì)量均為m 的小球穿在一光滑圓環(huán)上，并由一輕繩相連，環(huán)豎直固 定放置，在圖中位置由靜止釋放，試問(wèn)釋放瞬間繩上張力為多少？解：在釋放瞬間上面的小球作水平運(yùn)動(dòng)，下面小球作豎直運(yùn)動(dòng)，兩者加速度大小相等，方向互相垂直。T sin 450 = ma（1）mg T sin 450 = ma（2）12兩式聯(lián)立消去aT =mg=2mg2 sin 450213習(xí)題3-1. 如圖，一質(zhì)點(diǎn)在幾個(gè)力作用下沿半徑為 R=20m 的圓周運(yùn)動(dòng)，其中有一 恒力 F=0.6iN，求質(zhì)點(diǎn)從 A 開(kāi)始沿逆時(shí)針?lè)较蚪?jīng) 3/4 圓周到達(dá) B 的過(guò)程中，力 F 所做的功。解： r = rB rA = 20i + 20j由做功的定義可知：W = F r = 0.6i (20i + 20j) = 12J3-2. 質(zhì)量為 m=0.5kg 的質(zhì)點(diǎn)，在 xOy 坐標(biāo)平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為 x=5t2,y=0.5(SI),從 t=2s 到 t=4s 這段時(shí)間內(nèi)，外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)的功為多少？r = r4 r2 = (80i + 0.5j) (20i + 0.5j) = 60ia = dv / dt = d 2 r / dt2 =10iF = ma = m 10i = 5i由做功的定義可知：W = F r = 5i 60i = 300J3-